西华师范大学数学与信息学院，四川 南充

收稿日期：2023年5月5日；录用日期：2023年5月28日；发布日期：2023年6月6日

摘要

极大子群是一类重要的子群，它的相关性质对描述群的结构起着重要的作用。结合子群的迹，并将群的极大子群进行分类，本文利用非交换的极大子群的迹的次正规性质来研究可解群，并得到了描述群的可解性的一个充分必要条件，将已有的结果进行了推广。

关键词

极大子群，迹，次正规性，可解群

A Theorem on Solvable Groups and Subnormal Traces of Maximal Subgroups

Yanhui Xiang, Jinlv He^*

School of Mathematics and Information, China West Normal University, Nanchong Sichuan

Received: May 5^th, 2023; accepted: May 28^th, 2023; published: Jun. 6^th, 2023

ABSTRACT

As an important class of subgroups, the maximal subgroups play an important role in characterizing the solvability of a group. In this paper, based on traces of subgroups and classifying the maximal subgroups, we investigated the solvability of a group by using the subnormal property of the traces of nonabelian maximal subgroups and obtained a necessary and sufficient condition for characterizing solvable groups, which generalized the existing results.

Keywords:Maximal Subgroup, Trace, Subnormality, Solvable Group

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

在本文中，只考虑有限群，相关术语和符号可参考文献 [1] [2] [3] 。其中，G的阶用 $\left|G\right|$ 来表示， $\pi \left(G\right)$ 则表示 $\left|G\right|$ 的全部素因子所构成的集合。用 $H\le G$ ( $H<G$ )表示H是G的子群(真子群)，将H在G中的柱心(即含于H中G的极大正规子群)记为 $H_G$ 。用 $U\underset{\_}{⊲}\underset{\_}{⊲}G$ 表示U是G的次正规子群。用 $M＜\cdot G$ 表示M是G的一个极大子群。在此，从交换条件考虑，将极大子群进行分类，令 ${\mathcal{F}}_1=\left\{M＜\cdot G|M是交换的\right\}$ ， ${\mathcal{F}}_2=\left\{M＜\cdot G|M是非交换的\right\}$ 。

极大子群、准素子群对群结构有着重要的影响，很多国内外的群论学者也研究过相关的课题。例如，1971年，Johnson [4] 证明了若群G的每个本原子群在G中具有素数方幂的指数，则G是超可解的。1996年，王燕鸣 [5] 证明了群G是可解的当且仅当G的c-极大子群在G中是c-正规的。2019年，鲍宏伟等 [6] 分析了群G的超中心结构与M-可补充准素子群的关系。同年，高百俊等 [7] 描述了准素子群的弱M-可补充性质对群G的合成因子的影响。2020年，鲍宏伟等 [8] 研究了弱M-可补充的准素子群和群G的主因子的联系。

另一方面，2014年，郭文彬等 [9] 定义了子群的迹，并利用极大子群的迹的相关性质研究了群G的结构。2021年，何金旅等 [10] 利用G的c-极大子群的迹的幂零性质考察了群G的可解性。结合以上的结果和继续上述的研究，对于G的非交换极大子群，考察其迹的次正规性质对群G的可解性的影响。

2. 基本概念

定义1 [9] 假设 $A<G$ ， $A_G$ 是A在G中的柱心。对于G的一个主因子 $H/A_G$ ，记它是A的一个G-边界因子(或简称边界因子)。对于边界因子 $H/A_G$ ， $\left(A\cap H\right)/A_G$ 被称为A的一个G-迹(或简称迹)。

引理1 [9] G是可解的当且仅当每个极大子群的迹是次正规的。

引理2 [1] 内交换群G必为可解群。

引理3 [11] 若 $U\underset{\_}{⊲}\underset{\_}{⊲}G$ ，则 $Soc\left(G\right)\le N_G\left(U\right)$ 。

3. 主要结果

定理：G是可解的充分必要条件为G的每个非交换的极大子群的迹是次正规的。

证明：必要性：因为G是可解群，所以有每个主因子皆交换，即 $H/M_G$ 交换，而 $\left(M\cap H\right)/M_G\le H/M_G$ ，所以 $\left(M\cap H\right)/M_G\underset{\_}{⊲}H/M_G$ ，又 $H/M_G\underset{\_}{⊲}G/M_G$ ，所以 $\left(M\cap H\right)/M_G\underset{\_}{⊲}\underset{\_}{⊲}G/M_G$ 。

