安徽理工大学地球与环境学院，安徽 淮南

收稿日期：2021年5月15日；录用日期：2021年6月17日；发布日期：2021年6月25日

摘要

对滑坡做稳定性分析是滑坡防治的必要措施，滑坡稳定性的影响因素有很多，边坡坡形也是影响边坡稳定性的重要因素之一，但目前针对于边坡坡形对滑坡稳定性影响的研究相对较少。采用微积分算法对滑坡做稳定性分析，可以将不规则的滑坡面作为研究对象，再利用基于微积分算法的编程软件进行分析，确定不规则滑坡面的安全系数以及最危险滑动面。

关键词

稳定性分析，微积分算法，安全系数

Calculus Algorithm for Stability of Irregular Slopes

Yang Liu^*, Duoxi Yao, Tao Song

School of Earth and Environment, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui

Received: May 15^th, 2021; accepted: Jun. 17^th, 2021; published: Jun. 25^th, 2021

ABSTRACT

The stability analysis of landslide is a necessary measure for landslide prevention and control. There are many factors affecting the stability of landslide, and the slope shape is also one of the important factors affecting the stability of slope. However, there are relatively few researches on the influence of slope shape on the stability of landslide. Calculus algorithm is used to analyze the stability of the landslide. The irregular landslide surface can be taken as the research object, and then the programming software based on the calculus algorithm is used to analyze and determine the safety factor of the irregular landslide surface and the most dangerous sliding surface.

Keywords:Stability Analysis, Calculus Algorithm, Safety Factor

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

滑坡是自然界中最重要的地质灾害之一，近年来滑坡灾害频发，给人民的生命财产和生态环境带来了很大的威胁 [1]。滑坡具有灾害影响损失大、发生次数频繁、区域范围分布广泛以及运动速度快等特点 [2] [3]，通过加强滑坡勘查，做好相应的治理工作，可以减少滑坡灾害所带来的经济损失，为周围居民提供一个安全、稳定的生活环境 [4]。目前学者对滑坡影响因素的研究已经有了很长时间的历史，但由于滑坡的产生条件、运动机理、诱发因素具有多样性和复杂性 [5]，这对滑坡的研究造成了一定程度上的困难。目前，研究滑坡稳定性系数的方法有很多，例如，根据《滑坡防治工程勘察规范》选取折线形滑面计算公式对滑面进行稳定性计算分析 [6]，采用反演法确定滑带土抗剪强度指标C、ψ值，从而确定稳定性系数 [7]，应用渐进破坏不平衡推力法并结合一种新的本构模型对边坡进行稳定性分析 [8] [9]，采用极限平衡法对边坡进行稳定性分析 [10] [11] 等。但目前对于滑坡坡形这一稳定性影响因素的研究相对较少，在如今的滑坡当中，滑坡面往往都是不规则坡形，并且不规则滑坡面都不止一个。为了研究滑坡不规则滑坡面的稳定性因素，需要定向治理危险滑动面。可以将不规则的滑坡面作为研究对象，运用微积分算法对滑坡稳定性做分析，以此确定安全系数以及最危险滑动面。

2. 研究目的

滑坡一直都是主要的地质灾害之一，滑坡灾害往往会带来很大程度上的生命财产损失。对滑坡的防治一直以来都是很多专家学者在探讨深入的问题之一。由于滑坡的产生条件、运动机理及其诱发因素的复杂性和多样性，在对不规则边坡进行防治时往往缺乏针对性，防护不精准等问题。运用微积分方法计算出不规则边坡的安全系数，并可以根据微积分的基本原理编制不规则边坡安全系数检索软件。用编制的检索软件检索不规则边坡稳定性较弱的区间，并计算出滑面安全系数，给出最危险滑面位置，可以为后期的不规则边坡治理提供很好的技术参考。

3. 基础原理

不规则边坡是指坡形起伏较大的均值土质边坡，如图1所示，AB区间内 $h\left(x\right)$ 函数代表不规则边坡坡形函数， $\psi \left(x\right)$ 为圆弧滑动面的函数。利用积分法求解两函数区间内的土体质量，最后根据瑞典条分法计算出圆弧对应的安全系数，具体步骤如下：

求取不规则边坡坡形函数 $h\left(x\right)$ 时，本软件采用分段函数拟合坡形，公式如下：

$h\left(x\right)=k_{i}x+b_i\left(x_i<x\le x_{i+1}\right)$ (1)

其中，k_i为分段函数的斜率；b_i为分段函数在y轴上的截距； $\left(x_i,x_{i+1}\right]$ 为第i个分段函数所在区间， $i=1,2,3,\cdots$。

图1. 不规则边坡模型

在检索圆弧滑动面时，圆心坐标以A点为起点，其位置在坡形分段函数上任意一点处。检索时圆心分别以Δx与Δy为检索步距(默认值为3 m)进行检索，直至圆弧AB与坡形函数再无交点时停止检索。

检索时圆弧滑动面 $\stackrel{⌢}{AB}$ 函数 $\psi \left(x\right)$ 如下。

$\psi \left(x\right)=y_0-\sqrt{R^2-{\left(x-x_0\right)}^2}$ (2)

