Pure Mathematics
Vol.08 No.02(2018), Article ID:24033,4
pages
10.12677/PM.2018.82017
The Generalized Gronwall Inequalities and Related Notes
Zhihong Kong
Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Jinzhong Shanxi
Received: Feb. 20th, 2018; accepted: Mar. 7th, 2018; published: Mar. 14th, 2018
ABSTRACT
In this paper, the accurate generalized Gronwall inequalities are presented and proved. In addition, we pointed out the mistakes in the literature [1] and [2] .
Keywords:Generalized, Gronwall Inequalities, Integral
广义Gronwall不等式及相关注记
孔志宏
太原师范学院数学系,山西 晋中
收稿日期:2018年2月20日;录用日期:2018年3月7日;发布日期:2018年3月14日
摘 要
给出了(准确的)广义Gronwall不等式及其证明,并指出了文献 [1] 和 [2] 中的错误。
关键词 :广义,Gronwall不等式,积分
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1. 引言
Gronwall不等式是一个重要的积分不等式,在研究和论证诸如Cauchy问题解的唯一性、解对初值和参数的连续性和可微性等方面起着重要的作用。详见 [1] [2] [3] [4] [5] 等诸多文献。本文给出了(准确的)广义Gronwall不等式及其证明,并指出了文献 [1] 和 [2] 中的错误。
定理(广义Gronwall不等式)假设函数 满足
(1)
其中 且 。则有下面两个不等式成立:
(2)
和
(3)
2. 不等式(2)的另一种证法
令
(4)
则
上式两端同乘以 ,得
即
上式两端从0到t积分,得
由(4)知 ,于是
即
再次用已知条件 ,即得式(2)。
3. 不等式(3)的证明
在 的情形,因 ,所以 。 再由条件 ,我们有
(5)
式(5)两端从0到t积分,得
即有
由于 ,故当 时
从而
即
当 时,由上面的过程可推得 。
当 时,由所设条件(1)知, 。
此时式(3)中等号成立。又由于 ,因此当 时,式(3)显然成立。至此式(3)得证。
4. 相关注记
文献 [1] 中,式(2-33)中指数函数里 的积分区间是错误的,不是 ,应是 ;同时,其式(2-34)成立的条件:“如果,另外对 有 ”是不需要的,这一点,从上述式(3)的证明过程中可以看出;还有,其式(2-34)中 应改为 。
文献 [2] 中,b)的条件:“若 还是非负的单调不减函数”是不需要的,只需将结论中不等式右端的 改为 即可,或者,将上述条件中的“单调不减函数”的假设去掉,同样能保证其结论成立。
文章引用
孔志宏. 广义Gronwall不等式及相关注记
The Generalized Gronwall Inequalities and Related Notes[J]. 理论数学, 2018, 08(02): 132-135. https://doi.org/10.12677/PM.2018.82017
参考文献
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