浙江大学光电学院，浙江 杭州

收稿日期：2023年8月20日；录用日期：2023年9月20日；发布日期：2023年9月28日

摘要

本文继续研究、评述与本专题上篇“规范场论札记(I)”中的“人造”(synthetic)规范场和“呈展”(emergent)规范场有关的两个主题。本文“规范场论札记(II)”主要研究三个具体问题：i) 在前人的磁荷和对偶变换理论基础之上，提出了局域电磁对偶变换对称性和对偶规范场概念，指出对于电磁波而言，对偶规范势的效果使得真空中的电磁波好似在介电系数和磁导率均为张量的各向异性介质中传播；ii) 给出了一种非阿贝尔版本或广义的卡鲁扎–克莱因理论的详细推导过程，其目的是为了具体介绍一个统一爱因斯坦广义相对论引力和杨–米尔斯规范相互作用的理论。在此模型中，杨–米尔斯规范场以高维引力度规场分量的身份在普通四维时空中呈现出来，或者说，杨–米尔斯规范场在本质上是一种非阿贝尔卡鲁扎–克莱因高维引力场；iii) 介绍了笔者提出的一种自旋联络高维引力规范理论，其引力拉格朗日量用黎曼曲率平方项构造，高维自旋仿射联络(洛伦兹联络)具有杨–米尔斯规范势的特征、矢量场和旋量物质场的高维自旋流在四维时空内表现为杨–米尔斯规范荷流，从而该高维引力规范理论可以统一引力相互作用和杨–米尔斯规范相互作用。在文献中，引力理论有很多家，虽然本文仅对非阿贝尔版本的卡鲁扎–克莱因理论和引力规范理论的长处和缺陷作了评述，但希望本文对此二者的析评有助于读者举一反三、触类旁通理解文献中各类引力理论的风格特征和优缺点。

关键词

电磁对偶变换，衍生规范场，卡鲁扎–克莱因理论，引力规范理论

Notes on Gauge Field Theories (II): Local Electromagnetic Dual Transformation Theory, Generalized Kaluza-Klein Emergent Yang-Mills Gauge Field Theory and Higher-Dimensional Gravitational Gauge Field Theory

Jianqi Shen

College of Optical Science and Engineering, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang

Received: Aug. 20^th, 2023; accepted: Sep. 20^th, 2023; published: Sep. 28^th, 2023

ABSTRACT

This paper continues to explore and review the two topics of “synthetic” gauge field and “emergent” gauge field, which have already been considered in the last paper entitled “Notes on Gauge Field Theories (I)”. The present paper on “Notes on Gauge Field Theories (II)” includes three topics: i) A theory of local electromagnetic dual transformation symmetry and dual gauge field is suggested based on the previous theories of magnetic charge and dual transformation, and it is pointed out that the effect of dual gauge potential makes an electromagnetic wave in vacuum seem to propagate in an anisotropic medium whose permittivity and permeability are both tensors; ii) A non-Abelian version or generalized Kaluza-Klein theory is given in detail. The purpose is to introduce a theory of fundamental interaction that unifies Einstein’s general-relativity gravity and Yang-Mills gauge interaction. In this model, the Yang-Mills gauge potential is a higher-dimensional gravitational metric-field off-diagonal component emerging in the ordinary four-dimensional spacetime, or in other words, the Yang-Mills gauge field is essentially a non-Abelian Kaluza-Klein higher-dimensional gravitational field; iii) A theory of higher-dimensional spin-connection gravitational gauge field theory, of which the gravitational Lagrangian density is quadratic in the Riemannian curvature, is reviewed. The higher-dimensional spin-affine connection (the Lorentz connection) can serve as a Yang-Mills gauge potential and the spin currents of vectorial and spinorial matter fields play a role of Yang-Mills gauge charge currents in the four-dimensional spacetime, and so the gravitational interaction and the Yang-Mills gauge interaction can be unified into the present higher-dimensional spin-connection gravitational gauge theory, which was suggested by us. There have been many theories of gravitation in the literature. Although the merits and weaknesses of only the non-Abelian version of Kaluza-Klein theory and the gauge theory of gravitation are reviewed in this paper, we expect that the analysis of these two theories would still help readers to draw parallels among the relevant gravity theories and to understand the stylistic characteristics, advantages and disadvantages of various gravitation theories in the literature.

Keywords:Electromagnetic Dual Transformation, Emergent Gauge Field, Kaluza-Klein Theory, Gravitational Gauge Theory

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

规范场论是近代理论物理柱石之一 [1] [2] [3] [4] 。规范对称性和规范耦合确定了基本粒子相互作用的主要基本结构 [5] [6] [7] 。在历史上，魏尔在爱因斯坦统一场论风尚召唤下，在量子力学建立前后率先发现了电动力学的规范相互作用结构 [8] [9] ，尽管当时它只是作为一个优雅的内禀特性揭示但无甚用处。不过，随着亚原子物理学中的强、弱相互作用的发现，使用规范对称原理来建构基本相互作用理论，正如使用相对论来写物质基本运动方程一样，成为一种范式 [5] [6] [7] 。事实上，局域规范相互作用(包括波函数的局域相位变换)和广义相对论中的广义坐标变换(局域时空变换如局域洛伦兹转动变换及局域时空平移对称变换)地位一样基本、同等重要，如前者(局域规范对称性)和后者(广义坐标变换协变性)分别要求杨–米尔斯规范相互作用的存在和引力相互作用的存在。在一些高维引力规范理论中，这两种对称性又可以统一在一起(本文将述及)，意味着自然界的基本相互作用具有统一的本质。

规范相互作用尽管是物质世界的秉性，但是在一些应用物理领域(如光学、电磁材料领域和冷原子物理学中)，也出现了“人造”(synthetic)规范场 [10] [11] [12] [13] [14] [15] 。这是一个有趣的现象。除了“人造”规范场以外，高维引力理论(如五维卡鲁扎–克莱因理论)也能产生电磁场 [16] [17] [18] [19] [20] ，其被称为“呈展”(emergent)规范场。“呈展”的含义是“呈现展示”，意味着在卡鲁扎–克莱因理论中，电磁场和电磁相互作用并非是基本的，它们在本质上属于引力场和引力相互作用 [16] [17] [18] [19] [20] 。在本专题上篇“规范场论札记(I)”文中，我们已经介绍、研究、评述了一些“人造”(synthetic)规范场和“呈展”(emergent)规范场方面的工作 [21] ，它们有的属于综述前人已经有的工作，有的属于叙述笔者钻研的心得。在目前下篇“规范场论札记(II)”文中，我们将介绍三个具体专题(主要是本作者的研究结果)：i) 电磁场的复张量表述和局域电磁对偶规范场论；ii) 非阿贝尔版本的卡鲁扎–克莱因理论和呈展的杨–米尔斯规范场论；iii) 自旋联络高维引力规范理论和引力–规范统一模型。我们对各主题扼要含义说明如下：

i) “电磁对偶规范场论”(本文第2节)：假设存在磁荷，电磁场方程满足电磁对偶变换对称性 [22] ，我们在他人的电磁场复矢量表述 [23] 基础之上，引入电磁场的复张量表述，可以让电磁学理论(电磁拉格朗日量、场方程、能量–动量张量等)写得更为凝练和对称 [24] 。将电磁对偶变换 [22] 用于复张量表述 [24] ，我们发现对偶变换实际上是一种(整体)规范变换。于是，我们认为值得提出针对电磁场的局域对偶规范变换，这要求存在一种对偶规范势。我们揭示这样的对偶规范势的各分量的物理意义的一个应用例子是各向异性介电系数和磁导率张量内的非对角分量。

ii) “卡鲁扎–克莱因理论”(本文第3、4节和第5节评述)：在非阿贝尔版本的卡鲁扎–克莱因理论中，杨–米尔斯场不再是一种基本的规范场，相反，它是从高维引力场中展现出来的，它在本质上是高维空间中的引力场在普通四维空间中的“投影”，可以被称呼为衍生或呈展(emergent)规范场。笔者在2007年之前曾“独立”提出和研究多年，后来发现前人也有此类研究 [25] 。借助Killing矢量方法 [25] ，同时含有高维与低维指标的非对角度规分量可以化身为杨–米尔斯规范势。尽管非阿贝尔版本的卡鲁扎–克莱因理论可以将引力场和杨–米尔斯规范场统一起来，但是其拉格朗日量内杂项过多，有可能违反2017年8月的“双中子星合并事件”中观察到的“引力波和伽玛射线几乎同时到达地球”这一“双星使”现象 [26] [27] [28] [29] 。

