ABSTRACT

Let G be a finite group. A subgroup H of G is called nearly S-permutable subgroup in G if for every prime p with $\left(p,\left|H\right|\right)=1$ and for every subgroup K of G containing H the normalizer $N_K\left(H\right)$ contains some Sylow p-subgroup of K. A subgroup H of G is said to be weakly NS^* -permutable subgroup of G if there exists a subnormal T of G such that G = HT, and $H\cap T\le H_{nG}$ , where $H_{nG}$ is the subgroup of H generated by all those subgroups of H which are nearly S-permutable in G. In this article, we investigate the structure of G under the assumption that some subgroups are weakly NS^*-permutable subgroups of G.

Keywords:Nearly S-Permutable Subgroups, Weakly NS^*-Permutable Subgroups, Supersolvability

弱NS^*-置换子群对有限群超可解的影响

吴湘华

广西师范大学数学与统计学院，广西 桂林

收稿日期：2019年9月16日；录用日期：2019年10月4日；发布日期：2019年10月11日

摘 要

设G是有限群，H是G的一个子群。称H是G的几乎S-置换子群，若 $H\le K\le G$ 且对于 $\left(p,\left|H\right|\right)=1$ 的任意素数p，使得正规化子 $N_K\left(H\right)$ 包含K的某些Sylow p-子群。称H是G的弱NS^*-置换子群，若存在G的一个次正规子群T，使得 $HT=G$ 且 $H\cap T\le H_{nG}$，其中 $H_{nG}$ 由包含在H中的所有几乎S-置换子群生成。本文假设G的某些子群是弱NS^*-置换子群的前提下，得到G的相关结构定理。

关键词 :几乎S-置换子群，弱NS^*-置换子群，超可解

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文使用通常的记号及术语，具体可参考文献 [1] [2] [3] 。G表示有限群， $\left|G\right|$ 表示G的阶， $\pi \left(G\right)$ 表示 $\left|G\right|$ 的所有素因子集合， $G_p$ 表示G的一个Sylow p-子群， $H_G$ 表示H在G中的核。

设 $F$ 是一类群，称 $F$ 是一个群系，若(i) 当 $G\in F$ 且 $H⊵G$，则 $G/H\in F$ ；(ii) 对G的所有正规M和N，当G/M和G/N都在 $F$ 中，则 $G/\left(M\cap N\right)$ 在 $F$ 中。群系 $F$ 称为饱和的当且仅当 $G/\Phi \left(G\right)\in F$。显然，超可解群系是饱和群系。

假设H是G的一个子群，称H在G中是S-置换的 [4] ，若对于G的任意Sylow子群P满足 $HP=PH$。称H是G的弱S-置换子群 [5] ，若存在G的一个次正规子群T，使得 $HT=G$ 且 $T\cap T\le H_{sG}$，其中 $H_{sG}$ 是包含在H中G的最大S-置换子群。2007年Skiba在文献 [5] 中研究了当G的一般性子群皆是弱S-置换子群时群G的相关结构，并给出了两个重要定理。最近文献 [6] 对此类子群继续做了进一步的研究。2012年Khaled. A. Al-Sharo在文献 [7] 指出：设H在G中是S-置换的，若 $H\le K\le G$ 且对于 $\left(p,\left|H\right|\right)=1$ 的任意素数p，则正规化子 $N_K\left(H\right)$ 包含K的所有Sylow p-子群。因此，进一步提出了一类几乎S-置换子群。称H是G的几乎S-置换子群，若 $H\le K\le G$ 且对于 $\left(p,\left|H\right|\right)=1$ 的任意素数p，使得正规化子 $N_K\left(H\right)$ 包含K的某些Sylow p-子群。

本文作为对弱S-置换子群和几乎S-置换子群的进一步深化和推广，介绍一类新的子群如下：

定义1.1 设G是有限群，H是G的一个子群。称H在G中是弱NS^*-置换的，若存在G的一个次正规子群T，使得 $HT=G$ 且 $H\cap T\le H_{nG}$，其中 $H_{nG}$ 是包含在H中G的最大几乎S-置换子群。

可以知道S-置换子群，几乎S-置换子群以及弱S-置换子群都是弱NS^*-置换子群，但是反过来是不真的。

例1.1 置换群 $S_4$ 的2阶子群 $\langle \left(12\right)\rangle$ 是 $S_4$ 的是弱NS^*-置换子群。但是对于 $S_4$ 的一个包含 $\langle \left(12\right)\rangle$ 的6阶子群K，其正规化子 $N_K\left(\langle \left(12\right)\rangle \right)$ 不包含K的任何Sylow 3-子群，因此， $\langle \left(12\right)\rangle$ 不是几乎S-置换子群，也不是S-置换子群，从而也不是弱S-置换子群。

