ABSTRACT

In this paper, we give the Lelong number of a -positive closed current, where is the special Lagrangian calibration and f is a -plurisubharmonic function in. Using that Lelong number, we generalize the minimum modulus principle for the holomorphic function of one complex variable, and we get an estimate of the low bound for -plurisubharmonic functions.

Keywords:Lelong Number, Special Lagrangian Calibration, -Plurisubharmonic Function, -Positive Closed Current

上-闭正流的Lelong数

王芳，康倩倩

浙江外国语学院科学技术学院，浙江 杭州

收稿日期：2016年2月28日；录用日期：2016年3月11日；发布日期：2016年3月17日

摘 要

本文给出了上-闭正流的Lelong数，这里是特殊Lagrangian calibration，f是中的-多次下调和函数。并且我们应用此Lelong数，将单复变中全纯函数的极小模原理进行了推广，给出了此类-多次下调和函数的一个下界估计。

关键词 :Lelong数，特殊Lagrangian calibration， -多次下调和函数， -闭正流

1. 引言及主要结果

在 [1] - [4] 中，Harvey及Lawson介绍了一些具体的calibrations，以及calibrated几何中的多次下调和函数，闭正流等。这些闭正流是经典的复几何中相应概念的推广，并且拥有一些重要性质。本文给出了一个特殊Lagrangian calibration所对应的闭正流，并给出它的Lelong数的具体表达式。应用此Lelong数，给出-多次下调和函数的一个下界估计。

首先给出 [1] [3] 中的一些定义。如果黎曼流形上的一个闭的形式，对上的所有的单位简单切向量，都有

则称为一个calibration。一个单位简单切向量，如果满足

则称此为一个平面。令表示上平面的全体。如果一个calibration的共变导数为0，则称是平行的。在 [2] 中，Harvey及Lawson给出了一般的calibration对应的多次下调和函数及闭正流。但本文只讨论平行的calibration。下面给出相应的定义。令表示上的形式。对上任何光滑函数f，算子定义为：

其中，i表示对微分形式的内乘，是f在中的梯度。因此，算子

这里，对一个平行的calibration及一个光滑函数f，如果对每个，有

则称f是多次下调和函数。

令表示X上的所有光滑函数构成的空间的对偶。如果一个分布满足对所有的光滑截面及光滑的具有紧支柱非负函数λ，有

则称此分布f是多次下调和的。容易证明，当f是多次下调和函数时，这两个定义是等价的。用表示x上所有的多次下调和函数及多次下调和分布。

令。表示顶点在原点，集合的凸锥。

。这里，表示黎曼流形X的余切空间。一个p维的流t，如果对所有具有紧支柱的p-形式，有

则称t是一个正流。如果还满足，则称t是一个闭正流。关于流的定义，可以参考 [5] 的第104页。

令是上的一个平行的calibration。t是一个p维的正流且。给定一点a，如果极限

存在，则称此极限为t在点a处的Lelong数，记为。这里是中球心为a，半径为r的闭球，是中单位球的体积，参考Demailly [6] 第18页及 [7] 中关于Lelong数的定义。

令表示n维复欧氏空间上点的坐标。闭的形式

是一个平行的calibration，称为特殊Lagrangian calibration。在 [2] 中，附录：The reduced Hessian一节中的定理5.19，告诉我们，如果为特殊Lagrangian calibration，则等价于是一个正流。显然，是闭的。对此闭正流，我们有下面的结论。

定理1.1：令是上的特殊Lagrangian calibration。，则闭正流在点a处的Lelong数存在且

其中，是上的Laplace算子，是上的体积元。是中球心为a，半径为r的开球，是中单位球的体积。

令

(1.1)

函数f在中一个开球B上的Riesz质量定义为：

(1.2)

假设并且是上半连续的，那么可以证明f是下调和的。我们应用闭正流的Lelong数及下调和函数的Poisson-Jensen公式，得到了关于f的一个下界估计式。

定理1.2：令是上的特殊Lagrangian calibration，这里，。f为上的多次下调和函数，并且在上是上半连续的，且有有界的Riesz质量。那么对任何实数，及，存在可数个小球，对，有

