ABSTRACT

In this paper, by using the fixed point theorems with lattice structure, we discuss the existence of multiple solutions for the following second-point boundary value problems of dynamics equation on a general time scale.
(1)
where, Let T be a closed subset of the interval, with, and the function is continuous, with. Combining the eigenvalues of the relevant linear operator, the existence of positive, negative and sign-changing solutions is obtained under the condition that the nonlinear term is sublinear.

Keywords:Time Scale, Sign-Changing Solution, Eigenvalue

测度链上动力方程两点边值问题多解的存在性

赵梦田，李红玉

山东科技大学数学与系统科学学院，山东 青岛

收稿日期：2016年7月8日；录用日期：2016年7月23日；发布日期：2016年7月28日

摘 要

利用格结构下的不动点定理，研究了一类测度链上动力方程的两点边值问题

(1)

其中，，T是上的闭集，。连续，且。文中结合相应算子的特征值，在非线性项满足次线性条件下，得到此边值问题具有正解，负解和变号解。

关键词 :测度链，变号解，特征值

1. 引言

测度链理论是由数学家Hilger提出的一新的分析理论，统一了离散分析与连续分析。测度链理论在昆虫种群模型、热传导、神经网络等方面有广泛应用。对于测度链上二阶动力方程边值问题正解存在性的研究，最早是由Erbe和Peterson于1999年最早开始研究，到目前已有许多成果出现，如文献 [1] [2] ，近年来，受到一些生态问题的影响，对微分方程变号解存在性问题的研究逐渐引起关注，如文献 [3] - [5] ，但是，目前还很少有研究测度链上边值问题变号解的存在性。

受文献 [4] - [9] 的启发，利用格结构下的不动点定理，研究了一类测度链上动力方程两点边值问题，我们先研究相应的线性算子的特征值的性质，在假设非线性项满足次线性条件下，得到边值问题(1)存在三个非平凡解：一个正解，一个负解和一个变号解。与文献 [1] [2] [10] 相比，本文采用的方法更新颖，所得的结论补充和改进了 [1] [2] [10] 中的结论。

2. 预备知识

设是Banach空间中的锥。中的半序由锥导出。若存在常数，使得，则称是正规锥。如果含有内点，即的内部，则称是体锥 [9] [11] 。

在半序下成为一个格，即对任意的，和都存在。对，，，分别称为的正部与负部，称为是的模 [7] [9] 。显然，，，，。

为了文中叙述方便，使用下列符号：，于是，，。

下面给出文中需要的定义和引理。

定义2.1：定义算子，

且满足。

设是上的拓扑空间，。若对任意，存在使得

则称在上可微，记作，的二阶导记作，。我们定义函数。

引理2.1：假设，则，

i) 若在点可微，则在点连续；

ii) 若，并且在点连续，则在点可微；

iii) 若可微，则可微，且

；

iv) 若是上的连续函数，那么存在原函数，且；

。

定义2.2 [7] [9] ：设，是一个非线性算子。如果存在，使得，，则称是格结构下的拟可加算子。

引理2.2 [7] [9] ：设是Banach空间，是中的正规体锥，全连续算子，并且是格结构下的拟可加算子。又设

i) 存在正有界线性算子，的谱半径，以及使得

；

ii) 存在正有界线性算子，的谱半径，以及使得

；

iii)，在的Frećhet导数存在，1不是的特征值，并且的对应于区间的所有特征值的代数重数和是非零偶数，，。则算子至少有三个非零不动点，其中至少有一个正不动点，一个负不动点和一个变号不动点。

3. 主要结果

令是的特解，并满足边值条件

引理3.1：存在常数使得。

证明：定义，由引理2.1可知

，

因此，。证毕。

令，具有范数，可知，是Banach空间。令，则是的正规体锥，且在导出的半序下成为一个格 [4] - [6] 。

对任意，令

定义算子

(2)

(3)

记，显然，，边值问题(1)的解等价于算子存在不动点。

引理3.2 [10] ：线性算子的的特征值是

，

且线性算子的所有正特征值的代数重数和为1。

为了应用方便，在本文中假设下列条件成立。

(H₁)：连续，，且；

(H₂)：，满足，其中按引理3.1定义；

(H₃)：存在，使得

，

其中按引理3.1定义。

引理3.3：i) 算子是全连续算子；

ii) 算子是全连续算子；

iii)是格结构下的拟可加算子。

证明：由文献 [5] [12] 可得i) ii)成立，由文献 [7] [9] 易得iii)成立。

定理3.1：设(H₁)，(H₂)，(H₃)成立，则边值问题(1)至少存在三个非平凡解，其中至少一个正解，一个负解和一个变号解。

证明：由(H₃)知，存在，使得

从而有

(4)

(5)

其中，。记，则。令，由引理3.3可知，是正有界线性算子，由引理3.2及谱半径定义得，

，

因此，，由(4)式可知，对，有

(6)

由(5)式知，对，有

(7)

由(6)和(7)两式知，引理2.2中的(i)，(ii)成立。

由(H₁)中的可以推出。由(H₂)知，，使得

，

则

。

因此

。

故

，

即

。其中是由(3)式定义的。由引理3.2可知是线性算子的特征值，则的特征值为，因为，从而1不是的特征值。令为的对应于区间的所有特征值的代数重数和，则是偶数。

由于，易得

(8)

由(8)式知，

(9)

由(H₁)知，。因此，

(10)

从而由(9) (10)知

，

于是引理2.2中的(iii)成立，由引理2.2可知，边值问题(1)至少存在三个非平凡解，其中至少一个正解，一个负解和一个变号解。

文章引用

赵梦田,李红玉. 测度链上动力方程两点边值问题多解的存在性
Existence of Multiple Solutions for Second Order Second-Point Boundary Value Problems of Dynamics Equation on Time Scale[J]. 理论数学, 2016, 06(04): 312-317. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.64046

参考文献 (References)