ABSTRACT

Periodic algebras, Jacobson algebras and Boolean algebras in normal classes of pointwise complete algebras are defined. Some properties of periodic algebras, Jacobson algebras and Boolean algebras are discussed. It is proved that both Jacobson algebra class κ and Boolean algebra class β are hereditary radicals, but they are not super nilpotent radicals, so they are not special radicals. It is also proved that regular radical is hereditary radical, but not super nilpotent radical, so it’s not a special radical.

Keywords:Normal Classes of Complete Pointwise Algebras, Periodic Algebra, Jacobson Algebras, κ-Radical, Boolean Algebras, β-Radical, Regular Radical

点态化完备代数正规类中的Jacobson代数和Boolean代数

杨宗文，何青海

云南大学，数学系，云南 昆明

收稿日期：2019年10月18日；录用日期：2019年11月4日；发布日期：2019年11月11日

摘 要

定义了点态化完备代数正规类中的周期代数、Jacobson代数与Boolean代数，讨论了周期代数、Jacobson代数与Boolean代数的一些性质，证明了Jacobson代数类κ与Boolean代数类β都是遗传根类，但都不是超幂零根，从而都不是特殊根，并证明了正则根是遗传根，但不是超幂零根，从而不是特殊根。

关键词 :点态化完备代数正规类，周期代数，Jacobson代数，κ-根，Boolean代数，β-根，正则根

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1. 引言

环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [1] - [15]，为了进一步统一的研究一般代数正规类中根性质，文献 [16] - [23] 分别引入了可积代数正规类、完备代数正规类，对特殊根等进行了研究，并对一类特殊的半环——大半环(可做单侧减法的半环)建立了相应的根理论；文献 [24] [25] [26] 对完备代数正规类进行了点态化，研究了点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类确定的上根——反单根、遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零根、λ-根、正则根的结构性质。

本文在文献 [24] [25] [26] 建立的点态化完备代数正规类基础上，定义了点态化完备代数正规类中的周期代数、Jacobson代数与Boolean代数，讨论了周期代数、Jacobson代数与Boolean代数的一些性质，并证明了Jacobson代数类κ与Boolean代数类β都是遗传根类、左遗传根、右遗传根及强遗传根，但都不是超幂0根，从而都不是特殊根，并证明了正则根是遗传根，但不是超幂0根，从而不是特殊根。

2. 预备知识及基本引理

点态化完备代数正规类的相关概念及性质参见文献 [24] [25] [26]。

定义2.1 [12] ： $A$ 是一个代数类， $\text{R}\subseteq A$，如果R满足：

a) $\forall a\in A$，$i⊲a$，如果 $a\in \text{R}$，则 $a/i\in \text{R}$ (即R商闭)；

b) $\forall a\in A$，a有一个最大的R-理想(记为R(a))，称a的R-根；

c) $\forall a\in A$，有 $\text{R}\left(a/\text{R}\left(a\right)\right)=0$。

则称R为 $A$ 中的一个根类，简称根。

定义2.2 [16] [21] ： $\forall \text{K}\subseteq A$，称K是一个特殊类，如果K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$，a是一个素代数；

2) $\forall a\in \text{K}$，$i⊲a$，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall a\in A$，$i⊲a$，$i\in \text{K}$，则 $a/i^{*}\in \text{K}$，其中i^*是a的使得 $ki=ik=0$ 的最大理想(称i的0化子)。

定义2.3 [16] [21] ：设R为 $A$ 中的一个根类。如果存在一个特殊类K，使得 $\text{R}=\text{UK}$，则称R是一个特殊根类。

定义2.4 [16] [21] ： $\forall \text{K}\subseteq A$，称K是一个弱特殊类，如果K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$，a中无非0幂零理想；

2) $\forall a\in \text{K}$，$i⊲a$，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall a\in A$，$i⊲a$，$i\in \text{K}$，$i^{*}=0$，则 $a\in \text{K}$。

定义2.5 [16] [21] ：设R为 $A$ 中的一个根类。如果 $\forall a\in \text{R}$，$i⊲a$，都有 $i\in \text{R}$，则称R是遗传根。

