﻿ 从FPU问题到孤立子 From FPU Problem to Solitons

Vol.05 No.03(2016), Article ID:18294,13 pages
10.12677/AAM.2016.53042

From FPU Problem to Solitons

Yingxue Su

China University of Mining and Technology (Beijing), Beijing

Received: Jul. 19th, 2016; accepted: Aug. 14th, 2016; published: Aug. 17th, 2016

ABSTRACT

Solitons, chaos and fractals were important parts of nonlinear science, which had been invented and seen a great many developments in the last century. During the developments of the nonlinear science, Fermi-Pasta-Ulam (FPU) problem played a crucial role. We will introduce the FPU problem briefly here and analyze the linear mathematical model and the energy of normal modes that are related to FPU problem. At the same time, we will explain the process of deriving the KdV equation from FPU problem and get the one-soliton solutions to the KdV equation. Also the plots for one-soliton and two-soliton solutions are presented.

Keywords:KdV Equation, FPU Problem, Soliton, Normal Modes

1. 引言

2. 非线性物理现象的发现和FPU问题的研究历史

2.1. 孤立子的发现

I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped—not so the mass of water in the channel which it had put in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on horseback, and overlook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually diminished, and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel.

2.2. KdV方程的提出

1895年荷兰物理学家Diederick Korteweg和他的学生Gustav de Vries提出了一个描述水波运动的非线性发展方程即KdV方程。他们导出了此微分方程的一个行波解来解释Russell所观察到的现象，同时他们也找到了周期性的解，但是并没有找到此非线性微分方程通解。

2.3. FPU问题的研究历史和孤立子的提出

1955年著名物理学家Fermi，计算机科学家Pasta和数学家Ulam提出了著名的FPU问题，并且他们借助第一台电子计算机MANIAC I进行数值实验，Mary Tsingou完成了其编程工作 [2] 。

Fermi，Pasta和Ulam用弹簧连接一串小球并给以一扰动，他们假定整个系统没有能量损失，并且振动仅沿着弹簧的方向，但是他们对弹簧的弹力添加了非线性部分，即。一开始他们设想经过一定时间的振动，整个系统的能量会平均分配。当动力系统开始振动时，能量确实趋向于平均分配到不同的形式，各个能量态确实被激发，但是一天他们偶然间在动力系统达到稳定后继续运行程序，惊奇的发现大概97%的系统能量重新回到初始状态。

1965年，Zabusky和Kruskal开始从连续统一的角度考虑FPU问题。在连续的情况下，FPU问题可以近似用KdV方程来描述。并且他们对KdV方程中两个波速不同的孤波进行研究。发现如果这两个孤波开始分开并且波速大的在左边，那么在发生相互碰撞后，波速大的在右边并且保持最初的波形和速度，仅仅发生相位的移动。这两个孤波是弹性碰撞并且类似于粒子，因此被称为孤立子。

3. FPU问题中的耦合振子和简正模式

3.1. FPU问题的数学模型(图1)

FPU问题将其数学模型加入非线性部分，即(是小球的位移，是常数，是非线性系数)。接下来再运用牛顿第二定律，我们可以得到描述第个振子的运动方程：

3.2. 耦合振子和简正模式

Figure 1. FPU problem model

Figure 2. Simplified model

(1)

(2)

(3)

。 (4)

，(5)

。 (6)

， (7)

1) 对于第一种模式，即，两个小球的运动是相同的，即。这就意味着两个小球之间的弹簧一直保持着一定的长度没有变化，它对振动的频率也没有任何影响。

2) 对于第二种模式，即，两个小球的运动是对应相反的，即。这就意味着两球之间的弹簧的伸缩量是两边弹簧的二倍。

3.3. 简正模式和能量守恒

， (8)

，(9)

。 (10)

，(11)

4. 从FPU问题到孤立子

4.1. 从FPU问题到KdV方程

， (12)

1965年Kruskal和Zabusky研究了有关FPU问题的连续极限问题。他们用一个关于时间和位置的连续函数逼近，并且在这一点对函数进行泰勒展开：

，(13)

1) 当并且时，我们就可以忽略。那么(13)式就可以看成以下的线性波动方程：

2) 当，那么我们可以忽略项。(13)式就变成了以下线性波动方程：

3) 当，那么我们可以忽略。(13)式就变成了：

4) 当，这时候将出现“最大平衡”的情形，这也是最有意思的一个情形，我们将在下面详细讨论。接下来我们尝试找具有以下形式的作为方程的解：

，(14)

4.2. 从KdV方程到孤立子

Figure 3. 1-soliton

Figure 4. 2-soliton

From FPU Problem to Solitons[J]. 应用数学进展, 2016, 05(03): 336-348. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.53042

1. 1. Porter, M., Zabusky, N., Hu, B., et al. (2009) Fermi, Pasta, Ulam and the Birth of Experimental Mathematics. American Scientist, 97, 214-221. http://dx.doi.org/10.1511/2009.78.214

2. 2. Dauxois, T. (2008) Fermi, Pasta, Ulam, and a Mysterious Lady. Physics Today, 61, 55-57. http://dx.doi.org/10.1063/1.2835154

3. 3. Mark, J. (2011) Ablowitz. Nonlinear Dispersive Waves. Cambridge University Press, Cambridge. http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511998324

4. 4. Drazin, P.G. and Johnson, R.S. (1989) Solitons an Introduction. Cambridge University Press, Cambridge. http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781139172059