量子行列式及相关问题研究 Study on Quantum Determinant and Related Problems

doi:10.12677/PM.2018.84045

Pure Mathematics
Vol.08 No.04(2018), Article ID:25791,5 pages
10.12677/PM.2018.84045

Study on Quantum Determinant and Related Problems

Wanmin Zhuang, Lixia Ye^*

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Department of Mathematics, Zhejiang International Studies University, Hangzhou Zhejiang

Received: Jun. 18^th, 2018; accepted: Jul. 3^rd, 2018; published: Jul. 10^th, 2018

ABSTRACT

By generalizing the determinant of the product of ordinary matrix, the quantum determinant formula for the product of two quantum matrices is obtained. The generalized quantum determinant is defined, and the corresponding row and column expansion theorem and the generalized quantum determinant for matrix product are constructed.

Keywords:Quantum Determinant, Quantum Matrix, Matrix Product, Generalized Quantum Determinant

量子行列式及相关问题研究

庄婉敏，叶丽霞^*

浙江外国语学院数学系，浙江杭州

收稿日期：2018年6月18日；录用日期：2018年7月3日；发布日期：2018年7月10日

摘要

把普通矩阵乘积的行列式进行推广，得到量子矩阵乘积的量子行列式求法公式。定义了广义量子行列式，并构造了相应行列展开定理和矩阵乘积的广义量子行列式公式。

关键词 :量子行列式，量子矩阵，矩阵乘积，广义量子行列式

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1. 引言

在数学和物理研究中，行列式和矩阵经常进行各种形变和推广。2000年，潘庆年 [1] 定义了量子行列式，并把经典行列式的一些性质推广到量子行列式。文献 [2] 给出了行列式乘法的一个推广公式。文献 [3] 利用行列式按一行展开的性质，定义了一般矩阵的广义行列式。文献 [4] 给出了矩阵乘积的广义行列式的一般公式。基于这些研究，本文将 [2] 的结果推广至量子行列式的情形。同时，进一步定义量子矩阵的广义量子行列式，并把 [3] [4] 的结果推广至广义量子行列式的情形，构造相应行列展开定理及矩阵乘积的广义量子行列式公式。

2. 有关定义

定义1 [1] 设A是特征为零的域k上的一个代数，A为A上一个方阵

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

取定k上一个非零元q，定义A的量子行列式或q-行列式 ${| A |}_{q}$ 如下：

${| A |}_{q} = \sum_{σ \in S_{n}} {(- q)}^{- l (σ)} a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{n σ (n)}$ ,

其中 $l (σ)$ 表示σ的长度，所谓σ的长度指当σ分解成对换的乘积时，有一种分解使它能包含对换的个数极小，这个极小个数就称为σ的长度。

定义2 [1] 代数A上一个n阶方阵

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

称为n阶q-矩阵，如果对于任意的 $i < j$ ， $k < m$ ，

${\begin{cases} a_{i k} a_{i m} = q^{- 1} a_{i m} a_{i k}, \\ a_{i k} a_{j k} = q^{- 1} a_{j k} a_{i k}, \\ a_{i m} a_{j k} = a_{j k} a_{i m}, \\ a_{i k} a_{j m} - a_{j m} a_{i k} = (q^{- 1} - q) a_{i m} a_{j k} . \end{cases}$

换句话说，如果A的每一个2阶子矩阵都是q-矩阵，则称A为q-矩阵。

文献 [3] 利用行列式按一行展开的性质，定义了一般矩阵的广义行列式，类似可定义量子矩阵的广义量子行列式如下。

定义3 若矩阵 $A = (a_{i j})$ 是量子矩阵，定义其广义量子行列式 ${| A |}_{q}$ 如下：

若A是 $1 \times n (n \geq 1)$ 量子矩阵，则 ${| A |}_{q} = \sum_{i = 1}^{n} {(- q)}^{1 - i} a_{1 i}$ ；

若矩阵A为 $2 \times n (n \geq 2)$ 量子矩阵，则 ${| A |}_{q} = {\sum_{i = 1}^{n} a_{1 i} A}_{\hat{1} \hat{i}}$ ，其中 $A_{\hat{1} \hat{i}} = {(- q)}^{1 - i} M_{\hat{1} \hat{i}}$ ， $M_{\hat{1} \hat{i}}$ 是 $a_{1 i}$ 的余子式，即A中去掉第1行第i列后其他元素按原序组成的 $1 \times (n - 1)$ 矩阵的广义量子行列式；

