一类双参数拟周期算子的局域化问题 Localization for Quasi-Periodic Operators with Two Parameters

doi:10.12677/AAM.2019.86122

Advances in Applied Mathematics
Vol. 08 No. 06 ( 2019 ), Article ID: 30638 , 8 pages
10.12677/AAM.2019.86122

Localization for Quasi-Periodic Operators with Two Parameters

Jun Wang

●How to Cite this Article

Department of Mathematics and Physics, Hohai University Changzhou Campus, Changzhou Jiangsu

Received: May 12^th, 2019; accepted: May 29^th, 2019; published: Jun. 5^th, 2019

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to prove localization for a kind of quasi-periodic operators $(H_{(θ, λ, ω)} u) (n) = a (n) u (n + 1) + a (n - 1) u (n - 1) + v (n) u (n)$ , where $| λ_{1} | < 1, | λ_{2} | < 1$ , Diophantine number $ω$ , full measured $θ \in T$ and $a (n) = λ_{1} + λ_{2} c o s 2 π (θ + (n + \frac{1}{2}) ω), v (n) = 2 c o s 2 π (n ω + θ) .$

Keywords:Localization, Lyapunov Index, Quasi-Periodic

一类双参数拟周期算子的局域化问题

王均

河海大学(常州)，基础学部数理部，江苏常州

收稿日期：2019年5月12日；录用日期：2019年5月29日；发布日期：2019年6月5日

摘要

本文考虑了一类双参数拟周期算子： $(H_{(θ, λ, ω)} u) (n) = a (n) u (n + 1) + a (n - 1) u (n - 1) + v (n) u (n)$ 其中 $a (n) = λ_{1} + λ_{2} c o s 2 π (θ + (n + \frac{1}{2}) ω), v (n) = 2 c o s 2 π (n ω + θ)$ ， $ω$ 是Diophantine数，利用改进的局域化方法证明了，当 $| λ_{1} | < 1, | λ_{2} | < 1$ ，对全测的 $θ \in T$ ，该算子 $H_{θ, λ, ω}$ 有Anderson局域化。

关键词 :局域化，Lyapunov指数，拟周期

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 研究背景

局域化是凝聚态物理所关心的重要问题之一。它描述了晶体被掺入杂质后，晶格周期性被破坏，Bloch电子波函数不再扩展在整个晶体中，而是局域在杂质周围，在空间中按指数形式衰减的一种现象。是由Anderson在1958年提出的，故称为Anderson局域化。数学上，Anderson局域化是指：算子的谱集是纯点谱，而且要求特征向量具有指数衰减性。

从上个世纪七十年代开始，很多物理学家和数学家围绕一类最简单的Almost Mathieu算子的谱问题进行研究，得到了包括谱类型，谱结构，谱测度等丰富的结论，详见文献 [1] [2] [3] [4] 。在著名的Aubry-Andre猜想中，详见文献 [5] ，局域化的结论期望对所有的 $| λ | > 1$ ，所有的无理数 $ω$ 和所有的 $θ$ 都成立，但被指出不成立，因为Avron-Simon在文献 [6] 中指出 $| λ | > 1$ ， $ω$ 是Liouville，对所有的 $θ$ ，算子具有纯奇异连续谱。之后Jitomirskaya-Simon在文献 [7] 指出当 $| λ | > 1$ ， $ω$ 是无理数，对通有的 $θ$ ，具有纯奇异连续谱。所以，这个局域化的猜想只能期望对全测的 $ω$ 和全测的 $θ$ 成立，最近Jitomirskaya在文献 [8] 中证明了， $ω$ 是Diophantine数，对全测的 $θ$ ， $| λ | > 1$ 具有Anderson局域化，这是最优的结果。受此启发，我们考虑比Almost Mathieu算子更具一般性的的Jacobi算子如下：

$(H_{(θ, λ, ω)} u) (n) = a (n) u (n + 1) + a (n - 1) u (n - 1) + v (n) u (n),$ (1.1)

其中 $a (n) = λ_{1} + λ_{2} \cos 2 π (θ + (n + \frac{1}{2}) ω),$ $v (n) = 2 \cos 2 π (n ω + θ),$ $ω \in ℝ \ ℚ, λ = (λ_{1}, λ_{2}) \in ℝ^{2}, θ \in T = ℝ / ℤ$ 。