iii) “高维引力规范理论”(本文第5、6节)：笔者提出了该类理论 [30] [31] [32] [33] 。它也可以统一引力场和杨–米尔斯规范场，且拉格朗日量不携带这么多杂项，不违反“双星使”现象。在这一理论中，引力拉格朗日量以曲率平方项形式出现，一些高维自旋仿射联络(洛伦兹联络)会表现为杨–米尔斯规范势，矢量场和旋量场的高维自旋流在普通四维时空内表现为杨–米尔斯荷流密度 [30] [31] [32] [33] 。本专题上篇“规范场论札记(I)”文中已经指出，引入新的规范场，在历史上有魏尔的规范对称路线 [8] [9] 和卡鲁扎–克莱因高维路线 [16] [17] [18] [19] [20] 两种。在引力规范理论中，这两种路线都被贯彻，如引入局域洛伦兹转动规范对称性(魏尔路线)，得到新的引力理论，然后借助高维统一思想(卡鲁扎–克莱因路线)，把杨–米尔斯规范场论从引力理论中衍生出来 [30] [31] [32] [33] 。引力规范理论 [30] [31] [32] 加上高维统一思想，原则上可将引力场和杨–米尔斯规范场统一起来 [33] 。对引力场的规范场论特征的揭示，意味着四种基本相互作用需要在引力规范场论下统一，四种基本相互作用在本质上都是引力场。

本文除了包含作者的研究结果外，还将文献中与本专题有关、在推导叙述上显得步骤简略的内容进行详细补证，这有利于读者具体掌握这方面的知识。譬如，非阿贝尔卡鲁扎–克莱因理论虽然亦有一些文献，但是其往往写得很晦涩，数学过程在紧要处往往一笔带过，这让读者研习起来十分艰难，这有时会让读者可能要静候几年甚至十年以上才能悟透其中的数学理论部分(笔者和其他人想必都有这方面的体会，例如他在某问题上无法打通某一步推导，等在钻研其它相关问题时才忽然明白过来，但是时间已经十年过去了。但凡那原作者当年能写得稍微详细一点，也不至于让读者静等十年才悟透)，故本文作者尽可能给出翔实的推导，以飨读者。另一方面，本文作者在1998~2007年也曾“独立提出”非阿贝尔卡鲁扎–克莱因理论这个专题，目的是为了将广义相对论引力理论和杨–米尔斯规范理论写为对方形式或者统一引力理论和规范场论，虽然得到了其中要旨，但是到了后半部分却被“卡壳”，无法将呈现出来的高维引力规范群与杨–米尔斯规范群联系起来，主要原因是笔者当时不知道它可以用Killing矢量关系式来摆脱困难、建立与杨–米尔斯规范群的联系。本文将介绍与Killing矢量有关的理论 [25] 并将此用于“统一引力和规范力”的广义卡鲁扎–克莱因理论。广义卡鲁扎–克莱因理论以及有关的高维引力理论在文献中一直不绝 [25] [34] [35] [36] [37] 。附录中有一个关于Killing (基林)矢量和Lie (李)导数的介绍，这是属于为使用非阿贝尔版卡鲁扎–克莱因机制统一引力理论和规范场论时所需要的知识构件，放在末尾，希望有助于读者进一步理解。

文中涉及到的一些中外研究人员的姓氏，对凡是比较常见的名姓，用中文译法；对非常见姓氏，或在文内只偶尔出现几次的，或因缺少约定的汉译，我们用其西文姓氏，即沿袭这些作者论文内的姓氏写法，读者因此亦可方便检索西文姓氏获得相关原始文献。

2. 麦克斯韦方程的对偶规范变换

就麦克斯韦方程的整体电磁对偶变换，前人已经揭示其性质 [22] 。在此整体变换下，以电荷和磁荷作为源的麦克斯韦方程形式不变(对偶对称性)。此变换对称性成立的前提是要求磁荷存在，否则该电磁对偶对称性就被破坏。但其实也可以退一步，即使磁荷不存在，如果同时假设所研究的系统内不存在电荷，那么自由电磁场的麦克斯韦方程组的整体电磁对偶对称性(对偶变换不变性)仍旧成立。

基于前人的三维矢量形式的电磁对偶变换 [23] ，我们使用四维时空相对论张量方法来阐述整体对偶变换。以四维电流密度为源的麦克斯韦方程是 $\overline{\stackrel{¯}{\epsilon }}$ ，以四维磁荷流密度为源的麦克斯韦方程是 $\overline{\stackrel{¯}{\epsilon }}=\left(\begin{array}{ccc}{\epsilon }_m& -i{A}_z& i{A}_y\\ i{A}_z& {\epsilon }_m& -i{A}_x\\ -i{A}_y& i{A}_x& {\epsilon }_m\end{array}\right)={\epsilon }_m\left(\begin{array}{ccc}1& -i{A}_z/{\epsilon }_m& i{A}_y/{\epsilon }_m\\ i{A}_z/{\epsilon }_m& 1& -i{A}_x/{\epsilon }_m\\ -i{A}_y/{\epsilon }_m& i{A}_x/{\epsilon }_m& 1\end{array}\right)$ (注意：这里用到了“相同指标求和”法则，取 ${\eta }_m^{-1}\zeta \stackrel{\to }{W}={\eta }_m\xi \stackrel{\to }{A}$ )，其中电磁场张量为 $\zeta =\xi =i$ ，其对偶电磁场张量为 ${\eta }_m^{-1}\zeta \stackrel{\to }{W}={\eta }_m\xi \stackrel{\to }{A}$ ( $\stackrel{\to }{W}/{\mu }_m=\stackrel{\to }{A}/{\epsilon }_m$ 为全反对称Levi-Civita符号，我们定义其中一个分量为 $\overline{\stackrel{¯}{\mu }}$ ，其它分量按此数值根据全反对称原则定出)。如果磁荷存在，电磁势 $\begin{array}{l}\overline{\stackrel{¯}{\mu }}=\left(\begin{array}{ccc}{\mu }_m& -i{W}_z& i{W}_y\\ i{W}_z& {\mu }_m& -i{W}_x\\ -i{W}_y& i{W}_x& {\mu }_m\end{array}\right)={\mu }_m\left(\begin{array}{ccc}1& -i{W}_z/{\mu }_m& i{W}_y/{\mu }_m\\ i{W}_z/{\mu }_m& 1& -i{W}_x/{\mu }_m\\ -i{W}_y/{\mu }_m& i{W}_x/{\mu }_m& 1\end{array}\right)\\ ={\mu }_m\left(\begin{array}{ccc}1& -i{A}_z/{\epsilon }_m& i{A}_y/{\epsilon }_m\\ i{A}_z/{\epsilon }_m& 1& -i{A}_x/{\epsilon }_m\\ -i{A}_y/{\epsilon }_m& i{A}_x/{\epsilon }_m& 1\end{array}\right).\end{array}$ 不再是解析函数，例如 $\left(\nabla \mp i\omega {\eta }_m\stackrel{\to }{A}\right)\times \left[\left(\nabla \mp i\omega {\eta }_m\stackrel{\to }{A}\right)\times \left(\sqrt{{\epsilon }_m}\stackrel{\to }{E}\pm i\sqrt{{\mu }_m}\stackrel{\to }{H}\right)\right]$ 。在对偶变换 [22] 下，我们写出新的电磁场张量 ${\epsilon }_{mlk}{D}_l\left({\epsilon }_{kij}{D}_i{F}_j\right)$ 和对偶张量 $\begin{array}{l}{\epsilon }_{mlk}{D}_l\left({\epsilon }_{kij}{D}_i{F}_j\right)={\epsilon }_{mlk}{\epsilon }_{kij}{D}_l{D}_i{F}_j=\left({\delta }_{mi}{\delta }_{lj}-{\delta }_{mj}{\delta }_{il}\right)D_l{D}_i{F}_j\\ =D_j{D}_m{F}_j-D_i{D}_i{F}_m.\end{array}$ 与旧的电磁场张量 $g_{\mu \nu }$ 和对偶张量 $g_{\mu \nu }$ 的关系如下：

$A_{\mu }{A}_{\nu }$ ， ${\gamma }_{\mu }$

它们可以化为我们熟知的三维空间内的矢量形式 [22] 。于是，将以上变换关系应用到麦克斯韦方程，我们可以得到

$g_{\mu \nu }=({\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }+{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\mu })/2$

故而在整体电磁对偶变换下，四维电流密度变换规则是 ${\gamma }_{\mu }$ ，四维磁荷流密度的变换规则是 ${\gamma }_p$ 。于是以四维电流密度为源的麦克斯韦方程 ${\gamma }_{\mu }={\gamma }_p{e}^p{}_{\mu }$ 和以四维磁荷流密度为源的麦克斯韦方程 $e^p{}_{\mu }$ 在整体电磁对偶变换下形式不变。