具体而言，本文得到了如下的一个主要定理：

定理1.1 设 $F$ 是一个饱和群系，包含所有的超可解群。G是有限群，且存在G的一个正规子群E，使得 $G/E\in F$。若E的每个非循环的Sylow子群P有一个子群D，满足 $1<\left|D\right|<\left|P\right|$，且P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群及 $2\left|D\right|$ 阶子群(当 $\left|P:D\right|>2$，且P为非交换2-群)在G中若无超可解补则是G的弱NS^*-置换子群，则 $G\in F$。

本文的结构如下，第1节是背景介绍，在第2节中，给出相关的预备定理，在第3节中给出主要定理的证明。

2. 预备定理

引理2.1 [7] 设H在G中是几乎S-置换的，N是G的正规子群。

1) HN在G中是几乎S-置换的；

2) 若H是一个p-群，则 $H\cap N$ 在G中是几乎S-置换；

3) 若H是一个p-群，则HN/N在G/N中是几乎S-置换；

4) 假设对于某个素数p，有 $\left|H\right|=p^n$，则 $H\le {\text{Ο}}_p\left(G\right)$。

设p是一个素数，称G是p-闭的，若在G中有一个Sylow p-子群是正规的。

引理2.2 [5] 设G是有限群，p、q是 $\left|G\right|$ 的不同的素因子。令PQ分别为G的Sylow p-子群和Sylow q-子群，若对于P的任意极大子群(P非循环群)在G中都有是q-闭的补，则Q是G的正规子群。

引理2.3 [1] 设G是有限群， $H\le K\le G$，$M\le G$。

1) 若H、M都是G的次正规子群，则 $\langle H,M\rangle$ 是G的次正规子群；

2) 若H是G的正规子群，则K/H在G/H中次正规当且仅当则K在G中次正规；

3) 若H是G的正规子群，且 ${\left|G:H\right|}_p=1$，则H包含G所有的Sylow p-子群(见文献 [8] )。

引理2.4 设G是有限群，H、 都是G的子群，且 $H\le K\le G$。

1) $H_{nG}$ 是G的一个几乎S-置换子群，且 $H_{sG}\le H_{nG}$ ；

2) $H_{nG}\le H_{nK}$ ；

3) 若H是G的正规子群，则 ${\left(K/H\right)}_{n\left(G/H\right)}=K_{nG}/H$。

证 1)~3)都是显然的。

引理2.5 设G是有限群，H、K都是G的子群，且 $H\le K\le G$。

1) 若H在G中是几乎S-置换的，则H在G中是弱NS^*-置换的；

2) 若H是G的正规子群，且K在G中是弱NS^*-置换的，则K/H在G/H中是弱NS^*-置换的；

3) 若H在G中是弱NS^*-置换的，则H在K中是弱NS^*-置换的；

4) 若H是G的正规子群，则EH/H在G/H中是弱NS^*-置换的当且仅当H在K中是弱NS^*-置换的，且 $\left(\left|E\right|,\left|H\right|\right)=1$ ；

5) 假设H是一个p-群，且H在G中不是几乎S-置换的。若H在G中是弱NS^*-置换的，那么存在G的一个正规子群M，使得 $\left|G:M\right|=p$ 且 $G=HM$。

证 1) 显然；

2) 根据假设可知，存在G的一个次正规子群T，使得 $KT=G$ 且 $K\cap T\le K_{nG}$。由引理2.3 (1)可知，HT是G的次正规子群。再由引理2.3 (2)，HT/H是G/H的次正规子群。另一方面， $\left(HT/H\right)\left(K/H\right)=G/H$，且依引理2.4 (3)， $\left(HT/H\right)\cap \left(K/H\right)=\left(HT\cap K\right)/H=H\left(T\cap K\right)/H\le H{K}_{nG}/H=K_{nG}/H={\left(K/H\right)}_{n\left(G/H\right)}$，因此K/H在G/H中是弱NS^*-置换的；

3) 不妨假设T是G的一个次正规子，满足 $HT=G$ 且 $H\cap T\le H_{nG}$，从而有 $K=K\cap TH=H\left(K\cap T\right)$。由引理2.4 (2)， $\left(K\cap T\right)\cap H\le H_{nG}\le H_{nK}$，故H是K的弱NS^*-置换子群；

