上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2023年3月6日；录用日期：2023年4月5日；发布日期：2023年4月12日

摘要

主要研究了一类分数阶Laplacian方程的径向解问题。在分数阶径向Sobolev空间 $W_r{}^{s,2}\left(R^N\right)$ 中，通过相关定理获得所取极小化序列的估计，对方程的泛函利用变分法、约束极值获得了解的对称性结果。获得的结果与经典的p-Laplacian方程以及Schrӧdinger方程一致。

关键词

Fourier变换，嵌入定理，径向函数，约束极值

Radial Solutions of Fractional Laplacian Equations

Sa Yang, Gongming Wei

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Mar. 6^th, 2023; accepted: Apr. 5^th, 2023; published: Apr. 12^th, 2023

ABSTRACT

This paper mainly studies the radial solution of a class of fractional Laplacian equations. In the fractional radial Sobolev space $W_r{}^{s,2}\left(R^N\right)$ , the estimation of the minimization sequence is obtained by using the correlation theorem, and the symmetry results of the solution are obtained by using the variational method and constrained extremum for the functional of the equation. The results obtained are consistent with the classical p-Laplacian equation and Schrodinger equation.

Keywords:Fourier Transform, Embedding Thereom, Radial Function, Constrained Minimization Method

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文将研究方程

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{s}u-\Delta u+u={\left|u\right|}^{p-1}u,x\in R^N,\\ u\in H_r^s\left(R^N\right),u\ne 0,\end{array}$ (1)

的径向解，其中 $1<p<\frac{N+2s}{N-2s},1<s<2$ 。

在最近的几十年里，关于分数阶拉普拉斯算子 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u$ ， $s\in \left(0,1\right)$ 的相关研究已经有很多，可见 [1] [2] [3] [4] 。分数阶拉普拉斯算子有关的方程也被应用到很多方面，例如金融模型，生态学，物理模型，图像加工等等。同时关于该算子的正则性、对称性以及其他性质也被广泛研究。首先回顾一下施瓦茨空间 $S$ 的定义，即 $R^N$ 上满足急速衰减的 $C^{\infty }$ 函数，其范数形式由

$p_N\left(\phi \right)=\underset{x\in R^N}{\sup }{\left(1+\left|x\right|\right)}^N{\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|\le N}{\sum }\left|{\nabla }^{\alpha }\phi \left(x\right)\right|},N=0,1,2,\cdots ,$

产生，其中 $\phi \in S\left(R^N\right)$ 。由 [1] 可得到分数阶拉普拉斯算子的定义形式，即对于 $u\in S\left(R^N\right)$ ， $s\in \left(0,1\right)$ ，

${\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x\right):=C_{N,s}P.V.{\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{u\left(x\right)-u\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y},$

P.V.代表柯西主值， $C_{N,s}:={\left({\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{1-\text{cos}\left({\xi }_{\text{1}}\right)}{{\left|\xi \right|}^{N+2\text{s}}}\text{d}\xi }\right)}^{-1}=2^{2s-1}{\pi }^{-\frac{N}{2}}\frac{\Gamma \left(\frac{N+2s}{2}\right)}{\left|\Gamma \left(-s\right)\right|}$ ，可将其视为常数值。出于对

算子奇异性的考虑，[1，引理3.2]通过变量代换给出了算子的等价形式，

${\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x\right):=-\frac{1}{2}{C}_{N,s}{\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{u\left(x+y\right)+u\left(x-y\right)-2u\left(x\right)}{{\left|y\right|}^{N+2s}}\text{d}y},\forall x\in R^N.$

并且，通过 [1] 可得傅里叶变换之下的空间 ${\hat{H}}^s\left(R^N\right)=W^{s,2}(\; R\; N\; )$

${\hat{H}}^s\left(R^N\right)=\left\{u\in L^2\left(R^N\right):{\displaystyle \underset{R^N}{\int }\left(1+{\left|\xi \right|}^{2s}\right){\left|Fu\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }<+\infty \right\},$

