ABSTRACT

The greatest common divisor and the least common multiple are one of the classical problems in number theory. In this paper, we use the multiplicative function property and Dirichlet series to study the mean values of Gcd-sum function and Lcm-sum function on polynomial rings in finite fields. In the end, we compare with the results on integer rings and obtain consistent conclusions.

Keywords:Multiplicative Function, Dirichlet Series, Riemann Zeta Function, Dirichlet Convolution

有限域多项式环上的GCD和函数与LCM和函数的均值

李欣

青岛大学，数学与统计学院，山东 青岛

收稿日期：2020年1月21日；录用日期：2020年2月6日；发布日期：2020年2月13日

摘 要

最大公约数和最小公倍数问题是数论的经典问题之一，本文利用其和函数的可乘性和Dirichlet级数，研究Gcd和函数与Lcm和函数在有限域的多项式环上的均值并且与整数环上的结果对比得到一致结论。

关键词 :可乘函数，Dirichlet级数，黎曼Zeta函数，Dirichlet卷积

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1. Gcd和函数介绍

本文研究了多项式环 $F_q\left[T\right]$ 上的最大公因式和函数： $g\left(f\right)={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\Vert \gcd \left(h,f\right)\Vert }$。这个函数的背景是来自整数环Z上的最大公约数和函数： $G\left(n\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\gcd \left(i,n\right)}$，因为这个函数是可乘的，能写成在素数方幂值的乘积形式，对应的Dirichlet级数在复平面内解析，除了黎曼Zeta函数零点和 $s=2$ 的极点外。

对于整数环Z上的最大公约数和函数我们有以下结果：

$G\left(n\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(i,n\right)}={\displaystyle \underset{d|n}{\sum }d\phi \left(n/d\right)}\left(n\in N\right)$,

$G\left(n\right)$ 是可乘函数。

$G\left(n\right)$ 的和函数的渐进公式为

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }G\left(n\right)}=\frac{x^2}{2\zeta \left(2\right)}\left(\log x+2\gamma -\frac{1}{2}-\frac{{\zeta }^{\prime }\left(2\right)}{\zeta \left(2\right)}\right)+O\left(x^{1+\theta +\epsilon }\right)$, (1)

对任意 $\epsilon >0$ 成立，其中 $y$ 是欧拉常数， $\theta$ 是Dirichlet除数问题的参数。参见文献综述 [1]。

函数

$G^{\left(-1\right)}\left(n\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{\left(i,n\right)}}={\displaystyle \underset{d|n}{\sum }\frac{\phi \left(n/d\right)}{d}}\left(n\in N\right)$,

也是可乘函数。

$G^{\left(-1\right)}\left(n\right)$ 的和函数的渐近公式为

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{G}^{\left(-1\right)}\left(n\right)}=\frac{\zeta \left(3\right)}{2\zeta \left(2\right)}{x}^2+O\left(x{\left(\log x\right)}^{2/3}{\left(\log \log x\right)}^{4/3}\right)$.(2)

参见( [2],Th. 5.1 )。

随之，我们可以研究多项式环上最大公因式和最小公倍数的和函数的均值问题，因为多项式有次数可以求导的特殊性质，我们可以避开黎曼Zeta函数的零点，得到更好的结果。

2. Gcd和函数的相关均值

定理2.1 $g\left(f\right)$ 的卷积表达式为

$g\left(f\right)=\left(\phi *{\lambda }_1\right)\left(f\right)$,

其中 ${\lambda }_1\left(f\right)=\Vert f\Vert$。

证明：由定义知 $g\left(f\right)={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\Vert \left(h,f\right)\Vert }$，令e是h和f的最大公因式，同样是首项系数为1的多项式，即 $\left(h,f\right)=e$。当且仅当 $e|f$ 和 $e|h$ 时有 $\left(\frac{h}{e},\frac{f}{e}\right)=1$，因此

