一类具有logistic增长的消耗型趋化方程组的性质 Property of a Dissipative Chemotaxis System with Logistic Growth

doi:10.12677/PM.2020.1012136

Pure Mathematics
Vol. 10 No. 12 ( 2020 ), Article ID: 39234 , 10 pages
10.12677/PM.2020.1012136

一类具有logistic增长的消耗型趋化方程组的性质

林小汇，蒋科^*

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西华大学理学院，四川成都

收稿日期：2020年11月17日；录用日期：2020年12月11日；发布日期：2020年12月18日

摘要

趋化性是指由空间中分布不均匀的物质所产生的化学信号刺激细胞或有机体的定向运动，其在免疫系统、胚胎发育、肿瘤生长、种群动态等生物学现象中起着重要的作用。趋化方程组(或趋化模型)是刻画趋化现象的偏微分方程组。因而，研究趋化方程组具有重要的理论价值和极强的现实意义。文章研究一类具有logistic源增长的消耗型趋化方程组在N维有界区域上的齐次Neumaan初边值问题的性质。利用半群理论、L^p估计、极大Sobolev正则性、Moser迭代等方法，证明了当logistic源项的非线性增长指标 $a_{1} > \frac{{(N - 2)}_{+}}{N} χ \tilde{C}$ 时，方程组存在唯一的全局有界经典解，其中 $\tilde{C} = C_{\infty} C_{\frac{N}{2} + 1}^{\frac{1}{\frac{N}{2} + 1}}$ ，而 $C_{\infty} = {‖ v_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)}$ ， $C_{\frac{N}{2} + 1}$ 为极大Sobolev正则性中相应的常数。

关键词

趋化性，logistic源，经典解

Property of a Dissipative Chemotaxis System with Logistic Growth

Xiaohui Lin, Ke Jiang^*

School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan

Received: Nov. 17^th, 2020; accepted: Dec. 11^th, 2020; published: Dec. 18^th, 2020

ABSTRACT

Chemotaxis is known to stimulate the biased motion of cells or organisms by chemical signals produced by substances that are unevenly distributed in space, which has a crucial role in a wide range of biological phenomena such as immune system response, embryo development, tumor growth, population dynamics, etc. Chemotaxis equations (or chemotaxis system) are partial differential equations describing chemotaxis phenomena. Therefore, it is of great theoretical value and practical significance to study chemotaxis system. This article studies the properties of a homogeneous Neumann initial boundary value problem for an expendable chemotaxis system with logistic source growth in an N-dimensional bounded domain. Using semigroup theory, L^P-estimation, maximal Sobolev regularity, Moser iteration and other methods, it is proved that when $a_{1} > \frac{{(N - 2)}_{+}}{N} χ \tilde{C}$ , then the system possesses a global classical solution which is bounded, where $\tilde{C} = C_{\infty} C_{\frac{N}{2} + 1}^{\frac{1}{\frac{N}{2} + 1}}$ , $C_{\infty} = {‖ v_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)}$ and $C_{\frac{N}{2} + 1}$ is a constant which is corresponding to the maximal Sobolev regularity.

Keywords:Chemotaxis, Logistic Source, Classical Solution

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1. 引言

趋化性亦被称为化学趋向性，是细胞或有机体对外界环境中的化学刺激所产生的趋向性反应，在诸如免疫系统反应、胚胎发育、肿瘤生长、种群动力学等生物学现象中起着至关重要的作用 [1] [2]。20世纪70年代初，Keller和Segel研究粘液菌落的趋化现象时，基于生物细胞和化学物质的质量守恒定律，提出了标准的Keller-Segel模型 [3]：

${\begin{array}{l} u_{t} = Δ u - \nabla \cdot (u \nabla v), & x \in Ω, t > 0, \\ v_{t} = Δ v - v + u, & x \in Ω, t > 0, \end{array}$ (1)

其中 $u (x, t)$ 表示细胞密度， $v (x, t)$ 表示化学信号浓度。第二个方程表示，细胞既消耗化学物质，又会产生化学物质。对于方程(1)的Neumann初边值问题，Osaki，Nagai，Winkler [4] [5] [6] 等人证明了空间维数 $N = 1$ 时，对于任意充分光滑的初值，都存在全局有界经典解； $N = 2$ 时，对于任意小的初值，经典解是全局存在的；当 $N \geq 3$ 时，在球形区域中，对于任意充分光滑的初值，其径向对称解会在有限时刻爆破。