以及在该变换下算子具有等价形式

${\left(-\hat{\Delta }\right)}^{s}u\left(\xi \right)={\left|\xi \right|}^{2s}\hat{u}\left(\xi \right),\xi \in R^N,s>0.$

其中，对于任意的 $\phi \in S\left(R^N\right)$ ，

$F\phi (\xi )=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{N/2}}{\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\text{e}}^{-i\xi \cdot x}}\phi \left(x\right)\text{d}x,$

表示的是 $\phi$ 的Fourier变换。

同时由于 [5] 的贡献，作者给出对于 $s\in \left(0,1\right)$ 时的分数阶Polya-Szegӧ不等式

${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{s/2}{f}^{*}\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{s/2}f\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x,$

其中 $f^{*}$ 代表f的对称径向递减重排 [6] ，通过此不等式， [7] 得到了问题

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+\eta u=\lambda {\left|u\right|}^{p-1}u,x\in R^N,\\ u\in H^1\left(R^N\right),u\ne 0,\end{array}$

的径向解。通过约束极值等方法，在 [8] 中作者得到了方程

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{s}u+u={\left|u\right|}^{p-1}u,x\in R^N,\\ u\in H^s\left(R^N\right),u\ne 0,\end{array}$

解的存在性以及对称性质。

另一方面随着极大值原理、移动平面法的完善和发展，也对研究分数阶拉普拉斯算子的径向解起到了很大的作用，有兴趣的可参考 [9] [10] [11] [12] 。在 [13] 中，作者研究了非局部非线性分数阶g-Laplacian算子

${\left(-{\Delta }_g\right)}^{s}u\left(x\right)P.V.{\displaystyle \underset{R^N}{\int }g\left(\frac{u\left(x\right)-u\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^s}\right)}\frac{\text{d}y}{{\left|x-y\right|}^{n+s}},$

的极大值原理、Liouville定理以及对称结果，其中g是Young函数的导数。

关于分数阶拉普拉斯算子本身在近几年也得到了发展。由 [14] ，作者提出了 $s=1+\sigma$ 时 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u$ 的相关问题。由 $s\in \left(0,1\right)$ 时 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u$ 的定义可知，对于 $u\in S\left(R^N\right)$ ，算子 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x\right)$ ( $s=1+\sigma$ )的定义为

$\begin{array}{c}{\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x\right)=C_{N,s}P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{-\Delta u\left(x\right)-\left(-\Delta u\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}y}\\ =C_{N,s}\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle {\int }_{L{B}_{\epsilon \left(x\right)}}\frac{-\Delta u\left(x\right)-\left(-\Delta u\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}y},\end{array}$ (2)

$C_{N,s}=C_{N,\sigma }={\left({\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{1-\cos \left({\xi }_1\right)}{{\left|\xi \right|}^{N+2\sigma }}\text{d}\xi }\right)}^{-1}.$ (3)

此外，作者通过Fourier变换得到了s为更高阶数时算子 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u$ 的等价形式，可见[14，命题2.1]。由于问题的需要，这里取命题中的 $m=1$ ，即对于给定的 $u\in S\left(R^N\right)$ ， $s=1+\sigma$ ， $\sigma \in \left(0,1\right)$ 时 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u=-div{\left(-\Delta \right)}^{\sigma }\nabla u$ 。

在得到更高的分数阶Laplacian算子的形式以后，关于该算子对应的问题的径向解便自然而然被提出，这也正是想要研究的问题。在这篇文章中我们将考虑分数阶Sobolev空间 $W^{s,p}\left(R^N\right)$ 中的满足径向对称的空间 $W_r^{s,p}\left(R^N\right)$ ，即 $W_r^{s,p}\left(R^N\right)=H_r^s\left(R^N\right)\subset W^{s,p}\left(R^N\right)$ 。

下面回忆一下分数Sobolev空间 $W^{s,p}\left(R^N\right)$ (也记为 $H^s\left(R^N\right)$ )的定义及其范数形式。基于问题的需要，这里只出示 $p=2$ 时空间的定义，更普遍的定义形式可以参考 [1] [15] [16] 。