定义2.6：设R为 $A$ 中的一个根类。

1) 如果 $\forall a\in \text{R}$，$i{⊲}_{l}a$ ($i{⊲}_{r}a$)，都有 $i\in \text{R}$，则称R是左(右)遗传根；

2) 如果 $\forall a\in \text{R}$，$s\le a$，都有 $s\in \text{R}$，则称R是强遗传根。

注1：由定义2.6知强遗传根分别是左、右遗传根，左、右遗传根都是遗传根。

定义2.7 [16] [21] ：设S为 $A$ 中的一个根类。如果S满足以下2条，则称根类S是一个超幂零根：

1) S是遗传根；

2) $\forall a\in A$，如果a是幂零代数，则 $a\in \text{S}$。

根类的判别经常可用以下2组条件。

引理2.1 [26] ： $A$ 是一个代数类， $\text{R}\subseteq A$，R为 $A$ 中的一个根类 $\iff$ R满足以下3个条件：

a) $\forall a\in A$，$i⊲a$，如果 $a\in \text{R}$，则 $a/i\in \text{R}$ (即R商闭)；

b) $\forall a\in A$，a有一个最大的R-理想(记为R(a))；

$\bar{\mathrm{c}}$) $\forall a\in A$，$i⊲a$，如果 $i,a/i\in \text{R}$，则有 $a\in \text{R}$ (称R扩张闭)。

引理2.2 [26] ： $A$ 是一个代数类， $\text{R}\subseteq A$，R为 $A$ 中的一个根类 $\iff$ R满足以下3个条件：

a) $\forall a\in A$，$i⊲a$，如果 $a\in \text{R}$，则 $a/i\in \text{R}$ (即R商闭)；

$\bar{\mathrm{b}}$) $\forall a\in A$，如果 $i_1⊲i_2⊲\cdots ⊲i_{\mu }⊲\cdots$ 是a的R-理想升链(即 $i_{\mu }⊲a$，$\forall \mu ,i_{\mu }\in \text{R}$)，则理想 $\vee i_{\mu }\in \text{R}$ (称R有归纳性质)；

$\bar{\mathrm{c}}$) $\forall a\in A$，$i⊲a$，如果 $i,a/i\in \text{R}$，则有 $a\in \text{R}$ (称R扩张闭)。

引理2.3 [26] ：设 $a\in A$，$x,y\in S_a$。

1) $xy\in {\varphi }_a\left(\langle x\rangle \langle y\rangle \right)$，从而 $\forall s\le a,x,y\in {\varphi }_a\left(s\right)$，有 $xy\in {\varphi }_a\left(s\right)$ ；

2) n是正整数，则 $x^n\in {\varphi }_a\left({\langle x\rangle }^n\right)$，$\langle x^n\rangle ={\langle x\rangle }^n$ ；

3) x是幂零元当且仅当存在正整数n，使得 $x^n=0$。

引理2.4 [16] [21] ：S为 $A$ 中的一个根类。则：S是一个超幂0根 $\iff$ $\text{S}=\text{UK}$，其中K是一个弱特殊类，即S是由一个弱特殊类确定的上根。

3. 点态化完备代数正规类中的κ-根与β-根

$A$ 是一个点态化完备代数正规类。

定义3.1 [21] ： $a\in A$。

1) 如果 $\forall x\in S_a$，存在正整数 $n>m$ (n，m都与x有关)，使得 $\langle x^n\rangle =\langle x^m\rangle$，则称a是周期代数；

2) 如果 $\forall x\in S_a$，存在正整数 $n>\text{1}$ (n与x有关)，使得 $\langle x^n\rangle =\langle x\rangle$，则称a是Jacobson代数；

3) $x\in S_a$，如果有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$，则称x是一个幂等元；

4) 如果 $\forall x\in S_a$，有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$，则称a是Boolean代数；

