辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连

收稿日期：2023年1月31日；录用日期：2023年3月1日；发布日期：2023年3月8日

摘要

针对四次带参数PH曲线，讨论其几何特征和几何构造方法。首先，定义了一类含一个形状参数的四次m-Bernstein基函数，进而得到四次m-Bézier曲线。然后通过引入辅助控制顶点给出四次m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件，最后提出一种新的四次带参数PH曲线的几何构造方法，并给出误差分析，通过数值例子，验证了方法的有效性和可行性。

关键词

m-Bézier曲线，形状参数，PH曲线，几何特征

Construction Approach of Quartic PH Curves with Parameter

Xue Yang, Xingxuan Peng^*, Zhuo Duan

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Jan. 31^st, 2023; accepted: Mar. 1^st, 2023; published: Mar. 8^th, 2023

ABSTRACT

The geometric characteristics and the geometric construction method of quartic PH curve with parameter are discussed. First, we define a class of quartic m-Bernstein basis function with a shape parameter. Then the quartic m-Bézier curve is obtained. By introducing the auxiliary control vertex, the geometric characteristic conditions for quartic m-Bézier curve becoming PH curve is given. We propose a new geometric construction approach of quartic PH curve with parameter. And the error analysis is given. The validity and feasibility of the study are verified by numerical examples.

Keywords:m-Bézier Curves, Shape Parameter, PH Curves, Geometric Characteristics

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

随着计算机技术的不断完善和发展，计算机辅助几何设计(CAGD)在航空、建筑、机械设计和制造等现代工业领域得到广泛应用。利用Bézier方法表示与逼近曲线曲面在CAGD中具有重要的应用价值。Bézier曲线的形状仅与其控制多边形的控制顶点有关，为了在不改变控制顶点的前提下自由调整曲线形状，国内外学者引入了含有一个或多个形状参数的Bézier曲线 [1] - [6] 。

Bézier曲线具有凸包性、变差缩减性、几何不变性等优点。然而，由于其单位法向量包含一个平方根，Bézier曲线并不总有有理等距曲线。1990年，Farouki [7] 引入了一种平面参数曲线Pythagorean-hodograph曲线(简称PH曲线)，这类曲线的弧长和等距线可用有理多项式表示。此后，涌现了大量对PH曲线相关理论及应用的研究，文献 [7] 给出了在边角分离的条件下，三次PH曲线的控制多边形的几何特征；为了推广三次PH曲线的应用，文献 [8] 讨论了给定3个型值点插值三次PH曲线，并给出其构造方法；文献 [9] 讨论了四次PH曲线控制多边形的几何条件以及Hermite插值问题；文献 [10] 从几何结构和复分析的角度构造了Hermite插值的四次PH曲线，并给出插值逼近的误差；文献 [11] 通过引入辅助控制顶点研究了五次Bézier 曲线成为PH曲线的充要条件，得到五次PH曲线的控制多边形的几何特征；文献 [12] 给出了五次PH曲线的Bézier控制点之间的几何关系，给出了在Hermite插值条件下构造五次PH曲线的几何方法；文献 [13] 、 [14] 分别讨论了六次、七次PH曲线的构造方法以及Hermite插值问题；文献 [15] 提出了七次Bézier曲线成为PH曲线时其控制多边形满足的边角约束条件；文献 [16] 以基曲线端点、一阶导数及曲率为插值条件构造G²连续的七次PH曲线。此外，PH曲线的应用得到进一步拓展，文献 [17] 给出了三次H-Bézier曲线成为PH曲线的边角分离的几何条件，并提出一种新的几何构造法。四次PH曲线具有更多的自由度，应用更加灵活，目前为止，四次曲线的几何构造方法还没有被研究。

本文主要研究了带参数PH曲线的逼近问题，结构安排如下：首先，定义了一类含一个形状参数的四次m-Bernstein基函数，从而得到四次m-Bézier曲线；其次，通过引入辅助控制顶点的方法给出四次m-Bézier曲线成为PH曲线的边角特征；最后，进一步讨论了四次PH曲线的几何构造方法，并给出误差估计和数值实例。