$0<s<1$ 时，

$W^{s,2}\left(R^N\right):=\left\{u\in L^2\left(R^N\right):\frac{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}{{\left|x-y\right|}^{\frac{N}{2}+s}}\in L^2\left(R^N\times R^N\right)\right\},$

其范数形式为

${\Vert u\Vert }_{W^{s,2}\left(R^N\right)}:={\left({\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|u\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle \underset{R^N\times R^N}{\iint }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{2}}.$

$s=1$ 时，

$W^{1,2}\left(R^N\right):=\left\{u|u\in L^2\left(R^N\right),\nabla u\in L^2\left(R^N\right)\right\},$

其范数形式为

${\Vert u\Vert }_{W^{1,2}\left(R^N\right)}={\left({\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|u\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}.$

$1<s<2$ 时，记 $s=1+\sigma$ ，其中 $\sigma \in \left(0,1\right)$

$W^{s,2}\left(R^N\right):=\left\{u\in W^{1,2}\left(R^N\right):{\nabla }^{\alpha }u\in W^{\sigma ,2}\left(R^N\right)\right\},$

其范数形式为

${\Vert u\Vert }_{W^{s，2}\left(R^N\right)}:={\left({\Vert u\Vert }_{W^{1,2}\left(R^N\right)}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{W^{\sigma ,2}\left(R^N\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}.$

记 ${\left[u\right]}_{W^{{}_{s,2}}\left(R^N\right)}={\left({\displaystyle {\iint }_{R^N\times R^N}\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{2}}$ 。

无特殊说明外，以下均为 $1<s<2$ 。

现在根据空间 $W^{s,2}\left(R^N\right)$ 的定义以及性质给出在空间 $H_r^s$ 下(1)的变分。简单说，主要研究对象就是(1)所对应的变分的解的存在性和对称性质，主要结果为：

定理3.1当 $s\in \left(1,2\right)$ ， $p\in \left(1,\left(N+2s\right)/\left(N-2s\right)\right)$ 其中 $N\ge 2$ ，问题(1)存在一个属于 $H_r^s\left(R^N\right)$ 正且为球对称的解u。

由于极大值原理等定理的缺失，关于此定理的具体证明，将选择继续沿用 [8] [17] 的办法，即对(1)的泛函进行条件约束。虽然该定理的证明沿用了 [8] [17] 的思想，但由于我们研究的是更高阶 $s\in \left(1,2\right)$ 的算子 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u$ 所对应的方程的径向解，为了能够继续利用Polya-Szegӧ不等式等的相关性质，我们将给出 $s\in \left(1,2\right)$ 时算子 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u$ 的所需的性质的证明。此外，出于对[8，引理2.6]相同的考虑，为了证明本文所定义的空间 $W_r^{s,2}$ 中的一些估计，由于阶数s的提高，命题的证明将重新定义算子 $w_R\left(x\right)$ 来说明极小值集合的非空，具体证明过程将在引理2.8给出。

本文的结构安排如下：

在第二部分当中将给出所需要的空间以及与定理3.1的证明有关的定理，在第三部分将给出定理3.1的证明过程。最后一部分给出总结。

2. 预备知识

首先给出在 $R^N$ 中

${\left(-\Delta \right)}^{s}u-\Delta \text{}\text{}u+u={\left|u\right|}^{p-1}u,u\ne 0,$ (4)

的解 $u\in H_r^s\left(R^N\right)$ 的定义，其中 $p>1$ 。

对任意的 $s\in \left(1,2\right)$ ，可测函数 $u:R^N\to R$ 称为是(4)变分问题的解，当

$\begin{array}{l}\frac{C_{N,\sigma }}{2}{\displaystyle \underset{R^N\times R^N}{\iint }\frac{\left(\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right)\left(\nabla v\left(x\right)-\nabla v\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}+{\displaystyle \underset{R^N}{\int }\nabla u\left(x\right)\nabla v\left(x\right)\text{d}x}+{\displaystyle \underset{R^N}{\int }u\left(x\right)v\left(x\right)\text{d}x}\\ ={\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|u\left(x\right)\right|}^{p-1}u\left(x\right)v\left(x\right)\text{d}x}\end{array}$ (5)

