Modern Physics
Vol.
09
No.
01
(
2019
), Article ID:
28329
,
4
pages
10.12677/MP.2019.91003
The Correlation Criterion of Quantum Entanglement
Guangrong Liu
Department of Foundations, Air Force Engineering University, Xi’an Shaanxi
Received: Dec. 12th, 2018; accepted: Dec. 27th, 2018; published: Jan. 2nd, 2019
ABSTRACT
The separability judgment of quantum states is the basic problem of quantum entanglement theory. In this paper, based on Schmidt decomposition of two-body pure states, the correlation criteria of matrix rank and vector group are given. For the two-body mixed state, a sufficient and unnecessary condition for separability is given, and an example is given.
Keywords:Quantum Entanglement, Quantum State, Composite System
量子纠缠的相关性判据
刘光荣
空军工程大学基础部,陕西 西安
收稿日期:2018年12月12日;录用日期:2018年12月27日;发布日期:2019年1月2日
摘 要
量子态可分性判断是量子纠缠理论的基本问题。本文根据两体纯态的Schmidt分解,给出了矩阵的秩,向量组的相关性判据。对于两体混合态,给出了可分的一个充分非必要条件,并举例说明。
关键词 :量子纠缠,量子态,复合系统
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
量子纠缠在量子力学的基础理论中占据了重要的位置,并且在量子信息的应用中也是不可或缺的资源 [1] [2] [3] 。量子态可分性判断 [4] [5] 是量子纠缠理论的基本问题,量子纯态对应于相应的Hilbert空间的一个单位向量,量子混合态对应于作用于Hilbert空间中迹为1的正算子,其表现形式为密度矩阵,对于复合的量子系统,遇到的问题是量子态是否可分的问题,常用的方法有所谓的PPT (Partial Positive Transposition)判据,矩阵重排判据(realignment criterion),约化密度矩阵判据(reduced density matrixcriterion),CCN判据(Computable Cross Norm)等。
2. 量子纯态与复合系统
任意一个孤立的物理系统,与该系统的状态空间H相联系。H为规定了复内积的可分的Hilbert空间,该系统完全由单位化的状态向量来表示。量子比特(qubit)与二维状态空间 相对应, 取标准正交基 , ,则任一状态向量 ,其中 且 。H中的单位向量也称为量子纯态 [1] ,对应于秩为1的密度矩阵 。
给定若干个量子系统,通过张量积运算,形成复合系统。 表示复合系统AB,若取 的一组标准正交基记为 ,取 的一组标准正交基记为 ,则 表示为:
记矩阵 ,并将其按行按列分块得 。其行向量对应于子系统 的向量,列向量对应于子系统 的向量。
定理1 [1] Schmidt分解定理:
在Hilbert空间 的两体复合系统AB中的任何一个纯态 ,一定可以在子系统 中找到标准正交基 使得 ,其中 , , 为矩阵M的奇异值,成为Schmidt系数, 非零的个数称为Schmidt秩。
3. 量子纯态纠缠
对于 若存在 , 使得 ,则称量子纯态 是可分的,否则上纠缠的。
结合Schmidt分解定理,可以得到如下的结论:
定理2 若 的Schmidt秩为1,则 是可分纯态,否则为纠缠纯态。
由初等变换不改变矩阵的秩,在矩阵M的奇异值分解中,酉矩阵可以写成若干个初等矩阵之积,进一步可以得到:
推论1 若矩阵M的秩为1,则 是可分纯态,否则为纠缠纯态。
推论2 矩阵M中,分块得到的列向量组 或行向量组 中得任意两个向量是线性相关的, 是可分纯态,否则为纠缠纯态。
另一方面,对于密度矩阵 ,此时秩 ,所以:
推论3 若向量组 中的两两线性相关时,且非零列向量 对应的矩阵M的秩为1,则 是可分纯态,否则为纠缠纯态。
4. 量子混合态纠缠
假设一个量子系综中有系列的纯态 且每个纯态对应的概率是 ,则它的密度矩阵为 [1]
其中 ,当非零 的个数大于1时,是混合态,否则为纯态,即秩时为纯态。秩为混合态。另一方面,量子态为作用于H上的迹为1的正算子,其密度矩阵为迹为1的半正定矩阵,进一步可以证明为Hermidt矩阵,其谱分解为,为的特征值,为对应于特征值的特征向量。
对于复合系统AB的密度矩阵,如果能写成,其中,那么称是可分的离态,秩为可分离混合态,否则为纠缠态。可以看出对于,每一个都是可分离纯态时,是可分离态,但是,有纠缠态时,则难以判断。例如为四个bell态,,,此时
;
;
。
进一步计算得到
。
量子纠缠是量子物理与经典物理的重要区别之一,1989年,Werner给出了量子纠缠严格的数学定义,本文结合矩阵理论的相关知识,对于两体复合系统的量子纠缠的探测性方法,给出了秩与相关性的判据,并举例说明。
文章引用
刘光荣. 量子纠缠的相关性判据
The Correlation Criterion of QuantumEntanglement[J]. 现代物理, 2019, 09(01): 19-22. https://doi.org/10.12677/MP.2019.91003
参考文献
- 1. Michael, A., Chuang, N.I.L., 赵千川. 量子计算与量子信息[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.
- 2. Johnston, N., Kribs, D.W. and Teng, C.W. (2009) Operator Algebraic Formulation of the Stabilizer Formalism for Quantum Error Correction. Acta Applicandae Mathematicae, 108, 687-696.
https://doi.org/10.1007/s10440-008-9421-1 - 3. Kribs, D.W., Laflamme, R., Poulin, D. and Lesosky, M. (2006) Operator Quantum Error Correction. Quantum Information and Computation, 6, 382-399.
- 4. 张成杰. 量子纠缠的判定与度量[D]: [博士学位论文]. 合肥: 中国科学技术大学, 2010.
- 5. 郑玉鳞. 量子纠缠与量子导引的判据研究[D]: [博士学位论文]. 合肥: 中国科学技术大学, 2016.