由于细胞可以根据多种趋化诱因调整运动，许多学者开始关注经典Keller-Segel模型的各种变体。其中一类典型的模型是只含信号消耗机制而没有产生机制：

${\begin{array}{l} u_{t} = Δ u - \nabla \cdot (u \nabla v), & x \in Ω, t > 0, \\ v_{t} = Δ v - u v, & x \in Ω, t > 0, \\ \frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial v}{\partial n} = 0, & x \in \partial Ω, t > 0, \\ u (x, 0) = u_{0} (x), v (x, 0) = v_{0} (x), & x \in Ω . \end{array}$ (2)

此模型的第二个方程表明，氧气在与细菌接触后，按照固定的速率降解，并且不再产生额外的氧气。若 $Ω$ 为有界凸区域，Tao和Winkler [7] [8] 对解的适定性问题做了大量的工作。

Issa和Shen [9] 考虑了以下一类具有logistic源项的趋化模型

${\begin{array}{l} u_{t} = Δ u - χ \nabla \cdot (u \nabla v) + u (a_{0} (x, t) - a_{1} (x, t) u - a_{2} (x, t) \int_{Ω} u), & x \in Ω, t > 0, \\ τ v_{t} = Δ v - λ v + μ u, & x \in Ω, t > 0, \\ \frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial v}{\partial n} = 0, & x \in \partial Ω, \\ u (x, 0) = u_{0} (x), v (x, 0) = v_{0} (x), & x \in Ω, \end{array}$ (3)

其中 $λ > 0, τ > 0, μ > 0$ ， $χ \in ℝ$ 表示趋化敏感性。 $u (a_{0} - a_{1} u - a_{2} \int_{Ω} u)$ 表示logistic生长源项， $a_{0}$ 表示种群的增长， $a_{1} u$ 表示物种的内部竞争， $a_{2} \int_{Ω} u$ 表示物种的总质量对物种增长的影响。作者证明了非负经典解在一定条件下的全局存在性和有界性。

受上述工作的启发，若模型(3)的第二个方程变为只含信号消耗项而没有信号产生项，那么改变后的方程组是否还具有类似的性质是值得研究的问题。更准确地说，我们将考虑：

${\begin{array}{l} u_{t} = Δ u - χ \nabla \cdot (u \nabla v) + u (a_{0} - a_{1} u - a_{2} \int_{Ω} u), & x \in Ω, t > 0, \\ v_{t} = Δ v - u v, & x \in Ω, t > 0, \\ \frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial v}{\partial n} = 0, & x \in \partial Ω, t > 0, \\ u (\cdot, 0) = u_{0}, v (\cdot, 0) = v_{0}, & x \in Ω, \end{array}$ (4)

其中 $Ω \subset ℝ^{N} (N \geq 1)$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $χ > 0$ ， $a_{i} > 0 (i = 0, 1, 2)$ 。本文的初值 $u_{0}, v_{0}$ 满足

${\begin{matrix} \begin{array}{l} u_{0} \in C^{0} (\bar{Ω}), \\ v_{0} \in W^{1, \infty} (Ω), \end{array} & \begin{array}{l} u_{0} \geq 0, u_{0} 不恒等于 0, x \in \bar{Ω}, \\ v_{0} \geq 0, x \in Ω . \end{array} \end{matrix}$ (5)

定理1 设 $Ω \subset ℝ^{N} (N \geq 1)$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $a_{i} > 0 (i = 0, 1, 2)$ ， $χ > 0$ ，若初值 $u_{0}, v_{0}$ 满足(5)式，则存在常数 $\tilde{C} > 0$ ，使得当 $a_{1} > \frac{{(N - 2)}_{+}}{N} χ \tilde{C}$ 时，初边值问题(4)的经典解整体存在且有界，即存在常数 $C > 0$ ，使得对任意的 $t \in (0, \infty)$ 有

${‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{\infty} (Ω)} + {‖ v (\cdot, t) ‖}_{W^{1, \infty} (Ω)} \leq C,$ (6)

其中 $\tilde{C} = C_{\infty} C_{\frac{N}{2} + 1}^{\frac{1}{\frac{N}{2} + 1}}$ ，而 $C_{\infty} = {‖ v_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)}$ ， $C_{\frac{N}{2} + 1}$ 为极大Sobolev正则性中相应的常数。