$g\left(f\right)={\displaystyle \underset{e|f}{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ \left(h,f\right)=e\end{array}}{\sum }\Vert \left(h,f\right)\Vert }}={\displaystyle \underset{e|f}{\sum }\Vert e\Vert }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ \left(h,f\right)=e\end{array}}{\sum }1}={\displaystyle \underset{e|f}{\sum }\Vert e\Vert \phi \left(\frac{f}{e}\right)}=\left(\phi *{\lambda }_1\right)\left(f\right)$.□

定理2.2 $g\left(f\right)$ 的均值为

${\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }g\left(f\right)}=\left(n+1\right)q^{2n}-n{q}^{2n-1}$. (3)

证明：令 $D_1\left(s\right)$ 为 $g\left(f\right)$ 的Dirichlet 级数，当 $\mathrm{Re}s>2$ 时，由定理2.1可得：

$D_1\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{g\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}=\left({\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{\phi \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}\right)\left({\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{{\lambda }_1\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}\right)=\frac{{\zeta }_A^2\left(s-1\right)}{{\zeta }_A\left(s\right)}$,

又因为 ${\zeta }_A\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{1}{{\Vert f\Vert }^s}}=\frac{1}{1-q^{1-s}}=\frac{1}{1-qu}\left(u=q^{-s}\right)$，我们有

${\zeta }_A\left(s-1\right)=\frac{1}{1-q^{2}u}={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\left(q^{2}u\right)}^k}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{2k}{u}^k}$,

$\begin{array}{c}{\zeta }_A^2\left(s-1\right)={\left(\frac{1}{1-q^{2}u}\right)}^2={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\left(q^{2}u\right)}^k}{\displaystyle {\sum }_{t=0}^{\infty }{\left(q^{2}u\right)}^t}={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\displaystyle {\sum }_{t=0}^{\infty }{\left(q^{2}u\right)}^{k+t}}}\\ ={\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{\displaystyle {\sum }_{k=0}^n{q}^{2n}{u}^n}={\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }\left(n+1\right)q^{2n}{u}^n}}\end{array}$,

因此

$D_1\left(s\right)=\left(1-qu\right){\left(\frac{1}{1-q^{2}u}\right)}^2=\left(1-qu\right){\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }\left(n+1\right)q^{2n}{u}^n}={\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }\left[\left(n+1\right)q^{2n}-n{q}^{2n-1}\right]u^n}$ (4)

由定义可知，

$D_1\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{g\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle {\sum }_{d=0}^{\infty }{\displaystyle \underset{f\in M_d}{\sum }\frac{g\left(f\right)}{q^{ds}}}}={\displaystyle {\sum }_{d=0}^{\infty }{\displaystyle \underset{f\in M_d}{\sum }g\left(f\right)u^n}}$ (5)

由(4)和(5)得(3)。 □

定义2.3Gcd的倒数和函数为

$g_{-1}\left(f\right)={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\frac{1}{\Vert \left(h,f\right)\Vert }}$.

令 $\left(h,f\right)=e$，可以得出 $g_{-1}\left(f\right)$ 的卷积公式

$g_{-1}\left(f\right)={\displaystyle \underset{e|f}{\sum }\frac{1}{\Vert e\Vert }\phi \left(\frac{f}{e}\right)}=\left({\lambda }_{-1}*\phi \right)\left(f\right)$,

其中 ${\lambda }_{-1}\left(f\right)=\frac{1}{\Vert f\Vert }$。

定理2.4 $g_{-1}\left(f\right)$ 的均值为

${\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{g}_{-1}\left(f\right)}=\frac{1+q^{2n+1}}{1+q}$. (6)

证明：令 $D_2\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{g_{-1}\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}$，

则

$D_2\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{\phi \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}{\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{{\lambda }_{-1}\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}=\frac{{\zeta }_A^2\left(s-1\right)}{{\zeta }_A\left(s\right)}$,

利用(4)的方法可得：

$D_2\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_{n=0}^{n=\infty }\frac{1+q^{2n+1}}{1+q}{u}^n}$, (7)

由定义知：

$D_2\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{g}_{-1}\left(f\right)u^n}}$, (8)

由(7)和(8)可得(6)。 □

从有限域的多项式环到整数环有字典对应：

$\begin{array}{l}{F}_q\left[T\right]\to Z\\ n\to \log x\\ q^n\to x\end{array}$.