2. 四次带参数的m-Bézier曲线

本节定义了一类含一个形状参数的四次m-Bernstein基函数，进而得到四次m-Bézier曲线。

定义1 对于任意的 $t\in \left[0,1\right],m\in \left[0,1\right]$ ，称关于t的多项式

$\{\begin{array}{l}{b}_{0,4}\left(t\right)={\left(1-mt\right)}^4\\ b_{1,4}\left(t\right)=4mt{\left(1-mt\right)}^3\\ b_{2,4}\left(t\right)=6m^2{t}^2{\left(1-mt\right)}^2\\ b_{3,4}\left(t\right)=4m^3{t}^3{\left(1-mt\right)}^2\\ b_{4,4}\left(t\right)=m^4{t}^4\end{array}$ (1)

为四次m-Bernstein基函数。

定义2 给定控制顶点 $P_i\in R^2,i=0,1,2,3,4$ ，对任意的 $t\in \left[0,1\right]$ ，则称

$B\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{P}_i{b}_{i,4}\left(t\right),i=0,1,2,3,4}$ (2)

为四次m-Bézier曲线。

从四次m-Bernstein基函数的定义中，我们可以得到m-Bézier曲线与Bézier曲线有许多共同的基本性质，比如端点性、对称性、几何不变性、保凸性、变差缩减性等。另外，其速端曲线也可以表示为Bernstein形式：

$B^{\prime }\left(t\right)=4{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{3}{\sum }}\Delta P_i{b}_{i,3}(\left(t\right),i=0,1,2,3}$ (3)

其中 $\Delta P_i=P_{i+1}-P_i,i=0,1,2,3$ 为控制顶点的一阶向前差分， $L_i=\Vert \Delta P_i\Vert ,i=0,1,2,3$ 为控制多边形的边长。

3. 四次带参数的m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件

定义3 [6] 给定一条平面参数多项式曲线 $q\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ ，若存在一个实多项式 $\sigma \left(t\right)$ ，使得 ${\sigma }^2\left(t\right)={x^{\prime }}^2\left(t\right)+{y^{\prime }}^2\left(t\right)$ ，则称该曲线为一条平面PH曲线。

引理1 [9] 一条平面参数曲线是PH曲线当且仅当其一阶导数满足

$P^{\prime }\left(t\right)=\rho \left(t\right)Q^2\left(t\right)$ (4)

其中 $\rho \left(t\right)$ 为实多项式， $Q\left(t\right)$ 为复多项式。

因为四次PH曲线的导矢是三次的，所以 $P\left(t\right)$ 可写成如下形式：

$P^{\prime }\left(t\right)=\left[a_0\left(1-\alpha t\right)+\alpha t\right]{\left[z_0\left(1-\alpha t\right)+z_1\left(\alpha t\right)\right]}^2,a_0\in R,z_0,z_1\in C$ (5)

将(5)式展开，得到

$P^{\prime }\left(t\right)=a_0{z}_0^2{\left(1-\alpha t\right)}^3+\left(2a_0{z}_0{z}_1+z_0^2\right)\alpha t{\left(1-\alpha t\right)}^2+\left(a_0{z}_1^2+2z_0{z}_1\right)\alpha t^2\left(1-\alpha t\right)+z_1^2{\left(\alpha t\right)}^3$ (6)

利用比较系数法，将(6)式与Bernstein多项式系数比较，得到

$\{\begin{array}{l}{a}_0{z}_0^2=4\alpha \Delta P_0\hfill \\ 2a_0{z}_0{z}_1+z_0^2=12\alpha \Delta P_1\hfill \\ a_0{z}_1^2+2z_0{z}_1=12\alpha \Delta P_2\hfill \\ z_1^2=4\alpha \Delta P_3\hfill \end{array}$ (7)

为方便讨论，令 $\angle P_0{Q}_1{P}_2=\angle P_2{Q}_2{P}_3$ ，引入辅助控制顶点 $Q_1$ 、 $Q_2$ ，

$\{\begin{array}{l}{Q}_1=P_1+\frac{z_0^2}{12\alpha }=P_2-\frac{a_0{z}_0{z}_1}{6\alpha }\hfill \\ Q_2=P_2+\frac{z_0{z}_1}{6\alpha }=P_3-\frac{a_0{z}_1^2}{12\alpha }\hfill \end{array}$ (8)

不妨记

$\left|P_1-Q_1\right|=R_0,\left|Q_1-P_2\right|=R_1,\left|P_2-Q_2\right|=R_2,\left|Q_2-P_3\right|=R_3,$

