ABSTRACT

A new method, the plane geometry method, is developed for accurate drawing stereographic projection of cubic system. The principle and method are introduced, and the new method is used to accurately draw a stereographic projection with the higher indexes for cubic system, and a standard projection of cubic system. The plane geometry method provides the following advantages over existing methods: neither calculating the angles nor measuring the angles with Wulff Net.

Keywords:Plane Geometry Method, Stereographic Projection, Cubic System

精确绘制立方晶系极射 赤面投影图的新方法： 平面几何法

范群成^1*，康嘉晨²

¹西安交通大学材料科学与工程学院，陕西 西安

²西安交通大学电子与信息工程学院，陕西 西安

收稿日期：2018年7月22日；录用日期：2018年8月16日；发布日期：2018年8月23日

摘 要

本文提出了精确绘制立方晶系极射赤面投影图的新方法：平面几何法。介绍了该法的原理及方法，并用该法精确绘制了含有较高指数的立方晶系极射赤面投影图、立方晶系标准投影图。与传统方法相比，新方法既不需要角度的计算，也不需要用吴氏网进行角度的测量，简单方便，绘图精确。

关键词 :平面几何法，极射赤面投影图，立方晶系

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1. 引言

极射赤面投影图是将三维空间中晶向及晶面间的相对位向关系描绘在平面中的平面投影图。极射赤面投影图是晶体塑性变形研究及织构研究的重要工具，其中最常见的是立方晶系的极射赤面投影图 [1] [2] [3] [4] 。用传统方法绘制立方晶系的极射赤面投影图时，虽然并不需要先做球面投影，但需要进行各晶面间夹角的计算，并用吴氏网在图中测量出这些角度，从而确定投影点的位置 [1] 。本文提出用平面几何作图法精确绘制立方晶系极射赤面投影图，运用此法精确绘制了含有较高指数的立方晶系极射赤面投影图、立方晶系标准投影图。此法的运用效果表明，在不先做球面投影的情况下，既不需要进行夹角计算，也不需要用吴氏网进行角度测量。

2. 原理与方法

在进行极射赤面投影时，晶向和晶面都通过参考球的球心。晶向与参考球面的交点在投影面内的投影是一个点，大多数情况下，晶面与参考球面的交线在投影面内的投影是一段大圆弧线，圆弧的弦是基圆的直径。图1所示是一个ABC晶面的极射赤面投影，如果将O点定为[001]晶向的投影，E点定为[100]

晶向的投影，则A点就是[010]晶向的投影。设晶面ABC与(010)面的交线OB的指数为 $\left[u_{1}0w_1\right]$ ，则B点在投影面内的投影D点的指数也是 $\left[u_{1}0w_1\right]$ 。按传统方法，在不真正做投影的情况下，要确定 $\left[u_{1}0w_1\right]$ 在投影面的确切位置，需要先计算 $\left[u_{1}0w_1\right]$ 与[001]之间的夹角，再利用吴氏网在OE线上从O点向右度量出这个角度，从而确定为D点。下面将要介绍一种新方法，同样不真正做投影，但既不需要先计算 $\left[u_{1}0w_1\right]$ 与[001]之间的夹角，也不需要利用吴氏网在OE线上从O点向右度量出这个角度。

在图1中，连接C点和D并延长，交基圆于F点。

在两个直角三角形ΔOSD和ΔOCD中，

∵ OS = OC，OD边共用，∠DOS = ∠DOC = 90˚，

根据三角形全等定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，

∴ ΔOSD ≌ ΔOCD, ∠OSD = ∠OCD。

由于同弧的圆心角2倍于圆周角，∠GOB = 2∠OSD，∠HOF = 2∠OCD，

∴ ∠GOB = ∠HOF。

图1. 精确绘制立方晶系极射赤面投影图的原理图

∵ OB = OF，

∴ ΔGOB ≌ ΔHOF, GO = HO。

晶向OB(指数为 $u_{1}0w_1$ )在三个晶轴上的投影值分别为GB、0、GO，晶向OF在三个晶轴上的投影值分别为HF、HO、0，而GB = HF，GO = HO，故，F点的指数应当为 $u_1{w}_{1}0$ ，也就是说，将D点指数中的v值与w值换位就是F点的指数。反过来，若已知F点的指数，将其v值与w值换位就是D点的指数。