论文的其余部分组织如下：第二节介绍经典解的局部存在性和一些基本的性质。第三节给出主要结果的证明。

2. 经典解的局部存在性和一些基本的性质

引理1 ( [10] [11] )设 $Ω \subset ℝ^{N} (N \geq 1)$ 是一个具有光滑边界的有界区域，初值 $u_{0}, v_{0}$ 满足(5)式， $q > N$ ， $a_{i} > 0 (i = 0, 1, 2)$ ， $χ > 0$ ，则存在 $T_{\max} \in (0, \infty]$ ，使得初边值问题(4)有唯一的经典解 $(u, v)$ ，满足

${\begin{cases} u \in C^{0} (\bar{Ω} \times [0, T_{\max})) \cap C^{2, 1} (\bar{Ω} \times (0, T_{\max})), \\ v \in C^{0} (\bar{Ω} \times [0, T_{\max})) \cap C^{2, 1} (\bar{Ω} \times (0, T_{\max})), \end{cases}$

且当 $T_{\max} < \infty$ 时，有

$\underset{t \to T_{\max}}{\lim \sup} ({‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{\infty} (Ω)} + {‖ v (\cdot, t) ‖}_{W^{1, \infty} (Ω)}) = \infty .$ (7)

引理2 ( [12] )设 $Ω \subset ℝ^{N} (N \geq 1)$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $γ \in (1, + \infty)$ ， $g \in L^{γ} ((0, T); L^{γ} (Ω))$ ，v是下列初边值问题的解

${\begin{array}{l} v_{t} - Δ v + v = g, & (x, t) \in Ω \times (0, T), \\ \frac{\partial v}{\partial n} = 0, & (x, t) \in \partial Ω \times (0, T), \\ v (x, 0) = v_{0} (x), & x \in Ω, \end{array}$ (8)

其中 $s_{0} \in (0, T), v (\cdot, s_{0}) \in W^{2, γ} (Ω) (γ > N)$ ，且 $\frac{\partial v (\cdot, s_{0})}{\partial n} = 0$ ，那么存在一个常数 $C_{γ} > 0$ ，使得

$\begin{array}{l} \int_{s_{0}}^{T} e^{γ s} {‖ Δ v (\cdot, s) ‖}_{L^{γ} (Ω)}^{γ} d s \\ \leq C_{γ} (\int_{s_{0}}^{T} e^{γ s} {‖ g (\cdot, s) ‖}_{L^{γ} (Ω)}^{γ} d s + e^{γ s_{0}} ({‖ v (\cdot, s_{0}) ‖}_{L^{γ} (Ω)}^{γ} + {‖ Δ v (\cdot, s_{0}) ‖}_{L^{γ} (Ω)}^{γ})) . \end{array}$ (9)

引理3 ( [13] [14] [15] )设 $Ω \subset ℝ^{N} (N \geq 1)$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $(u, v)$ 是初边值问题(4)的解， $a_{i} > 0 (i = 0, 1, 2)$ ， $χ > 0$ ，初值 $u_{0}, v_{0}$ 满足(5)式，则对任意的 $t \in (0, T_{\max})$ 有

${‖ v (\cdot, t) ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \leq {‖ v_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)} = : C_{\infty} .$ (10)

3. 经典解的全局存在性和有界性

引理4 设 $Ω \subset ℝ^{N} (N \geq 1)$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $(u, v)$ 为初边值问题(4)在 $(0, T_{\max})$ 内的解，初值 $u_{0}, v_{0}$ 满足(5)式， $a_{i} > 0 (i = 0, 1, 2)$ ， $χ > 0$ 。设 $a_{1} > \frac{{(N - 2)}_{+}}{N} χ \tilde{C}$ ，则存在 $q_{0} > \max {1, \frac{N}{2}}$ 及常数 $C > 0$ ，使得对任意的 $t \in (0, T_{\max})$ 有

$\int_{Ω} u^{q_{0}} (\cdot, t) \leq C,$ (11)

其中 $\tilde{C} = C_{\infty} C_{\frac{N}{2} + 1}^{\frac{1}{\frac{N}{2} + 1}}$ ，而 $C_{\infty}$ 为(10)式中所给定的常数， $C_{\frac{N}{2} + 1}$ 为(9)式中令 $γ = \frac{N}{2} + 1$ 时的常数。