得到四次PH曲线的控制多边形如图1所示。

图1. 四次PH曲线的控制多边形

(8)式可化为

$\{\begin{array}{l}{R}_0=\frac{z_0^2}{12\alpha }\hfill \\ R_1=\frac{a_0{z}_0{z}_1}{6\alpha }\hfill \\ R_2=\frac{z_0{z}_1}{6\alpha }\hfill \\ R_3=\frac{a_0{z}_1^2}{12\alpha }\hfill \end{array}$ (9)

即 $R_1{R}_2=4R_0{R}_3$ 。

由(8)、(9)式，得到

$a_0=\frac{L_0}{3R_0}=\frac{3R_3}{L_3}=\frac{R_1}{R_2}$ (10)

通过调整 $a_0$ 的取值可以对曲线的形状进行调整。

从而 $L_0{R}_2=3R_0{R}_1,L_3{R}_1=3R_2{R}_3$ 。

综上，我们给出四次带参数的m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征，得到了四次带参数的PH曲线，我们称为m-PH曲线，如定理2所述。

定理2 给定 $\angle P_0{Q}_1{P}_2=\angle P_2{Q}_2{P}_3$ ，一个四次m-Bézier曲线是m-PH曲线当且仅当直线 $Q_1{Q}_2$ 经过点 $P_2$ ，分别与 $P_0{P}_1$ 、 $P_4{P}_3$ 交于点 $Q_1$ 、 $Q_2$ ，使得

$\begin{array}{l}{L}_0{R}_2=3R_0{R}_1,\\ L_3{R}_1=3R_2{R}_3,\\ R_1{R}_2=4R_0{R}_3.\end{array}$

4. 四次m-PH曲线的几何构造法

基于上一节m-Bézier曲线成为m-PH曲线的关于控制多边形的几何特征条件，本节通过构造控制多边形，求解控制顶点，得到四次m-PH曲线，给出了几何构造方法。

给定始末控制点 $P_0$ 、 $P_4$ 和任一点O，连接 $O{P}_0$ 、 $O{P}_4$ 、 $P_0{P}_4$ ，令其长度比为 $\frac{\left|O{P}_4\right|}{\left|O{P}_0\right|}=r\ge 1$ ，夹角范围为 $0<\angle P_{0}O{P}_4=\phi <\pi$ ，在边 $O{P}_0$ 和 $O{P}_4$ 上取两点 $P_1$ 和 $P_3$ ，设 ${\stackrel{\to }{e}}_1=P_0-O=\left(1,0\right)$ ， ${\stackrel{\to }{e}}_2=r\left(\cos \phi ,\sin \phi \right)$ ，则点 $P_1$ ， $P_3$ 分别为：

$\{\begin{array}{l}{P}_1=\mu {\stackrel{\to }{e}}_1\hfill \\ P_3=\omega {\stackrel{\to }{e}}_2\hfill \end{array},0\le \mu ,\omega \le 1$ (11)

以O为坐标原点， $O{P}_0$ 为x轴建立平面直角坐标系，取线段 $P_0{P}_4$ 的中点M，则 $M=\left(\frac{1+r\cos \phi }{2},\frac{r\sin \phi }{2}\right)$ ， 连接OM，则 $P_2=\eta M=\eta \left(\frac{1+r\cos \phi }{2},\frac{r\sin \phi }{2}\right)$ 。过点 $P_2$ 作一条直线EF交 $O{P}_0$ 、 $O{P}_4$ 于E、F，且使 $\angle P_{0}EF=\angle P_{4}FE=\theta$ ，由(11)式，得到所构造的PH曲线的控制顶点坐标为：

$\{\begin{array}{l}{P}_0=\left(1,0\right)\hfill \\ P_1=\left(\mu ,0\right)\hfill \\ P_2=\eta \left(\frac{1+r\cos \phi }{2},\frac{r\sin \phi }{2}\right)\hfill \\ P_3=\omega r\left(\cos \phi ,\sin \phi \right)\hfill \\ P_4=r\left(\cos \phi ,\sin \phi \right)\hfill \end{array}$ (12)

为方便计算，不妨令 $L_0^{*}=L_0+R_0,L_1^{*}=R_1+R_2,L_2^{*}=R_3+L_3,\lambda =\frac{L_0}{R_0},0<\lambda <+\infty$ ，由定理2，得到

$\frac{L_3}{R_3}=\frac{9}{\lambda }$ (13)

