ABSTRACT

Using Riccati-transform, we further study second-order nonlinear differential equations of the form ${\left(r\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)\right)}^{\prime }+p\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)+q\left(t\right)f\left(x\left(t\right)\right)=0.$ We get some new oscillate criteria.

Keywords:Generalized Riccati-Transform, Nonlinear, Differential Equations, Oscillate Criterion

二阶非线性微分方程的振动准则

苏新晓^*，戴丽娜，林全文

广东石油化工学院理学院数学系，广东 茂名

收稿日期：2018年4月19日；录用日期：2018年5月3日；发布日期：2018年5月10日

摘 要

利用Riccati-变换技巧，对二阶非线性微分方程 ${\left(r\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)\right)}^{\prime }+p\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)+q\left(t\right)f\left(x\left(t\right)\right)=0$ 作进一步的研究，给出了一些新的振动准则。

关键词 :广义Riccati变换，非线性，微分方程，振动准则

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1. 引言

考虑二阶非线性阻尼微分方程

${\left(r\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)\right)}^{\prime }+p\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)+q\left(t\right)f\left(x\left(t\right)\right)=0$ (E)

其中 $r,p,q\in C\left(\left[t_0,\infty \right)\right)$ ， $r\left(t\right)>0$ ， $t\ge t_0$ 。 $f\in C\left(\Re \right)$ ， $xf\left(x\right)>0$ ， $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ ， $x\ne 0$ 。

本文仅限于研究定义在 $\left[t_0,\infty \right)$ 上方程(E)存在的解。方程(E)的解称为振动的，如果它有任意大的零点；否则称它为非振动的。

方程(E)称为强次线性，如果

$0<{\displaystyle {\int }_{0^{+}}^{\epsilon }\frac{\text{d}v}{f\left(v\right)}},{\displaystyle {\int }_{0^{-}}^{-\epsilon }\frac{\text{d}v}{f\left(v\right)}}<\infty ,\forall \epsilon >0$ (1.1)

称为强超线性，如果

$0<{\displaystyle {\int }_{\epsilon }^{\infty }\frac{\text{d}v}{f\left(v\right)}},{\displaystyle {\int }_{-\epsilon }^{-\infty }\frac{\text{d}v}{f\left(v\right)}}<\infty ,\forall \epsilon >0$ (1.2)

近几年来，二阶微分方程振动理论及其应用受到很大的关注，出现大量的研究论文和专著，请参考文 [1] - [6] 。特别许多学者对方程(E)的解的振动性给出了一些有效的振动准则，其中，Rgovchenko [5] 虽然对方程(E)建立了解的振动准则，但是文中对函数f作了严格的要求，即要求函数f满足条件

$f^{\prime }\left(x\right)\ge k>0$

使得结果不能用于方程 $x^{″}\left(t\right)+q\left(t\right){\left|x\left(t\right)\right|}^{\alpha }\mathrm{sgn}x\left(t\right)=0,\alpha >0$ 。从而限制了它的适用范围。文 [6] 和文 [7] 建立了方程(E)新的振动准则，推广和改善了文 [5] 的结果。

本文目的同样在不要求 $f^{\prime }\left(x\right)\ge k>0$ 的条件下，建立方程(E)新的振动准则，利用不同的Riccati变换改善了文 [6] [7] 的结果，我们的结果推广和改善文 [5] [6] [7] [8] 相应结果，并以例子说明我们得到的结果的重要性，进一步说明了文 [6] [7] 的结果不能用于本文所给例子。

2. 主要结果

定义函数

$F_1\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{0^{+}}^x\frac{\text{d}v}{f\left(v\right)}},x>0\\ {\displaystyle {\int }_{0^{-}}^x\frac{\text{d}v}{f\left(v\right)}},x<0\end{array}$ (2.1)

$F_2\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_x^{\infty }\frac{\text{d}v}{f\left(v\right)}},x>0;\\ {\displaystyle {\int }_x^{-\infty }\frac{\text{d}v}{f\left(v\right)}},x<0.\end{array}$ (2.2)

考虑集合 $D=\left\{\left(t,s\right)|t\ge s\ge t_0\right\}$ 。函数 $H\in C\left(D,R\right)$ 称为属于X，记为 $H\in X$ ，如果

(A₁) $H\left(t,t\right)=0,t\ge t_0,H\left(t,s\right)>0,\left(t,s\right)\in D;$

(A₂) $\frac{\partial H}{\partial s}\left(t,t\right)=0,t\ge t_0;\frac{\partial H}{\partial s}\left(t,s\right)\le 0,\left(t,s\right)\in D;$

使用一些记号定义函数， $\rho \in C^1\left(\left[t_0,\infty \right),\left(0,\infty \right)\right)$ ，令