充分性:由于G的每一个非交换的极大子群的迹是次正规的，所以存在主因子 $H/M_G$ 的迹 $\left(M\cap H\right)/M_G$ 满足 $\left(M\cap H\right)/M_G\underset{\_}{⊲}\underset{\_}{⊲}G/M_G$ 。

情形一：如果G是单群，此时对于任意的G的极大子群M， $M_G=1$ 且M的迹是M。

i. ${\mathcal{F}}_1=\varnothing$ ，由引理1得G是可解的。

ii. ${\mathcal{F}}_2=\varnothing$ ，由引理2得G是可解的。

iii. $\exists M\in {\mathcal{F}}_1$ ， $M=1$ ，所以G是可解的。

情形二：如果G不是非交换单群，任取G的极小正规子群L，考虑商群 $G/L$ ，对任意 $M/L<\cdot G/L$ ，则 $M<\cdot G$ 。进一步，令 $H/M_G$ ， $\left(H\cap M\right)/M_G$ ，分别是M的边界因子和迹，则 $\left(H\cap M\right)/L/{\left(M/L\right)}_{G/L}$ 是 $M/L$ 的迹。

i. 若 $G/L$ 的所有极大子群 $M/L$ 都是交换的，则根据引理2， $G/L$ 是可解的。

ii. 若 $G/L$ 存在极大子群是非交换的，则M也是非交换的。根据已知条件，M的迹 $\left(M\cap H\right)/M_G$ 满足 $\left(M\cap H\right)/M_G\underset{\_}{⊲}\underset{\_}{⊲}G/M_G$ 。因此， $M/L$ 的迹 $\left(H\cap M\right)/L/{\left(M/L\right)}_{G/L}=\left(H\cap M\right)/L/M_G/L\cong \left(H\cap M\right)/M_G$ 。由已知条件， $\left(M\cap H\right)/M_G\underset{\_}{⊲}\underset{\_}{⊲}G/M_G$ ，进而， $\left(H\cap M\right)/L/{\left(M/L\right)}_{G/L}\underset{\_}{⊲}\underset{\_}{⊲}G/L/{\left(M/L\right)}_{G/L}$ 。因此， $G/L$ 满足命题条件，对 $\left|G\right|$ 使用归纳法， $G/L$ 是可解的。

① 若L是可解的，由扩张闭性质，G是可解的。

② 若L是不可解的，则 $\left|\pi \left(L\right)\right|\ge 3$ ，取极大素因子 $r\in \pi \left(L\right)$ ， $r\ge 5$ ，令R是L的一个Sylow-r子群，M是G的一个极大子群，满足 $N_G\left(R\right)\le M$ 。由Frattini论断， $G=L{N}_G\left(R\right)=LM$ 。

若L不唯一，则可取两个极小正规子群 $L_1$ 和 $L_2$ 。根据前面的讨论， $G/L_1$ 和 $G/L_2$ 是可解的。进而， $G/\left(L_1\cap L_2\right)$ 是可解的，G是可解的。

若L唯一，则 $M_G=1$ 。由( [12] ，定理X.8.13)可知， $M\in {\mathcal{F}}_2$ ，由已知条件 $L\cap M$ 是次正规的，由引理3， $L\le N_G\left(L\cap M\right)$ ，又 $L\cap M\underset{\_}{⊲}M$ ，所以 $G=LM\le N_G\left(L\cap M\right)$ ，即 $L\cap M\underset{\_}{⊲}G$ 这与 $L·\underset{\_}{⊲}G$ 矛盾。

综上所述，得证。

4. 定理推论

推论1 若G的每个非循环的极大子群的迹是次正规的，则G是可解的。

推论2 若G的每个非交换的极大子群的迹是正规的，则G是可解的。

推论3 若G的每个非循环的极大子群的迹是正规的，则G是可解的。

推论4 若G的每个非交换的极大子群的迹是s-拟正规的，则G是可解的。

推论5 若G的每个非循环的极大子群的迹是s-拟正规的，则G是可解的。

5. 结束语

本文主要利用非交换极大子群的迹的次正规性质得到了可解群的一个充分必要条件。作为应用，得到了一些直接推论；同时，在某种程度上，将文献 [9] 中相关的结果进行了推广。

基金项目

四川省自然科学基金项目(2022NSFSC1843)。

文章引用

向艳辉,何金旅. 一个关于可解群和极大子群的次正规迹的定理
A Theorem on Solvable Groups and Subnormal Traces of Maximal Subgroups[J]. 应用数学进展, 2023, 12(06): 2639-2642. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.126265

参考文献