特别当 $λ_{2} = 0$ 时，就回到经典Almost-Mathieu算子的情形。

本文的主要研究成果如下：

定理1：对上述的双参数拟周期算子 $H_{θ, λ, ω}$ ，当 $ω$ 是Diophantine数， $| λ_{1} | < 1, | λ_{2} | < 1$ ，对全测的 $θ \in T$ ， $H_{θ, λ, ω}$ 具有Anderson局域化。

2. 理论基础

在这一部分，我们会介绍几个定义和引理。

定义2.1：如果存在 $c (ω) > 0, 1 < τ (ω) < \infty$ 对所有的 $0 \neq k \in ℤ$ 有 $| \sin π k ω | > c (ω) / {| k |}^{τ (ω)}$ 则称 $ω$ 满足Diophantine条件，记为 $ω \in D C (c, τ)$ 。

定义2.2： $Θ_{k} (ω, α) = {θ : \exists j, | j | < 3 k^{α}, | \sin π (2 θ + j ω) | < e^{- \frac{k}{2 τ}}}, Θ (ω, α) = \lim \sup Θ_{k} (ω, α)$

如果 $θ \in Θ (ω, α)$ 称 $θ$ 为共振相位。

下面设 $A (θ + n ω) = \frac{1}{a (n)} (\begin{matrix} E - v (n) & - a (n - 1) \\ a (n) & 0 \end{matrix}), A_{n} (θ) = \prod_{k = n}^{1} A (θ + n ω), P_{n} (θ) = \det (H_{θ, λ, ω} - {E |}_{[1, n]})$

由于底空间旋转是拟周期，根据Birkhoff遍历定理，可以定义系统(1.1)的Lyapunov指数：

$L (E) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \ln ‖ A_{n} (θ, E) ‖ d θ .$ (2.1)

下面运用Lyapunov指数给出 $P_{n} (θ)$ 的下界，通过计算：

$0 < L (E) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \ln ‖ h_{n} (θ, E) ‖ d θ - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \ln ‖ a (1) \dots a (n) ‖ d θ : = L (h (E)) - \tilde{a} (λ),$ (2.2)

其中

$h_{n} (θ) : = (\begin{matrix} P_{n} (θ) & - a (0) P_{n - 1} (θ + ω) \\ a (n) P_{n - 1} (θ) & - a (0) a (n) P_{n - 2} (θ + ω) \end{matrix})$

$\bar{a} (λ) = {\begin{array}{l} \ln \frac{λ_{2}}{2} & 0 \leq λ_{1} < λ_{2} < 1 \\ \ln | \frac{λ_{2}^{2}}{- 2 (λ_{2} + \sqrt{λ_{1}^{2} - λ_{2}^{2}})} | & 0 \leq λ_{2} \leq λ_{1} < 1 \end{array}$

可以得到：

$\bar{a} (λ) + L (E) = L (h (E)) \leq \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \ln ‖ h_{n} (θ, E) ‖ d θ,$

$e^{n (\bar{a} (λ) + L (E))} \leq \max_{θ} ‖ (\begin{matrix} P_{n} (θ) & a (0) P_{n - 1} (θ + ω) \\ - a (n) P_{n - 1} (θ) & a (0) a (n) P_{n - 2} (θ + ω) \end{matrix}) ‖,$

$\frac{1}{4 \sqrt{2}} e^{n (\bar{a} (λ) + L (E))} \leq \max_{θ} \max {| P_{n} (θ) | | P_{n - 1} (θ) | | P_{n - 1} (θ + ω) | | P_{n - 2} (θ + ω) |} .$ (2.3)

设 $K = {k \in ℕ : \exists θ \in [0, 1], \frac{1}{8 \sqrt{2}} e^{(k + 2) \bar{a} (λ) + k L (E)} \leq | P_{n} (θ) |}$ ，显然 ${k, k + 1, k + 2}$ 中至少有一个属于K。

下面给出 $P_{n} (θ)$ 的上界估计：

引理2.3：对所有的 $E \in ℝ$ ， $ω$ 是无理数， $ε > 0$ ，则存在 $k_{3} (ε, E, ω)$ ，使得 $k > k_{3} (ε, E, ω)$ ，对所有的 $θ \in T$ ，有：