若矩阵A为 $m \times n$ 量子矩阵，当 $n \geq m$ 时， ${| A |}_{q} = {\sum_{i = 1}^{n} a_{1 i} A}_{\hat{1} \hat{i}}$ ，其中 $A_{\hat{1} \hat{i}} = {(- q)}^{1 - i} M_{\hat{1} \hat{i}}$ ， $M_{\hat{1} \hat{i}}$ 是A中去掉第1行第i列后，其他元素按原序组成的 $(m - 1) \times (n - 1)$ 矩阵的广义量子行列式。当 $m > n$ 时， ${| A |}_{q} = {| A^{T} |}_{q}$ 。

3. 主要结果

把经典行列式的倍加性质推广，可得量子行列式的相应性质如下。

定理1 设A是代数A上的n阶量子矩阵，若A中的第 $i, i + 1, \dots, j - 1$ $(i < j)$ 行和第 $1, 2, \dots, n$ 列组成的矩阵 $A_{i, i + 1, \dots, j - 1}^{1, 2, \dots, n}$ 中不同行不同列的元素乘积都可交换，且b是代数A的中心元，则把A中第i行的b倍加到第j行后，量子行列式不变。

证明由定义1得，若 $i < j$ ，把A中第i行的b倍加到第j行后的量子行列式展开为

$b \sum_{σ \in S_{n}} {(- q)}^{- l (σ)} a_{1 σ (1)} \dots a_{i σ (i)} \dots a_{i σ (j)} \dots a_{n σ (n)} + \sum_{σ \in S_{n}} {(- q)}^{- l (σ)} a_{1 σ (1)} \dots a_{j σ (j)} \dots a_{n σ (n)}$ ,

考虑其一般项

${(- q)}^{- l (σ)} a_{1 σ (1)} \dots a_{i σ (i)} \dots a_{i σ (j)} \dots a_{n σ (n)}$ .

由条件得， ${(- q)}^{- l (σ)} a_{1 σ (1)} \dots a_{i σ (i)} \dots a_{i σ (j)} \dots a_{n σ (n)} = {(- q)}^{- l (σ)} a_{1 σ (1)} \dots a_{i σ (i)} a_{i σ (j)} \dots a_{n σ (n)}$ 相等。由定义2得， ${(- q)}^{- l (σ)} a_{1 σ (1)} \dots a_{i σ (i)} a_{i σ (j)} \dots a_{n σ (n)}$ 与 ${(- q)}^{- l (σ) - 1} a_{1 σ (1)} \dots a_{i σ (i)} a_{i σ (j)} \dots a_{n σ (n)}$ 能成对抵消，则量子行列式不变，结论成立。

文献 [2] 的定理2把行列式乘法公式 $| A X | = | A | | X |$ 推广，得到了更一般的结果。实际上，若把这个结果放到量子行列式上讨论，结论在一定条件下仍成立。

定理2 设矩阵 $A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m n} \end{matrix})$ 是代数A上的量子矩阵，且矩阵A与B的元素可交换，设 $d_{i j} = a_{i 1} b_{j 1} + a_{i 2} b_{j 2} + \dots + a_{i n} b_{j n} (i, j = 1, 2, \dots, n)$ ，作一个m阶量子行列式 $D = {| \begin{matrix} d_{11} & \dots & d_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ d_{m 1} & \dots & d_{m m} \end{matrix} |}_{q}$ ，则当 $m \leq n$ 时， $D = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m} \leq n} A_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} B_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}}$ ，其中 $A_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} = {| \begin{matrix} a_{1 i_{1}} & \dots & a_{1 i_{m}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m i_{1}} & \dots & a_{m i_{m}} \end{matrix} |}_{q}$ ， $B_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} = {| \begin{matrix} b_{1 i_{1}} & \dots & b_{1 i_{m}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m i_{1}} & \dots & b_{m i_{m}} \end{matrix} |}_{q}$ ；当 $m > n$ 时， $D = 0$ 。

证明为方便起见，只证明 $m = 2$ 时的情形，当 $m > 2$ 时，证明过程类似。

设A与B为 $2 \times n$ 矩阵且A与B的元素可交换， $D = {| \begin{matrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{matrix} |}_{q}$ 。若 $n < 2$ ，由定义1，2易得 $D = a_{11} b_{11} a_{21} b_{21} - q^{- 1} a_{11} b_{21} a_{21} b_{11} = 0$ 。若 $n \geq 2$ ，对列数n作数学归纳法。

当 $n = 2$ 时，由定义1及定义2得，

$\sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} \leq n} A_{i_{1} i_{2}} B_{i_{1} i_{2}} = a_{11} a_{22} b_{11} b_{22} + a_{12} a_{21} b_{12} b_{21} - q^{- 1} a_{11} a_{22} b_{12} b_{21} - q^{- 1} a_{12} a_{21} b_{22} b_{11} = D$ .