4) 由假设，存在G的一个次正规子群T，使得 $ET=G$ 且 $E\cap T\le E_{nG}$。显然， $H\le T$，因此 $T\cap HE=$ $H\left(T\cap E\right)\le H\left(E_{nG}\right)\le {\left(HE\right)}_{nG}$，故HE是G的弱NS^*-置换子群。再由(2)知EH/H在G/H中是弱NS^*-置换的。反过来则是显然的；

5) 根据假设，存在G的一个次正规子群T，使得 $HT=G$ 且 $H\cap T\le H_{nG}\ne H$。因此，存在G的一个非平凡的正规子群G，使得 $T\le K$。由于G/K是一个p-群，故存在G的一个正规子群M，使得 $\left|G:M\right|=p$ 且 $G=HM$。

引理2.6 设N是有限群G的一个初等交换正规子群。假设N有一个子群D，满足 $1<D<N$，若N的每个 $\left|D\right|$ 阶子群在GK中皆是弱NS^*-置换的，则存在N的某些极大子群在G中是正规的。

证 假设引理不真，令H是N的一个 $\left|D\right|$ 阶子群。不妨先设H在G中不是几乎S-置换的。根据假设，H是G的弱NS^*-置换子群。再由引理2.5 (5)知，存在G的一个正规子群T，使得 $\left|G:T\right|$ 为素数，且 $G=HT$。由此得 $G=NT$，从而 $T\cap N$ 是N的极大子群且在G中正规，矛盾。因此对N的每个 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中都是几乎S-置换的。设M为N的一个极大子群，则M在G中是几乎S-置换的。假设N是一个p-群，从而M也是p-群，即有 $\left|G:N_G\left(M\right)\right|=p^a$ 对某个自然数a。令 $\left\{M_1,M_2,\cdots ,M_t\right\}$ 是N的所有极大子群的集合，则有p整除t，这与文献 [9] (III, 8.5 (d))矛盾。

引理2.7 设 $F$ 是一个饱和群系，包含所有的幂零群。G是有限群，记G的可解 $F$ -上根 $P=G^F$。假设G的每个不包含P的极大子群皆属于 $F$，则P为p-群。此外，若P的每个素数阶循环子群或4阶循环群(若 $p=2$，且P非交换)在G中若无超可解补则是G的弱NS^*-置换的，那么 $\left|P/\Phi \left(P\right)\right|=p$。

证 根据文献 [10] (VI，定理24.2)， $P=G^F$ 为p-群，且有以下两个性质：(i) $P/\Phi \left(P\right)$ 是P的一个G-主因子；(ii) P的方次数等于p或4 (若 $p=2$，且P不交换)。假设P的每个素数阶循环子群或4阶循环群(若 $p=2$ 且P不交换)在G中若无超可解补则是G的弱NS^*-置换的。首先记 $\Phi =\Phi \left(P\right)$，$L=\langle x\rangle$，令 $X/\Phi$ 是 $P/\Phi$ 的素数阶子群，其中 $x\in X\backslash \Phi$。于是可知 $\left|L\right|=p$ 或 $\left|L\right|=4$。根据假设，要么L在G中有一个超可解补子群T，要么L是G的弱NS^*-置换子群。不妨先考虑前者，假设 $T\ne G$，那么由 $\Phi \le \Phi \left(G\right)$，可知 $T\Phi \ne G$。另一方面，由于 $LT=G$，即 $\left(T\Phi /\Phi \right)\left(L\Phi /\Phi \right)=\left(T\Phi /\Phi \right)\left(X/\Phi \right)=G/\Phi$，因 $\left|G/\Phi :T\Phi /\Phi \right|=p$。又因为 $G/\Phi =\left(P/\Phi \right)\left(T\Phi /\Phi \right)$，从而 $\left|P/\Phi \left(P\right)\right|=p$。再考虑后者，假设L在G中是弱NS^*-置换的，如果L在G中不是几乎S-置换的，那么由引理2.5 (5)，存在G的一个正规子群T，使得 $\left|G:T\right|=p$，且 $G=LT$。显然， $L⊈T$。另一方面，由于G/T是p-群，从而由子群P的定义，我们有 $L\le P\le T$，这是一个矛盾。因此L在G中是几乎S-置换的，再由引理2.1， $L\Phi /\Phi =X/\Phi$ 在 $G/\Phi$ 中是几乎S-置换的，从而由(i)及引理2.6，即可得 $\left|P/\Phi \left(P\right)\right|=p$。