证明：将方程组(4)的第一个方程两边同时乘以 $u^{γ - 1}$ ，再在 $Ω$ 上对x积分并利用u的非负性得

$\begin{array}{l} \frac{1}{γ} \frac{d}{d t} \int_{Ω} u^{γ} + (γ - 1) \int_{Ω} u^{γ - 2} {| \nabla u |}^{2} \\ = (γ - 1) χ \int_{Ω} u^{γ - 1} \nabla u \cdot \nabla v + \int_{Ω} u^{γ} (a_{0} - a_{1} u - a_{2} \int_{Ω} u) \\ \leq (γ - 1) χ \int_{Ω} u^{γ - 1} \nabla u \cdot \nabla v + \int_{Ω} u^{γ} (a_{0} - a_{1} u) \\ = - \frac{χ (γ - 1)}{γ} \int_{Ω} u^{γ} Δ v - \frac{γ + 1}{γ} \int_{Ω} u^{γ} + \int_{Ω} u^{γ} (a_{0} + \frac{γ + 1}{γ} - a_{1} u), t \in (0, T_{\max}), \end{array}$ (12)

又因为

$\int_{Ω} u^{γ - 2} {| \nabla u |}^{2} = \frac{4}{γ^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u^{\frac{γ}{2}} |}^{2}, t \in (0, T_{\max}),$

故

$\frac{1}{γ} \frac{d}{d t} \int_{Ω} u^{γ} + \frac{4 (γ - 1)}{γ^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u^{\frac{γ}{2}} |}^{2} \leq - \frac{χ (γ - 1)}{γ} \int_{Ω} u^{γ} Δ v - \frac{γ + 1}{γ} \int_{Ω} u^{γ} + \int_{Ω} u^{γ} (a_{0} + \frac{γ + 1}{γ} - a_{1} u), t \in (0, T_{\max}) .$ (13)

由Young不等式知：对任意的 $ε > 0$ ，都有

$\int_{Ω} u^{γ} (a_{0} + \frac{γ + 1}{γ}) \leq ε \int_{Ω} u^{γ + 1} + C_{1}, t \in (0, T_{\max}),$ (14)

其中 $C_{1} : = \frac{1}{γ + 1} {(\frac{γ + 1}{γ} ε)}^{- γ} {(a_{0} + \frac{γ + 1}{γ})}^{γ + 1} | Ω |$ 。由(13)与(14)式知

$\frac{1}{γ} \frac{d}{d t} \int_{Ω} u^{γ} + \frac{4 (γ - 1)}{γ^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u^{\frac{γ}{2}} |}^{2} \leq \frac{χ (γ - 1)}{γ} \int_{Ω} u^{γ} | Δ v | - \frac{γ + 1}{γ} \int_{Ω} u^{γ} + (ε - a_{1}) \int_{Ω} u^{γ + 1} + C_{1}, t \in (0, T_{\max}) .$ (15)

再利用Young不等式可知：对任意的 $m > 0$ 有

$\begin{matrix} \frac{χ (γ - 1)}{γ} \int_{Ω} u^{γ} | Δ v | \leq m \int_{Ω} u^{γ + 1} + \frac{1}{γ + 1} {(\frac{γ + 1}{γ})}^{- γ} {(\frac{γ - 1}{γ})}^{γ + 1} m^{- γ} χ^{γ + 1} \int_{Ω} {| Δ v |}^{γ + 1} \\ = m \int_{Ω} u^{γ + 1} + A_{γ} m^{- γ} χ^{γ + 1} \int_{Ω} {| Δ v |}^{γ + 1}, t \in (0, T_{\max}), \end{matrix}$ (16)

其中 $A_{γ} : = \frac{1}{γ + 1} {(\frac{γ + 1}{γ})}^{- γ} {(\frac{γ - 1}{γ})}^{γ + 1}$ 。将(16)式带入(15)式得

$\frac{1}{γ} \frac{d}{d t} \int_{Ω} u^{γ} + \frac{4 (γ - 1)}{γ^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u^{\frac{γ}{2}} |}^{2} \leq (m + ε - a_{1}) \int_{Ω} u^{γ + 1} - \frac{γ + 1}{γ} \int_{Ω} u^{γ} + A_{γ} m^{- γ} χ^{γ + 1} \int_{Ω} {| Δ v |}^{γ + 1} + C_{1}, t \in (0, T_{\max}) .$ (17)

取定 $s_{0} \in (0, T_{\max})$ 且 $s_{0} \leq 1$ ，由引理1可知存在常数 $K > 0$ ，使得

${‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \leq K, {‖ Δ v (\cdot, s_{0}) ‖}_{L^{γ + 1} (Ω)} \leq K, t \in (0, s_{0}] .$ (18)

