ABSTRACT

Theory in mathematical analysis is different from that in advanced algebra and related problems in higher algebra. The problems discussed and the methods to solve the problems are different, but there is a close relationship between them. This paper illustrates the mutual penetration and integration of mathematical analysis and related problems in higher algebra by some examples, we present a method to solve algebra problem by functional analysis theory.

Keywords:Symmetric Matrix, Orthogonal Transformation, Compression Mapping Principle, System of Linear Equations

高等代数与数学分析相互渗透溶合应用研究

杨柳，罗成新

沈阳师范大学 数学与系统科学学院，辽宁 沈阳

收稿日期：2017年4月28日；录用日期：2017年5月13日；发布日期：2017年5月22日

摘 要

数学分析与高等代数中的理论及相关问题是不同的，所讨论的问题以及解决方法不尽相同，但二者之间又有着密切的联系。本文通过实例论述数学分析与高等代数有关问题的相互渗透和融合，给出一个用泛函分析方法处理线性代数问题的实例。

关键词 :对称矩阵，正交变换，压缩映射原理，线性方程组

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1. 引言

数学分析与高等代数是数学专业的两门主干基础课程。从某种意义上说，任何高深的数学方法都是把复杂的数学对象转化为数学分析和高等代数的内容加以研究和处理。虽然这两门课解题方法有些差异，但是有很多密切的联系，在很多方面有内在的渗透与融合。本文的目的是分析高等代数与数学分析一些典型的问题，就其解法上的相互交叉使用及渗透进行探讨，从而提高高等代与数学分析的教学与研究水平，提高综合解题的能力。

2. 预备知识

首先列举数学分析和泛函分析理论中一些重要结论，这些理论在后面讨论中是必要的。

引理1 [1] 椭球体的体积为。

定义1 [2] 设是度量空间，是到中的映射，如果存在实数，使得对所有的，均有，则称是压缩映射。

定义2 [2] 设是度量空间，是的点列，如果对任意给定的正数，存在正整数，使得当时，必有，则称是中的柯西列。如果度量空间中每个柯西列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。

引理2 [2] (压缩映射原理)设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且仅有一个不动点，即存在唯一的使。

3. 用高等代数方法解决数学分析问题

本节利用代数方法处理分析问题。

例1设是实对称正定矩阵，是椭球体：，求的体积。

解法一记为椭球体，其中。因为是正定矩阵，所以存在正交矩阵使得

其中是的特征值，从而均为正数。作正交线性变换，则

于是体积，

其中为椭球体。由正交矩阵的性质知，所以，而，所以。

解法二根据正定矩阵合同于单位矩阵的相关知识，存在可逆矩阵使。做另外一种非退化线性替换，这样就把椭球体形状的积分区域变换成了单位球体积分区域，而

，从而，

.

例2 [3] 计算三重积分，其中是不全为0的常数，。

解将向量单位化得，其中。再将其扩充为三维空间的一个标准正交基：，作正交变换

, (1)

为正交矩阵，，则，两边转置得

，，而。

由(1)得，于是由三重积分变量替换公式得

解完。

由此可见正交变换兼顾了积分区域和被积分函数的特点，比用其它变换来计算更简便。更重要的是此方法具有一般性，它在重积分、广义重积分、曲面积分等中均有应用。

4. 用数学分析方法解决高等代数问题

本节利用分析方法处理代数问题。

例3 设是阶实对称矩阵，证明：(1) 若，则；(2) 若正定，则也正定。

分析 这是一个纯代数问题，我们用分析方法来证明。数学分析中的一个典型无穷积分应用于本题中有。

证明(1) 设，已知，则

对于一切，被积函数都大于零，所以，积分值大于零，即对于任意，都使，因此，是正定二次型，为正定矩阵，所以，。

(2)

令，则上面的广义积分中被积函数等于。对于任意不为零的向量亦不为零。而为正定矩阵，故二次型正定，即对于任意恒成立。综上所述，任意都有，则，被积函数大于零，积分值一定大于零。所以为正定二次型，为正定矩阵，证完。

5. 数学分析与高等代数相结合解决问题

本节给出一个用分析方法与代数方法交替使用的实例。

例4设是阶实对称矩阵，求二次型

在单位球面上的最大值、最小值。

解(分析法) 函数与均在上连续可微，当然在单位球面上连续，从而必在此球面(它是有界闭集)某点达到最大(小)值。又单位球面无所谓边界点，因此，最大(最小)值点必是稳定点，即有常数，使点满足如下拉格朗日方程

即单位向量是齐次线性方程组

(2)

的非零解。由(2)知，因此，是矩阵的一个特征值，是对应的单位特征向量。在方程组(2)中令，再与作內积，得。这表明，的最大值和最小值都是的特征值。另一方面，设是实对称矩阵的任一特征值(它必是实数)，与相应的单位特征向量为，则。

再与向量作内积，便有，这又说明，的任一特征值等于在单位球面某点处的值。解完。

(代数法) 令，，设的个特征值，，令，即，其中，，是的属于的正交单位向量；，则，显然

,

可得，即。，。所以，。故使，，的最大、最小值分别是矩阵的最大、最小特征值。解完。

注 根据上述的推导可知在单位球面上的最大、最小值分别是矩阵的最大、最小特征值，因此，我们可以通过求对称矩阵的特征值得到的最大、最小值。反之，也可以通过求的最大、最小值而得到矩阵的最大、最小特征值。

6. 用泛函分析法处理代数问题

本节用泛函分析法处理线性方程组解的存在唯一性问题。

例5 [4] 考虑线性方程组，其中，为克罗内克符号，则方程组存在唯一解。

证明将变形为，构造映射，，，，，

其中，从而是完备距离空间上压缩映射，由引理2，有唯一不动点使得，即。证完。 [5]

基金项目

国家自然科学基金(No.11171050)；辽宁省教育厅项目(No.L2014433)科研立项。

文章引用

杨柳,罗成新. 高等代数与数学分析相互渗透溶合应用研究
Research on Mutual Application of Advanced Algebra and Mathematical Analysis Theory[J]. 应用数学进展, 2017, 06(03): 238-242. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.63028

参考文献 (References)