$P\left(t\right)=\frac{1}{r\left(t\right)}\left(\rho \left(t\right)p\left(t\right)+\rho \left(t\right)r^{\prime }\left(t\right)-{\rho }^{\prime }\left(t\right)r(t)\right)$

定理2.1：设函数f满足(1.1)式， $H\in X$ ，若存在正函数 $\rho \in C^1\left(\left[t_0,\infty \right),\left(0,\infty \right)\right)$ ，满足

$P\left(t\right)\ge 0,P^{\prime }\left(t\right)\le 0,t\ge t_0$ (2.3)

且

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{H\left(t,t_0\right)}{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}H\left(t,s\right)\rho \left(s\right)\frac{q\left(s\right)}{r\left(s\right)}\text{d}s}=\infty$ (2.4)

则方程(E)振动。

证设方程(E)有一个非振动解 $x\left(t\right)$ ，不妨设 $x\left(t\right)>0$ ，考虑广义Riccati变换

$w\left(t\right)=\rho \left(t\right)\frac{x^{\prime }\left(t\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}$ (2.5)

(2.5)式对t进行求导，并由(E)式，知

$\begin{array}{c}{w}^{\prime }\left(t\right)={\left(\frac{\rho \left(t\right)}{r\left(t\right)}\right)}^{\prime }\frac{r\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}+\frac{\rho \left(t\right)}{r\left(t\right)}{\left(\frac{r\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}\right)}^{\prime }\\ =\frac{{\rho }^{\prime }\left(t\right)r\left(t\right)}{r\left(t\right)}\frac{x^{\prime }\left(t\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}-\frac{\rho \left(t\right)r^{\prime }\left(t\right)}{r\left(t\right)}\frac{x^{\prime }\left(t\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}+\frac{\rho \left(t\right)}{r\left(t\right)}\frac{{\left(r\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)\right)}^{\prime }}{f\left(x\left(t\right)\right)}-\rho \left(t\right)\frac{{\left(x^{\prime }\left(t\right)\right)}^2{f}^{\prime }\left(x\left(t\right)\right)}{f^2\left(x\left(t\right)\right)}\\ =-\rho \left(t\right)\frac{q\left(t\right)}{r\left(t\right)}-\frac{1}{r\left(t\right)}\left(\rho \left(t\right)p\left(t\right)+\rho \left(t\right)r^{\prime }\left(t\right)-{\rho }^{\prime }\left(t\right)r\left(t\right)\right)\frac{x^{\prime }\left(t\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}-\rho \left(t\right)\frac{{\left(x^{\prime }\left(t\right)\right)}^2{f}^{\prime }\left(x\left(t\right)\right)}{f^2\left(x\left(t\right)\right)}\\ \le -\rho \left(t\right)\frac{q\left(t\right)}{r\left(t\right)}-\frac{1}{r\left(t\right)}\left(\rho \left(t\right)p\left(t\right)+\rho \left(t\right)r^{\prime }\left(t\right)-{\rho }^{\prime }\left(t\right)r\left(t\right)\right)\frac{x^{\prime }\left(t\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}\\ =-\rho \left(t\right)\frac{q\left(t\right)}{r\left(t\right)}-P\left(t\right)\frac{x^{\prime }\left(t\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}\end{array}$ (2.6)

不等式(2.6)两边同时乘以 $H\left(t,s\right)$ ，并对此从t₀到t对s进行积分，得

${\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}H\left(t,s\right)\rho \left(s\right)\frac{q\left(s\right)}{r\left(s\right)}\text{d}s}\le -{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}H\left(t,s\right)w^{\prime }\left(s\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}H\left(t,s\right)P\left(s\right)\frac{x^{\prime }\left(s\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}\text{d}s}$ (2.7)

利用条件(A₂)，有

$-{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}H\left(t,s\right)w^{\prime }\left(s\right)\text{d}s}=H\left(t,t_0\right)w\left(t_0\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^t\frac{\partial H}{\partial s}\left(t,s\right)w\left(s\right)\text{d}s}\le H\left(t,t_0\right)w\left(t_0\right)$ (2.8)

由条件(2.3)和积分中值定理知，对任意固定的 $s\ge t_0$ ，存在 $\zeta \in \left[t_0,s\right]$ ，使得

$-{\displaystyle {\int }_{t_0}^{s}P\left(v\right)\frac{x^{\prime }\left(v\right)}{f\left(x\left(v\right)\right)}\text{d}v}=-P\left(t_0\right){\displaystyle {\int }_{t_0}^{\zeta }\frac{x^{\prime }\left(v\right)}{f\left(x\left(v\right)\right)}\text{d}v}=P\left(t_0\right){\displaystyle {\int }_{x\left(\zeta \right)}^{x\left(t_0\right)}\frac{\text{d}\tau }{f\left(\tau \right)}}$ (2.9)