假设当 $n = k$ $(k > 2)$ 时，命题成立，即

$D = {| \begin{matrix} a_{11} b_{11} + \dots + a_{1 k} b_{1 k} & a_{11} b_{21} + \dots + a_{1 k} b_{2 k} \\ a_{21} b_{11} + \dots + a_{2 k} b_{1 k} & a_{21} b_{21} + \dots + a_{2 k} b_{2 k} \end{matrix} |}_{q} = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} \leq k} A_{i_{1} i_{2}} B_{i_{1} i_{2}}$ .

则当 $n = k + 1$ 时，

$\begin{matrix} D = {| \begin{matrix} (a_{11} b_{11} + \dots + a_{1 k} b_{1 k}) + a_{1 k + 1} b_{1 k + 1} & (a_{11} b_{21} + \dots + a_{1 k} b_{2 k}) + a_{1 k + 1} b_{2 k + 1} \\ (a_{21} b_{11} + \dots + a_{2 k} b_{1 k}) + a_{2 k + 1} b_{1 k + 1} & (a_{21} b_{21} + \dots + a_{2 k} b_{2 k}) + a_{2 k + 1} b_{2 k + 1} \end{matrix} |}_{q} \\ = {| \begin{matrix} a_{11} b_{11} + \dots + a_{1 k} b_{1 k} & a_{11} b_{21} + \dots + a_{1 k} b_{2 k} \\ a_{21} b_{11} + \dots + a_{2 k} b_{1 k} & a_{21} b_{21} + \dots + a_{2 k} b_{2 k} \end{matrix} |}_{q} + {| \begin{matrix} a_{11} b_{11} + \dots + a_{1 k} b_{1 k} & a_{1 k + 1} b_{2 k + 1} \\ a_{21} b_{11} + \dots + a_{2 k} b_{1 k} & a_{2 k + 1} b_{2 k + 1} \end{matrix} |}_{q} \\ + {| \begin{matrix} a_{1 k + 1} b_{1 k + 1} & a_{11} b_{21} + \dots + a_{1 k} b_{2 k} \\ a_{2 k + 1} b_{1 k + 1} & a_{21} b_{21} + \dots + a_{2 k} b_{2 k} \end{matrix} |}_{q} + {| \begin{matrix} a_{1 k + 1} b_{1 k + 1} & a_{1 k + 1} b_{2 k + 1} \\ a_{2 k + 1} b_{1 k + 1} & a_{2 k + 1} b_{2 k + 1} \end{matrix} |}_{q} \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} \leq k} A_{i_{1} i_{2}} B_{i_{1} i_{2}} + A_{1 k + 1} B_{1 k + 1} + \dots + A_{k k + 1} B_{k k + 1} = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} \leq k + 1} A_{i_{1} i_{2}} B_{i_{1} i_{2}} \end{matrix}$

故结论成立。

文献 [3] 的命题1给出了广义行列式的展开式，文献 [4] 进一步得出矩阵乘积的广义行列式。本文将这些结果推广至广义量子行列式情形，得定理3、4及推论1。

定理3 设矩阵A是代数A上的 $m \times n (n \geq m)$ 量子矩阵，则A的广义量子行列式为

${| A |}_{q} = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m} \leq n} {(- q)}^{- l (σ) - [i_{1} + i_{2} + \dots + i_{m} - \frac{m (m + 1)}{2}]} a_{1 i_{σ (1)}} a_{2 i_{σ (2)}} \dots a_{m i_{σ (m)}}$ ,

其中 $σ \in S_{m}$ 。

证明对矩阵A的行数m作数学归纳法。

当 $m = 1$ 时，由定义3， ${| A |}_{q} = \sum_{i = 1}^{n} {(- q)}^{1 - i} a_{1 i}$ ，结论成立。

