Pure Mathematics
Vol.05 No.04(2015), Article ID:15620,6
pages
10.12677/PM.2015.54021
A Kind of Helicoidal Surface in 3-Dimensional Minkowski Space
Heng Wu, Pingliang Huang
Department of Mathematics, College of Sciences, Shanghai University, Shanghai
Email: wlavande@shu.edu.cn
Received: Jun. 19th, 2015; accepted: Jul. 2nd, 2015; published: Jul. 8th, 2015
Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
A helicoidal surface in Minkowski 3-sapce is defined as the orbit of a plane curve under a screw motion. In this paper, we study a kind of helicoidal surface with light-like axis in Minkowski 3-space. As a result, we constructed the representation formulas for these helicoidal surfaces with meaning curvature H and Guass curvature K satisfying a1H2 + a2K = g(s).
Keywords:Minkowski Space, Helicoidal Surface, Meaning Curvature, Gauss Curvature
三维Minkowski空间中的一类螺旋面
吴珩,黄平亮
上海大学理学院数学系,上海
Email: wlavande@shu.edu.cn
收稿日期:2015年6月19日;录用日期:2015年7月2日;发布日期:2015年7月8日
摘 要
三维Minkowski空间中,螺旋面由一条平面曲线进行螺旋运动生成。本文研究以类光向量为轴进行螺旋运动所生成的螺旋面,主要讨论平均曲率H和高斯曲率K满足关系式a1H2 + a2K = g(s)的螺旋面的存在性以及表达式。
关键词 :Minkowski空间,螺旋面,平均曲率,高斯曲率
1. 引言
狭义相对论的提出,促使了Minkowski空间几何的产生(见[1] ),Minkowski空间是具有一个负指标的Lorentz空间(见[2] )。越来越多的数学家开始讨论Minkowski空间中的曲线和曲面(见[3] -[5] ),例如:Bertrand曲线、直纹面、旋转曲面、螺旋面等,其中螺旋面由一条平面曲线进行螺旋运动生成,其鲜明的几何性质引起了大家的兴趣。1990年,Dillen和Kuhnel在[6] 中确定了三维Minkowski空间的螺旋运动群。Rafael Lopez和Esma Demir在[7] 中研究了平均曲率H和高斯曲率K为常值的螺旋面。Beneki,Kaimakamis和Papantoniou在[8] [9] 中讨论了平均曲率H或高斯曲率K为给定光滑函数的螺旋面。2007 年,侯中华和纪凤辉在[10] [11] 中构造出平均曲率H和高斯曲率K满足关系式的螺旋面的表达式。
设为3维Minkowski空间,为空间的伪正交标架(见[11] ),即
则对中任意的有
在中,以类光向量为轴进行旋转,旋转矩阵为
设生成曲线,,在伪正交标架下,以类光向量为轴进行螺旋运动,螺旋面的一般形式为
(1.1)
其中表示螺距。本文主要讨论:在中,平均曲率H和高斯曲率K满足关系式时,沿类光方向进行螺旋运动的螺旋面的存在性以及表达式,其中为常数,为给定光滑函数。
下面给出本文所要证明的主要结论。
定理1:在伪正交标架下,以类光向量为轴进行螺旋运动所生成的螺旋面满足,其中为常数,,则
1)若,则螺旋面的表达式为
且生成曲线为
其中为积分常数,,,当时,;当时,。
2) 若,则螺旋面的表达式为
且生成曲线为
其中,,为积分常数。
注1.1:当时,螺旋面为类空曲面;当时,螺旋面为类时曲面(见定义2.3)。
注1.2:本文不考虑类光曲面,即的情况。
注1.3:当,时,即,侯中华和纪凤辉在[9] 中已研究了满足该条件的螺旋;
当或时,即平均曲率H和高斯曲率K为给定的光滑函数,Beneki,Kaimakamis和Papantoniou在[7] [8] 中已讨论了满足该条件的螺旋面。本文研究的是一类混合问题,是对上述结果的补充。
注1.4:为一般函数时,也可得到存在性结果(见推广2)。
2. 背景知识
定义2.1:设是三维Minkowski空间,对任意的有如下定义
1),则称是类空向量;
2),则称是类时向量;
3),则称是类光向量。
定义2.2:设是中的曲面,为曲面的法向量,则
1)称为曲面的第一基本形式,其中,称为第一基本量;
2)称为曲面的第二基本形式,其中,称为第二基本量。
定义2.3:当时,称曲面为类空曲面;当时,称曲面为类时曲面;当时,称曲面为类光曲面。
定义2.4:设是中的曲面,则曲面的平均曲率H和高斯曲率K为
定义2.5:对中任意的,若取标架为伪正交标架,则的外积为
3. 主要结论的证明
本节给出主要定理的证明过程。
证明:满足(1.1)式的螺旋面的第一基本形式、第二基本形式分别为
根据定义2.4有
其中,当即时,螺旋面为类空曲面;当即时,螺旋面为类时曲面。
其中
于是
又因为
不妨令,从而可得
(3.1)
1) 若时,有
即
(3.2)
令,则(3.2)等价于
当时,有
那么
即
则
其中为积分常数,当时,;当时,。
对上式两边积分可得
其中为积分常数,,当时,;当时,。
2) 若,即
(3.3)
设(b为待定系数)为(3.3)式的解,将、带入(3.3)式有
这里仅考虑的情况。
即
因此
从而可得
其中为积分常数。
对更一般的,也可以有
推广2:若,则(3.1)式在至少在区间上存在一解。
证明:若,则(3.1)有解等价于
有解。因为,即时,是连续函数,又为连续函数,所以是
连续的。因此,在区间上连续有界。由经典的Peano解的存在性定理可知,至少在区间上存在一解,因此,(3.1)式至少在区间上存在一解。
基金项目
本研究获得“上海高校一流学科(B类)”经费资助。
文章引用
吴 珩,黄平亮, (2015) 三维Minkowski空间中的一类螺旋面
A Kind of Helicoidal Surface in 3-Dimensional Minkowski Space. 理论数学,04,136-142. doi: 10.12677/PM.2015.54021
参考文献 (References)
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