以上是电磁对偶变换的相对论协变形式的实数表述法。其实也存在其复数表述形式(下面将叙述)。这样我们就可以证明，传统的电磁对偶变换其实是一种规范变换，我们可称之为“整体电磁对偶规范变换”(global electromagnetic dual gauge transformation)。对于笔者而言，这一性质的发现过程如下：先是许冰等人提出了电磁场的三维复矢量表述形式(2007年) [23] ，我们受此启发，提出了具有明显相对论协变性的电磁场复张量表述(2009年) [24] ，再结合前述的电磁对偶变换的相对论协变形式的实数表述法，我们把它(电磁对偶变换)转化为复数表述，于是立即可以看出(在复数表述下)电磁对偶变换的规范变换特性。下面来叙述这一研究结果：

在普通的电磁场张量 $g_{\mu \nu }=e^p{}_{\mu }{e}_{p\nu }$ 和对偶张量 $e^p{}_{\mu }$ 基础之上，再受电磁场的三维复矢量表述形式 [22] 的启发，我们就可以定义两个新的电磁场张量： $g_{\mu \nu }=({\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }+{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\mu })/2$ 和对偶张量 $g_{\mu \nu }=e^p{}_{\mu }{e}_{p\nu }$ (复数张量) [24] 。此二者张量之间的关系是 $e^5{}_{\mu }$ 和 $A_{\mu }$ (注意：对偶张量的对偶，与原张量比起来，前者多出一个负号，即 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{g}}_{\mu \nu }& {\tilde{g}}_{\mu 5}\\ {\tilde{g}}_{5\nu }& {\tilde{g}}_{55}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{g}_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu }{A}_{\nu }& {\varphi }^2{A}_{\mu }\\ {\varphi }^2{A}_{\nu }& {\varphi }^2\end{array}\right)$ ， $A_{\mu }$ )。这样一来，我们从前面的实数张量式子可以得到对应的复数张量

$\mu =0,1,2,3$ ， ${\tilde{g}}_{\mu 5}$

这正是当存在电荷和磁荷时、在电磁场的复数张量形式下的麦克斯韦方程组： $\varphi$ ， ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ [24] 。值得说明的是，本身此二方程并非独立，它们之间可以通过对偶变换，彼此推导，其对偶变换规则为： ${\tilde{g}}^{\nu \lambda }=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{g}}^{\nu \lambda }& {\tilde{g}}^{\nu 5}\\ {\tilde{g}}^{5\lambda }& {\tilde{g}}^{55}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{g}^{\nu \lambda }& -A^{\nu }\\ -A^{\lambda }& g_{\sigma \tau }{A}^{\sigma }{A}^{\tau }+1/{\varphi }^2\end{array}\right)$ 和 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 或者 ${\tilde{g}}^{\nu \lambda }$ 和 $\begin{array}{l}{\tilde{g}}_{\mu \nu }{\tilde{g}}^{\nu \lambda }=\left(\begin{array}{cc}{g}_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu }{A}_{\nu }& {\varphi }^2{A}_{\mu }\\ {\varphi }^2{A}_{\nu }& {\varphi }^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{g}^{\nu \lambda }& -A^{\nu }\\ -A^{\lambda }& g_{\sigma \tau }{A}^{\sigma }{A}^{\tau }+1/{\varphi }^2\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}\left(g_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu }{A}_{\nu }\right)g^{\nu \lambda }+{\varphi }^2{A}_{\mu }(-A^{\lambda })& \left(g_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu }{A}_{\nu }\right)(-A^{\nu })+{\varphi }^2{A}_{\mu }\left(g_{\sigma \tau }{A}^{\sigma }{A}^{\tau }+1/{\varphi }^2\right)\\ {\varphi }^2{A}_{\nu }{g}^{\nu \lambda }+{\varphi }^2(-A^{\lambda })& {\varphi }^2{A}_{\nu }(-A^{\nu })+{\varphi }^2(g_{\sigma \tau }{A}^{\sigma }{A}^{\tau }+1/{\varphi }^2)\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mu }{}^{\lambda }& 0\\ 0& 1\end{array}\right).\end{array}$ 。

下面我们来看新的电磁场张量 ${\varphi }^2$ 和对偶张量 $-{\varphi }^2$ 的整体对偶变换：

${\tilde{\Gamma }}_{\lambda ,\mu \nu }=\frac{1}{2}\left({\partial }_{\nu }{\tilde{g}}_{\lambda \mu }+{\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\nu \lambda }-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu \nu }\right)$

${\tilde{\Gamma }}_{\lambda ,\mu 5}$

复数形式的电、磁荷流密度的对偶变换为

${\partial }_5{\tilde{g}}_{\lambda \mu }=0$

${\tilde{\Gamma }}_{\lambda ,\mu 5}$

我们看到复数形式的电磁场张量和电、磁荷流密度的对偶变换都出现了一个复数因子(相位因子)

$\begin{array}{l}{\tilde{\Gamma }}_{\lambda ,\mu 5}=\frac{1}{2}\left({\partial }_5{\tilde{g}}_{\lambda \mu }+{\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{5\lambda }-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu 5}\right)\to \frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{5\lambda }-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu 5}\right)\\ =\frac{1}{2}\left[{\partial }_{\mu }\left({\varphi }^2{A}_{\lambda }\right)-{\partial }_{\lambda }\left({\varphi }^2{A}_{\mu }\right)\right]=\frac{{\varphi }^2}{2}\left({\partial }_{\mu }{A}_{\lambda }-{\partial }_{\lambda }{A}_{\mu }\right)+\frac{1}{2}\left(A_{\lambda }{\partial }_{\mu }{\varphi }^2-A_{\mu }{\partial }_{\lambda }{\varphi }^2\right).\end{array}$ 。于是，麦克斯韦方程组 ${\tilde{\Gamma }}_{\lambda ,\mu 5}$ ， ${\partial }_{\mu }{A}_{\lambda }-{\partial }_{\lambda }{A}_{\mu }$ 具有整体电磁对偶规范变换对称性。

上面我们讨论了整体电磁对偶变换。下面我们考虑局域对偶变换，即相位因子 $R=g^{\beta \nu }\left(-{\partial }_{\nu }{\Gamma }^{\mu }{}_{\beta \mu }+{\partial }_{\mu }{\Gamma }^{\mu }{}_{\beta \nu }+{\Gamma }^{\sigma }{}_{\beta \nu }{\Gamma }^{\mu }{}_{\sigma \mu }-{\Gamma }^{\sigma }{}_{\mu \beta }{\Gamma }^{\mu }{}_{\sigma \nu }\right)$ 是时空坐标的函数。在该变换下，麦克斯韦方程必须包含协变导数即

$-{\partial }_{\nu }{\Gamma }^{\mu }{}_{\beta \mu }+{\partial }_{\mu }{\Gamma }^{\mu }{}_{\beta \nu }+{\Gamma }^{\sigma }{}_{\beta \nu }{\Gamma }^{\mu }{}_{\sigma \mu }$ ， $R\to -g^{\beta \nu }{\Gamma }^{\sigma }{}_{\mu \beta }{\Gamma }^{\mu }{}_{\sigma \nu }\to -g^{55}{g}^{\sigma \nu }{g}^{\mu \lambda }{\Gamma }_{\nu ,\mu 5}{\Gamma }_{\lambda ,\sigma 5}$

于是 $\begin{array}{l}-\frac{\tilde{R}}{2\kappa }\to \frac{1}{2\kappa }{g}^{55}{g}^{\sigma \nu }{g}^{\mu \lambda }{\tilde{\Gamma }}_{\nu ,\mu 5}{\tilde{\Gamma }}_{\lambda ,\sigma 5}\\ \to \frac{1}{2\kappa }{\left(\frac{{\varphi }^2}{2}\right)}^2{g}^{55}{g}^{\sigma \nu }{g}^{\mu \lambda }\left({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }\right)\left({\partial }_{\sigma }{A}_{\lambda }-{\partial }_{\lambda }{A}_{\sigma }\right)\\ =\frac{1}{2\kappa }{\left(\frac{{\varphi }^2}{2}\right)}^2{g}^{55}{g}^{\sigma \nu }{g}^{\mu \lambda }{f}_{\mu \nu }{f}_{\sigma \lambda }=-\frac{1}{2\kappa }{\left(\frac{{\varphi }^2}{2}\right)}^2{g}^{55}{f}_{\mu \nu }{f}^{\mu \nu },\end{array}$ 可以在局域对偶变换下化为