则定理2.2公式(3)

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }g\left(f\right)}=\left(n+1\right)q^{2n}-n{q}^{2n-1}\\ \to \frac{x^2}{{\zeta }_A\left(2\right)}\left(\log x+{\zeta }_A\left(2\right)\right)\end{array}$,

与公式(1)对比

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }G\left(n\right)}=\frac{x^2}{2\zeta \left(2\right)}\left(\log x+2\gamma -\frac{1}{2}-\frac{{\zeta }^{\prime }\left(2\right)}{\zeta \left(2\right)}\right)+O\left(x^{1+\theta +\epsilon }\right)$,

可得有限域多项式环上Gcd和函数的均值的主项与整数环上的相同。

同样地，定理2.4公式(6)有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{g}_{-1}\left(f\right)}=\frac{1+q^{2n+1}}{1+q}\\ \to \frac{{\zeta }_A\left(3\right)}{{\zeta }_A\left(2\right)}{x}^2+2\left(1-\frac{{\zeta }_A\left(3\right)}{{\zeta }_A^2\left(2\right)}\right)\end{array}$,

与公式(2)对比

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{G}^{\left(-1\right)}\left(n\right)}=\frac{\zeta \left(3\right)}{2\zeta \left(2\right)}{x}^2+O\left(x{\left(\log x\right)}^{2/3}{\left(\log \log x\right)}^{4/3}\right)$,

可得有限域多项式环上Gcd倒数和函数的均值的主项与整数环上的相同。

3. 一般化的最大公因式和函数

多项式环上的最大公因式和函数g可以归纳到对任意实数i的幂次来研究，如下：

我们令

$g_i\left(f\right)={{\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\Vert \left(h,f\right)\Vert }}^i$,

同样我们将上式写成Dirichlet卷积形式，

$g_i\left(f\right)={{\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\Vert \left(h,f\right)\Vert }}^i={\displaystyle \underset{e|f}{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ \left(h,f\right)=e\end{array}}{\sum }{\Vert e\Vert }^i}={\displaystyle \underset{e|f}{\sum }{\Vert e\Vert }^i\phi \left(\frac{f}{e}\right)}}=\left({\lambda }_i*\phi \right)(f)$

其中 ${\lambda }_i\left(f\right)={\Vert f\Vert }^i$。

定理3.1 $g_i\left(f\right)$ 的均值为

${\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{g}_i\left(f\right)}=\frac{q^{2n}-q^{\left(i+1\right)n+\left(i-1\right)}}{1-q^{i-1}}\left(i\ne 1\right)$. (9)

证明：

$\begin{array}{c}D\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{g_i\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{\phi \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}{\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{{\lambda }_i\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}=\frac{{\zeta }_A\left(s-1\right){\zeta }_A\left(s-i\right)}{{\zeta }_A\left(s\right)}\\ ={\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{q^{\left(1+i\right)n}+q^{2n-i}-q^{2n+\left(1-i\right)}-q^{\left(1+i\right)n-i}}{1-q^{1-i}}}{u}^n\end{array}$, (10)

由定义得，

$D\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{g}_i\left(f\right)u^n}}$,(11)

由(10)和(11)可得(9)。 □

gcd和函数的其他的推广结果可参考 [3] [4]。

4. Lcm和函数介绍

同时我们研究了最小公倍式lcm和函数 $l\left(f\right)={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\Vert \text{lcm}\left[h,f\right]\Vert }$，这个函数来自整数环 $\mathbb{Z}$ 上的最小公倍数 $L\left(n\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\text{lcm}\left[i,n\right]}$。