引理2.8 [5] 设 $F$ 是一个饱和群系，包含所有的超可解群，G是有限群，且存在G的一个正规子群E，使得 $G/E\in F$。若E循环，则 $G\in F$。

引理2.9 [10] 设p是一个素数，则包含所有p-闭群的群系是饱和的。

3. 主要定理的证明

证 假设引理不真，并设 $\left(G,E\right)$ 为极小阶反例，我们分以下步骤导出矛盾。

步骤1 若X是E的霍尔子群，则 $\left(X,X\right)$ 满足定理假设。若X还是G的正规子群，则 $\left(G/X,E/X\right)$ 也满足定理假设。

先设X是E的霍尔子群，P是E的非循环Sylow子群。那么根据假设，P有一个子群D，满足 $1<\left|D\right|<\left|P\right|$，且P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群及 $2\left|D\right|$ 阶子群(若P是非交换2-群，且 $\left|P:D\right|>2$ )在G中要么有超可解补，要么是弱NS^*-置换的。令H是P的一个子群，使得 $\left|H\right|=\left|D\right|$。不妨先考虑前者，首先设T是H在G中的一个超可解补，从而有 $HT=G$，因此 $X=X\cap HT=H\left(X\cap T\right)$，继而 $X\cap T$ 是H在X中的超可解补。再假设H在G中是弱NS^*-置换的，那么由引理2.5 (3)易知，H在X中也是弱NS^*-置换的。于是由此， $\left(X,X\right)$ 满足定理假设。

现在设X既是E的霍尔子群，也是G的正规子群，显然， $\left(G/X\right)/\left(E/X\right)\cong G/X\in F$。我们令M/X是E/X的非循环Sylow p-子群，其p是 $\left|E/X\right|$ 的一个素因子。再设 $PX=M$，其中P为M的Sylow p-子群。于是P是E的非循环Sylow子群。根据定理假设，P有一个子群D，满足 $1<\left|D\right|<\left|P\right|$，且P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群及 $2\left|D\right|$ 阶子群(若P是非交换2-群，且 $\left|P:D\right|>2$ )在G中要么有一个超可解补子群T，要么是弱NS^*-置换的。不妨令K/X是M/X的一个子群，使得 $\left|K/X\right|=\left|D\right|$，从而有 $K=\left[X\right]H$，且H为K的Sylow p-子群。显然， $\left|H\right|=\left|D\right|$。因此，由引理2.5 (4)， $K/X=HX/X$ 在G/X中要么有超可解补子群 $TX/X\cong T/T\cap X$，要么是弱NS^*-置换的，从而 $\left(G/X,E/X\right)$ 满足定理假设。

步骤2 若X是E的正规霍尔子群，则 $X=E$。

显然X是E的特征子群，从而X是G的正规子群。由步骤1可知， $\left(G/X,E/X\right)$ 满足定理假设。但由于G的极小性选取，即有 $G/X\in F$，这表明 $\left(G,X\right)$ 满足定理假设，再由 $\left(G,E\right)$ 的极小性，得 $X=E$。

步骤3 若p是 $\left|E\right|$ 的最小素因子，则存在E的Sylow p-子群P是非循环的。

假设P是循环的，那么根据文献 [9] (IV, 2.8)，得到E是p-幂零的，这意味着 $G\in F$，矛盾。从而由步骤2，有 $P=E$。由假设 $G/E\in F$，再根据引理2.8，有 $G\in F$，亦矛盾，因此步骤3成立。

现在不妨讨论E的非循环的Sylow p-子群P。根据假设，P有一个子D，满足 $1<\left|D\right|<\left|P\right|$，且P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群及 $2\left|D\right|$ 阶子群(若P是非交换2-群，且 $\left|P:D\right|>2$ )要么在G中有超可解补 ，要么是G的弱NS^*-置换的。

步骤4 若 $\left|P:D\right|>p$，那么P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中若无超可解补则是G的几乎S-置换子群；若P是一个非交换2-群，并且 $\left|P:D\right|>2$，那么P的每个 $2\left|D\right|$ 阶子群H在G中若无超可解补则是G的几乎S-置换子群。

不妨先假设P的 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中无超可解补，亦非G的几乎S-置换子群。那么根据引理2.5 (5)，存在G的一个正规子群M，使 $\left|G:M\right|=p$ 且 $G=HM$，从而有 $G/E\cap M\in F$。因此，由引理2.5， $\left(G,E\cap M\right)$ 满足定理假设。另一方面， $\left|G\right|\left|E\cap M\right|<\left|G\right|\left|E\right|$，这与 $\left(G,E\right)$ 的极小性矛盾。从而P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。