$f_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$

它与电、磁荷的四维流密度的变换规则( ${\tilde{\Gamma }}_{\nu ,\mu 5}$ )一样，其中 $\frac{1}{2\kappa }{\left(\frac{{\varphi }^2}{2}\right)}^2{g}^{55}=\frac{1}{4}$ ，故而局域电磁对偶规范势的变换规则为 $-\frac{R}{2\kappa }$ 。同理，我们还有

$-\frac{1}{4}{f}_{\mu \nu }{f}^{\mu \nu }$

它与电、磁荷的四维流密度的变换规则( $f_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$ )亦同。于是，局域对偶变换对称性对于麦克斯韦方程仍旧是成立的。

上面是“局域电磁对偶规范变换”的相对论协变形式。我们也可以将上述内容化为普通三维空间形式。我们发现此时电磁波恰似在各向异性真空中传播，对偶规范势 $-\frac{R}{2\kappa }$ 的物理含义是介电张量和磁导率张量的非对角分量。

我们设平直时空度规张量对角元符号为 $\begin{array}{l}d\tilde{s}=\sqrt{{\tilde{g}}_{\mu \nu }d{\tilde{x}}^{\mu }d{\tilde{x}}^{\nu }}=\sqrt{g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }+2g_{\mu 5}d{x}^{\mu }d{x}^5+g_{55}d{x}^{5}d{x}^5}\\ =\sqrt{\left(g_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu }{A}_{\nu }\right)d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }+2{\varphi }^2{A}_{\mu }d{x}^{\mu }d{x}^5+{\varphi }^{2}d{x}^{5}d{x}^5}.\end{array}$ 。我们具体写出每一个电磁场张量分量：电磁场张量分量之一 $\begin{array}{l}d\tilde{s}=\sqrt{g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }+2{\varphi }^2{A}_{\mu }d{x}^{\mu }d{x}^5+{\varphi }^2{A}_{\mu }{A}_{\nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }+{\varphi }^{2}d{x}^{5}d{x}^5}\\ =ds\sqrt{1+2{\varphi }^2{A}_{\mu }{U}^{\mu }{U}^5+{\varphi }^2{A}_{\mu }{A}_{\nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }+{\varphi }^2{U}^5{U}^5}\\ \to ds\left(1+{\varphi }^2{U}^5{A}_{\mu }{U}^{\mu }+\mathrm{...}\right)\to ds+{\varphi }^2{U}^5{A}_{\mu }d{x}^{\mu },\end{array}$ ，于是 $d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$ (电场强度分量， $\mu ,\nu$ )；磁感应强度分量 $U^{\mu }=d{x}^{\mu }/ds$ ，于是三个磁感应强度分量可以写为 $U^5=d{x}^5/ds$ $S=-m_0{c}^2{\displaystyle \int d\tilde{s}}=-m_0{c}^2{\displaystyle \int \left(ds+{\varphi }^2{U}^5{A}_{\mu }d{x}^{\mu }\right)}$；电磁对偶张量分量之一 $m_0$ $ds=\sqrt{1-v^2/c^2}dt$${\varphi }^2{U}^5{A}_{\mu }d{x}^{\mu }={\varphi }^2{U}^5{A}_{\mu }{u}^{\mu }dt$ ，于是 $v^{\mu }=d{x}^{\mu }/dt=(c,\stackrel{\rightharpoonup }{v})$ ( $S=-m_0{c}^2{\displaystyle \int \left(\sqrt{1-v^2/c^2}+{\varphi }^2{U}^5{A}_{\mu }{v}^{\mu }\right)dt}$ )；对偶张量分量之一 $L=-m_0{c}^2\left(\sqrt{1-v^2/c^2}+{\varphi }^2{U}^5{A}_{\mu }{v}^{\mu }\right)$ $L=-m_0{c}^2\sqrt{1-v^2/c^2}-q\left(V-A\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)$$q=m_0{c}^2{\varphi }^2{U}^5$$\varphi$，于是我们有 $U^5$ $U^5$。

再来看电磁场张量(复数形式)的定义 $a$ 和 $m_0{U}^5=n\hslash \pi /a$ [24] 。为了方便，我们先在自然单位制中考虑。我们得到如下结论： $n$ $\hslash$ ( $a$ )； $m_0{U}^5=n\hslash /a$ ， $U^5$ ，于是 $q=m_0{c}^2{\varphi }^2{U}^5$ $U^5$；电磁对偶分量为 $n\hslash /a$ $n$ ( $n=0$ )； $\frac{\tilde{D}{U}^{\mu }}{d\tilde{s}}=0$ $\frac{\tilde{D}{U}^{\mu }}{d\tilde{s}}$，于是 $\frac{\tilde{D}{U}^{\mu }}{d\tilde{s}}=\frac{d{U}^{\mu }}{d\tilde{s}}+{\tilde{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }{U}^{\sigma }{U}^{\nu }=\frac{d{U}^{\mu }}{d\tilde{s}}+{\Gamma }^{\mu }{}_{\sigma \nu }{U}^{\sigma }{U}^{\nu }+2{\Gamma }^{\mu }{}_{\sigma 5}{U}^{\sigma }{U}^5+{\Gamma }^{\mu }{}_{55}{U}^5{U}^5$ ${\Gamma }^{\mu }{}_{\sigma 5}$。这样带有对偶规范势的麦克斯韦方程 ${\Gamma }^{\mu }{}_{\sigma 5}=g^{\mu \tau }\left[\frac{{\varphi }^2}{2}\left({\partial }_{\sigma }{A}_{\tau }-{\partial }_{\tau }{A}_{\sigma }\right)+\frac{1}{2}\left(A_{\tau }{\partial }_{\sigma }{\varphi }^2-A_{\sigma }{\partial }_{\tau }{\varphi }^2\right)\right]$ 左边的一个分量可以化为

${\Gamma }^{\mu }{}_{\sigma 5}{U}^{\sigma }$

于是，三个空间分量 $g^{\mu \tau }\left({\partial }_{\sigma }{A}_{\tau }-{\partial }_{\tau }{A}_{\sigma }\right)U^{\sigma }$ ( $\phi$ )可以化为三维矢量形式(注意要用到“相同指标求和”法则，取 ${\partial }_{\mu }\phi$ )

${\partial }_{\mu }\phi =g_{\mu \nu }{\partial }^{\nu }\phi =\left({\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\right){\partial }^{\nu }\phi ={\bar{\partial }}_{\mu }\phi +h_{\mu \nu }{\partial }^{\nu }\phi$

则麦克斯韦方程的空间分量 ${\bar{\partial }}_{\mu }\phi +h_{\mu 5}{\partial }^5\phi$ ( $h_{\mu 0}{\partial }^0\phi +h_{\mu i}{\partial }^i\phi$ )化为

$i=1,2,3$

麦克斯韦方程的时间(第零)分量 ${\bar{\partial }}_{\mu }\phi +h_{\mu 5}{\partial }^5\phi ={\bar{\partial }}_{\mu }\phi +{\varphi }^2{A}_{\mu }(i{q}^5)\phi =\left({\bar{\partial }}_{\mu }+i{q}^5{\varphi }^2{A}_{\mu }\right)\phi$ (也即高斯定律)可被展开为

${\partial }^5\phi =i{q}^5\phi$

下面我们来看麦克斯韦方程的对偶形式 $q^5{\varphi }^2=q$ 。对偶方程分量之一

如 ${\partial }_{\mu }\phi \to \left({\bar{\partial }}_{\mu }+iq{A}_{\mu }\right)\phi$ 左边项 $\exp (im\theta )$ 可以被展开为

$\theta =x^5/a$

则方程左边的空间分量( $a$ )为(注意要用到“相同指标求和”法则， ${\partial }_5\phi =i(m/a)\phi$ )

${\partial }_{\mu }\phi$

于是麦克斯韦对偶方程的空间分量为

$\left({\bar{\partial }}_{\mu }+iq{A}_{\mu }\right)\phi$

此式也可以由前面已经得到的麦克斯韦矢量方程

$SU(\; N\; )$

两边乘以 $\lambda ,\mu ,\nu$ 得到。

电磁场的对偶方程的时间分量(即第零分量，也即高斯定律) $M,N,L,P$ (注意要用到“相同指标求和”法则， $\lambda ,\mu ,\nu$ )可以化为 $M,N,L,P$ (注意要用到“相同指标求和”法则， $\begin{array}{l}{\tilde{\Gamma }}_{\lambda ,\mu M}=\frac{1}{2}\left({\partial }_M{\tilde{g}}_{\lambda \mu }+{\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{M\lambda }-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}\right)\\ \to \frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{M\lambda }-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}\right)=\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\lambda M}-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}\right).\end{array}$ )。最终我们得到 ${\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\lambda M}-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}\to {\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\lambda M}^{ab}-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}^{ab}$ 。此式也可以由前面的 $T_{ba}{}^i$ 两边乘以 $i$ 得到。