设y为常微分方程

${\begin{array}{l} y^{'} = - (γ + 1) y + γ f (t), & t \in (s_{0}, T_{\max}), \\ y (s_{0}) = {‖ u (s_{0}) ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \end{array}$ (19)

的解，其中 $f (t) = (m + ε - a_{1}) \int_{Ω} u^{γ + 1} + A_{γ} m^{- γ} χ^{γ + 1} \int_{Ω} {| Δ v |}^{γ + 1} + C_{1}$ 。

由(17)和(19)式，并结合抛物型方程的比较原理和常数变易法，对任意的 $t \in (s_{0}, T_{\max})$ 有

$\int_{Ω} u^{γ} (\cdot, t) \leq y (t) = e^{- (γ + 1) (t - s_{0})} {‖ u (\cdot, s_{0}) ‖}_{L^{\infty} (Ω)} + γ \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} f (s) d s .$

再结合(18)式有

$\begin{matrix} \frac{1}{γ} \int_{Ω} u^{γ} \leq \frac{1}{γ} e^{- (γ + 1) (t - s_{0})} {‖ u (\cdot, s_{0}) ‖}_{L^{\infty} (Ω)} + (m + ε - a_{1}) \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} \int_{Ω} u^{γ + 1} d s \\ + A_{γ} m^{- γ} χ^{γ + 1} \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} \int_{Ω} {| Δ v |}^{γ + 1} d s + C_{1} \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} d s \\ \leq (m + ε - a_{1}) \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} \int_{Ω} u^{γ + 1} d s \\ + A_{γ} m^{- γ} χ^{γ + 1} \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} \int_{Ω} {| Δ v |}^{γ + 1} d s + \frac{K}{γ} e^{- (γ + 1) (t - s_{0})} + \frac{C_{1}}{γ + 1} . \end{matrix}$ (20)

由引理2可知，对任意的 $t \in (s_{0}, T_{\max})$ 有

$\begin{array}{l} \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} {‖ Δ v (\cdot, s) ‖}_{L^{γ + 1} (Ω)}^{γ + 1} d s \\ \leq C_{γ + 1} \int_{s_{0}}^{t} {‖ v (\cdot, s) - u v (\cdot, s) ‖}_{L^{γ + 1} (Ω)}^{γ + 1} d s \\ + C_{γ + 1} e^{- (γ + 1) (t - s_{0})} ({‖ v (\cdot, s_{0}) ‖}_{L^{γ + 1} (Ω)}^{γ + 1} + {‖ Δ v (\cdot, s_{0}) ‖}_{L^{γ + 1} (Ω)}^{γ + 1}) \\ \leq \frac{C_{γ + 1}}{γ + 1} {‖ v_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)}^{γ + 1} + C_{γ + 1} {‖ v_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)}^{γ + 1} \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} {‖ u (\cdot, s) ‖}_{L^{γ + 1} (Ω)}^{γ + 1} d s \\ + C_{γ +1} e^{- (γ + 1) (t - s_{0})} ({‖ v (\cdot, s_{0}) ‖}_{L^{γ + 1} (Ω)}^{γ + 1} + {‖ Δ v (\cdot, s_{0}) ‖}_{L^{γ + 1} (Ω)}^{γ + 1}), \end{array}$ (21)

其中 $C_{γ + 1} > 0$ 为引理2所对应给定的常数。结合(18)，(20)和(21)式，对任意的 $t \in (s_{0}, T_{\max})$ 有

$\begin{matrix} \frac{1}{γ} \int_{Ω} u^{γ} \leq (m + ε + A_{γ} C_{γ + 1} m^{- γ} χ^{γ + 1} C_{\infty}^{γ + 1} - a_{1}) \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} \int_{Ω} u^{γ + 1} d s \\ + e^{- (γ + 1) (t - s_{0})} (\frac{K}{γ} + A_{γ} C_{γ + 1} m^{- γ} χ^{γ + 1} K^{γ + 1} + A_{γ} C_{γ + 1} m^{- γ} χ^{γ + 1} C_{\infty}^{γ + 1}) \\ + \frac{C_{γ + 1}}{γ + 1} C_{\infty}^{γ + 1} χ^{γ + 1} A_{γ} m^{- γ} + \frac{C_{1}}{γ + 1} \\ \leq (m + ε + A_{γ} C_{γ + 1} m^{- γ} χ^{γ + 1} C_{\infty}^{γ + 1} - a_{1}) \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} \int_{Ω} u^{γ + 1} d s + C_{2} . \end{matrix}$ (22)