综上所述，绘制立方晶系(001)极射赤面投影图时，先在基圆的AE四分之一圆弧段用平面几何作图法确定指数为 $u_1{w}_{1}0$ 的F点，连接F点和C点，与OE相交于D点，则D点的指数就是 $u_{1}0w_1$ 。连接A、D两点，并作直线段AD的垂直平分线，它与直线OW或其延长线的交点就是D点所在大圆弧线的圆心，由此可绘制出ADC投影线。

文献 [4] 介绍了用计算机绘制标准极图的原理，并给出了用C语言编写的计算和画出以任意晶系任意晶面的标准投影的程序。基于本文的上述原理，用计算机来绘制立方晶系极射赤面投影图也是有可能的，感兴趣的读者可以进行尝试。

3. 平面几何法的运用举例

3.1. 立方晶系(001)极射赤面投影图的精确绘制

如图2所示，在001基圆上按右手坐标系确定100、010、 $\overline{1}00$ 、 $0\overline{1}0$ 四个点。设基圆半径为1，用平面几何作图法在基圆上得到120、110、210、310、等投影点。连接 $0\overline{1}0$ 和120两点，在001-100线上得到102投影点，同样方法还可得到101、201、301各投影点。图3是平面几何作图法在投影图上所得到的主要投影点。

下面绘制由图3中各投影点所确定的大圆弧线。

图2. 用平面几何法确定极射赤面投影图中投影点的位置

图3. 极射赤面投影图中各投影点的位置

图4. 用平面几何法绘制投影线

以图4中201点为例。连接201点与010点，作010-201直线段的垂直平分线，交 $\overline{1}00$ -001线于A点，以A点为圆心、A-010线段为半径画弧，即得投影大圆弧线010-201- $0\overline{1}0$ 。依照此法，可以得到其它的投影大圆弧线，如图5所示。

图5中投影线与投影线的交点指数的确定，可按照如下原理进行：两个投影线的交点，是这两个投影线所代表的两个晶面的交线，可由这两个晶面的法线的差乘求得，而晶面的法线可由该晶面内任意两个晶向的差乘求得。

以 $\overline{1}00$ -011-100与010-101- $0\overline{1}0$ 两个大圆弧线的交点为例。

$011\times \overline{1}00=0\overline{1}1$ (1)

$\text{101}\times 010=\overline{1}01$ (2)

$\overline{1}01\times 0\overline{1}1=111$ (3)

故，这两个大圆弧线的交点为111。

3.2. 立方晶系(001)标准投影图的精确绘制

所谓立方晶系标准投影图，是指仅将低指数晶向(<100>, <110>, <111>)和晶面({100}, {110})进行投影，图6是运用平面几何法精确绘制的立方晶系(001)标准投影图。其实，在绘制图中四条大圆弧线时，不必先确定它们各自的圆心，因为其圆心就是图中的100、010、 $0\overline{1}0$ 、 $\overline{1}00$ 。以010-101- $0\overline{1}0$ 大圆弧为例，只要证明图7中两直线段 $WD=WA$ ，即可证明这一论断。

设基圆半径为1，则 $WA=\sqrt{2}$ 。两直角三角形DOC和FHC相似， $OC=1$ ， $FH=HO=\sqrt{2}/2$ ，故， $DO/OC=FH/HC$ ， $DO=\left(\sqrt{2}/2\right)/\left(1+\sqrt{2}/2\right)=\sqrt{2}-1$ ，所以，

图5. 用平面几何法精确绘制的立方晶系(001)极射赤面投影图

图6. 用平面几何法绘制的立方晶系(001)标准投影图

图7. 证明W点是圆弧ADC的圆心的示意图

$WD=WO+OD=1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}=WA$ (4)

也就是说，不必先确定101、011、 $\overline{1}01$ 、 $0\overline{1}1$ ，以及圆心。直接分别以100、010、 $\overline{1}00$ 和 $0\overline{1}0$ 为圆心，以100-010直线段为半径画圆弧，就能得到这四条大圆弧线，101、011、 $\overline{1}01$ 、 $0\overline{1}1$ 四个投影点自然也就随之而得到了。

4. 结论

基于简单的平面几何原理，用新的方法精确绘制了含有较高指数的立方晶系极射赤面投影图、立方晶系标准投影图。新方法的应用效果表明，该方法既不需要进行夹角的计算，也不需要用吴氏网来测定这些夹角，简单方便，绘图精确。

文章引用

范群成,康嘉晨. 精确绘制立方晶系极射赤面投影图的新方法：平面几何法
A New Method of Accurate Drawing Stereographic Projection for Cubic System: The Plane Geometry Method[J]. 材料科学, 2018, 08(08): 871-877. https://doi.org/10.12677/MS.2018.88103

参考文献