西南交通大学,四川 成都
收稿日期:2021年2月11日;录用日期:2021年3月11日;发布日期:2021年3月18日
摘要
给定李群胚
以及I-空间N,本文考虑了余切群胚
在余切丛
上的辛群胚作用,并给出了辛约化的具体表示。
关键词
李群胚,辛流形,辛群胚,余切群胚,辛约化
Symplectic Reduction for Cotangent Groupoids
Yuanli Dai
Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan
Received: Feb. 11th, 2021; accepted: Mar. 11th, 2021; published: Mar. 18th, 2021
ABSTRACT
Given a Lie groupoid
and I-space N, this paper considers symplectic groupoid actions of the cotangent groupoid
on the cotangent bundle
. Meanwhile, this reduction is investigated concretely.
Keywords:Lie Groupoid, Symplectic Manifold, Symplectic Groupoid, Cotangent Groupoid, Symplectic Reduction
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
约化理论起源于力学发展的早期阶段,是一种古典但历久弥新的理论。由于辛几何与Hamiltonian力学的紧密联系,约化理论在辛几何中也得到了充分的发展,即辛约化理论。在经典辛约化理论中G-等变的矩映射
生成Lie群G在辛流形M上的Hamiltonian作用,从而在必要的附加条件下可得到辛约化流形
。辛约化理论起源于Arnold [1],Smale [2],Meyer [3] 以及Marsden-Weinstein [4] 等著名数学家的相关工作,经半个多世纪的发展,迄今仍是辛几何中的研究热点之一。
本文要考虑的余切群胚辛约化与经典辛约化理论中的两种重要情形,即余切丛辛约化和辛群胚约化,有着密切的联系。具体来说,给定李群胚
以及I-空间N,即给定
流形N以及
在N上的作用。我们可以证明余切群胚
是李群胚。若李群胚
在N上的作用能被提升为余切群胚
在余切丛余切群胚
上的辛作用,则由辛约化技巧 [5] 我们可得到新的辛流形,并将证明此约化辛流形辛同胚于某个商流形的余切丛。
2. 余切群胚
首先回顾辛群胚的定义。
定义2.1 [6] 群胚包含两个集合G和M (分别称为群胚和群胚的基),满射
(分别称为源映射和靶映射),映射
,定义在
的子集
上的乘法
,满足:
1. 对任意
,有
且
;
2. 对任意
,有
,其中
且
;
3. 对任意
, ;
4. 对任意
,有
;
5. 对任意
,G中存在逆元
,满足
,,,。
定义2.2 [6] 一个群胚
称为李群胚,如果G和M都是微分流形,
都是浸没,并且乘法运算均为流形间的光滑映射。
定义2.3 [6] 令
是一个李群胚,若在G上有辛结构
,使得乘法图像
是乘积辛流形
的拉格朗日子流形,则称
为辛群胚。
引理2.1 [7] 设X为
流形,S为X的子流形,则余法丛
是余切丛
的拉格朗日子流形,其中
为余切丛
的典范辛形式。
给定李群胚
,以
表示由切映射
诱导的向量丛,以
, 表示单位映射。定义向量丛
为
在
映射
下的拉回丛,从而对
,纤维
。
定义结构映射
,乘积映射
,单位映射
,以及逆映射如下:
① 定义
,使得对
,有
。其中
为向量丛间的丛映射使得对
,,,这里
满足
。
② 定义
,使得对
,有
。
③ 定义乘法运算
,。其中
满足
。这里
和
满足
使得
。
④ 定义单位映射
,使得对
,有
。
⑤ 定义逆运算:
。使得对
有
(其中
为X在逆运算
的诱导切映射
下的像)。
定理2.1 给定李群胚
,在上述定义的映射下,
为辛群胚。称
为余切群胚。
证明:(1) 验证群胚结构:
① 任取
,使得
,则
。需说明
,。
事实上,
,有
从而
。
,有
,
从而
。
② 任取
,且满足
。需说明
。
任取
,且满足
。从而
,从而
。从而
。
③ 任取
,需说明
。
任取
,则有
。
另外,
。
④ 任取
,需说明
,。
任取
满足
,
任取
满足
,
⑤ 任取
,需说明
,,,。
任取
,则
。
同理可证