$L_0^{*}$ 、 $L_1^{*}$ 、 $L_2^{*}$ 满足如下约束关系：

$L_1^{*}=k\sqrt{L_1^{*}{L}_2^{*}}$ ，其中 $k=\frac{2\left(\lambda +3\right)}{\sqrt{3\left(\lambda +9\right)\left(\lambda +1\right)}}$ (14)

接下来，由(12)、(13)式得到点E、F与边长及角度几何量之间的关系式：

$\{\begin{array}{l}E+\left(R_0,0\right)=P_1\hfill \\ E+\left(R_0,0\right)+\left(L_0,0\right)=P_0\hfill \end{array}$ (15)

$\{\begin{array}{l}F+\left(R_3\cos \phi ,R_3\sin \phi \right)=P_3\hfill \\ F+\left(R_3\cos \phi ,R_3\sin \phi \right)+\left(L_3\cos \phi ,L_3\sin \phi \right)=P_4\hfill \end{array}$ (16)

求解得到

$\begin{array}{l}E=\left(\frac{\left(\lambda +1\right)\mu -1}{\lambda },0\right)\\ F=\left(\omega r-\frac{\left(1-\omega \right)r\lambda }{9}\right)\left(\cos \phi ,\sin \phi \right)\end{array}$

根据 $\angle P_{0}EF=\angle P_{4}FE$ ，可得

$\frac{\left(\lambda +1\right)\mu -1}{\lambda }=\omega r-\frac{\left(1-\omega \right)r\lambda }{9}$ (17)

解得

$\omega =\frac{r{\lambda }^2+9\mu \lambda +9\mu -9}{\lambda r\left(9+\lambda \right)}$ (18)

将(18)代入(14)中，得到关于参数 $\mu$ 的方程

$\begin{array}{l}\left(\frac{2{\left(\lambda +1\right)}^2\left(1-\cos \phi \right)}{{\lambda }^2}-\frac{4{\left(\lambda +3\right)}^2\left(\lambda +1\right)}{3\left(\lambda +9\right){\lambda }^2}\right){\mu }^2+\left(\frac{2\left(-2\lambda -2\right)\left(1-\cos \phi \right)}{{\lambda }^2}-\frac{4{\left(\lambda +3\right)}^2\left(\lambda +1\right)}{3\left(\lambda +9\right){\lambda }^2}\right)\mu \\ +\frac{2\left(1-\cos \phi \right)}{{\lambda }^2}-\frac{4{\left(\lambda +3\right)}^2\left(r\lambda +1\right)}{3\lambda \left(\lambda +9\right)}=0\end{array}$ (19)

根据上述推导，可以求出曲线控制多边形的顶点，从而得到四次m-PH曲线，即四次m-PH曲线的几何构造法。

5. 误差分析

定义3 给定两组控制顶点 $H_i$ 、 $P_i,i=0,1,2,3,4$ ，四次m-Bézier曲线为 $H\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{H}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}$ ，四次m-PH曲线为 $P\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{P}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}$ ，对于任意的实数a，曲线的误差定义如下：

$\epsilon =\underset{i=0,1,2,3,4}{\max }\sqrt{\langle H\left(t\right)-P\left(t\right),H\left(t\right)-P\left(t\right)\rangle }$ (20)

即

$\epsilon ={\displaystyle {\int }_0^a{\Vert {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{H}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}-{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{P}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}\Vert }^2\text{d}t}\le a\underset{i=0,1,2,3,4}{\max }\Vert H_i-P_i\Vert$

6. 数值例子

例1 给定m-Bézier曲线的控制顶点：

$\begin{array}{l}{H}_0=\left(1,0\right)\\ H_1=\left(0.4962,0\right)\\ H_2=\left(0.4046,0.3172\right)\\ H_3=\left(0.3865,0.6113\right)\\ H_4=\left(0.5,0.8660\right)\end{array}$

四次m-Bézier曲线及其控制多边形如图2所示。

图2. 四次m-Bézier曲线(控制多边形的两边夹角为锐角)

取 $\phi =\frac{\pi }{3},r=1,\lambda =4$ ，分别代入(18)、(19)式，求得 $\omega =0.6543,\mu =0.6005$ ，由(12)式可以得到m-PH

曲线的控制顶点：

$\begin{array}{l}{P}_0=\left(1,0\right)\\ P_1=\left(0.6005,0\right)\\ P_2=\left(0.3755,0.2168\right)\\ P_3=\left(0.3271,0.5666\right)\\ P_4=\left(0.5,0.8660\right)\end{array}$