对任意的 $v\in C_0^1\left(R^N\right)$ 成立。

正如前述，为了解决(4)就是在 $W_r^{s,2}\left(R^N\right)$ 中寻找与之相关的泛函J的临界点，

$J\left(u\right)=\frac{C_{N,\sigma }}{4}{\left[u\right]}_{H_r^s{}^{}}^2+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}-{\displaystyle \underset{R^N}{\int }G\left(u\right)\text{d}x},$

其中， $G\left(u\right)=\frac{1}{p+1}{\left|u\right|}^{p+1}-\frac{1}{2}{\left|u\right|}^2$ 。因此，以下将研究具有约束的变分问题：

$\min \left\{{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2\left(R^N\right)}^2+{\left[u\right]}_{H_r^s\left(R^N\right)}^2:u\in H_r^s\left(R^N\right),{\displaystyle \underset{R^N}{\int }G\left(u\right)=1}\right\}.$ (6)

引理2.1 $s\in \left(1,2\right)$ ， ${\left(-\Delta \right)}^{s}u$ 为(2)所定义的分数阶Laplacian算子，则对于任意的 $u\in S$ ，

${\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x\right)=\frac{1}{2}{C}_{N,s}P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x+y\right)+\Delta u\left(x-y\right)-2\Delta u\left(x\right)}{{\left|y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}y}\text{.}$ (7)

证明：事实上，通过变量代换 $z=y-x$ ，则有

$\begin{array}{c}{\left(-\Delta \right)}^{s}u=C_{N,s}P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{-\Delta u\left(x\right)-\left(-\Delta u\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}y},1<s<2,s=1+\sigma \\ =C_{N,s}P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x+z\right)-\Delta u\left(x\right)}{{\left|z\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}z}.\end{array}$

在上述的最后一个等式中通过 $z=-\tilde{z}$ 可以得到

$C_{N,s}P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x+z\right)-\Delta u\left(x\right)}{{\left|z\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}z}=C_{N,s}P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x-\tilde{z}\right)-\Delta u\left(x\right)}{{\left|\tilde{z}\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}\tilde{z}},$

则对重新定义以后的 $\tilde{z},z$ ，

$\begin{array}{l}2P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x+z\right)-\Delta u\left(x\right)}{{\left|z\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}z}\\ =P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x+z\right)-\Delta u\left(x\right)}{{\left|z\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}z}+P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x-\tilde{z}\right)-\Delta u\left(x\right)}{{\left|\tilde{z}\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}\tilde{z}}\\ =P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x+z\right)-\Delta u\left(x\right)}{{\left|z\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}z}+P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x-z\right)-\Delta u\left(x\right)}{{\left|z\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}z}.\end{array}$

因此，重新命名y，分数阶的拉普拉斯算子(2)则可写为

${\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x\right)=\frac{1}{2}{C}_{N,s}P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x+y\right)+\Delta u\left(x-y\right)-2\Delta u\left(x\right)}{{\left|y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}y}.$

对于 ${\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{\Delta u\left(x+y\right)+\Delta u\left(x-y\right)-2\Delta u\left(x\right)}{{\left|y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}y}$ 部分可积性说明：

因为 $u\in S$ 利用其 $C^{\infty }$ 及其快速衰减性可得对 $s\in \left(1,2\right)$ ，有

$\frac{\Delta u\left(x+y\right)+\Delta u\left(x-y\right)-2\Delta u\left(x\right)}{{\left|y\right|}^{N+2\sigma }}\le \frac{\Vert {\nabla }^2\left(\Delta u\left(x\right)\right)\Vert {}_{L^{\infty }\left(R^N\right)}}{{\left|y\right|}^{N+2\sigma -2}},$