$| P_{k} (θ, E) | \leq e^{k (L (h (E)) + ε)} = e^{k (\bar{a} (λ) + L (E) + ε)} .$ (2.4)

证明：根据文献 [8] ，对 $\forall ε > 0$ ，当 $k > K (θ, ε, E, ω)$ 有：

$| P_{k} (θ, E) | \leq | h_{k} (θ, E) | \leq e^{k (L (h (E)) + ε)}$ 对几乎所有的 $θ \in T$ 成立。

下面证明只要k充分大，对所有的 $θ \in T$ 成立。

因为 $P_{k} (θ, E) = Q (\cos 2 π (θ + (k + 1) \frac{ω}{2}))$ 是关于 $\cos θ$ 的k次多项式。

设 $D_{n} = {θ \in (0, 1) : | Q (\cos 2 π θ) | \leq e^{k (L (h (E)) + \frac{ε}{2})}}$ ，

用 $| D |$ 表示D的Lebesgue测度。则当 $n \to \infty, | D | \to 0$ ， $\exists N > 0, k > N$ 有:

$| D_{n}^{C} | < \frac{1}{2} (1 - c (e^{k (L (h (E)) + ε)}, e^{k (L (h (E)) + \frac{ε}{2})})) .$ (2.5)

假设存在 $θ$ ，使得 $| Q (\cos 2 π θ) | > e^{k (L (h (E)) + ε)}$ ，

则 $| {θ \in (0, 1) : | Q (\cos 2 π θ) | < e^{k (L (h (E)) + \frac{ε}{2})}} | \leq c (e^{k (L (h (E)) + ε)}, e^{k (L (h (E)) + \frac{ε}{2})}) < 1.$

从而 $| D_{n}^{C} | > 1 - c (e^{k (L (h (E)) + ε)}, e^{k (L (h (E)) + \frac{ε}{2})}) > 0$ ，与(2.5)矛盾，从而得证。

3. 局域化的证明

在这部分我们通过改进的局域化方法证明本文的主要结论。

定义3.1：固定 $E \in ℝ$ ，如果存在一个区间 $I = [n_{1}, n_{2}]$ ，满足：

1. $k = n_{2} - n_{1} + 1$

2. $y \in I$

3. $| y - n_{i} | \geq \frac{k}{12}, i = 1, 2$ ，

4. $| G_{I} (y, n) | < e^{- \frac{m k}{12}}$ ，则称点y是 $(m, k)$ 正则，否则称 $(m, k)$ 奇异。

下面指出利用 $(m, k)$ 奇异点可以构造一串共振相位 $θ$ ，使 $| P_{k} (θ) |$ 非常小。

引理3.2： $x \in ℤ$ 是 $(L (E) - ε, k)$ 奇异点， $0 < ε < \frac{L (E)}{2}, k > \max {10, k_{3} (\frac{ε}{16}, E, ω), k_{4} (ε)}$ 则对满足 $x - [\frac{9}{10} k] \leq y \leq x - [\frac{9}{10} k] + [\frac{4}{5} k]$ 的y有：

$| P_{k} (θ + \frac{(y - 1)}{2} ω) | \leq e^{k L (E) + (k - 1) \bar{a} (λ) - \frac{k}{16} ε} .$ (3.1)

证明：由行列式Cramer法则：

$| G_{I} (x, n_{1}) | = | \frac{P_{n_{2} - x} (θ + x ω)}{P_{k} (θ + (n_{1} - 1) ω)} | \prod_{i = n_{1}}^{x - 1} | a (i) |,$ (3.2)

$| G_{I} (x, n_{2}) | = | \frac{P_{x - n_{1}} (θ + (n_{1} - 1) ω)}{P_{k} (θ + (n_{1} - 1) ω)} | \prod_{i = x}^{n_{2} - 1} | a (i) | .$ (3.3)

因为 $k > 12 k_{3} (\frac{ε}{16}, E, ω), x - n_{1}, n_{2} - x > k_{3} (\frac{ε}{16}, E, ω)$ ，根据引理2.3得到：

$| P_{n_{2} - y} (θ, E) | \leq e^{(n_{2} - x) (L (E) + \bar{a} (λ) + \frac{ε}{16})} \leq e^{\frac{9}{10} k L (E) + (n_{2} - x) (\bar{a} (λ) + \frac{ε}{16})},$