以上“局域电磁对偶规范对称性”理论系笔者在2012年底讲授研究生《光学电磁理论》课程时想到，因而它算是笔者在教学过程中的一点心得。它是笔者基于之前文献内其它相关工作(如三维形式的电磁对偶变换形式 [22] 、电磁场的三维复数形式 [23] 以及电磁场的复数张量表述 [24] )而思考的结果。需要指出，尽管麦克斯韦方程可以在数学上恒等变形化为各种有趣的形式，如薛定谔方程形式、狄拉克方程形式以及复数张量形式 [24] ，但是其物理含义没有变，因此这些变形也没有带来任何新的具有实质性价值的内容。不过，新的数学形式也有可能成为将来未可预见的推广的理论的生长点。在近代物理学中这样的例子有很多。

上面的普通电磁对偶变换 [22] 经过复张量改造，我们发现它是一个规范变换。下面我们来看对偶规范势的物理含义。为了简化，设麦克斯韦方程无源，即去掉 $SU(N)$ 和 $i=1,2,3,\mathrm{...},N^2-1$ ，同时假设对偶规范标量势 $\left({\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\lambda M}^{ab}-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}^{ab}\right)T_{ba}{}^i$ 为零，以及再设电磁场是时谐波( ${\tilde{g}}_{\lambda M}^{ab}{T}_{ba}{}^i$ ，那么上面已经得到的麦克斯韦方程及其对偶方程的空间分量可以被简化为

${\tilde{g}}_{\lambda M}^i$

我们可以从这两个方程得到一个二阶微分方程

$i$

根据“规范场论札记(I)” [21] ，我们已经知道这样的方程实际上是各向异性介质(介电系数与磁导率都是张量)内的电磁波方程。由此，对偶规范势(的分量)的物理含义是介电张量与磁导率张量的各向异性矩阵元。这就打通了“对偶规范势”与“光学规范势” [15] 之间的关系。

以上仅针对阿贝尔情形，即电荷、磁荷和电磁规范场都是阿贝尔的。能否将“对偶规范势”推广到

非阿贝尔情形，也是一个值得考虑的问题。新的规范场张量 ${\partial }_{\mu }\to {\bar{\partial }}_{\mu }+{\tilde{g}}_{\mu N}{e}^{\bar{M}N}{\bar{\partial }}_M$ 和对偶张量 $i$ 的整体和局域对偶变换 $i$ 和 $\frac{1}{k^2}\left(\stackrel{\to }{k}\times \frac{d\stackrel{\to }{k}}{dt}\right)$ 仍旧可以保留；复数形式的荷流密度的对偶变换 ${\xi }_M{}^K(y)$ 和 ${\partial }_{\mu }{f}^{\mu \nu }=J^{\nu }$ 也保留。现在，对偶变换参数 ${\partial }_{\mu }{\tilde{f}}^{\mu \nu }=K^{\nu }$ 可以采用矩阵形式，将规范场张量和荷流密度看作某个李代数空间中的基矢量，因此，这些变换都是么正变换。规范场方程左边的对偶变换 $\mu =0,1,2,3$ 及其对偶部分的对偶变换 $f^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$ 也保留，但是普通导数如 ${\tilde{f}}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu }{}_{\alpha \beta }{f}^{\alpha \beta }$ 要改为(非阿贝尔规范群下的)协变导数 ${\epsilon }^{\mu \nu }{}_{\alpha \beta }$ 。现在 ${\epsilon }_{0123}=+1$ 是非阿贝尔群元，因此以上构件的变换都是非阿贝尔么正变换。如此说来，非阿贝尔规范场的非阿贝尔对偶变换是存在的、自然的，对偶规范势 $A^{\nu }$ 很容易被推广到非阿贝尔情形。

3. 非阿贝尔版本的卡鲁扎–克莱因理论

我们在上篇(“规范场论札记(I)”)中已经详细论述 [21] ，表明卡鲁扎–克莱因理论将引力场与U(1)电磁场统一起来了 [16] [17] [18] [19] [20] 。由于在后来(1954年)阿贝尔的电磁场理论又被推广到非阿贝尔规范场理论 [1] ，后者成为描述夸克的强相互作用、中微子–电子的弱相互作用的理论，而电磁场本身也成为 ${\partial }_{\alpha }{\partial }_{\beta }{A}^{\nu }\ne {\partial }_{\beta }{\partial }_{\alpha }{A}^{\nu }$ 非阿贝尔规范场的一个子群规范场；电磁场被统一进入Glashow-Weinberg-Salam弱电统一模型(1961、1967、1968年，已经被粒子物理学实验证实)和进一步被统一进入George-Glashow大统一模型(1974年，还未被实验证实) [5] [6] [7] 。如此，为了把引力与强、弱、电相互作用统一起来，就需要把引力场与非阿贝尔规范场统一起来。下面我们就来研究这种思路，即将上述卡鲁扎–克莱因理论推广到非阿贝尔版本的卡鲁扎–克莱因理论，这是可以办到的。这一节叙述本人曾经(在2007年之前)的研究。

首先我们进行符号约定：在本理论中，希腊字母 $f{\text{'}}^{\mu \nu }$ 等表示普通四维时空内的坐标指标，大写拉丁字母如 $\tilde{f}{\text{'}}^{\mu \nu }$ 等表示高维内空间的坐标指标；如果物理量字母上带有波浪线，表示该量是在四维(外部)时空和高维内空间这一巨时空体(bulk spacetime)内进行定义的；若没有波浪线，则它们或定义在四维(外部)时空，或定义在高维内空间(规范群流形)中；如果时空指标是平直的，那么就在 $f^{\mu \nu }$ 或 ${\tilde{f}}^{\mu \nu }$ 上添加一横。在非阿贝尔卡鲁扎–克莱因理论中，最重要的高维Levi-Civita联络可以写为

$f{\text{'}}^{\mu \nu }=f^{\mu \nu }\cos \xi +{\tilde{f}}^{\mu \nu }\sin \xi$

那么如何得到杨–米尔斯规范场呢？一个直观的方法是让度规非阿贝儿化，即 $\tilde{f}{\text{'}}^{\mu \nu }={\tilde{f}}^{\mu \nu }\cos \xi -f^{\mu \nu }\sin \xi .$ 。但是这种思路并不直接奏效，难以生成杨–米尔斯场。于是在其上乘上规范群生成元 $\begin{array}{l}{\partial }_{\mu }f{\text{'}}^{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{f}^{\mu \nu }\cos \xi +{\partial }_{\mu }{\tilde{f}}^{\mu \nu }\sin \xi =J^{\nu }\cos \xi +K^{\nu }\sin \xi ,\\ {\partial }_{\mu }\tilde{f}{\text{'}}^{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{\tilde{f}}^{\mu \nu }\cos \xi -{\partial }_{\mu }{f}^{\mu \nu }\sin \xi =K^{\nu }\cos \xi -J^{\nu }\sin \xi .\end{array}$ (指标 $J{\text{'}}^{\nu }=J^{\nu }\cos \xi +K^{\nu }\sin \xi$ 表示规范群生成元序号，如对于 $K{\text{'}}^{\nu }=K^{\nu }\cos \xi -J^{\nu }\sin \xi$ 群，指标 ${\partial }_{\mu }{f}^{\mu \nu }=J^{\nu }$ )，即得到 ${\partial }_{\mu }{\tilde{f}}^{\mu \nu }=K^{\nu }$ ，并就重复指标求和。其实这可以干脆把 $f^{\mu \nu }$ 写为 ${\tilde{f}}^{\mu \nu }$ 。如果 $F^{\mu \nu }=f^{\mu \nu }+i{\tilde{f}}^{\mu \nu }$ 不是时空指标，那么梯度算符 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }={\tilde{f}}^{\mu \nu }-i{f}^{\mu \nu }$ 难以对指标 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }=-i{F}^{\mu \nu }$ 作用，指标 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu }{}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }$ 不参与运算，因此也不奏效。于是我们认为 ${\widetilde{\stackrel{˜}{f}}}^{\mu \nu }=-f^{\mu \nu }$ 应该是高维内空间指标。但是由于 ${\widetilde{\stackrel{˜}{F}}}^{\mu \nu }=-F^{\mu \nu }$ 已经有内空间指标 ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{f}^{\mu \nu }+i{\partial }_{\mu }{\tilde{f}}^{\mu \nu }=J^{\nu }+i{K}^{\nu }$ 了，该内空间指标亦可以利用起来，所以我们没有必要额外引入其它指标 ${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{\tilde{f}}^{\mu \nu }-i{\partial }_{\mu }{f}^{\mu \nu }=K^{\nu }-i{J}^{\nu }.$ ，内空间指标 ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=J^{\nu }+i{K}^{\nu }$ 已经可以代替 ${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=K^{\nu }-i{J}^{\nu }$ ，它将具有杨–米尔斯规范群生成元序号的功能。