因此，对 $u\in S$ ，就不在需要P.V.，并将其写为(7)。

命题2.2 $s\in \left(1,2\right)$ ， ${\left(-\Delta \right)}^{s}u:S\to L^2\left(R^N\right)$ 为(2)所定义的分数阶的拉普拉斯算子，则对于任意的 $u\in S$ ，

${\left(-\Delta \right)}^{s}u=F^{-1}\left({\left|\xi \right|}^{2s}\left(Fu\right)\right),\forall \xi \in R^N.$ (8)

证明：通过[14，命题2.1]， $s\in \left(1,2\right)$ 时 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u=-div{\left(-\Delta \right)}^{\sigma }\nabla u$ ，则

$F\left(-div{\left(-\Delta \right)}^{\sigma }\nabla u\right)={\left|\xi \right|}^{2s}\left(Fu\right),\forall \xi \in R^N,$

即得对 $\forall \xi \in R^N$ ， ${\left(-\Delta \right)}^{s}u=F^{-1}\left({\left|\xi \right|}^{2s}\left(Fu\right)\right)$ 。

命题2.3 $s\in \left(1,2\right)$ ，则分数阶Sobolev空间 $H^s\left(R^N\right)$ 可等价于 ${\hat{H}}^s\left(R^N\right)$ 。特别地，对任意的 $u\in H^s(\; R\; N\; )$

${\left[u\right]}_{H^s\left(R^N\right)}^2=2C_{N,\sigma }^{-1}{\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|\xi \right|}^{2s}}{\left|Fu\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi ,$

其中 $C_{N,\sigma }$ 如(3)所定义。

证明：对于每一个固定的 $y\in R^N$ ，通过令 $z=x-y$ ，可以得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}}\\ ={\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(z+y\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^2}{{\left|z\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}z\text{d}y}}\\ ={\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\Vert F\left(\frac{\nabla u\left(z+·\right)-\nabla u(·)}{{\left|z\right|}^{\frac{N}{2}+\sigma }}\right)\Vert }_{L^2\left(R^N\right)}^2\text{d}z}\\ ={\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{{\xi }^2{\left|{\text{e}}^{i\xi z}-1\right|}^2}{{\left|z\right|}^{N+2\sigma }}{\left|Fu\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}z\text{d}\xi }}\\ =2{\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\xi }^2{\left|Fu\left(\xi \right)\right|}^2\left({\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{1-\cos \left(\xi \cdot z\right)}{{\left|z\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}z}\right)\text{d}\xi }.\end{array}$

由(3)得

$\begin{array}{l}=2{\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\xi }^2{\left|Fu\left(\xi \right)\right|}^2{C}_{N,s}^{-1}{\left|\xi \right|}^{2\sigma }\text{d}\xi }\\ =2C_{N,s}^{-1}{\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\xi }^2{\left|\xi \right|}^{2\sigma }{\left|Fu\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\\ =2C_{N,s}^{-1}{\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\xi }^{2s}{\left|Fu\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }.\end{array}$

命题2.4 $s\in \left(1,2\right)$ ， $u\in H^s\left(R^N\right)$ ，则

${\left[u\right]}_{H^s\left(R^N\right)}^2=2C_{N,\sigma }^{-1}{\Vert {\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}u\Vert }_{L^2\left(R^N\right)}^2,$

其中 $C_{N,\sigma }$ 如(3)所定义。

证明：

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{C}_{N,\sigma }{\left[u\right]}_{H^s\left(R^N\right)}^2={\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\xi }^{2s}{\left|Fu\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\\ ={\Vert {\left|\xi \right|}^s\left|Fu\left(\xi \right)\right|\Vert }_{L^2\left(R^N\right)}^2\\ ={\Vert \left|F{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}u\left(\xi \right)\right|\Vert }_{L^2\left(R^N\right)}^2\\ ={\Vert {\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}u\Vert }_{L^2\left(R^N\right)}^2.\end{array}$