其中， $\left(x_0,y_0\right)$ 为圆弧圆心坐标；R为圆弧半径。

在对两函数间的土体进行条分后，土条宽度对应的宽度dx如下：

$\text{d}x=\sin \left(\theta +{\theta }_A\right)R\text{d}\theta$ (3)

依此可得出单宽土条体积以及质量为：

$\begin{array}{l}\text{d}V=\left(h\left(x\right)-\psi \left(x\right)\right)\text{d}x\\ \text{d}W=\gamma \text{d}V\end{array}$ (4)

在对土条进行力学分析后建立X与Y方向上的平衡方程，得到的公式如下：

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum X}=0:\text{d}N\cos \left(\theta +{\theta }_A\right)-\text{d}T\sin \left(\theta +{\theta }_A\right)\\ {\displaystyle \sum Y}=0:\text{d}W-\text{d}N\sin \left(\theta +{\theta }_A\right)-\text{d}T\cos \left(\theta +{\theta }_A\right)\end{array}$ (5)

其中dN与dT分别表示土条在滑面处受到的支持力与抗滑力， $\theta$ 、 ${\theta }_A$ 以及 ${\theta }_B$ 表示点A与B与水平方向间的夹角。

求解式(5)后得出土条的支持力与抗滑力函数公式如下：

$\begin{array}{l}\text{d}N=\frac{\tan \left(\theta +{\theta }_A\right)}{\cos \left(\theta +{\theta }_A\right)+\tan \left(\theta +{\theta }_A\right)\sin \left(\theta +{\theta }_A\right)}\text{d}W\\ \text{d}T=\frac{1}{\cos \left(\theta +{\theta }_A\right)+\tan \left(\theta +{\theta }_A\right)\sin \left(\theta +{\theta }_A\right)}\text{d}W\end{array}$ (6)

再根据瑞典条分法求解安全系数，公式如下 [12]：

$F_s=\frac{c{L}_{弧AB}+\text{tan}\phi {\displaystyle \sum \text{d}N}}{{\displaystyle \sum \text{d}T}}$ (7)

联合式(6)与(7)可得到安全系数求解的微积分解，如下：

$F_s=\frac{c{\displaystyle {\int }_{x_A}^{x_B}\psi \left(x\right)\text{d}x}+\text{tan}\phi {\displaystyle {\int }_{x_A}^{x_B}\text{d}N}}{{\displaystyle {\int }_{x_A}^{x_B}\text{d}T}}$ (8)

其中，c为土质边坡内聚力，KPa； $\phi$ 为土的内摩擦角，˚； $\left(x_A,x_B\right)$ 为检索积分区间，即A与B点的横坐标。

4. 实例分析

4.1. 工程概况

以一不规则边坡为例，该边坡坡形内的若干坐标及土的强度参数实测参数如表1，边坡坡形如图2。

表1. 边坡坡形及土的强度参数

图2. 边坡坡形

4.2. 计算结果

通过观察该坡形发现，在B的横坐标0~50 m、50~90 m、90~120 m的三个范围内均存在发生滑坡的可能性，利用编制的检索软件对三个区间分别进行检索最危险滑面后发现：0~50 m内的最危险滑面在0~21.8 m范围内，安全系数为0.9391 (如图3)；50~90 m内的最危险滑面在0~84.5 m范围内，安全系数为1.0657 (如图4)；而在90~120 m内的最危险滑面在0~109.6 m范围内，安全系数为1.0985 (如图5)。

在上述三个区段内均可能发生滑坡灾害，0~50 m范围内安全系数最低，最有可能发生滑坡灾害，但因其规模最小，发生滑坡灾害的危害性相对较小。相对而言，90~120 m区段内，安全系数最高，但是因其规模最大，在发生滑坡灾害时，危害性也是最大的。所以，在对这一不规则滑坡进行防治时，应先处理50~90 m和90~120 m两个范围内的最危险滑动面。

图3. 0~50 m范围内

图4. 50~90 m范围内

图5. 90~120 m范围内

5. 结论

1) 利用微积分法代替传统的条分法来对不规则滑坡进行稳定性分析，并结合瑞典圆弧法推导出微积分法滑坡安全系数的推导公式，可以有效地提高安全系数计算的精度。

2) 采用微积分算法对不规则边坡进行稳定性分析的优点是可以计算不规则滑坡面各范围内的安全系数，并可以运用基于微积分算法的检索软件来确定不规则边坡的最危险滑动面，从而达到动态分析的效果。

3) 目前大多数边坡为不规则边坡，影响不规则边坡稳定性的因素有很多，本身的边坡坡形也是影响不规则边坡稳定性的重要因素之一。在实际工程运用中，采用微积分算法对不规则滑坡面做稳定性分析，对于大多数情况下的不规则滑坡面都能有效的计算出不规则滑坡面内各个连续段的安全系数以及最危险滑面，这对于滑坡的防治能够起到很好的技术参考。

文章引用

刘 阳,姚多喜,宋 涛. 不规则边坡稳定性的微积分算法
Calculus Algorithm for Stability of Irregular Slopes[J]. 矿山工程, 2021, 09(03): 180-185. https://doi.org/10.12677/ME.2021.93027

参考文献