5) 如果有 $e\in S_a,\forall x\in S_a$，都有 $ex=xe=x$，则称e是交换代数a的单位元，e通常记为1。

定理3.1：设 $a\in A$。

1) a是Boolean代数，则a是Jacobson代数；

2) a是Jacobson代数，则a是不含非0幂零元素的周期代数；

3) a是Jacobson代数，如果a有单位元1，则a是正则代数及λ-代数。

证明：1) 显然。

2) a是Jacobson代数，则显然a是周期代数。设 $x\in S_a$ 是a的幂零元素，则存在的 $k>0$，使得 $\langle x^k\rangle =0$。又因为a是Jacobson代数，故存在正整数 $n>\text{1}$，使得 $\langle x^n\rangle =\langle x\rangle$，设 $n,k$ 是分别满足条件的最小正整数。

如果 $n=k$，则 $\langle x^n\rangle =\langle x^k\rangle =0=\langle x\rangle$，所以 $x=0$ ；

如果 $n>k$，则 $\langle x^n\rangle =\langle x^{k+\left(n-k\right)}\rangle =\langle x^k\rangle \langle x^{\left(n-k\right)}\rangle =0\langle x^{\left(n-k\right)}\rangle =0=\langle x\rangle$，所以 $x=0$ ；

如果 $n<k$。当 $n-1\cancel{|}k-1$ 时，则有 $k-1=l\left(n-1\right)+r,0\le r<n-1$，$\langle x^k\rangle =\langle x^{1+l\left(n-1\right)+r}\rangle =\langle x^{1+r}\rangle =0$，即存在 $1+r<1+\left(n-1\right)=n<k$，使得 $\langle x^{1+r}\rangle =0$，与k的最小性矛盾，即有 $n-1|k-1$。设 $k-1=l\left(n-1\right),l>1$，则 $\langle x^k\rangle =\langle x^{1+l\left(n-1\right)}\rangle =\langle x\rangle =0$，所以 $x=0$。

综上所述有 $x=0$，即a是不含非0幂零元素的周期代数。

3) 如果a有单位元1，则 $\forall x\in S_a$，$x=x\cdot 1\cdot x=1\cdot x\cdot 1$，所以 $x\le {\varphi }_a\left(\langle x\rangle \langle 1\rangle \langle x\rangle \right)\subseteq {\varphi }_a\left(\langle x\rangle A\langle x\rangle \right)$，$x\in {\varphi }_a\left(\langle 1\rangle \langle x\rangle \langle 1\rangle \right)\subseteq {\varphi }_a\left(A\langle x\rangle A\right)$，故 $\langle x\rangle \le \langle x\rangle A\langle x\rangle$，$\langle x\rangle \le A\langle x\rangle A$，即a是正则代数及λ-代数。证毕。

由周期代数、Jacobson代数、Boolean代数的定义，即有定理3.2、定理3.3：

定理3.2：设 $a\in A$，$i{⊲}_{l}a$ ($i{⊲}_{r}a$ 或 $i⊲a$)。则：

1) 如果a是周期代数，则i是周期代数；

2) 如果a是Jacobson代数，则i是Jacobson代数；

3) 如果a是Boolean代数，则i是Boolean代数。

定理3.3：设 $a\in A$，$s\le a$。则：

1) 如果a是周期代数，则s是周期代数；

2) 如果a是Jacobson代数，则s是Jacobson代数；

3) 如果a是Boolean代数，则s是Boolean代数。

记所有Jacobson代数的类为κ，记所有Boolean代数的类为β。

定理3.4：Jacobson代数类κ是一个根类。

证明：1) 设 $a\in \kappa$，$i⊲a$，$\forall x\in S_{a/i}$，对满射 ${\gamma }_i:S_{\alpha }\to S_{\alpha /i}$，存在 $y\in S_a$，$x={\gamma }_i\left(y\right)$。由 $a\in \kappa$，存在正整数 $n>\text{1}$，使得 $\langle y^n\rangle =\langle y\rangle$，所以 $\langle x^n\rangle =\langle {\left({\gamma }_i\left(y\right)\right)}^n\rangle =\langle {\gamma }_i\left(y^n\right)\rangle =\langle {\gamma }_i\left(y\right)\rangle =\langle x\rangle$，从而a/i是Jacobson代数，代数类κ对商闭。