同理可得，若P是非交换2-群，且 $\left|P:D\right|>2$，则P的每个 $2\left|D\right|$ 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。

步骤5 对于G的任意含于P中的极小正规子群N，满足 $\left|N\right|\le \left|D\right|$。

如若不然，那么 $\left|D\right|<\left|N\right|$。若N的 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中有超可解补子群T，那么显然有 $TN=G$ 且 $T\ne G$。由此 $N\cap T$ 为N的真子群，且 $N=N\cap HT=H\left(N\cap T\right)$。显然这时候有 $N\cap T⊵G$，这与N的极小性矛盾。因此，N的每个 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中是弱NS^*-置换的。从而据引理2.6可知存在N的极大子群在G中是正规的，这是一个矛盾，因此步骤5成立。

步骤6 若 $E=G$ 或者 $E=P$，则 $\left|D\right|>p$。

首先，若 $E=G$，则由步骤2可知，G不是p-幂零的。因此根据文献 [9] (V, 5.4)，G有一个p-闭的Schmidt子群。从而由引理2.7，我们有 $\left|D\right|>p$。再若 $E=P$，考虑G的一个不包含E的极大子群M，则 $G/E\cong M/M\cap E\in \mathcal{F}$。假设 $\left|D\right|=p$，且令 $L=G^F$，则 $L\le E$，又由引理2.7， $\left|L/\Phi \left(L\right)\right|=p$。根据引理2.8， $G/\Phi \left(L\right)\in F$，这使得 $L\le \Phi \left(L\right)$，故 $L=\Phi \left(L\right)$，矛盾，因此 $\left|D\right|>p$。

步骤7 若 $E=G$ 或者 $E=P$，N是包含在E中的G的极小交换正规子群，则 $\left(G/N,E/N\right)$ 也满足定理假设且 $G/N\in F$。

当 $\left|N\right|<\left|D\right|$ 或者 $\left|P:D\right|=p$ 时，这是显然的。因此我们令 $\left|N\right|=\left|D\right|$ 且 $\left|P:D\right|>p$。

由步骤4我们知道，P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的；若P是非交换2-群，且 $\left|P:D\right|>2$，则P的每个 $2\left|D\right|$ 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。

由步骤6可知，N非循环，因此G的每个包含N的子群也是非循环的。设 $N\le K\le P$ 且 $\left|K:N\right|=p$，于是K非循环，从而存在K的一个极大子群M使得 $M\ne N$。若M在G中有超可解补，那么K在G中也有超可解补。反之，若M在G中没有超可解补，那么M在G中是几乎S-置换的，显然 $K=MN$ 在G中也是几乎S-置换的。因此，若P/N交换，则由引理2.5 (2)和(4)，G/N满足定理假设。

现在假设P/N是非交换2-子群，从而P是非交换2-子群，因此P的每个 $2\left|D\right|$ 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。设 $N\le L\le P$ 且 $\left|L:N\right|=4$，则如上同理， $\left(G/N,E/N\right)$ 满足定理假设。

由上，步骤7成立。

步骤8 若 $E=G$，则至少存在P的一个极大子群在G中没有超可解补。

这由步骤2和引理2.2可直接得到。

步骤9 E是可解的。

根据步骤1以及G的极小性选取，我们只需考虑 $E=G$。再根据步骤7，要证E是可解的，只需证 $P_G\ne 1$。

首先假设 $\left|P:D\right|=p$，则由步骤8，至少存在P的一个极大子群M在G中没有超可解补。若 $M_{nG}=1$，则由定理假设，M在G中有一个次正规补子群T。显然，据引理2.5 (3)， $\left(T,T\right)$ 满足定理假设(事实上，T的Sylow p-子群都是素数阶循环群)，因此T是超可解的，这与M的选取相矛盾。所以 $M_{nG}\ne 1$，由引理2.1 (4)，有 $M_{nG}\le {\text{Ο}}_P\left(G\right)$，故 $P_G\ne 1$。

最后假设 $\left|P:D\right|>p$，则由步骤4，P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。因此根据引理2.1 (4)，我们不妨假设P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中都有超可解补，这使得P的每个极大子群 在G中都有超可解补，与步骤8矛盾，从而步骤9成立。