其中 $C_{2} : = \frac{K}{γ} + A_{γ} C_{γ + 1} m^{- γ} χ^{γ + 1} K^{γ + 1} + A_{γ} C_{γ + 1} m^{- γ} χ^{γ + 1} C_{\infty}^{γ + 1} + \frac{C_{γ + 1}}{γ + 1} C_{\infty}^{γ + 1} χ^{γ + 1} A_{γ} m^{- γ} + \frac{C_{1}}{γ + 1}$ ， $C_{\infty}$ 为引理3中所给定的常数。令

$H (m) = A_{γ} C_{γ + 1} m^{- γ} χ^{γ + 1} C_{\infty}^{γ + 1} + m,$

则

$H^{'} (m) = - γ A_{γ} C_{γ + 1} m^{- γ - 1} χ^{γ + 1} C_{\infty}^{γ + 1} + 1,$

因此

$H^{'} (m) = 0 \Leftrightarrow m = {(γ A_{γ} C_{γ + 1})}^{\frac{1}{γ + 1}} χ C_{\infty} .$

则对任意的 $m > 0$ 有

$H^{″} (m) = γ (γ + 1) A_{γ} C_{γ + 1} m^{- γ - 2} χ^{γ + 1} C_{\infty}^{γ + 1} > 0,$

所以

$\min_{m > 0} H (m) = H (m_{0}),$

其中 $m_{0} = {(γ A_{γ} C_{γ + 1})}^{\frac{1}{γ + 1}} χ C_{\infty}$ ，那么

$H (m_{0}) = {(A_{γ} C_{γ + 1} γ^{- γ})}^{\frac{1}{γ + 1}} χ C_{\infty} (1 + γ),$ (23)

其中 $A_{γ} : = \frac{1}{γ + 1} {(\frac{γ + 1}{γ})}^{- γ} {(\frac{γ - 1}{γ})}^{γ + 1}$ 。因此

$A_{γ}^{\frac{1}{γ + 1}} = {(\frac{1}{γ + 1})}^{\frac{1}{γ + 1}} {(\frac{γ + 1}{γ})}^{- \frac{γ}{γ + 1}} (\frac{γ - 1}{γ}) = {(γ + 1)}^{- 1} γ^{\frac{γ}{γ + 1}} (\frac{γ - 1}{γ}) .$ (24)

由(23)和(24)式可得

$H (m_{0}) = \frac{γ - 1}{γ} C_{γ + 1}^{\frac{1}{γ + 1}} χ C_{\infty} .$

最后，再结合(22)式可得

$\frac{1}{γ} \int_{Ω} u^{γ} \leq (ε + \frac{γ - 1}{γ} C_{γ + 1}^{\frac{1}{γ + 1}} C_{\infty} χ - a_{1}) \int_{s_{0}}^{t} e^{- (γ + 1) (t - s)} \int_{Ω} u^{γ + 1} d s + C_{2}, t \in (0, T_{\max}) .$ (25)

由于 $a_{1} > \frac{{(N - 2)}_{+}}{N} χ \tilde{C} = \frac{\frac{N}{2} - 1}{\frac{N}{2}} χ \tilde{C}$ ( $\tilde{C} = C_{\infty} C_{\frac{N}{2} + 1}^{\frac{1}{\frac{N}{2} + 1}}$ )，则由实数的连续性可知，存在 $q_{0} > \frac{N}{2}$ ，使得

$a_{1} > \frac{q_{0} - 1}{q_{0}} χ \tilde{C},$

令 $ε < a_{1} - \frac{q_{0} - 1}{q_{0}} \tilde{C} χ$ ，则 $ε + \frac{q_{0} - 1}{q_{0}} C_{\frac{N}{2} + 1}^{\frac{1}{\frac{N}{2} + 1}} C_{\infty} χ - a_{1} < 0$ ，在(25)式中，取 $γ = q_{0}$ ，那么

$\frac{1}{q_{0}} \int_{Ω} u^{q_{0}} \leq C_{2},$

即对任意的 $t \in (0, T_{\max})$ ，(11)式成立。

引理5 设 $Ω \subset ℝ^{N} (N \geq 1)$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $(u, v)$ 为初边值问题(4)在 $(0, T_{\max})$ 内的解，初值 $u_{0}, v_{0}$ 满足(5)式， $a_{i} > 0 (i = 0, 1, 2)$ ， $χ > 0$ ，且 $q_{0} > \max {1, \frac{N}{2}}$ ， $a_{1} > \frac{{(N - 2)}_{+}}{N} χ \tilde{C}$ 。则对任意的 $q \in (1, \frac{N q_{0}}{{(N - q_{0})}_{+}})$ ，存在常数 $C > 0$ ，使得对任意的 $t \in (0, T_{\max})$ 有