$| P_{x - n_{1}} (θ, E) | \leq e^{\frac{9}{10} k L (E) + (x - n_{1}) (\bar{a} (λ) + \frac{ε}{16})} .$

因为 $x - n_{1}, n_{2} - x > 12 k_{4}$ ，且满足：

$x - n_{1}, n_{2} - x > 12 k_{4}$

我们有

$\prod_{i = n_{1}}^{x - 1} | a (i) | \leq e^{(x - n_{1}) (\bar{a} (λ) + \frac{ε}{16})}, \prod_{i = x}^{n_{2} - 1} | a (i) | \leq e^{(n_{2} - x) (\bar{a} (λ) + \frac{ε}{16})} .$ (3.4)

将(3.2)和(3.3)代入下式有：

$\begin{matrix} | P_{k} (θ + (n_{1} - 1) ω) | \leq | P_{n_{2} - x} (θ + x ω) | e^{- k \frac{L (E) - ε}{12}} \prod_{i = n_{1}}^{x - 1} | a (i) | \\ \leq e^{\frac{9}{10} k L (E) + (n_{2} - x) (\bar{a} (λ) + \frac{ε}{16}) - \frac{L (E) - ε}{12} k + (x - n_{1}) (\bar{a} (λ) + \frac{ε}{16})} \\ \leq e^{k L (E) + (k - 1) \bar{a} (λ) - \frac{k}{16} ε} . \end{matrix}$

构造：

$θ_{j} = {\begin{array}{l} θ + (ξ_{1} + [\frac{4}{5} k] - [\frac{1}{3} k] + \frac{k - 1}{2} + j) ω & j = 0, \dots, [\frac{1}{3} k] \\ θ + (ξ_{2} + [\frac{4}{5} k] - \frac{k - 1}{2} + j) ω & j = [\frac{1}{3} k] + 1, \dots, k \end{array}$ (3.5)

得到：

$| Q_{k} (\cos 2 π θ_{j}) | = | P_{k} (θ_{j} - \frac{k + 1}{2} ω) | < e^{k L (E) + (k - 1) \bar{a} (λ) - \frac{k}{16} ε} .$ (3.6)

使用拉格朗日插值得到：

$| Q_{k} (z) | = | \sum_{j = 0}^{k} Q_{k} (\cos 2 π θ_{j}) \frac{\prod_{i \neq j} | z - \cos 2 π θ_{i} |}{\prod_{i \neq j} | \cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ_{i} |} | .$ (3.7)

定义3.3：如果 ${θ_{1}, \dots, θ_{k}}$ 满足：

$\max_{x \in [- 1, 1]} \max_{0 \leq j \leq k} \frac{\prod_{i \neq j} | z - \cos 2 π θ_{i} |}{\prod_{i \neq j} | \cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ_{i} |} \leq e^{k ε}$

则称 ${θ_{1}, \dots, θ_{k}}$ 是 $ε -$ 一致分布的。

下面证明(3.5)中构造的 ${θ_{j}}$ $ε$ -一致分布。

引理3.4：设 $ω$ 满足Diophantine条件， $d < k^{α}, 1 < α < 2, θ \in Θ^{c} (x_{1}, ω, α)$ ，

对任意的 $ε > 0$ ，存在 $k_{6} (ε, ω, α)$ 当 $k > k_{6} (ε, ω, α)$ 有 ${θ_{j}}$ $ε$ -一致分布。

证明：令

$I_{1} = \prod_{i \neq j} | z - \cos 2 π θ_{i} |, I_{2} = \prod_{i \neq j} | \cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ_{i} |,$

结合(3.5)和根据文献 [8] ，当 $k > N (\frac{ε}{3})$ ，有

$\begin{matrix} \ln | I_{1} | = \ln | \prod_{i \neq j} (z - \cos 2 π θ_{i}) | \\ \leq (k + 1) (\int_{0}^{1} \ln | z - \cos 2 π θ | d θ + \frac{ε}{3}) \\ = (k + 1) (- \ln 2 + \frac{ε}{3}), \end{matrix}$ (3.8)

