Pure Mathematics
Vol.06 No.01(2016), Article ID:16793,6 pages
10.12677/PM.2016.61003

On Quasiprimitive Permutation Groups of Cube-Free Degree

Shiqin Peng1, Xiaofen Yu2, Jiangmin Pan1*

1College of Statistics and Mathematics, Yunnan University of Finance and Economics, Kunming Yunnan

2School of Mathematics and Information Science, Neijiang Normal University, Neijiang Sichuan

Received: Dec. 14th, 2015; accepted: Jan. 17th, 2016; published: Jan. 21st, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

Li and Seress [The primitive permutation groups of square-free degree, BULL. London Math. Soc. 35 (2003), 635-644] classified primitive permutation groups of square-free degree. In this paper, we will characterize quasiprimitive permutation groups of cube-free degree, and give several problems worth further research.

Keywords:Quasiprimitive Permutation Group, O’Nan-Scott Theorem, Simple Group

立方自由次拟本原置换群

彭仕芹1,余小芬2,潘江敏1*

1云南财经大学统计与数学学院,云南 昆明

2内江师范学院数学与信息科学学院,四川 内江

收稿日期:2015年12月14日;录用日期:2016年1月17日;发布日期:2016年1月21日

摘 要

Li和Seress [The primitive permutation groups of square-free degree, BULL. London Math. Soc. 35 (2003), 635-644]分类了平方自由次本原置换群。本文我们将给出立方自由次拟本原置换群的刻画,并提出几个关联的、有待进一步研究的问题。

关键词 :拟本原置换群,O’Nan-Scott定理,单群

1. 介绍

为集合上的一个传递置换群,称为的次数。的一个非空子集称为上的一个块(或区组),如果对任意都有或者为空集。此时,称上的一个块系统。显然,单点集和都是的块,称为的平凡块。群称为上的本原置换群如果上没有其余的(非平凡)块,或者等价地,上的点稳定子群的极大子群,其中。群称为上的拟本原置换群如果的每个极小正规子群在上都是传递的。容易证明:本原置换群一定是拟本原的,反之,则不然。

刻画本原置换群有着十分悠久和丰富的历史。1900年,著名代数学家Burnside完全确定了所有素数次的传递置换群(显然这些群是本原的),并提出了刻画更多本原置换群类的问题。事实上,由于任何一个传递置换群都可以诱导一个其块系统上的本原置换群,本原置换群的研究是置换群研究的根本问题之一。Wielandt (1949年)刻画了包含一个传递二面体子群的本原置换群;Scott (1961年)确定了包含一个同构于(其中为素数)的亚循环传递子群的本原置换群;Praeger ([1] )刻画了本原置换群的嵌入问题;华裔代数组合学家Li (2003年)解决了Burnside的百年公开问题:包含一个交换传递子群的本原置换群的分类(见 [2] )。近期,Li和Pan ( [3] )分类了包含一个传递亚循环子群的本原置换群。基于拟本原置换群是本原置换群的推广,并且在多个领域(尤其在代数组合领域)有着十分重要的应用,拟本原置换群的研究也受到了学者们的极大关注;Praeger ([4] )推广了本原置换群的O’Nan-Scott定理,将拟本原置换群分成了八种类型;Li ( [5] )确定了包含传递二面体子群的拟本原置换群。

一个正整数称为平方自由的,如果不存在素数使得称为立方自由的,如果不存在素数使得。Li和Seress ( [6] )证明了平方自由次本原置换群一定为仿射型或几乎单型,并给出了它们的完全分类。在本文中,我们将给出立方自由次拟本原置换群G的一个刻画:我们证明了G将出现在O’Nan-Scott定理的五种类型中,并确定了除几乎单型外的其余四种类型中的群G。

本文使用的符号都是标准的。例如,对一个正整数n,我们用表示n阶循环群;对两个群N和H,用表示N与H的直积,用表示N和H的中心乘积,用表示N被H的扩张,当这个扩张是可裂时,我们用表示。

本文所得的主要结果是下面的定理,其中表示群的柱心(即的所有极小正规子群的乘积)。显然,的特征子群。为方便起见,拟本原置换群的八种类型见第3节的介绍。

定理1.1 设为集合上的立方自由次拟本原置换群,,则为几乎单群,或者下述之一成立:

1)为HA型本原置换群,且下述之一成立:

,其中

,且的不可约子群。

2)为HS型本原置换群,,其中,且

3)为SD型,,且,其中

4)为PA型,且,其中为文 [6] 中表1~4中的非交换单群。

本文的结构如下:我们将在第2节介绍一些预备知识,并证明几个引理;第3节将给出定理1.1的证明,并构造了几个具体的例子;第4节将提出几个有待进一步研究的问题。

2. 预备知识

为一个群,的子群,设分别表示中的中心化子和正规化子。下的结论是著名的定理,见( [7] , CH. I. Lemma 4.5]。

引理2.1 设为一个群,的子群,则

一个群称为完全群,如果等于自身的换位子群;一个群扩张称为中心扩张,如果包含在的中心中。如果群是一个完全群,且商群与一个单群同构,则称的一个覆盖群。Schur [8] 证明了任何一个单群(更一般的,完全群)都有一个覆盖群使得的每个覆盖群都是的同态像。此时,的中心称为的Schur乘子(见 [9] , p. 43)。所有非交换单群的Schur乘子都是已知的(见 [9] , p. 302-303)。下面的引理见( [10] , Lemma 2.11)。

引理2.2 设的扩张,其中为素数,为非交换单群,则为中心扩张,,且为完全群,其中同构于的Schur乘子的一个子群。

我们知道:本原置换群一定是拟本原的,但拟本原置换群不一定本原。下面的结论表明:对于包含一个传递交换子群的置换群而言,本原和拟本原是等价的。

引理2.3 包含交换传递子群的拟本原置换群是本原的。

证明:设为集合上的拟本原置换群且包含一个交换正则正规子群,则上正则。

假设上非本原,则上有非平凡的块。设的相应的块系统,则上的作用可自然诱导在上的作用。显然,作用在上都是传递的。设分别为作用在上的核,则,且都是上的传递置换群。因为为交换群,所以上正则,故,推出。注意到 在上正则,上半正则,我们得到上正则,从而上传递,亦即:有一个非平凡的正规子群上不传递,这与上的拟本原置换群矛盾。

引理2.4 设为立方自由阶群,则为可解群,或者,其中的奇数阶可解群,为素数使得:

证明:首先,设有不可解的极小正规子群,则,其中为非交换单群,。因为立方自由,且,我们有。进一步,由( [11] , Theorem p. 18)知,其中,且。因为,其中表示的中心,所以。进一步,因为为奇数,由引理2.1,,我们有,且因为为奇数,为可解群。

所以,要完成引理的证明,我们只需证明:当为不可解群时,一定有不可解的极小正规子群。假设此断言不成立,设为极小阶反例。令的一个极小正规子群,则可解,故,其中为素数,。因为不可解,不可解,由关于的极小性假设,有不可解的极小正规子群,设为。由上面的讨论,有,其中为素数使得。因为,由引理2.2,为中心扩张。进一步,因为的Schur乘子为,我们有。特别地,的一个不可解极小正规子群,矛盾。

3. 定理1.1的证明

为集合上的一个拟本原置换群,由[4] ,的一个极小正规子群,或者,其中都是的非交换极小正规子群,且在上正则。进一步,为以下八种类型之一,其中

HA (仿射型):,其中为素数,

HS (全形单型):都为非交换单群且在中正规在上正则,且

HC (全形复合型):都为的极小正规子群且在上正则,且,其中为非交换单群;

AS (几乎单型):为非交换单群,且

TW (绕圈积型):的一个非交换非单的极小正规子群,且在上正则;

SD (单对角型):,且,其中为非交换单群;