。
任取
满足
,。注意到
中的元素均可唯一表示
为
,其中
。
由于
,从而
。从而
。
,故
。
以
为切空间
中的零向量,则
,(*)
若上式成立,则
。
从而
。同理可证
。
注:由于
,从而可取
曲线
充分小使得
有
且
。从而
从而
。
(2) 证明
是辛流形
的拉格朗日子流形,则
为辛群胚。
由于
为李群胚,从而
是
的光滑子流形,由引理1可知,余法丛
是
的拉格朗日子流形。任取
,则余法丛
的纤维为
,
此纤维同构于
。得证。
3. 主要结果及证明
令
是一个李群胚,N是一个
流形,并且
是
映射。
定义3.1 [8] 李群胚G在流形N上的带有矩映射J的作用是一个
映射
,,其中
,满足以下条件:
(1)
;
(2)
;
(3)
。
定义3.2 [8] 设
是李群胚G在辛流形N上的作用,如果
是辛群胚,并且作用的图像
是乘积辛流形
的拉格朗日子流形,则称
为辛群胚作用。其中
表示辛流形
。
定理3.1 [8] 令
为辛
-空间,如果u是J的clean值,
为光滑流形使得投射
为浸没映射。那么在
上存在一个辛结构
使得
,其中
是
到M的包含映射。这里称u为J的clean值,是指
为u的
子流形,并且对
有
。
下面开始考虑余切群胚在余切丛上的辛作用,并具体描述辛约化过程。具体来说,假设李群胚
光滑作用在流形N上,且有矩映射
。定义映射
如下:任取
,定
义
使得对
有
(其中
为由X诱导的切向量:任取
中通过
的
曲线
, 使得
,则
)。定义
,,显然
是光滑的丛映射且使得图表
可交换,其中
均为丛投影映射。
定理3.2假设余切群胚
辛作用在余切丛上
上,且以
为矩映射。假设
为clean值使得
为
流形,且
为浸没映射,假
设m为clean值使得
为
流形,且
为浸没映射,则约化辛流形
辛微分同胚于余切丛
。
证明:定义光滑映射
使得对
有
。下面说明与
的选取无关,如果
使得
,则
,因此
,其中
。从而
,即
。
下面说明
是
-不变的。对于任意
有
,从而
,所以对于
任意
及任意
,有
。
下面说明
是满射。如果
,其中
。我们定义
使得
,那么
。
从而
诱导
满射
,满足
(其中
)。
下面说明
是单射。取
满足
。从而有
使得
。因为
可知
。由于
是
-
不变的,则
,即对于任意
有
。因此
,从而
。
下面说明
是辛映射。令
为
的典范1-形式,
为
的典范1-形式,
为包含映射,
为商投影。
为余切丛投影,显然有
。取
,则
故
。因此
,其中
分别为
的典范辛形式。由辛约化定理可知,
,其中
为
的约化辛形式。
因此
为光滑辛双射。因为辛映射为浸入映射,故
为浸入映射。由维数比较有
,
故
为局部微分同胚映射。又由于
为双射,从而
为微分同胚映射。
文章引用
戴远莉. 余切群胚的辛约化
Symplectic Reduction for Cotangent Groupoids[J]. 理论数学, 2021, 11(03): 323-329. https://doi.org/10.12677/PM.2021.113043
参考文献
- 1. Arnold, V. (1966) Sur la gèométrie diffèrentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l’hydrodynamique des fluides parfaits. Annales de l’Institut Fourier, 16, 319-361. https://doi.org/10.5802/aif.233
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- 4. Marsden, J. and Weinstein, A. (1974) Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry. Reports on Mathematical Physics, 5, 121-130. https://doi.org/10.1016/0034-4877(74)90021-4
- 5. Marsden, J.E., Misiolek, G., Ortega, J.P., et al. (2007) Ham-iltonian Reduction by Stages. Springer, New York, 1-64.
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