对于整数环Z上的最小公倍数和函数我们有以下结果：

$L\left(n\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[i,n\right]}=\frac{n}{2}\left(1+{\displaystyle \underset{d|n}{\sum }d\phi \left(d\right)}\right)\left(n\in N\right)$,

$L\left(n\right)$ 是不可乘函数。

$L\left(n\right)$ 的和函数的渐进公式为

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }L\left(n\right)}=\frac{\zeta \left(3\right)}{8\zeta \left(2\right)}{x}^4+O\left(x^3{\left(\log x\right)}^{2/3}{\left(\log \log x\right)}^{4/3}\right)$, (12)

参见( [2]，Th.6.3)。

定义lcm倒数和函数

$L^{\left(-1\right)}\left(n\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{\left[i,n\right]}}\left(n\in N\right)$,

也是不可乘函数。

$L^{\left(-1\right)}\left(n\right)$ 的和函数的渐近公式为

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{L}^{\left(-1\right)}\left(n\right)}=\frac{1}{\pi }{\left(\log x\right)}^2+A{\left(\log x\right)}^2+O\left(\log x\right)$, (13)

其中A是一个明确的常数。参见( [2], Th. 7.1)。

5. $l\left(f\right)$ 的均值

定理5.1 $l\left(f\right)$ 的和函数的公式为

${\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }l\left(f\right)}=\frac{\left(n+1\right)q^{2n}+n{q}^{2n+1}}{1-q^2}-\frac{q^{4n+1}+q^{2n}}{\left(q+1\right)\left(1-q^2\right)}$. (14)

证明：由定义可知，

,

令 $\frac{h}{e}=j$，则上式为

$=\Vert f\Vert {\displaystyle \underset{e|f}{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert j\Vert <\Vert f/e\Vert \\ \left(j,f/e\right)=1\end{array}}{\sum }\Vert j\Vert }}$.

令 $y\left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert j\Vert <\Vert f\Vert \\ \left(j,f\right)=1\end{array}}{\sum }\Vert j\Vert }$，${\lambda }_f=\Vert f\Vert$，则

$L\left(f\right)=\left(y*{\lambda }_f\right)\left(f\right)$.

接下来我们计算 $y(f)$

,

令 $j=dl$，则上式

$={\displaystyle \underset{\Vert dl\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }{\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)\Vert l\Vert }}={\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)}{\displaystyle \underset{\Vert dl\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\Vert l\Vert }$,

对l分类，则有

$={\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)}{\displaystyle \underset{t=0}{\overset{\mathrm{deg}f/d-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l\in M_t}{\sum }{q}^t}}={\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)}{\displaystyle \underset{t=0}{\overset{\mathrm{deg}f/d-1}{\sum }}{q}^{2t}}={\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)}\left(\frac{1-q^{2\left(\mathrm{deg}f-\mathrm{deg}d\right)}}{1-q^2}\right)$,

所以

$l\left(f\right)=\frac{\Vert f\Vert }{1-q^2}{\displaystyle \underset{de|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)}\left(1-q^{2\left(\mathrm{deg}f-\mathrm{deg}de\right)}\right)=\frac{\Vert f\Vert }{1-q^2}\left({\displaystyle \underset{de|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)}-{\displaystyle \underset{de|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)q^{2\left(\mathrm{deg}f-\mathrm{deg}de\right)}}\right)$

令 $I_1={\displaystyle \underset{de|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)}$，$I_2={\displaystyle \underset{de|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)q^{2\left(\mathrm{deg}f-\mathrm{deg}de\right)}}$ 则

$I_1={\displaystyle \underset{f=bde}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)}={\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)}{\displaystyle \underset{e|f/d}{\sum }1}={\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\Vert d\Vert \mu \left(d\right)d\left(f/d\right)}$,