$\begin{matrix} \ln | I_{2} | = \ln | \prod_{i \neq j} (\cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ_{i}) | \\ = \sum_{i \neq j} \ln | \cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ_{i} | \\ \geq (k + 1) (\int_{0}^{1} \ln | \cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ | d θ - \frac{ε}{3}) \\ + 2 D (ω) {(k + 1)}^{1 - \frac{1}{τ (ω)}} \ln {(k + 1) \min_{i \neq j} | \cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ_{i} |} \\ = (k + 1) (- \ln 2 + \frac{ε}{3}) + 2 D (ω) {(k + 1)}^{1 - \frac{1}{τ (ω)}} \ln {(k + 1) \min_{i \neq j} | \cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ_{i} |} . \end{matrix}$ (3.9)

下面对 $\min_{i \neq j} | \cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ_{i} | = 2 \min_{i \neq j} | \sin π (θ_{j} + θ_{i}) | | \sin π (θ_{j} - θ_{i}) |$ 进行估计：

对 $| \sin π (θ_{j} + θ_{i}) |$ ：

1) 当 $j, i \in {0, \dots, [\frac{k}{3}]}$ ，有 $θ_{j} + θ_{i} = 2 (θ + (x_{1} + [\frac{4}{5} k] - [\frac{1}{3} k] - [\frac{9}{10} k] + \frac{i + j + k - 1}{2}) ω)$ 。

2) 当 $j, i \in {[\frac{k}{3}] + 1, \dots, k}$ ，有 $θ_{j} + θ_{i} = 2 (θ + (x_{1} + [\frac{4}{5} k] - [\frac{9}{10} k] + \frac{d + i + j + k - 1}{2}) ω)$ 。

综上， $ω$ 的系数分子 $< 2 d + \frac{4}{5} k + 1$ 所以 $\forall j, i \in {0, 1, \dots, k}$ ，有

$| \sin π (θ_{i} + θ_{j}) | > e^{{(2 d + \frac{4}{5} k + 1)}^{\frac{1}{2 τ (ω)}}}$ 。

对 $| \sin π (θ_{i} - θ_{j}) |$ ：

1) 当 $j, i \in {0, \dots, [\frac{k}{3}]}$ ，有 $θ_{j} - θ_{i} = (j - i) ω$ 。

2) 当 $j \in {0, \dots, [\frac{k}{3}]}, i \in {[\frac{k}{3}] + 1, \dots, k}$ 有 $θ_{j} - θ_{i} = (- d - [k / 3] + k - 1 + j - i) ω$ 。

综上，都有 $| θ_{j} - θ_{i} | < d + \frac{k}{3} + 1$ 所以 $| \sin π (θ_{i} - θ_{j}) | > c (ω) {(d + \frac{k}{3} + 1)}^{- τ (ω)}$ 。

从而得到：

$\min_{i \neq j} | \cos 2 π θ_{j} - \cos 2 π θ_{i} | \geq 2 c (ω) {(d + \frac{k}{3} + 1)}^{- τ (ω)} e^{- {(2 d + \frac{4}{5} k + 1)}^{\frac{1}{2 τ (ω)}}} .$ (3.10)

将(3.8)和(3.9)代入得到：

$\begin{matrix} \ln \frac{| I_{1} |}{| I_{2} |} \leq \frac{2}{3} (k + 1) ε + 2 D (ω) {(k + 1)}^{1 - \frac{1}{τ (ω)}} \ln (k + 1) \\ + {(2 d + \frac{3}{4} k + 1)}^{\frac{1}{2 τ (ω)}} - \ln (2 c (ω) {(d + \frac{k}{3} + 1)}^{- τ (ω)}) \\ = \frac{2}{3} (k + 1) ε + o (k) \\ \leq k ε . \end{matrix}$

故存在 $k_{6} (ε, ω, α)$ 当 $k > k_{6} (ε, ω, α)$ 就有 $\frac{| I_{1} |}{| I_{2} |} \leq e^{k ε}$ 。

我们将利用下面的引理完成定理1的证明：

引理3.5：当 $ω \in D C (c, τ), 0 \leq λ_{1} < 1, 0 \leq λ_{2} < 1, θ \in Θ^{c} (x, ω, α), 0 < ε < \frac{L (E)}{2}, 1 < α < 2$