${‖ \nabla v (\cdot, t) ‖}_{L^{q} (Ω)} \leq C,$ (26)

其中 $\tilde{C}$ 为引理4中所给定的常数。

证明：由方程组(4)中的第二个方程和常数变易法知，

$v (\cdot, t) = e^{t Δ} v_{0} - \int_{0}^{t} e^{(t - s) Δ} u v (\cdot, s) d s, t \in (0, T_{\max}) .$ (27)

由[ [16] 引理1.3]以及Hölder不等式知，对任意的 $t \in (0, T_{\max})$ 有

$\begin{array}{l} {‖ \nabla v (\cdot, t) ‖}_{L^{q} (Ω)} \\ \leq C_{1} {‖ v_{0} ‖}_{W^{1, \infty} (Ω)} + C_{2} \int_{0}^{t} (1 + {(t - s)}^{- \frac{1}{2} - \frac{N}{2} {(\frac{1}{q_{0}} - \frac{1}{q})}_{+}}) e^{- λ (t - s)} {‖ u v (\cdot, s) ‖}_{L^{q_{0}} (Ω)} d s \\ \leq C_{1} {‖ v_{0} ‖}_{W^{1, \infty} (Ω)} + C_{2} {‖ v_{0} ‖}_{W^{1, \infty} (Ω)} \sup_{t \in (0, T_{\max})} {‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{q_{0}} (Ω)} \int_{0}^{\infty} (1 + s^{- \frac{1}{2} - \frac{N}{2} {(\frac{1}{q_{0}} - \frac{1}{q})}_{+}}) e^{- λ s} d s . \end{array}$ (28)

其中常数 $C_{1}, C_{2} > 0$ 。因为 $q < \frac{N q_{0}}{{(N - q_{0})}_{+}}$ ，所以 $\frac{1}{2} + \frac{N}{2} {(\frac{1}{q_{0}} - \frac{1}{q})}_{+} < 1$ 。由(5)和(11)式可得(26)式。

引理6 设 $Ω \subset ℝ^{N} (N \geq 1)$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $(u, v)$ 为初边值问题(4)在 $(0, T_{\max})$ 内的解，初值 $u_{0}, v_{0}$ 满足(5)式， $a_{i} > 0 (i = 0, 1, 2)$ ， $χ > 0$ ， $a_{1} > \frac{{(N - 2)}_{+}}{N} χ \tilde{C}$ ，则对任意的 $p \geq 1$ ，存在常数 $C > 0$ ，使得对任意的 $t \in (0, T_{\max})$ 有

$\int_{Ω} u^{p} (\cdot, t) \leq C,$ (29)

其中 $\tilde{C}$ 为引理4中所给定的常数。

证明：由于 $q_{0} > \max {1, \frac{N}{2}}$ ，那么 $q_{0} \in (1, \frac{N q_{0}}{2 {(N - q_{0})}_{+}})$ ，由引理4和引理5可知

$\sup_{t \in (0, T_{\max})} \int_{Ω} u^{q_{0}} (\cdot, t) < \infty,$ (30)

$\sup_{t \in (0, T_{\max})} \int_{Ω} {| \nabla v (\cdot, t) |}^{2 q_{0}} < \infty .$ (31)

(i) 如果 $p \leq q_{0}$ ，则 $L^{q_{0}} (Ω)$ ↪ $L^{p} (Ω)$ ，那么存在常数 $C_{1} > 0$ ，使得

${‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{p} (Ω)} \leq C_{1} {‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{q_{0}} (Ω)},$