假设矩阵A的行数小于m时，结论成立。则当行数为m时，由定义3， ${| A |}_{q} = {\sum_{i = 1}^{n} a_{1 i} A}_{\hat{1} \hat{i}}$ 且对任意的 $1 \leq i_{1} \leq n$ ， $a_{1 i_{1}} A \hat{1} {\hat{i}}_{1} = {(- q)}^{1 - i_{1}} a_{1 i_{1}} M \hat{1} {\hat{i}}_{1}$ ，结合定义1得，

$\begin{matrix} a_{1 i_{1}} A \hat{1} {\hat{i}}_{1} = {(- q)}^{1 - i_{1}} a_{1 i_{1}} \sum_{1 \leq i_{2} < \dots < i_{m} \leq n} {(- q)}^{- l (σ (2), \dots, σ (m)) - [i_{2} + \dots + i_{m} - \frac{m (m - 1)}{2} - (m - 1 - m_{1})]} a_{2 i_{σ (2)}} \dots a_{m i_{σ (m)}} \\ = \sum_{1 \leq i_{2} < \dots < i_{m} \leq n} {(- q)}^{- l (σ) - [i_{1} + i_{2} + \dots + i_{m} - \frac{m (m + 1)}{2} + m_{1}]} a_{1 i_{1}} a_{2 i_{σ (2)}} \dots a_{m i_{σ (m)}} \end{matrix}$ ,

其中 $σ \in S_{m}$ ， $i_{2}, \dots, i_{m} \neq i_{1}$ ， $i_{σ (1)} = i_{1}$ ， $m_{1}$ 为 $i_{2}, i_{3}, \dots, i_{m}$ 中小于 $i_{1}$ 的个数，则

${| A |}_{q} = \sum_{i = 1}^{n} a_{1 i} A_{\hat{1} \hat{i}} = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m} \leq n} {(- q)}^{- l (σ) - [i_{1} + i_{2} + \dots + i_{m} - \frac{m (m + 1)}{2}]} a_{1 i_{σ (1)}} a_{2 i_{σ (2)}} \dots a_{m i_{σ (m)}}$ .

由定理3易得以下推论成立。

推论1 设矩阵A是代数A上的 $m \times n (n \geq m)$ 量子矩阵，则A的广义量子行列式为

${| A |}_{q} = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m} \leq n} {(- q)}^{- [i_{1} + i_{2} + \dots + i_{m} - \frac{m (m + 1)}{2}]} M_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}}$ ,

其中 $M_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}}$ 是A的第 $1, 2, \dots, m$ 行和第 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{m}$ 列组成的m阶矩阵的量子行列式。

定理4若 $A = {(a_{i j})}_{m n}$ 为代数A上 $m \times n (m < n)$ 量子矩阵， $B = {(b_{i j})}_{n s}$ 为代数A上 $n \times s (m < s)$ 量子矩阵，则乘积AB的广义量子行列式为

${| A B |}_{q} = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m} \leq s} {(- q)}^{- [i_{1} + i_{2} + \dots + i_{m} - \frac{m (m + 1)}{2}]} {| A B_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} |}_{q}$ ,

其中 $i_{1} i_{2} \dots i_{m}$ 为 $1 ~ s$ 中m个元素按自然顺序组成的m级排列， $B_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}}$ 为B中第 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{m}$ 列构成的 $n \times m$ 子矩阵。

证明由推论1知，

${| A B |}_{q} = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m} \leq n} {(- q)}^{- [i_{1} + i_{2} + \dots + i_{m} - \frac{m (m + 1)}{2}]} M_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}}$ ,

其中 $M_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}}$ 为乘积AB的第 $1, 2, \dots, m$ 行和第 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{m}$ 列组成的m阶矩阵的量子行列式。由矩阵乘法的定义得 $M_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} = {| A B_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} |}_{q}$ ，则结论成立。

文章引用

庄婉敏,叶丽霞. 量子行列式及相关问题研究
Study on Quantum Determinant and Related Problems[J]. 理论数学, 2018, 08(04): 340-344. https://doi.org/10.12677/PM.2018.84045

参考文献

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2. 孙杰, 孙多. 行列式乘法的推广及应用[J]. 扬州教育学院学报, 2000(3): 76-77.

3. 王立志. 一般矩阵的广义行列式[J]. 山西大学学报(自然科学版), 1995(3): 254-258.

4. 郭忠海, 王立志. 关于矩阵乘积的广义行列式[J]. 忻州师范学院学报, 2003, 19(2): 46-48.

NOTES

^*通讯作者。

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