2) $\forall a\in A$，如果 $i_1⊲i_2⊲\cdots ⊲i_{\mu }⊲\cdots$ 是a的λ-理想升链， $\forall x\in {\varphi }_a\left(\vee i_{\mu }\right)=\cup {\varphi }_a\left(i_{\mu }\right)$，故存在μ，使得 $x\in {\varphi }_a\left(i_{\mu }\right)$，因此存在正整数 $n>\text{1}$，使得 $\langle x^n\rangle =\langle x\rangle$，即 $\vee i_{\mu }$ 是Jacobson代数，代数类κ有归纳性质。

3) $\forall a\in A$，$i⊲a$，如果 $i,a/i\in \kappa$。 $\forall x\in S_a$，$y={\gamma }_i\left(x\right)\in a/i$，存在正整数 $n>\text{1}$，使得 $\langle y^n\rangle =\langle y\rangle$，即 $\langle y\rangle =\left(\langle x\rangle \vee i\right)/i=\langle y^n\rangle =\left(\langle x^n\rangle \vee i\right)/i$，故而 $\langle x\rangle \vee i=\langle x^n\rangle \vee i$，因此 $\langle x\rangle \le \langle x^n\rangle \vee i$，所以有 $x_1\in \langle x^n\rangle ,x_2\in i$，使得 $\langle x\rangle \le \langle x_1\rangle \vee \langle x_2\rangle$，$\langle x_2\rangle \le \langle x\rangle \vee \langle x_1\rangle$。由于 $x_1\in \langle x^n\rangle \le \langle x\rangle$，所以 $\langle x_1\rangle \le \langle x\rangle$，故 $\langle x_2\rangle \le \langle x\rangle \vee \langle x\rangle =\langle x\rangle$。又因为 $i\in \kappa$，$x_2\in {\varphi }_a\left(i\right)$，所以存在正整数 $m>\text{1}$，使得 $\langle x_2^m\rangle =\langle x_2\rangle$，故 $\langle x^m\rangle ={\langle x\rangle }^m={\langle x_2\rangle }^m=\langle x_2^m\rangle =\langle x_2\rangle =\langle x\rangle$，即 $a\in \kappa$，代数类κ扩张闭。

根据引理2.2，代数类κ是一个根类。证毕。

Jacobson代数类κ确定的根类κ称κ-根。

定理3.5：Boolean代数类β是一个根类。

证明：1) 设 $a\in \beta$，$i⊲a$，$\forall x\in S_{a/i}$，对满射 ${\gamma }_i:S_{\alpha }\to S_{\alpha /i}$，存在 $y\in S_a$，$x={\gamma }_i\left(y\right)$。由 $a\in \beta$，则 $\langle y^2\rangle =\langle y\rangle$，所以 $\langle x^2\rangle =\langle {\left({\gamma }_i\left(y\right)\right)}^2\rangle =\langle {\gamma }_i\left(y^2\right)\rangle =\langle {\gamma }_i\left(y\right)\rangle =\langle x\rangle$，从而a/i是Boolean代数，代数类β对商闭。

2) $\forall a\in A$，如果 $i_1⊲i_2⊲\cdots ⊲i_{\mu }⊲\cdots$ 是a的λ-理想升链， $\forall x\in {\varphi }_a\left(\vee i_{\mu }\right)=\cup {\varphi }_a\left(i_{\mu }\right)$，故存在μ，使得 $x\in {\varphi }_a\left(i_{\mu }\right)$，因此有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$，即 $\vee i_{\mu }$ 是Boolean代数，代数类β有归纳性质。