$I_2={\displaystyle \underset{de|f}{\sum }\frac{\Vert d\Vert \mu \left(d\right){\Vert f\Vert }^2}{{\Vert ed\Vert }^2}}={\Vert f\Vert }^2{\displaystyle \underset{de|f}{\sum }\frac{\mu \left(d\right)}{\Vert d\Vert {\Vert e\Vert }^2}}=\Vert f\Vert {\displaystyle \underset{e|f}{\sum }\frac{1}{\Vert e\Vert }}{\displaystyle \underset{d|f/e}{\sum }\frac{\mu \left(d\right)}{\Vert d\Vert }}\Vert f/e\Vert =\Vert f\Vert {\displaystyle \underset{e|f}{\sum }\frac{1}{\Vert e\Vert }\phi \left(f/e\right)}$

令 ${\mu }^{\prime }\left(f\right)=\mu \left(f\right)\Vert f\Vert$，${\lambda }_{-1}\left(f\right)=\frac{1}{\Vert f\Vert }$ 则

$l\left(f\right)=\frac{\Vert f\Vert }{1-q^2}\left(\left({\mu }^{\prime }*d\right)\left(f\right)-\Vert f\Vert \left({\lambda }_{-1}*\phi \right)\left(f\right)\right)$.

因此 $l\left(f\right)$ 函数的Dirichlet级数为

$D_l\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{l\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}=\frac{1}{1-q^2}\left({\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{\left({\mu }^{\prime }*d\right)\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^{s-1}}}-{\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{\left({\lambda }_{-1}*\phi \right)\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^{s-2}}}\right)$.

又因为

${\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{\left({\mu }^{\prime }*d\right)\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^{s-1}}}={\displaystyle \underset{f_1\in M}{\sum }\frac{{\mu }^{\prime }\left(f\right)}{{\Vert f_1\Vert }^{s-1}}}{\displaystyle \underset{f_2\in M}{\sum }\frac{d\left(f\right)}{{\Vert f_2\Vert }^{s-1}}}=\frac{{\zeta }_A^2\left(s-1\right)}{{\zeta }_A\left(s-2\right)}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left[\left(n+1\right)q^{2n}+n{q}^{2n+1}\right]u^n}$,

${\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{\left({\lambda }_{-1}*\phi \right)\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^{s-2}}}={\displaystyle \underset{f_1\in M}{\sum }\frac{{\lambda }_{-1}\left(f_1\right)}{{\Vert f\Vert }^{s-2}}}{\displaystyle \underset{f_2\in M}{\sum }\frac{\phi \left(f_2\right)}{{\Vert f\Vert }^{s-2}}}=\frac{{\zeta }_A\left(s-1\right){\zeta }_A\left(s-3\right)}{{\zeta }_A\left(s-2\right)}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{q^{4n+1}+q^{2n}}{\left(q+1\right)}{u}^n}$.

参见( [5], Chap1,2)。

所以

$D_l\left(s\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left[\frac{\left(n+1\right)q^{2n}+n{q}^{2n+1}}{1-q^2}-\frac{q^{4n+1}+q^{2n}}{\left(q+1\right)\left(1-q^2\right)}\right]u^n}$,

又因为

$D_l\left(s\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{u}^n}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }l\left(f\right)}$,

可得

${\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }l\left(f\right)}=\frac{\left(n+1\right)q^{2n}+n{q}^{2n+1}}{1-q^2}-\frac{q^{4n+1}+q^{2n}}{\left(q+1\right)\left(1-q^2\right)}$. □

令 $l^{-1}\left(f\right)={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\frac{1}{\Vert \left[h,f\right]\Vert }}$，是不可乘函数。

定理5.2 $l^{-1}\left(f\right)$ 的和函数的公式为

${\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{l}^{-1}\left(f\right)}=\frac{q-1}{2q}{n}^2+\frac{q+1}{2q}n$.(15)