四次m-PH曲线及其控制多边形如图3所示。

图3. 四次m-PH曲线(控制多边形的两边夹角为锐角)

由误差公式得到两条曲线之间的误差为

$\epsilon ={\displaystyle {\int }_0^a{\Vert {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{H}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}-{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{P}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}\Vert }^2\text{d}t}$

令 $n={\Vert {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{H}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}-{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{P}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}\Vert }^2$ ，则

$n=0.1741m^2{t}^2-1.0446m^3{t}^3+2.9752m^4{t}^4-\text{4}\text{.9368}{m}^5{t}^5+4.8821m^6{t}^6-2.6762m^7{t}^7+0.6262m^8{t}^8$

从而

$\epsilon =0.0580a^3{m}^2-0.2612a^4{m}^3+0.5950a^5{m}^4-0.8228a^6{m}^5+0.6974a^7{m}^6-0.3345a^8{m}^7+0.0696a^9{m}^8$

$\phi =a\underset{i=0,1,2,3,4}{\max }\Vert H_i-P_i\Vert =0.1045a$

当 $0<a<1,\epsilon <\phi$ 时，两条曲线之间的误差较小。

例2 给定m-Bézier曲线的控制顶点：

$\begin{array}{l}{H}_0=\left(1,0\right)\\ H_1=\left(0.4762,0\right)\\ H_2=\left(0.1105,0.1503\right)\\ H_3=\left(-0.2074,0.5079\right)\\ H_4=\left(-0.5,0.8660\right)\end{array}$

四次m-Bézier曲线及其控制多边形如图4所示。

图4. 四次m-Bézier曲线(控制多边形的两边夹角为钝角)

取 $\phi =\frac{2\pi }{3},r=1,\lambda =4$ ，分别代入(18)、(19)式，求得 $\omega =0.5615,\mu =0.4933$ ，由(12)式可以得到m-PH

曲线的控制顶点：

$\begin{array}{l}{P}_0=\left(1,0\right)\\ P_1=\left(0.4933,0\right)\\ P_2=\left(0.1012,0.1753\right)\\ P_3=\left(-0.2808,0.4862\right)\\ P_4=\left(-0.5,0.8660\right)\end{array}$

四次m-PH曲线及其控制多边形如图5所示。

图5. 四次m-PH曲线(控制多边形的两边夹角为钝角)

由误差公式得到两条曲线之间的误差为

$\epsilon ={\displaystyle {\int }_0^a{\Vert {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{H}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}-{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{P}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}\Vert }^2\text{d}t}$

令 $n={\Vert {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{H}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}-{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{4}{\sum }}{P}_i{b}_{i,4}\left(t\right)}\Vert }^2$ ，则

$n=0.0047m^2{t}^2-0.0282m^3{t}^3+0.0961m^4{t}^4-\text{0}\text{.1964}{m}^5{t}^5+0.3178m^6{t}^6-0.3180m^7{t}^7+0.1240m^8{t}^8$

从而

$\epsilon =0.0016a^3{m}^2-0.0071a^4{m}^3+0.0192a^5{m}^4-0.0327a^6{m}^5+0.0454a^7{m}^6-0.0398a^8{m}^7+0.0138a^9{m}^8$

$\phi =a\underset{i=0,1,2,3,4}{\max }\Vert H_i-P_i\Vert =0.0765a$

当 $0<a<1,\epsilon <\phi$ 时，两条曲线之间的误差较小。

7. 总结

因为PH曲线的弧长可以用含参数的多项式精确表示，且其等距线是有理的，所以PH曲线在平面参数曲线中占有重要地位。本文基于定义的一类四次带参数的Bézier曲线，给出了m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件。本文研究的另一个问题，即将PH曲线的构造方法拓展到四次，随着次数的提高，曲线具有更高的自由度，四次m-Bézier曲线可以通过修改其中的三个控制顶点，使其成为m-PH曲线。今后将会进一步研究更高维度的曲线构造方法，还将研究四次带参数PH曲线的过渡曲线的构造。

文章引用

杨 雪,彭兴璇,段 卓. 四次带参数PH曲线的构造方法
Construction Approach of Quartic PH Curves with Parameter[J]. 理论数学, 2023, 13(03): 395-404. https://doi.org/10.12677/PM.2023.133043

参考文献