ABSTRACT

By virtue of Vieta theorem (or relationship between root and coefficient), we introduce the a-cut function, a-domain and a-discriminant of the quadratic curve, and then use them to give a new criterion to make the classification of general quadratic curves. Different from the classical method, this method does not depend on the concepts of rotation transformation, matrix, invariant, and the semi invariant. It only relies on the primary properties of a-cut function.

Keywords:Quadratic Curve, a-Cut Function, a-Domain and a-Discriminant

二次曲线分类新准则

关丽娜，曹丽华

深圳大学数学与统计学院，广东 深圳

收稿日期：2017年8月12日；录用日期：2017年8月27日；发布日期：2017年9月1日

摘 要

利用韦达定理(根与系数关系)引入一般二次曲线的a-割函数，a-定义域，以及a-判别式，并且利用它们给出了一般二次曲线分类新准则。与传统方法不同，此方法不依赖于旋转变换，矩阵，不变量和半不变量等概念，只依赖于a-割函数的简单性质。

关键词 :二次曲线，a-割函数，a-定义域，a-判别式

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

设二次曲线的方程为，其中且。对于曲线的分类，是解析几何课程的一个重要内容。许多经典的国内解析几何教材都是采用旋转变换和不变量法对进行分类。然而这些方法都涉及到矩阵、旋转变换、不变量和半不变量的概念，见文献 [1] - [15] 。此外，全国范围来看解析几何课程几乎都是放在大一学的。这些旋转变换、不变量与半不变量的概念对于大一新生来说显得很陌生。因此学生用这些方法掌握曲线的分类显得十分吃力。为了使大一新生便于掌握曲线的分类方法，我们需要在大一新生已有基础上建立起关于曲线的新分类准则。因此，我们以高中生熟知的韦达定理(在高中数学中，韦达定理和根与系数的关系是一回事，因此接下来的讨论中，我们只提韦达定理这个名字)为基础，得到了关于曲线的a-割函数，a-定义域，a-判别式。我们以a-割函数，a-定义域，a-判别式为工具，以几何直观为辅、代数证明为主，得到了曲线的另外一种分类方法。它不依赖矩阵、旋转变换、不变量和半不变量等概念，只依赖于二次函数的简单性质。为了行文的方便，我们将文献 [1] 中的关于曲线的分类方法给出(教材 [1] - [15] 对曲线的分类方法本质上是一致的，因此我们只需讨论文献 [1] 中的方法即可)，且将其记为定理A。为了完整叙述定理A，我们先约定一些记号。

记，，，。则由文献 [1] ，我们有

定理A [1] 若(1)，且，则为椭圆；(2)，且，则为空集；(3)，且，则为一点；(4)，且，则为双曲线；(5)，且，则为两条相交直线；(6)，且，则为抛物线；(7)，且，且，则为一对平行线；(8)，且，且，则为一条直线；(9)，且，且，则为空集。

2. 主要结果

接下来我们将给出曲线分类的新准则。由于不同时为零，因此不妨设。考虑直线，设直线与相交于两点，令，由韦达定理，我们有如下的定理1:

定理1 设直线与相交于两点，记，则有

证明 设两点坐标分别为，联立

消去并且整理可得。由韦达定理可得，

因此

证毕。

评注：由于不同时为零，因此我们亦可用同样方式对的情形进行讨论。另外，若同时为零，则此时必有。此时的曲线只能是双曲线，因此我们不对这种情形作细致讨论。

为了得到曲线的分类新准则，我们需要引入一些与曲线相关的概念。记

。设表示的元素个数；记。我们称为的a-割函数；称为的a-定义域；称为的a-判别式。

显然，刻画了直线与相交所成的弦长公式依赖于的变化规律。从的表达式可以看出，若，且时，是一次函数与幂函数的复合；若，则是一个一元二次函数与幂函数的复合；若，且，则是一个常数函数。对于，它也有明显的几何意义，它表示在轴的投影的像的范围。而在代数上刻画了的解的情况。由函数的简单性质，及，简单性质，我们可以大概判断的形状。比如：若，则与曲线没有交集，说明了此时的是一个空集；若，则说明了与曲线只有一个交点，这说明了曲线是一个单点集。

对于的情形比较复杂，但是我们依旧可以以简单的几何直观为辅、代数证明为主，建立此时的分类情形。比如此时若有，则函数具有以下的形式：

，

其中由所决定。此时由表达式可以看出它的图像是一条折线，因此此时的是双直线。

以上分析的情形是对于来说的。若，则对于的符号，它有三种情形：，，。若，则此时函数在上从左往右先减后增，再以几何直观为辅助，可以断定此时的曲线是一个双曲线。对于，的讨论方法类似。

总结以上的分析，我们有以下的定理2：

定理2 设，则若，则为空集；若，则为单点集；若，我们有以下两种情形：

1)：若，则为双直线(单直线看作两条重合的直线)；

2)：若，则

以下我们证明定理2与定理A是等价的，从而证明了定理2。但是从上述分析可知，我们得到的定理所用到的工具都很初等，只需要到高中数学的韦达定理和二次函数的性质即可。刚上大一的新生对韦达定理的应用是比较熟悉的，因为高考中的圆锥曲线对韦达定理是作要求的。因此，定理2的方法是在大一新生所具有的基础上所建立的，所以大一新生接受它们比较容易和自然。

证明 若，此时我们证明它与定理A中的(2)，(9)是等价的。这是因为若，则它等价于对于所有的，不等式

(*)

恒成立。这有两种情况：与。

若，则由(*)可知，必有，即，且有。简单计算表明

.(**)

另外，因此同号。故与同号。因此。这就证明了它与(2)是等价的。

若，则由于不等式(*)对于都成立，因此必有，否则的解是一个区间，这与矛盾，因此有。联立

(***)

若，则必有。此时(*)变为；另外一方面，此时；因此。

若。若，则必有。此时(*)变为，即。另外，此时。故。若，则必有。此时由(***)可得，，且有，故由(**)知。另外，由于，所以。因此， ，即

。从而，。这就证明了与定理A的(2)，(9)是等价的。

接着我们证明与定理A中的(3)是等价的。这是因为若，则不等式(*)只有一个解。那么它必为的形式。因此必有，且。由(*)可知，这等价于。因此此时与(3)是等价的。

最后我们证明，它与(1)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)是等价的。以下我们分情况进行讨论。

情形1：若，即时。由于，故此时方程(*)必有解，且变为。此时若，则必有，且有。类似于的讨论，它与(7)，(8)是等价的。若，则由(**)可知，这与(6)是等价的。

情形2：若，即，此时必有。若，则由(**)可知，此时它与(5)等价；若，则由(**)知，这与(4)等价。

情形3：若，即。此时由可得。由(**)可知，这等价于，它与(1)是等价的。综上所述，定理2的证明已经完成。

文章引用

关丽娜,曹丽华. 二次曲线分类新准则
New Criterion for Classification of Quadratic Curves[J]. 理论数学, 2017, 07(05): 373-377. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.75048

参考文献 (References)