在介绍下一个引理之前先回顾一下有关知识。如果 $u:R^N\to R$ 是可测函数，则u的分布函数 [18] [19] 被定义为

${\mu }_u\left(t\right)=\left|x\in R^N:u\left(x\right)>t\right|,$

其中 $|\cdot |$ 表示勒贝格测度。并且 ${\mu }_u$ 是非增的，右连续的。u的递减重排为

$u^{*}\left(s\right)=\sup \left\{t\ge 0:{\mu }_u\left(t\right)\ge s\right\}.$

函数

$u^{\#}\left(x\right)=u^{*}\left({\omega }_N{\left|x\right|}^N\right),x\in R^N,$

被定义为u的施瓦茨对称化，它关于原点是球对称的，并且沿 $\left|x\right|$ 递减。此外在 [5] ，Polya-Szegӧ不等式指出对称递减重排函数f在 $L^2$ 范数下有

${\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|\nabla f^{*}\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\le {\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|\nabla f\left(x\right)\right|}^2\text{d}x},$ (9)

成立。其中 $f^{*}$ 表示f的径向递减重排。

引理2.5 [5，定理1.1] $0<s<\text{1}$ . $f^{*}$ 是f的径向对称径向递减重排函数，则有

${\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|{\left(-\Delta \right)}^{s/2}{f}^{*}\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\le {\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|{\left(-\Delta \right)}^{s/2}f\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}$

成立。在这个意义上，右边的有限性意味着左边的有限性，并且可以得到径向递减函数以及最佳常数为1。

引理2.6 [17引理2.1] $0<s<\text{1}$ 。假设 $u,v$ 是 $R^N$ 中的可积函数， $g:R^N\to R$ 是非负非减函数，则

1) ${\displaystyle \underset{R^N}{\int }g\left(\left|u\left(x\right)\right|\right)\text{d}x}={\displaystyle \underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}g\left(u^{*}\left(s\right)\right)\text{d}s}={\displaystyle \underset{R^N}{\int }g\left(u^{\#}\left(x\right)\right)\text{d}x}$ .

2) 如果 $u,v\in L^p\left(R^N\right)\left(p>1\right)$ ，则

${\Vert u^{\#}-v^{\#}\Vert }_{L^p\left(R^N\right)}\le {\Vert u-v\Vert }_{L^p\left(R^N\right)}.$

3) 如果 $u\in W^{s,p}\left(R^N\right)\left(p>1\right)$ ，则 $u^{\#}\in W^{s,p}\left(R^N\right)$ ，并且

${\displaystyle \underset{R^N\times R^N}{\iint }\frac{{\left|u^{\#}\left(x\right)-u^{\#}\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{n+sp}}\text{d}x\text{d}y}\le {\displaystyle \underset{R^N\times R^N}{\iint }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{n+sp}}\text{d}x\text{d}y}.$

其中 $u^{\text{*}}$ 代表的是u的径向对称递减重排。

注记2.7 [5] 以上说明分数阶Sobolev空间 $W^{s,p}\left(R^N\right)\left(0<s<1\right)$ 对称递减重排的非扩张性。

引理2.8 [8，引理2.4]若u是 $L^2\left(R^N\right)$ 中的非负径向递减函数，则

$\left|u\left(x\right)\right|\le {\left(\frac{N}{{\omega }_{N-1}}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}^{-\frac{N}{2}}{\Vert u\Vert }_{L^2\left(R^N\right)},\forall x\ne 0,$

其中 ${\omega }_{N-1}$ 表示的是单位球在 $R^N$ 中的勒贝格测度。

引理2.9 [8，引理2.5] $P,Q:R\to R$ 是满足

$\frac{P\left(t\right)}{Q\left(t\right)}\to 0,当\left|t\right|\to \infty ,$

的两个连续函数， $u_n:R^N\to R$ 是能够使得

$\sup {\displaystyle \underset{R^N}{\int }\left|Q\left(u_n\left(x\right)\right)\right|\text{d}x}<+\infty ,$

和

$P\left(u_n\left(x\right)\right)\to v\left(x\right),n\to +\infty ,$

在 $R^N$ 上几乎处处成立的可测函数列，则对于任意一个有界的博雷尔集B，有

${\displaystyle \underset{B}{\int }\left|P\left(u_n\left(x\right)\right)-v\left(x\right)\right|\text{d}x}\to 0,n\to +\infty .$