由(30)式可得(29)式。

(ii) 如果 $p > q_{0}$ ，将方程组(4)的第一个方程两边同时乘以 $u^{p - 1}$ ，再在 $Ω$ 上对x积分得

由Young不等式可得

$\begin{array}{l} \frac{1}{p} \frac{d}{d t} \int_{Ω} u^{p} + \frac{4 (p - 1)}{p^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u^{\frac{p}{2}} |}^{2} \\ \leq χ (p - 1) \int_{Ω} u^{p - 1} \nabla u \cdot \nabla v - \frac{a_{1}}{2} \int_{Ω} u^{p + 1} + C_{2} \\ \leq \frac{p - 1}{2} \int_{Ω} u^{p - 2} {| \nabla u |}^{2} + \frac{χ^{2} (p - 1)}{2} \int_{Ω} u^{p} {| \nabla v |}^{2} - \frac{a_{1}}{2} \int_{Ω} u^{p + 1} + C_{2} \\ = \frac{2 (p - 1)}{p^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u^{\frac{p}{2}} |}^{2} + \frac{χ^{2} (p - 1)}{2} \int_{Ω} u^{p} {| \nabla v |}^{2} - \frac{a_{1}}{2} \int_{Ω} u^{p + 1} + C_{2}, t \in (0, T_{\max}), \end{array}$ (33)

其中常数 $C_{2} > 0$ 。由Hölder不等式和(31)式有

$\begin{matrix} \frac{χ^{2} (p - 1)}{2} \int_{Ω} u^{p} {| \nabla v |}^{2} \leq \frac{χ^{2} (p - 1)}{2} {(\int_{Ω} u^{\frac{q_{0}}{q_{0} - 1} p})}^{\frac{q_{0} - 1}{q_{0}}} {(\int_{Ω} {| \nabla v |}^{2 q_{0}})}^{\frac{1}{q_{0}}} \\ \leq C_{3} {‖ u^{\frac{p}{2}} ‖}_{L^{\frac{2 q_{0}}{q_{0} - 1}} (Ω)}^{2}, t \in (0, T_{\max}), \end{matrix}$ (34)

其中常数 $C_{3} > 0$ 。由Gagliardo-Nirenberg不等式知，存在一个正常数 $C_{4}$ ，使得

$C_{3} {‖ u^{\frac{p}{2}} ‖}_{L^{\frac{2 q_{0}}{q_{0} - 1}} (Ω)}^{2} \leq C_{4} {‖ \nabla u^{\frac{p}{2}} ‖}_{L^{2} (Ω)}^{2 θ} {‖ u^{\frac{p}{2}} ‖}_{L^{\frac{2 q_{0}}{p}} (Ω)}^{2 (1 - θ)} + C_{4} {‖ u^{\frac{p}{2}} ‖}_{L^{\frac{2 q_{0}}{p}} (Ω)}^{2}$

其中 $θ = \frac{\frac{N p}{2 q_{0}} - \frac{N (q_{0} - 1)}{2 q_{0}}}{1 + \frac{N}{2} (\frac{p}{q_{0}} - 1)}$ ，由于 $\frac{N}{2} < q_{0} < p$ ，故 $0 < θ < 1$ 。再利用Young不等式可得

$\frac{χ^{2} (p - 1)}{2} \int_{Ω} u^{p} {| \nabla v |}^{2} \leq \frac{2 (p - 1)}{p^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u^{\frac{p}{2}} |}^{2} + C_{5}, t \in (0, T_{\max}) .$ (35)

再将(35)式带入(33)式，

$\begin{matrix} \frac{1}{p} \frac{d}{d t} \int_{Ω} u^{p} \leq \frac{2 (p - 1)}{p^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u^{\frac{p}{2}} |}^{2} - \frac{2 (p - 1)}{p^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u^{\frac{p}{2}} |}^{2} - \frac{a_{1}}{2} \int_{Ω} u^{p + 1} + C_{6} \\ = - \frac{a_{1}}{2} \int_{Ω} u^{p + 1} + C_{6} \leq - \frac{a_{1}}{2 {| Ω |}^{\frac{1}{p}}} {(\int_{Ω} u^{p})}^{\frac{p + 1}{p}} + C_{6}, t \in (0, T_{\max}) . \end{matrix}$ (36)

其中常数 $C_{6} > 0$ ，故(29)式成立。

定理1的证明由引理6可知，对任意的 $p \geq 1$ ， ${‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{p} (Ω)}$ 是有界的，由Neumann热半群的性质 [17] [18] 可知，存在常数 $C_{1} > 0$ ，使得

${‖ \nabla v (\cdot, t) ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \leq C_{1}$ (37)

另一方面，由Moser-Alikakos迭代理论 [12] 可知，存在一个常数 $C_{2} > 0$ ，使得

${‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \leq C_{2}$ (38)

由(37)和(38)式及引理1可知 $T_{\max} = \infty$ ，定理1得证。

致谢

感谢审稿人的审阅及对文章的意见和建议。

文章引用

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