CD (复合对角型):,且,其中为非交换单群,

PA (乘积作用型):的非交换极小正规子群,且在上不正则。

引理3.1 设为集合上的立方自由次拟本原置换群,则不是HC型,CD型和TW型。

证明:假设为HC型,则,且上正则,其中为偶数,故。因为,且,我们有,这与为立方自由矛盾。所以,不是HC型。

假设为CD型,则,其中,故。因为上拟本原,上传递,所以的倍数,从而为16的倍数,矛盾。

假设为TW型,则上正则,其中。此时,我们亦有不是立方自由,矛盾。

现在,我们给出定理1.1的证明。

,则,其中为单群,

首先设为交换群,则为素数,且上正则,故。因为立方自由,我们有或2。若,则,故,其中·若,则,且。由引理2.3,上本原,故的极大子群,或者等价地,的不可约子群(即:不正规化的任何非平凡子群)。

下设为非交换单群,且。由引理3.1,不是HC型,CD型和TW型。以下,我们分析其它几种型。

为HS型,则,其中的正规子群且在上正则。因为立方自由,由引理2.4,,其中为素数,且。因为,我们有。此时,易知的极大子群,故是本原的。

为SD型,则。因为为立方自由数,我们有立方自由。故由引理2.4,,其中为素数且。进一步,

最后,假设为PA型,则。设上的一个极大块系统,则整除,且为PA型本原置换群。因为的唯一极小正规子群,,故存在正整数使得,因为立方自由,我们有。现在,设,则立方自由,所以平方自由,故为文 [6] 中表1~4中的非交换单群。

为一个群,的一个子群,表示中全体右陪集构成的集合。则可以如下作用在上:

这个作用称为上的陪集作用。容易证明:这个陪集作用是忠实的当且仅当中柱心单(即:不包含的任何非平凡正规子群):此时,可视为集合上的传递置换群。一个众所周知的结果是:在集合上的一个传递作用等价于上的陪集作用,其中

HA型立方自由次的拟本原置换群已由定理1.1 1)完全给出。下面,我们构造HS,SD和PA型立方自由次拟本原置换群的几个具体的例子(我们略去它们不困难的证明)。

例1 设,其中为素数使得立方自由。设,则恰有两个极小正规子群。设,则的极大子群。

陪集作用在,则次(立方自由) HS型本原置换群。

例2 设,其中为素数使得立方自由。设,则有唯一的极小正规子群;设,则中心化。令

陪集作用在,则次(立方自由) SD型本原置换群。

例3 设为交错单群,其中为素数。设

1) 设的子群,,则。设陪集作用在上,则次PA型本原置换群。

2) 进一步假设平方自由,设的子群,,则。设陪集作用在,则次位方自由) PA型拟本原(但非本原)置换群。

4. 后续研究的问题

对于HA,HS,SD和PA型,定理1.1确定了相应的立方自由次拟本原置换群,但我们未能确定几乎单型的立方自由次拟本原置换群。由此,我们提出下面的问题(容易知道它等同于确定几乎单型的立方自由次拟本原置换群)。

问题1. 确定所有的非交换单群和其子群使得指数为立方自由。

集合上的一个传递置换群称为二部拟本原的,如果的每个非平凡正规子群在上最多有两个轨道,并且至少有一个非平凡的正规子群在上恰有两个轨道。二部拟本原置换群是拟本原置换群的推广。基于二部拟本原置换群在一些领域的重要应用,研究下面的问题是自然且有意义的。

问题2. 刻画立方自由次的二部拟本原置换群。

最后,我们给出本文所研究问题以及上述问题1和2在代数图论中的一个关联的、值得研究的问题(事实上,它也是本文的一个研究动机之一)。

为一个图,的一个顶点,中所有与邻接的顶点构成的集合(称为中的邻域)。如果有一个自同构群使得点稳定子群作用在上是本原的,则称—局部本原图。局部本原图包含很多有趣的图类,是代数图论中重要的研究对象之一代数学家Praeger的著名结果告诉我们:任何一个局部本原图都是一个顶点拟本原或顶点二部拟本原局部本原图(称为基图)的正规覆盖(这个结果由 [4] 对2—弧传递图首先得到,并被 [12] 推广到局部本原图上)。

问题3. 刻画立方自由阶的局部本原基图。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11231008, 11461077)资助。

文章引用

彭仕芹,余小芬,潘江敏. 立方自由次拟本原置换群
On Quasiprimitive Permutation Groups of Cube-Free Degree[J]. 理论数学, 2016, 06(01): 17-22. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.61003

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*通讯作者。

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