进一步，如果假设

$\frac{P\left(t\right)}{Q\left(t\right)}\to 0,t\to 0,$

及关于n，有

$u_n\left(x\right)\to 0,\left|x\right|\to +\infty ,$

一致成立，则 $P\left(u_n\right)$ 在 $L^1\left(R^N\right)$ 内收敛到v。

为证明下面的引理，先引入 $K_1\left(R^N\right)$ ，

$K_1\left(R^N\right)=\left\{k\left(x\right):R^N\to R|k\left(x\right)=c_0+\left(c,x\right),其中c_0\in R,c,x\in R^N\right\}.$

引理2.10设 $\varsigma ,R^{\prime }>0$ ，对 $k\left(x\right)\in K_1\left(R^N\right)$ 有

$w_{R^{\prime }}\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\varsigma k\left(x\right),\hfill & \left|x\right|\le R^{\prime },\hfill \\ \varsigma \left(R^{\prime }+1-x\right)k\left(x\right),\hfill & 1<\left|x\right|<R^{\prime }+1,\hfill \\ 0,\hfill & \left|x\right|\ge R^{\prime }+1,\hfill \end{array}$

以及对任意固定的常数 $\alpha >0$ ，

$w_{R^{\prime },\alpha }\left(x\right)=w_{R^{\prime }}\left(\frac{x}{\alpha }\right).$

那么对任意的 $\sigma \in \left(0,1\right)$ ，

$w_{R^{\prime }}\left(x\right),w_{R^{\prime },\alpha }\left(x\right)\in W^{s,2}\left(R^N\right)$ ,

进一步可得

${\Vert w_{R^{\prime }}\left(x\right)\Vert }_{W^{s,2}\left(R^N\right)}\le C\left(N,s,R^{\prime }\right)\varsigma .$

证明：由于 $k\left(x\right)\in K_1\left(R^N\right)$ ，不妨设 $k\left(x\right)=C_0+C_{1}x$ ， $C_0,C_1$ 为实数集中的常数。

首先声明

$\begin{array}{c}{\Vert w_{R^{\prime }}\left(x\right)\Vert }_{L^2\left(R^N\right)}^2={\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|w_{R^{\prime }}\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle \underset{B_{R^{\prime }}\left(0\right)}{\int }{\left|\varsigma k\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle \underset{B_{R^{\prime }+1}\left(0\right)\backslash B_{R^{\prime }}\left(0\right)}{\int }{\left|\varsigma \left(R^{\prime }+1-x\right)k\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \le {\left|\varsigma \right|}^2{\displaystyle \underset{B_{R^{\prime }}\left(0\right)}{\int }{\left|C_0+C_{1}x\right|}^2\text{d}x}+{\left|\varsigma \right|}^2{\displaystyle \underset{B_{R^{\prime }+1}\left(0\right)}{\int }{\left|C_0\left(R^{\prime }+1\right)+\left(R^{\prime }+1\right)C_{1}x-xk\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \le C_2{\left|\varsigma \right|}^2{\displaystyle \underset{B_{R^{\prime }+1}\left(0\right)}{\int }{\left|x\right|}^4\text{d}x}\le \frac{C_2{\left|\varsigma \right|}^2{\omega }_N}{N+4}{\left(R^{\prime }+1\right)}^{N+4},\end{array}$

其中 $C_2\left(R^{\prime }\right)>2C_1$ ， $2C_0>0$ 。另一方面，

$\nabla w_{R^{\prime }}\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{C}_1\varsigma ,\hfill & \left|x\right|\le R^{\prime },\hfill \\ C_1\varsigma \left(R^{\prime }+1\right)-C_0\varsigma -2C_1\varsigma x,\hfill & R^{\prime }<\left|x\right|<R^{\prime }+1,\hfill \\ 0,\hfill & \left|x\right|\ge R^{\prime }+1,\hfill \end{array}$