在改写偏导数算符时，如我们有 $F^{\mu \nu }\to {\tilde{F}}^{\mu \nu }$ $J^{\nu }+i{K}^{\nu }\to -i\left(J^{\nu }+i{K}^{\nu }\right)$、 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }\to F^{\mu \nu }$ ( $K^{\nu }-i{J}^{\nu }\to i\left(K^{\nu }-i{J}^{\nu }\right)$ 微小，故而略去)，此时我们需要回答一个问题：为什么要把 $F^{\mu \nu }=f^{\mu \nu }+i{\tilde{f}}^{\mu \nu }$ 写为 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }={\tilde{f}}^{\mu \nu }-i{f}^{\mu \nu }$ ？从作者个人角度讲，发现当穷尽几乎一切途径，只有这样才能得到杨–米尔斯场强中的两场乘积项 $\begin{array}{l}F{\text{'}}^{\mu \nu }=f{\text{'}}^{\mu \nu }+i\tilde{f}{\text{'}}^{\mu \nu }=(f^{\mu \nu }\cos \xi +{\tilde{f}}^{\mu \nu }\sin \xi )+i({\tilde{f}}^{\mu \nu }\cos \xi -f^{\mu \nu }\sin \xi )\\ =\exp (-i\xi )(f^{\mu \nu }+i{\tilde{f}}^{\mu \nu })=\exp (-i\xi )F^{\mu \nu },\end{array}$ 。另一方面，这也受启发于普通广义相对论中的物质场与“引力磁势 $\begin{array}{l}\tilde{F}{\text{'}}^{\mu \nu }=\tilde{f}{\text{'}}^{\mu \nu }-if{\text{'}}^{\mu \nu }=({\tilde{f}}^{\mu \nu }\cos \xi -f^{\mu \nu }\sin \xi )-i(f^{\mu \nu }\cos \xi +{\tilde{f}}^{\mu \nu }\sin \xi )\\ =\exp (-i\xi )({\tilde{f}}^{\mu \nu }-i{f}^{\mu \nu })=\exp (-i\xi ){\tilde{F}}^{\mu \nu }.\end{array}$ ”的相互作用：如 $\begin{array}{l}J{\text{'}}^{\nu }+iK{\text{'}}^{\nu }=(J^{\nu }\cos \xi +K^{\nu }\sin \xi )+i(K^{\nu }\cos \xi -J^{\nu }\sin \xi )\\ =\exp (-i\xi )(J^{\nu }+i{K}^{\nu }),\end{array}$ $\begin{array}{l}K{\text{'}}^{\nu }-iJ{\text{'}}^{\nu }=(K^{\nu }\cos \xi -J^{\nu }\sin \xi )-i(J^{\nu }\cos \xi +K^{\nu }\sin \xi )\\ =\exp (-i\xi )(K^{\nu }-i{J}^{\nu }).\end{array}$ ，那么 $\exp (-i\xi )$ ，其中 ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=J^{\nu }+i{K}^{\nu }$ 就是“引力磁矢量势”。它的旋度，就是引力磁场。于是在 ${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=K^{\nu }-i{J}^{\nu }$ 中，我们可以有 $\exp (-i\xi )$ 。同理，我们有 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right)F^{\mu \nu }=J^{\nu }+i{K}^{\nu }$ 。那么由Levi-Civita联络得到的非阿贝尔规范场强形式为

$\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right){\tilde{F}}^{\mu \nu }=K^{\nu }-i{J}^{\nu }.$ 。

对该式经过钻研后，我们认为杨–米尔斯规范场强中的规范势平方项 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }^{\text{'}}\right)F{\text{'}}^{\mu \nu }$ 应该由 $\begin{array}{l}\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }^{\text{'}}\right)F{\text{'}}^{\mu \nu }=\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }^{\text{'}}\right)\left(\exp (-i\xi )F^{\mu \nu }\right)\\ =\exp (-i\xi )\left({\partial }_{\mu }-i{\partial }_{\mu }\xi -ig{W}_{\mu }^{\text{'}}\right)F^{\mu \nu }\\ =\exp (-i\xi )\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }^{}\right)F^{\mu \nu }.\end{array}$ 变化而来。显然需要对 $J{\text{'}}^{\nu }+iK{\text{'}}^{\nu }=\exp (-i\xi )(J^{\nu }+i{K}^{\nu })$ 和 ${\partial }_{\mu }\xi +g{W}_{\mu }^{\text{'}}=g{W}_{\mu }^{}$ 作如下形式的分解：

$W_{\mu }^{\text{'}}=W_{\mu }^{}-{\partial }_{\mu }\xi /g$ ， $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }^{\text{'}}\right)\tilde{F}{\text{'}}^{\mu \nu }=\exp (-i\xi )\left({\partial }_{\mu }-i{\partial }_{\mu }\xi -ig{W}_{\mu }^{\text{'}}\right){\tilde{F}}^{\mu \nu }=\exp (-i\xi )\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }^{}\right){\tilde{F}}^{\mu \nu }.$ ，才有可能得到规范势平方项 $K{\text{'}}^{\nu }-iJ{\text{'}}^{\nu }=\exp (-i\xi )(K^{\nu }-i{J}^{\nu })$ ，其中 $W_{\mu }^{}$ 是普通四维时空坐标， $[+,-,-,-]$ 是高维内空间坐标。至于 $f_{01}={\partial }_0{A}_1-{\partial }_1{A}_0\to E^1$ 是具有什么物理意义的量，目前未知(说明：这里对 $f_{0i}\to E^i$ ，作者采用了与Kuyrukcu 2014年论文内类似的符号写法 [25] ，因为 $i=1,2,3$ 是Killing矢量场。一般文献中用符号 $f_{12}={\partial }_1{A}_2-{\partial }_2{A}_1\to -B^3$ 表示Killing矢量场的事例较多，尽管当时(2006~2007年)作者并没有认识到 $\left\{f_{23},f_{31},f_{12}\right\}$ 内的 $\to \left\{-B^1,-B^2,-B^3\right\}$ 是Killing矢量场)。我只知道 ${\tilde{f}}_{01}=\frac{1}{2}{\epsilon }_{01}{}^{\alpha \beta }{f}_{\alpha \beta }$ 和 $={\epsilon }_{01}{}^{23}{f}_{23}$ 能就其内外空间坐标进行分离变量(写成内外空间坐标函数的乘积形式)。于是 $=f_{23}\to -B^1$ 可以化为

${\tilde{f}}_{0i}\to -B^i$

这样我们就得到本理论中的重要结论：

$i=1,2,3$

需要作一说明：在此式中，我们不能把 ${\tilde{f}}_{12}=\frac{1}{2}{\epsilon }_{12}{}^{\alpha \beta }{f}_{\alpha \beta }$ 作为公共因子提取出来，也即不能写作 $={\epsilon }_{12}{}^{30}{f}_{30}=-{\epsilon }_{1230}{f}_{30}$ 。因为如果能写作成该形式，那么 $={\epsilon }_{0123}{f}_{30}$ ，其内 $=f_{30}\to -E^3$ 的 $\left\{{\tilde{f}}_{23},{\tilde{f}}_{31},{\tilde{f}}_{12}\right\}$ 是高维平直空间指标，但是根据前述定义 $\to \left\{-E^1,-E^2,-E^3\right\}$ ， $F^{\mu \nu }=f^{\mu \nu }+i{\tilde{f}}^{\mu \nu }$ 应该是高维弯曲空间指标(高维弯曲，代表有规范场)，故而矛盾。

现在我们在Levi-Civita联络 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }={\tilde{f}}^{\mu \nu }-i{f}^{\mu \nu }$ 上乘上额外维内空间标架场(vielbein) $F^{0i}=f^{0i}+i{\tilde{f}}^{0i}$ ，以此作为研究对象，那么这意味着我们需要作如下计算