步骤10 设q为 $\left|E\right|$ 的最大的素因子，那么E是q-闭的。

根据步骤1，只需要讨论 $E=G$。由步骤9，E是可解的，以及步骤1中对于G的任意霍尔子群X， $\left(X,X\right)$ 满足定理假设。因此，不妨假设 $\left|G\right|=p^a{q}^b$，其中a，b为任意的自然数。

假设G不是q-闭的，那么由步骤7及G的极小性选取，使得G的每个含于P中的极小正规子群N，都有G/N是超可解的。因此，根据引理2.9， $N⊈\Phi \left(G\right)$，并且N是含于P中的G的唯一的极小正规子群。我们接下来要说明 $N={\text{Ο}}_P\left(G\right)$。

事实上，令M为G中一个极大子群，使得 $G=\left[N\right]M$，从而有 ${\text{Ο}}_P\left(G\right)={\text{Ο}}_P\left(G\right)\cap NM=N\left({\text{Ο}}_P\left(G\right)\cap M\right)$。由于 ${\text{Ο}}_P\left(G\right)\le F\left(G\right)\le C_G\left(N\right)$，这使得 ${\text{Ο}}_P\left(G\right)\cap M$ 是G的一个正规子群，从而推得 ${\text{Ο}}_P\left(G\right)\cap M=1$，即有 $N={\text{Ο}}_P\left(G\right)$。

现在继续考虑 $\left|P:D\right|$。

若 $\left|P:D\right|=p$，则对于P的每个包含N的极大子群A，满足 $AM=G$，从而 $M\cong G/N$ 是A在G中的一个超可解补。根据步骤8可知，存在P的一个极大子群B在G中既无超可解补也不包含N，于是由假设，B是G的一个弱NS^*-置换子群。令 $L=B_{nG}$，并且设T是G的一个次正规子群，使得 $BT=G$ 且 $B\cap T\le L$。若 $L=1$，那么 $\left|T\right|=p{q}^b$，由引理2.5，显然 $\left(T,T\right)$ 满足定理假设，从而T是超可解的，这与B的选取相矛盾。故我们有 $L\ne 1$，且根据引理2.1 (4)， $L\le {\text{Ο}}_P\left(G\right)$，继而 $L\le N\cap B$。

若 $N\le T$，那么 $T\cap B\le N\cap B\le T\cap B$，即 $T\cap B=N\cap B$。又因为 $T\cap B\le L\le N\cap B$，从而 $T\cap B=L=N\cap B$，显然 $N\cap B$ 在G中正规。另一方面，由于 $L=N\cap B$ 是个p-群且在G中正是几乎S-置换的，因此对于某个自然数m，我们有 $\left|G:N_G\left(L\right)\right|=p^m$，故 $G=P{N}_G\left(L\right)$。从而我们有 $L^G=L^{P{N}_G\left(L\right)}=L^P=L$，这说明L在G中正规，这使得 $N\le L\le B$，相矛盾，所以我们有 $N⊈T$。由于T是G的一个次正规子群，据引理2.3 (3)，T包含G的所有Sylow q-子群，这使得 $G/T_G$ 是个p-群，从而 $G\cong G/N\cap T_G$，是q-闭，与假设矛盾。

若 $\left|P:D\right|>p$，那么由步骤4，P的每个 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。再据引理2.1 (4)，P的每个 $\left|D\right|$ 阶几乎S-置换子群H都含于 $N={\text{Ο}}_P\left(G\right)$ 中。于是由假设，对于P的所有不含于N中的 $\left|D\right|$ 阶子群H在G中都有超可解补，从而P的每个极大子群在G中也有超可解补，这与步骤8相矛盾。

由此，步骤10成立。

步骤11 $E=P$。

事实上，不妨令q为 $\left|E\right|$ 的最大素因子，并且设Q为E的一个Sylow q-子群。那么由步骤10，Q在E中正规，从而再由步骤2，有 $Q=E=P$。

步骤12 最后的矛盾。

设N是G的一个极小正规子群且N包含于P中，则由步骤7，N是含于P中的G的唯一极小正规子群，再根据步骤11，有 $N={\text{Ο}}_P\left(G\right)=P$。显然，这与引理2.6相悖，最后的矛盾。

文章引用

吴湘华. 弱NS*-置换子群对有限群超可解的影响
The Effects of Weakly NS*-Permutable Subgroups on the Supersolvability of Finite Groups[J]. 理论数学, 2019, 09(08): 864-870. https://doi.org/10.12677/PM.2019.98113

参考文献