则 $\exists k_{2} (θ, x, α)$ ，对 $\forall k > k_{2} (θ, x, α)$ ，如果 $x, y$ 同时 $(L (E) - ε, k)$ 奇异，并且 $| x - y | > \frac{4}{5} k$ 那么有 $| x - y | > {(k - 2)}^{α}$ 。

证明：取 $θ \in Θ^{c} (x, ω, α)$ 令 $k = \max {12 k_{3} (\frac{ε}{16}, E, ω), 12 k_{4} (ε), k_{5} (x, θ, ω), k_{6} (\frac{ε}{32}, ω, α), 120}$

选 $k \in K$ 且 $k > \bar{k}$ 取 $\bar{θ}$ ，满足 $| P_{k} (\bar{θ}) | \geq \frac{e^{k L (E) + (k + 2) \bar{a} (λ)}}{10 \sqrt{2}}$ 令 $\bar{z} = \cos 2 π (\bar{θ} + \frac{(k + 1) ω}{2})$ 。则 $P_{k} (\bar{θ}) = Q_{k} (\bar{z})$ 。

假设 $d > k^{α}$ ，根据引理3.2和(3.6)，得到：

$\frac{e^{k L (E) + (k + 2) \bar{a} (λ)}}{10 \sqrt{2}} \leq | P_{k} (\bar{θ}) | \leq (k + 1) e^{k L (E) + (k - 1) \bar{a} (λ) - \frac{ε}{32}},$

显然 $\exists k_{7} (ε)$ ，当 $k > k_{7} (ε)$ 不等式不成立，矛盾，从而与假设 $d > k^{α}$ 不成立。

对 $k > \max {k_{7}, \bar{k}}$ 且 $k \in K$ 如果 $x, y$ 都是 $(L (E) - ε, k)$ 奇异点，并且 $| x - y | > \frac{4}{5} k$ 则

$| x - y | > k^{α}$ 由于 ${k, k - 1, k - 2} \in K$ ，设 $k > \max {k_{7}, \bar{k}} + 2$ 则 $k - 2, k - 1, k > \max {k_{7}, \bar{k}}$ 那么 $| x - y | > \frac{4}{5} k > \frac{4}{5} (k - 1) > \frac{4}{5} (k - 2)$ 从而完成了重要引理3.4的证明。

最后我们完成定理1的证明。

取 $E (θ)$ ， $u_{E} (x)$ 是算子 $H_{θ, λ, ω}$ 的广义特征值和对应的广义特征向量。不失一般性，可设 $u_{E} (0) \neq 0$ (因为广义特征向量非零，总可取到非零的分量)。根据引理3.2，可以取 $ε$ ，使当 $0 < ε < \frac{L (E)}{2}$ ， $| x | > \max {k_{1} (L (E) - ε, 0), k_{2} (θ, 0, ε, \frac{3}{2})} + 2$ ， $k = | x |$ 有0是 $(L (E) - ε, k)$ 奇异点，由于 $\frac{4}{5} k < | x | < k^{\frac{3}{2}}$ 根据引理3.2，x一定是 $(L (E) - ε, k)$ 正则的，则存在区间 $I = [n_{1}, n_{2}]$ ，格林函数满足：

$| G_{I} (x, n_{1}) | < e^{- \frac{L (E) - ε}{12} k}, | G_{I} (x, n_{2}) | < e^{- \frac{L (E) - ε}{12} k} .$

其中 $x - n_{1} > \frac{k}{12}, n_{2} - x > \frac{k}{12}$ 。

由于特征向量表示得到：

$\begin{matrix} | u (x) | \leq | a (n_{1} - 1) | | u (n_{1} - 1) | | G_{I} (x, n_{1}) | + | a (n_{2}) | | u (n_{2}) | | G_{I} (x, n_{2}) | \\ \leq C (| n_{1} | + | n_{2} |) e^{- \frac{1}{12} (L (E) - ε) k} \\ \leq C e^{- \frac{1}{16} (L (E) - ε) | x |} . \end{matrix}$

显然只要x充分大，不等式成立，得到了指数衰减性，从而定理1得证。

文章引用

王均. 一类双参数拟周期算子的局域化问题
Localization for Quasi-Periodic Operators with Two Parameters[J]. 应用数学进展, 2019, 08(06): 1064-1071. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.86122

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