$\to -E^i+i{B}^i$

此处 $i=1,2,3$ 可以不计(即十分微小)。利用 $F^{12}=f^{12}+i{\tilde{f}}^{12}$ ，上面结果可以写为

$\to -B^3-i{E}^3$

于是中括号内出现了一个类似非阿贝尔规范场强的表达式 $\left\{F^{23},F^{31},F^{12}\right\}$ 。我们已知杨–米尔斯非阿贝尔规范场强是 $\to \left\{-B^1-i{E}^1,-B^2-i{E}^2,-B^3-i{E}^3\right\}$ (其中 ${\tilde{F}}^{0i}={\tilde{f}}^{0i}-i{f}^{0i}$ 是杨–米尔斯规范群结构常数， $\to B^i+i{E}^i$ 是规范荷)。如果 $i=1,2,3$ 等于 ${\tilde{F}}^{12}={\tilde{f}}^{12}-i{f}^{12}$ ，那么这两个场强具有相同结构， $\to -E^3+i{B}^3$ 。这个相等条件是否可以实现呢？首先， $\left\{{\tilde{F}}^{23},{\tilde{F}}^{31},{\tilde{F}}^{12}\right\}$ 关于指标 $\to \left\{-E^1+i{B}^1,-E^2+i{B}^2,-E^3+i{B}^3\right\}$ 是反对称的，群结构常数 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right)F^{\mu \nu }=J^{\nu }+i{K}^{\nu }$ 也是关于指标 $\begin{array}{l}\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right)F^{\mu 1}=\left({\partial }_2-ig{W}_2\right)F^{21}+\left({\partial }_3-ig{W}_3\right)F^{31}+\left({\partial }_0-ig{W}_0\right)F^{01}\\ =\left({\partial }_2-ig{W}_2\right)(B^3+i{E}^3)+\left({\partial }_3-ig{W}_3\right)(-B^2-i{E}^2)\\ +\left({\partial }_0-ig{W}_0\right)(-E^1+i{B}^1).\end{array}$ 是反对称的。如果前者是常数(即与高维内空间坐标无关)，那么两者可以相等起来。于是这样，我们从高维(广义相对论) Levi-Civita联络 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right)F^{\mu i}$ 中获得了普通四维时空中的杨–米尔斯规范场强。在该Levi-Civita联络中， $i=1,2,3$ 为额外维(高维)内空间坐标的指标(且是弯曲空间坐标指标)， $\mu =0,1,2,3$ 与 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right)F^{\mu i}\to \left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\times (\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E})-\left({\partial }_0-ig{W}_0\right)(\stackrel{\to }{E}-i\stackrel{\to }{B}).$ 是普通四维时空坐标指标(它本应该是弯曲时空坐标指标。但是为了简化问题，我们把普通四维时空中的爱因斯坦引力场略去了，因为我们的目的是从高维广义相对论中呈现出杨–米尔斯规范场)。由于在普通的五维卡鲁扎–克莱因理论中已经证明希尔伯特–爱因斯坦引力作用量密度包含了Levi-Civita联络的平方项 [21] ，

即 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right)F^{\mu i}=J^i+i{K}^i$ ，它也可以写为

$i=1,2,3$ .

故而希尔伯特–爱因斯坦引力作用量中的高维时空部分自动包含了杨–米尔斯非阿贝尔规范场的拉格朗日量密度。于是这样我们就把杨–米尔斯规范场从高维广义相对论引力理论中呈现了出来，也因此可以说我们的上述方案(非阿贝尔版本的卡鲁扎–克莱因理论)统一了引力场与杨–米尔斯规范场。

以上内容(即本节“非阿贝尔版本的卡鲁扎–克莱因理论”)是本作者在2007年之前的四五年独立研究“以非阿贝尔卡鲁扎–克莱因引力理论统一引力场和杨–米尔斯场”所得到的要义(实际结果要比上面庞杂多倍且伴随各种曲折思考和若干“走不通”的方案，这里只是删繁就简整理、列出合理的部分)。

杨–米尔斯规范群结构常数 $\left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\times (\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E})=\left({\partial }_0-ig{W}_0\right)(\stackrel{\to }{E}-i\stackrel{\to }{B})+\left(\stackrel{\to }{J}+i\stackrel{\to }{K}\right).$ 是常数，与普通四维时空坐标无关，而 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right)F^{\mu 0}=J^0+i{K}^0$ 里面的指标都是高维空间内的指标，似乎也都与普通四维时空坐标无关，但是它们含有高维空间内的导数，似应该与高维空间坐标有关，看不出它们是真正的常数，也看不出它们怎么与一个李群(如杨–米尔斯规范群)去建立联系，尽管 $\begin{array}{l}\left({\partial }_i-ig{W}_i\right)F^{i0}=J^0+i{K}^0\Rightarrow \left({\partial }_i-ig{W}_i\right)(E^i-i{B}^i)=J^0+i{K}^0\\ \Rightarrow \left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\cdot (\stackrel{\to }{E}-i\stackrel{\to }{B})=J^0+i{K}^0.\end{array}$ 确实与杨–米尔斯规范群结构常数 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right){\tilde{F}}^{\mu \nu }=K^{\nu }-i{J}^{\nu }$ 有一些类似(如关于指标 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right){\tilde{F}}^{\mu 1}=K^1-i{J}^1$ 反对称)。因此，本文作者当时(2006~2007年)十分不自信(到这里就被“卡壳”)，正如跋涉到山顶，没有体会到“一览众山小”，似觉空虚，最终放弃了这一套所谓的“非阿贝尔卡鲁扎–克莱因引力”理论，改旗易帜，去追寻提出另一套完全不同的方案即基于洛伦兹联络(自旋仿射联络)的引力规范理论 [30] [31] [32] ，采用高维洛伦兹群作为SO( $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right){\tilde{F}}^{\mu 1}$ )规范对称群或者高维复流形群作为SU( $\begin{array}{l}\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right){\tilde{F}}^{\mu 1}=\left({\partial }_2-ig{W}_2\right){\tilde{F}}^{21}+\left({\partial }_3-ig{W}_3\right){\tilde{F}}^{31}+\left({\partial }_0-ig{W}_0\right){\tilde{F}}^{01}\\ =\left({\partial }_2-ig{W}_2\right)(E^3-i{B}^3)+\left({\partial }_3-ig{W}_3\right)(-E^2+i{B}^2)\\ +\left({\partial }_0-ig{W}_0\right)(B^1+i{E}^1),\end{array}$ )规范对称群 [33] 。

4. 用Killing矢量场摆脱困境

无论如何，其实卡鲁扎–克莱因理论使用高维空间自由度来描述规范场，统一引力场和规范场，富有启发性意义。在文献中，卡鲁扎–克莱因理论的各种推广，包括非阿贝尔版本，除了我自己“闭门”钻研外，时不时有人在研究 [25] [34] [35] [36] [37] 。关于上面所述的非阿贝尔形式的卡鲁扎–克莱因理论如何产生规范群的问题，我后来明白，实际上需要依靠Killing矢量场与李导数工具来建立 $i=1,2,3$ 与杨–米尔斯规范群结构常数 $\mu =0,1,2,3$ 之间的联系才能解决 [25] 。他人已经指出，度规分量 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right){\tilde{F}}^{\mu i}\to \left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\times (\stackrel{\to }{E}-i\stackrel{\to }{B})+\left({\partial }_0-ig{W}_0\right)(\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E}).$ 中的 $\left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\times (\stackrel{\to }{E}-i\stackrel{\to }{B})=-\left({\partial }_0-ig{W}_0\right)(\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E})+\left(\stackrel{\to }{K}-i\stackrel{\to }{J}\right).$ 是一个Killing矢量 [25] 。 $\left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\times (\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E})=\left({\partial }_0-ig{W}_0\right)(\stackrel{\to }{E}-i\stackrel{\to }{B})+\left(\stackrel{\to }{J}+i\stackrel{\to }{K}\right)$ 中的指标 $-i$ 为这里说的Killing矢量指标。利用Killing矢量场与李导数的方法，上面所得到的 $\left({\partial }_{\mu }-ig{W}_{\mu }\right){\tilde{F}}^{\mu 0}=K^0-i{J}^0$ 也可以这样来讨论：在本理论(非阿贝尔版卡鲁扎–克莱因理论方案)重要结果 $\mu =0,1,2,3$ 之中，我们研究 $-\left({\partial }_i-ig{W}_i\right)(B^i+i{E}^i)=K^0-i{J}^0$ 。对此右乘 $i=1,2,3$ ，我们得到

$-\left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\cdot (\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E})=K^0-i{J}^0$ .