证明：由定义可知，

$l^{-1}\left(f\right)={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\frac{\Vert \left(h,f\right)\Vert }{\Vert hf\Vert }}=\frac{1}{\Vert f\Vert }{\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\frac{\Vert \left(h,f\right)\Vert }{\Vert h\Vert }}$,

令 (h,f)=e ，则上式为

$=\frac{1}{\Vert f\Vert }{\displaystyle \underset{e|f}{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ \left(h,f\right)=e\end{array}}{\sum }\frac{\Vert e\Vert }{\Vert h\Vert }}}=\frac{1}{\Vert f\Vert }{\displaystyle \underset{e|f}{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h/e\Vert <\Vert f/e\Vert \\ \left(h/e,f/e\right)=1\end{array}}{\sum }\frac{1}{\Vert h/e\Vert }}}$,

令 $j=h/e$，则有

$=\frac{1}{\Vert f\Vert }{\displaystyle \underset{e|f}{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert j\Vert <\Vert f/e\Vert \\ \left(j,f/e\right)=1\end{array}}{\sum }\frac{1}{\Vert j\Vert }}}=\frac{1}{\Vert f\Vert }{\displaystyle \underset{ed=f}{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert j\Vert <\Vert d\Vert \\ \left(j,d\right)=1\end{array}}{\sum }\frac{1}{\Vert j\Vert }}}$.

令 $H\left(e\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert j\Vert <\Vert e\Vert \\ \left(j,e\right)=1\end{array}}{\sum }\frac{1}{\Vert j\Vert }}$，，则有

$l^{-1}\left(f\right)=\frac{1}{\Vert f\Vert }{\displaystyle \underset{e|f}{\sum }H\left(e\right)}=\frac{1}{\Vert f\Vert }\left(H\ast I\right)\left(f\right)$.

接下来我们计算 $H\left(f\right)$，令 $md=h$，则

$H\left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ \left(h,f\right)=1\end{array}}{\sum }\frac{1}{\Vert h\Vert }=}{\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\frac{1}{\Vert h\Vert }{\displaystyle \underset{d|\left(h,f\right)}{\sum }\mu \left(d\right)}}={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\frac{1}{\Vert h\Vert }{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}d|h\\ d|f\end{array}}{\sum }\mu \left(d\right)}}={\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\frac{\mu \left(d\right)}{\Vert d\Vert }{\displaystyle \underset{\Vert m\Vert <\Vert f/d\Vert }{\sum }\frac{1}{\Vert m\Vert }}}$,

又因为

${\displaystyle \underset{\Vert m\Vert <\Vert f/d\Vert }{\sum }\frac{1}{\Vert m\Vert }}={\displaystyle \underset{t=0}{\overset{\mathrm{deg}f/d-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{m\in M_t}{\sum }{q}^{-t}={\displaystyle \underset{t=0}{\overset{\mathrm{deg}f/d-1}{\sum }}=\mathrm{deg}f-\mathrm{deg}d}}}$,

所以

$H\left(f\right)={\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\frac{\mu \left(d\right)}{\Vert d\Vert }}\mathrm{deg}f/d={\displaystyle \underset{d|f}{\sum }\frac{\mu \left(d\right)}{\Vert d\Vert }}{\log }_q\frac{\Vert f\Vert }{\Vert d\Vert }=\left({\mu }^{″}*\nu \right)\left(f\right)$,

其中 ${\mu }^{″}\left(f\right)=\frac{\mu \left(f\right)}{\Vert f\Vert }$，$\nu \left(f\right)={\log }_q\Vert f\Vert$。

因此 $l^{-1}\left(f\right)$ 的Dirichlet级数为

$D_{l^{-1}}\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{l^{-1}\left(s\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{\left({\mu }^{″}*\nu *I\right)\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^{s+1}}}={\displaystyle \underset{f_1\in M}{\sum }\frac{{\mu }^{″}\left(f_1\right)}{{\Vert f_1\Vert }^{s+1}}}{\displaystyle \underset{f_2\in M}{\sum }\frac{\nu \left(f_2\right)}{{\Vert f_2\Vert }^{s+1}}}{\displaystyle \underset{f_3\in M}{\sum }\frac{I\left(f_3\right)}{{\Vert f_3\Vert }^{s+1}}}$,