(1.3)

其中，表示f在单位球的边界上的最小值，

这些小球的半径，，并且，

(1.4)

令

(1.5)

则e是一个Borel集，且满足

这里，一个集合e的p维的Hausdorff content定义为

(1.6)

其中，是指e的覆盖的全体，其中，每个覆盖是由可数个小球并起来，每个小球的半径，。

注：在 [8] 中，作者给出了极小模原理在中的经典的多次下调和函数中的推广。

2.的Lelong数

令为上一个平行的calibration且，t为一个闭正流。在 [1] 中的第2.5节，Harvey及Lawson已经证明，

是关于变量r单调递增的函数，这里，是中球心为a，半径为r的闭球，是中单位球的体积。因此，

存在。

令且f为上一个光滑的多次下调和函数，则我们有下面命题成立。

命题2.1：(参见 [9] ，命题2.1)

这里，表示一个-形式，它是在中，用替代。

下面给出定理1.1的证明。

定理1.1的证明：令。上的特殊Lagrangian calibration，它是一个形式。令，我们已经知道，是一个n维的闭正流。令*表示Hodge星算子。当f为上光滑的多次下调和函数，由命题2.1知，

那么，

(2.1)

这里，，都是常数，根据Hodge星算子的定义，它们分别满足，。由于，。

因此，(2.1)中最后一个等式成立。

如果f不是光滑的，我们可以先将f光滑化，即将f与光滑核做卷积，记为。那么，可以证明随着，收敛到。现选取一个函数，则有

因此，当f为多次下调和分布时，也有

则有，

证毕。

3.多次下调和函数的下界估计

在 [8] 中，作者给出了极小模原理在中的经典的多次下调和函数中的推广。本节参考 [8] 中的一些方法，给出了多次下调和函数的一个下界估计。

定理1.2的证明：因为f为定义在上的多次下调和函数，那么，对所有的，有。

令，，这里，是切空间的一组基。则显然，且

(3.1)

又因为f在上是上半连续的，从而f在上是下调和的。由Poisson-Jensen公式(参考 [5] ，p. 138)，对，有

这里，是中单位球的表面积。再由Lelong数的定义(1.1)知，

(3.2)

因为，所以，

(3.3)

注意到，

如果上式等号右边的第二项不为零，则由于，只能是

从而，，这与(3.3)矛盾，故

(3.4)

现在固定实数及。任取实数，与t无关，但可以与有关。

由(3.4)知，是当时的高阶无穷小量，故我们可以定义集合

(3.5)

那么，对于中的每一点，都有，这意味着集合与f的极集没有交点。

令为在上的最小值。固定一点，则，由(3.2)可得

由于，由(3.5)知，从而

(3.6)

并且，由于关于t是单调递增的及(1.1)知，对，。因此，

(3.7)

由(1.1)及(1.2)知，。由于，，故由(3.1)知，

(3.8)

从而，由(3.2)得，

这里，第二，三，四个不等式分别由(3.6)，(3.7)，(3.8)所得。

取

(3.9)

则有，。

令及，则公式(1.3)成立。

令。由(3.5)知，对任意一点，都会相应的存在一个实数，满足，使得

(3.10)

从而，由(1.1)及(1.2)知，

这些小球构成集合的一个覆盖，由Vitalli覆盖引理知，在中，存在可数个互不相交的小球，记作，并且满足也能够覆盖集合。并且，由(3.9)及(3.10)知，

仍然取a为(3.9)中所定义的。由于

可得，

令，及，可得，

即(1.4)成立。故我们找到了可数个小球，对，有(1.3)成立，而且这些小球的半径满足(1.4)。由(1.5)知，，则(1.6)成立。

证毕。

基金项目

浙江省教育厅基金(No. Y201328697)，浙江省自然科学基金(No. LQ14A010003)。

文章引用

王 芳,康倩倩. Cⁿ上φ-闭正流的Lelong数
The Lelong Number of a φ-Positive Closed Current on Cⁿ[J]. 理论数学, 2016, 06(02): 103-110. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.62015

参考文献 (References)