3) $\forall a\in A$，$i⊲a$，如果 $i,a/i\in \kappa$。 $\forall x\in S_a$，$y={\gamma }_i\left(x\right)\in a/i$，则 $\langle y^2\rangle =\langle y\rangle$，即 $\langle y\rangle =\left(\langle x\rangle \vee i\right)/i=\langle y^2\rangle =\left(\langle x^2\rangle \vee i\right)/i$，故而 $\langle x\rangle \vee i=\langle x^2\rangle \vee i$，因此 $\langle x\rangle \le \langle x^2\rangle \vee i$，所以有 $x_1\in \langle x^2\rangle ,x_2\in i$，使得 $\langle x\rangle \le \langle x_1\rangle \vee \langle x_2\rangle$，$\langle x_2\rangle \le \langle x\rangle \vee \langle x_1\rangle$。由于 $x_1\in \langle x^2\rangle \le \langle x\rangle$，所以 $\langle x_1\rangle \le \langle x\rangle$，故 $\langle x_2\rangle \le \langle x\rangle \vee \langle x\rangle =\langle x\rangle$。又因为 $i\in \beta$，$x_2\in {\varphi }_a\left(i\right)$，所以 $\langle x_2^2\rangle =\langle x_2\rangle$，故 $\langle x^2\rangle ={\langle x\rangle }^2={\langle x_2\rangle }^2=\langle x_2^2\rangle =\langle x_2\rangle =\langle x\rangle$，即 $a\in \beta$，代数类β扩张闭。

根据引理2.2，代数类β是一个根类。证毕。

Jacobson代数类β确定的根类β称β-根。

定理3.6：κ-根与β-根都是左遗传根、右遗传根及强遗传根。

证明：由定理3.3知Jacobson代数、Boolean代数都对子代数封闭即得κ-根与β-根都是强遗传根，从而都是左、右遗传根。证毕。

定理3.7：κ-根与β-根都是遗传根，但都不是超幂零根，从而都不是特殊根。

证明：由定理3.6知Jacobson代数类κ，Boolean代数类β都是遗传根。由定理3.1知Jacobson代数、Boolean代数都不含非0幂零元素，从而Jacobson代数类κ，Boolean代数类β中都不含非0幂零代数，故κ-根与β-根都是遗传根，但都不是超幂零根，从而都不是特殊根。证毕。

定理3.8：设 $a\in A$，a是正则代数， $i⊲a$，则i是正则代数，即正则代数对理想封闭，从而正则根是遗传根，但正则根不是超幂零根，从而不是特殊根。

证明： $\forall x\in {\varphi }_a\left(i\right)\subseteq S_a$，于是 $\langle x\rangle \le \langle x\rangle a\langle x\rangle$，所以存在 $y\in S_a$，使得 $\langle x\rangle \le \langle x\rangle \langle y\rangle \langle x\rangle \le \langle x\rangle \langle y\rangle \left(\langle x\rangle \langle y\rangle \langle x\rangle \right)=\langle x\rangle \left(\langle y\rangle \langle x\rangle \langle y\rangle \right)\langle x\rangle$。因为 $\langle y\rangle \langle x\rangle \langle y\rangle \le \langle y\rangle \left(x\right)\langle y\rangle \le \left(x\right)\le i$，所以 $\langle x\rangle \le \langle x\rangle i\langle x\rangle$，即x是正则元素，从而i是正则代数。

取a是非0零乘代数，即 $a^2=0$，$0\ne x\in S_a$，则 $\langle x\rangle a\langle x\rangle \le a^3=0$，故 $\langle x\rangle a\langle x\rangle =0$，$\langle x\rangle \cancel{\le }\langle x\rangle a\langle x\rangle$，从而x不是正则元，即a不是正则代数，所以正则根不是超幂零根，从而不是特殊根。证毕。

4. 小结

本文定义了点态化完备代数正规类中的周期代数、Jacobson代数与Boolean代数，讨论了周期代数、Jacobson代数与Boolean代数的一些性质，证明了Jacobson代数类κ与Boolean代数类β都是遗传根类、左遗传根、右遗传根及强遗传根，但都不是超幂零根，从而都不是特殊根，并证明了正则根是遗传根，但不是超幂零根，从而不是特殊根。

基金项目

国家自然科学基金(11261067)。

文章引用

杨宗文,何青海. 点态化完备代数正规类中的Jacobson代数和Boolean代数
The Jacobson Algebras and Boolean Algebras in Normal Classes of Pointwise Complete Algebra[J]. 理论数学, 2019, 09(09): 1009-1014. https://doi.org/10.12677/PM.2019.99127

参考文献