此为两个Killing矢量场 $\left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\cdot (\stackrel{\to }{E}-i\stackrel{\to }{B})=J^0+i{K}^0$ 与 $-i$ 的对易子(指标 $\stackrel{\to }{J}+i\stackrel{\to }{K}$ 和 $\stackrel{\to }{K}-i\stackrel{\to }{J}$ 为这里说的Killing矢量指标)。根据前人微分几何理论的研究结果知道 [38] [39] [40] [41] ，全体Killing矢量场构成一个群的完备性生成元的集合，即任意两个Killing矢量之和也是Killing矢量，任意两个Killing矢量的对易子也是Killing矢量 [38] [39] [40] (这是李群特征。正是这一点，使得 $W_0$ 可以与杨–米尔斯规范群结构常数联系起来)。Killing矢量场满足如下的李代数关系 [38] [39] [40]

${\partial }_0\to -i\omega /c)$ ，

其中， $\begin{array}{l}\left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\times (\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E})=-i\frac{\omega }{c}(\stackrel{\to }{E}-i\stackrel{\to }{B}),\\ \left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\times (\stackrel{\to }{E}-i\stackrel{\to }{B})=i\frac{\omega }{c}(\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E}).\end{array}$ 为该Killing矢量群的结构常数。将该关系代入前面公式，于是我们有 $\left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\times \left[\left(\nabla +ig\stackrel{\to }{W}\right)\times (\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E})\right]=\frac{{\omega }^2}{c^2}(\stackrel{\to }{B}+i\stackrel{\to }{E}).$ 。进一步可以得到

$\stackrel{\to }{k}$ .

将它代入前面的 $\frac{d\stackrel{\to }{v}}{dt}-\frac{q}{m}v\times \stackrel{\to }{B}=0$ ，我们得到

$\frac{1}{k^2}\left(\stackrel{\to }{k}\times \frac{d\stackrel{\to }{k}}{dt}\right)$

显然，当 $H=\xi \stackrel{\to }{S}\cdot (\stackrel{\to }{r}\times \stackrel{\to }{p})$ ，即Killing矢量群李导数结构常数 $H=\xi \stackrel{\to }{p}\cdot (\stackrel{\to }{S}\times \stackrel{\to }{r})$ 与杨–米尔斯规范群结构常数 $\stackrel{\to }{p}$ 成正比时，从高维黎曼时空几何的无挠Levi-Civita联络(黎曼对称联络) $\stackrel{\to }{S}\times \stackrel{\to }{r}$ 中可以生成杨–米尔斯非阿贝尔规范场强 $J^{\mu }{A}_{\mu }$ 。模仿前面普通卡鲁扎–克莱因理论中的度规写法 [18] [19] ，我们可以写出非阿贝尔卡鲁扎–克莱因理论中的体时空(bulk spacetime)度规：

$q{U}^{\mu }{A}_{\mu }\to q\Phi -q\stackrel{\to }{v}\cdot \stackrel{\to }{A}$

那么它的逆是

${\stackrel{\to }{E}}_{lab}={\stackrel{\to }{E}}_{atom}+\stackrel{\to }{v}\times \stackrel{\to }{B}$

可以证明它们满足互逆条件

$V=-\stackrel{\to }{d}\cdot {\stackrel{\to }{E}}_{lab}=-\stackrel{\to }{d}\cdot \left({\stackrel{\to }{E}}_{atom}+\stackrel{\to }{v}\times \stackrel{\to }{B}\right)=-\stackrel{\to }{d}\cdot {\stackrel{\to }{E}}_{atom}-\stackrel{\to }{d}\cdot (\stackrel{\to }{v}\times \stackrel{\to }{B})=-\stackrel{\to }{d}\cdot {\stackrel{\to }{E}}_{atom}-\stackrel{\to }{v}\cdot (\stackrel{\to }{B}\times \stackrel{\to }{d})$

那么根据上面的分解精神( $\langle \psi |V|\psi \rangle =-\langle \psi |\stackrel{\to }{d}|\psi \rangle \cdot {\stackrel{\to }{E}}_{atom}-\stackrel{\to }{v}\cdot \left(\stackrel{\to }{B}\times \langle \psi |\stackrel{\to }{d}|\psi \rangle \right)$ )，把胀缩子标量场也考虑进去，度规实际应该写为

$\stackrel{\to }{v}$

在 $\stackrel{\to }{B}\times \langle \psi |\stackrel{\to }{d}|\psi \rangle$ 中， $J^{\mu }{A}_{\mu }$ 内的指标 $q{U}^{\mu }{A}_{\mu }\to q\Phi -q\stackrel{\to }{v}\cdot \stackrel{\to }{A}$ 当属杨–米尔斯规范群生成元的序指标，例如当规范群是SU $\stackrel{\to }{A}=\frac{1}{q}\stackrel{\to }{B}\times \langle \psi |\stackrel{\to }{d}|\psi \rangle$ 群，它有 $|\psi \rangle ={\displaystyle \underset{i}{\sum }{c}_i}|{\psi }_i\rangle$ 个生成元，那么 $\langle \psi |\stackrel{\to }{d}|\psi \rangle ={\displaystyle \underset{ij}{\sum }{c}_i^{*}{c}_j\langle {\psi }_i|}\stackrel{\to }{d}|{\psi }_j\rangle ={\displaystyle \underset{ij}{\sum }{c}_i^{*}{c}_j{\stackrel{\to }{d}}_{ij}}$ 取遍1到 $\stackrel{\to }{A}=\frac{1}{q}\stackrel{\to }{B}\times {\displaystyle \underset{ij}{\sum }{c}_i^{*}{c}_j{\stackrel{\to }{d}}_{ij}}=\frac{1}{q}{\displaystyle \underset{ij}{\sum }{c}_i^{*}{c}_j\stackrel{\to }{B}\times {\stackrel{\to }{d}}_{ij}}$ 。在引力理论中， $L=\frac{1}{2}m{\stackrel{\to }{v}}^2+q\stackrel{\to }{v}\cdot \stackrel{\to }{A}$ 的唯一物理意义是高维(内空间)指标，即高维(内空间)指标承担了杨–米尔斯规范群生成元的序指标，因为我们不打算(像杨–米尔斯理论那样)引入其它额外自由度(如同位旋)，现在唯一的自由度就是高维内空间指标。但是这也带来一个问题：这要求高维(内空间)是 $\stackrel{\to }{p}=\frac{\partial L}{\partial \stackrel{\to }{v}}=m\stackrel{\to }{v}+q\stackrel{\to }{A}$ 维的。但是按照Killing矢量的特性，一个 $H=\stackrel{\to }{p}\cdot \stackrel{\to }{v}-L=(m\stackrel{\to }{v}+q\stackrel{\to }{A})\cdot \stackrel{\to }{v}-\left(\frac{1}{2}m{\stackrel{\to }{v}}^2+q\stackrel{\to }{v}\cdot \stackrel{\to }{A}\right)=\frac{1}{2}m{\stackrel{\to }{v}}^2=\frac{{(\stackrel{\to }{p}-q\stackrel{\to }{A})}^2}{2m}$ 维高维(内空间)有 $V=-\stackrel{\to }{\mu }\cdot {\stackrel{\to }{B}}_{lab}=-\stackrel{\to }{\mu }\cdot \left({\stackrel{\to }{B}}_{atom}-\frac{\stackrel{\to }{v}\times \stackrel{\to }{E}}{c^2}\right)=-\stackrel{\to }{\mu }\cdot {\stackrel{\to }{B}}_{atom}+\stackrel{\to }{\mu }\cdot \left(\frac{\stackrel{\to }{v}\times \stackrel{\to }{E}}{c^2}\right)=-\stackrel{\to }{\mu }\cdot {\stackrel{\to }{B}}_{atom}+\stackrel{\to }{v}\cdot \left(\frac{\stackrel{\to }{E}\times \stackrel{\to }{\mu }}{c^2}\right)$ 个Killing矢量 [38] [39] [40] ，但是 $\stackrel{\to }{A}=-\frac{1}{q}\frac{\stackrel{\to }{E}}{c^2}\times \langle \psi |\stackrel{\to }{\mu }|\psi \rangle$ (只有 ${\partial }_{\mu }\psi$ 让 $A_{\mu }$ 成立，这正是普通的阿贝尔五维卡鲁扎–克莱因理论)。如果由高维卡鲁扎–克莱因理论生成的规范群是SO( $({\partial }_{\mu }-ig{A}_{\mu })\psi$ )群(SU $z$ 群是SO( $z$ )群的子群)，它的生成元个数是 $x$ ， $x$ 维高维(内空间)有 $y$ 个Killing矢量 [38] [39] [40] ，由此说来，如果 $z$ ，则Killing数量个数与SO( $a$ )群生成元个数相等。由此看来， $k_x=n\pi /a$ 内的指标 $n$ 应该被看作高维(内空间)指标，存在由Killing矢量场为生成元组成的群与规范对称群一一对应的现象。