由(2.1)知，当 $x>0$ 时，有

${\displaystyle {\int }_{x\left(\zeta \right)}^{x\left(t_0\right)}\frac{\text{d}\tau }{f\left(\tau \right)}}<\{\begin{array}{l}0,当x\left(\zeta \right)>x\left(t_0\right),\\ {\displaystyle {\int }_{0^{+}}^{x\left(t_0\right)}\frac{\text{d}\tau }{f\left(\tau \right)},当x\left(\zeta \right)\le x\left(t_0\right),}\end{array}$

注意(2.1)式，于是(2.9)式可改成

$-{\displaystyle {\int }_{t_0}^{s}P\left(v\right)\frac{x^{\prime }\left(v\right)}{f\left(x\left(v\right)\right)}\text{d}v}=P\left(t_0\right){\displaystyle {\int }_{x\left(\zeta \right)}^{x\left(t_0\right)}\frac{\text{d}\tau }{f\left(\tau \right)}}\le P\left(t_0\right)F_1\left(x\left(t_0\right)\right)\equiv L_1,\forall s\ge t_0$ (2.10)

利用(2.10)式，得到

$\begin{array}{c}-{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}H\left(t,s\right)P\left(s\right)\frac{x^{\prime }\left(s\right)}{f\left(x\left(t\right)\right)}\text{d}s}={\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}H\left(t,s\right)\text{d}\left(-{\displaystyle {\int }_{t_0}^{s}P\left(v\right)\frac{x^{\prime }\left(v\right)}{f\left(x\left(v\right)\right)}\text{d}v}\right)}\\ =-{\displaystyle {\int }_{t_0}^t\frac{\partial H}{\partial s}}\left(t,s\right)\left(-{\displaystyle {\int }_{t_0}^{s}P\left(v\right)\frac{x^{\prime }\left(v\right)}{f\left(x\left(v\right)\right)}\text{d}v}\right)\text{d}s\\ \le L_1\left(-{\displaystyle {\int }_{t_0}^t\frac{\partial H}{\partial s}\left(t,s\right)\text{d}s}\right)=L_{1}H\left(t,t_0\right)\end{array}$ (2.11)

联合(2.7)，(2.8)和(2.11)时，得到

${\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}H\left(t,s\right)\rho \left(s\right)\frac{q\left(s\right)}{r\left(s\right)}\text{d}s}\le \left(w\left(t_0\right)+L_1\right)H\left(t,t_0\right)=LH\left(t,t_0\right)$

因此

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{H\left(t,t_0\right)}{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}H\left(t,s\right)\rho \left(s\right)\frac{q\left(s\right)}{r\left(s\right)}\text{d}s}\le L$

上式与条件(2.4)矛盾，同理 $x\left(t\right)<0$ 时也成立，定理2.1证毕。

定理2.2设函数满足(1.2)式， $H\in X$ ，若存在正函数，满足

(2.12)

且条件(2.4)成立，则方程(E)振动。

证设方程(E)有一个非振动解，如同定理2.1的证明一样，我们有(2.7)和(2.8)式对成立。

由条件(2.12)和积分中值定理，对任意固定的，存在，使得

(2.13)

由(2.2)知，当时

注意到(2.2)式，于是(2.13)式可改成

(2.14)

利用(2.14)式，得到

此时，(2.7)式成为

因此，

上式与条件(2.4)矛盾，同理当时结论也成立，定理2.2证毕。

推论2.1：当时，。若存在正函数，满足条件(2.12)和(2.4)式，则方程(E)振动。

证设方程(E)有一个非振动解，不妨设，定义函数

(2.15)

(2.15)式对t进行求导，并由(E)式，得

(2.16)

不等式(2.16)两边同时乘以，并对此从t₀到t对s进行积分，因此

(2.17)

利用条件(A₂)，有

(2.18)

由条件(2.12)和积分中值定理知，对任意固定的，存在，使得

(2.19)

利用(2.19)式，得到

(2.20)

联合(2.17)，(2.18)和(2.20)，有

因此

上式与条件(2,4)矛盾，同理当时结论也成立，证毕。

注1：在方程(E)中取。若存在正函数使得满足，且条件(2.4)成立，则方程(E)成立。

注2：当时，推论2.1推广和改善了文献 [1] [2] [3] 的相应结果。

3. 应用

例考虑二阶阻尼微分方程

(E1)

其中，我们取。且取，则对任意，我们有

且有

因此，

显然，方程(E₁)满足条件(2.12)和(2.4)，故由推论2.1知方程(E₁)振动。但是，文献 [5] [6] [7] [8] 中的振动准则都不能应用于方程(E₁)。

基金项目

国家自然科学基金(11271380)、茂名市科技局软科学项目(20140340; 2015038)。

文章引用

苏新晓,戴丽娜,林全文. 二阶非线性微分方程的振动准则
Oscillate Criterion for Second-Order Nonlinear Differential Equations[J]. 理论数学, 2018, 08(03): 208-214. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83026

参考文献