$\begin{array}{c}{\Vert \nabla w_{R^{\prime }}\left(x\right)\Vert }_{L^2\left(R^N\right)}^2={\displaystyle \underset{R^N}{\int }{\left|\nabla w_{R^{\prime }}\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\\ ={\displaystyle \underset{B_{R^{\prime }}\left(0\right)}{\int }{\left|\nabla w_{R^{\prime }}\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle \underset{B_{R^{\prime }+1}\left(0\right)\backslash B_{R^{\prime }}\left(0\right)}{\int }{\left|\nabla w_{R^{\prime }}\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \le {\left|C_1\varsigma \right|}^2{\omega }_N{R^{\prime }}^N+{\displaystyle \underset{B_{R^{\prime }+1}\left(0\right)}{\int }{\left|C_3\varsigma R^{\prime }+2C_1\varsigma x\right|}^2\text{d}x}\\ \le C_4{\left|\varsigma \right|}^2{\omega }_N{\left(R^{\prime }+1\right)}^{N+2}.\end{array}$

其中， $C_{3，}{C}_4$ 为实数集中的常数。

$\begin{array}{c}{\left[w_{R^{\prime }}\left(x\right)\right]}_{W^{s,2}\left(R^N\right)}^2={\displaystyle \underset{R^N\times R^N}{\iint }\frac{{\left|\nabla w_{R^{\prime }}\left(x\right)-\nabla w_{R^{\prime }}\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}\\ ={\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times B_{R^{\prime }}}}+{\displaystyle {\iint }_{B_{R\text{'}}\times \left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)}}+{\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times \left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)}}+{\displaystyle {\iint }_{\left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)\times B_{R^{\prime }}}}+{\displaystyle {\iint }_{\left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)\times \left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)}}\\ +{\displaystyle {\iint }_{\left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)\times \left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)}}+{\displaystyle {\iint }_{\left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)\times B_{R^{\prime }}}}+{\displaystyle {\iint }_{\left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)\times \left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)}}+{\displaystyle {\iint }_{\left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)\times \left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)}}\\ =2{\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times \left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)}}+2{\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times \left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)}}+{\displaystyle {\iint }_{\left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)\times \left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)}}+2{\displaystyle {\iint }_{\left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)\times \left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)}}\\ :=2M+2N+L+2K.\end{array}$

从 $w_R\left(x\right)$ 的定义可得：

$\begin{array}{c}M={\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times \left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)}\frac{{\left|\nabla w_{R^{\prime }}\left(x\right)-\nabla w_{R^{\prime }}\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}\\ ={\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times \left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)}\frac{{\left|C_1\varsigma -C_1\varsigma \left(R^{\prime }+1\right)+C_0\varsigma +2C_1\varsigma y\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}\\ ={\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times \left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)}\frac{{\left|-C_1\varsigma R^{\prime }+C_0\varsigma +2C_1\varsigma y\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}\\ \le {\left|2C_1\varsigma \right|}^2{\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times \left(B_{R^{\prime }+1}\backslash B_{R^{\prime }}\right)}\frac{{\left|R^{\prime }-y\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}\\ \le C_5\left(N,\sigma \right){\varsigma }^2{R^{\prime }}^{N-2\sigma }.\end{array}$

$\begin{array}{c}N={\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times \left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)}\frac{{\left|\nabla w_{R^{\prime }}\left(x\right)-\nabla w_{R^{\prime }}\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}\\ ={\left|C_1\varsigma \right|}^2{\displaystyle {\iint }_{B_{R^{\prime }}\times \left(R^N\backslash B_{R^{\prime }+1}\right)}\frac{1}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}x\text{d}y}\\ \le {\left|C_3\varsigma \right|}^2{\displaystyle \underset{B_{R^{\prime }}}{\int }\left({\displaystyle \underset{R^N\backslash B_{R^{\prime }}}{\int }\frac{1}{{\left|x-y\right|}^{N+2\sigma }}\text{d}y}\right)\text{d}x}\\ \le C_6\left(N,\sigma \right){\varsigma }^2{R^{\prime }}^{N-2\sigma }.\end{array}$