接下来分别计算三个级数

${\displaystyle \underset{f_1\in M}{\sum }\frac{{\mu }^{″}\left(f_1\right)}{{\Vert f_1\Vert }^{s+1}}}={\displaystyle \underset{f_1\in M}{\sum }\frac{\mu \left(f_1\right)}{{\Vert f_1\Vert }^{s+2}}}=\frac{1}{{\zeta }_A\left(s+2\right)}=1-q^{-1}u$,

${\displaystyle \underset{f_2\in M}{\sum }\frac{\nu \left(f_2\right)}{{\Vert f_2\Vert }^{s+1}}}={\displaystyle \underset{t=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f_2\in M_t}{\sum }\frac{t}{q^{t\left(s+1\right)}}}}={\displaystyle \underset{t=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{t}{q^{ts}}}=\frac{q^s}{{\left(q^s-1\right)}^2}=\frac{u}{{\left(1-u\right)}^2}$,

${\displaystyle \underset{f_3\in M}{\sum }\frac{I\left(f_3\right)}{{\Vert f_3\Vert }^{s+1}}}={\zeta }_A\left(s+1\right)=\frac{1}{1-u}$,

因此可得

$D_{l^{-1}}\left(s\right)=\frac{\left(1-q^{-1}u\right)u}{{\left(1-u\right)}^3}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}-\frac{\left(n-1\right)n}{2q}\right]u^n}$,

又因为

$D_{l^{-1}}\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{l^{-1}\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{l}^{-1}\left(f\right)u^n}}$,

对比系数可得

${\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{l}^{-1}\left(f\right)}=\frac{q-1}{2q}{n}^2+\frac{q+1}{2q}n$. □

利用字典对应，

$\begin{array}{l}{F}_q\left[T\right]\to Z\\ n\to \log x\\ q^n\to x\end{array}$,

则定理5.1公式(14)有

${\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }l\left(f\right)}=\frac{q}{\left(q+1\right)\left(q^2-1\right)}{q}^{4n}-\frac{n{q}^2+2nq+n+q}{\left(q+1\right)\left(q^2-1\right)}{q}^{2n}$,

与公式(12)对比

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }L\left(n\right)}=\frac{\zeta \left(3\right)}{8\zeta \left(2\right)}{x}^4+O\left(x^3{\left(\log x\right)}^{2/3}{\left(\log \log x\right)}^{4/3}\right)$,

所以有限域多项式环上lcm和函数的均值的主项与整数环上相同。

同样地，定理5.2公式(15)有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{l}^{-1}\left(f\right)}=\frac{q-1}{2q}{n}^2+\frac{q+1}{2q}n\\ \to \frac{3}{{\pi }^2}{\left(\log x\right)}^2+\frac{{\zeta }_A\left(2\right)}{2{\zeta }_A\left(3\right)}\log x\end{array}$,

与公式(13)对比

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{L}^{\left(-1\right)}\left(n\right)}=\frac{1}{\pi }{\left(\log x\right)}^2+A{\left(\log x\right)}^2+O\left(\log x\right)$,

所以有限域多项式环上lcm和函数的均值的主项与整数环上的相同。

致谢

感谢山东省自然科学基金(项目编号：ZR2019BA028)资助。

基金项目

山东省自然科学基金(项目编号ZR2019BA028)。

文章引用

李 欣. 有限域多项式环上的GCD和函数与LCM和函数的均值
The Means of Gcd-Sum Function and Lcm-Sum Function in the Ring on the Finite Filed[J]. 理论数学, 2020, 10(02): 55-64. https://doi.org/10.12677/PM.2020.102010

参考文献