Pure Mathematics
Vol.
14
No.
05
(
2024
), Article ID:
87722
,
12
pages
10.12677/pm.2024.145183
三维可压缩液晶流模型解的整体存在唯一性
谢婵鑫
上海理工大学理学院,上海
收稿日期:2024年3月22日;录用日期:2024年4月28日;发布日期:2024年5月29日
![](//html.hanspub.org/file/30-1252395x1_hanspub.png?20240531090447619)
摘要
本文主要研究三维可压缩液晶流方程的解,建立了在
中关于整体解的存在性理论。主要利用能量方法,推导出了解的先验估计,再利用连续性技巧将局部解延拓到整体。
关键词
可压缩液晶流,整体存在性
![](//html.hanspub.org/file/30-1252395x3_hanspub.png?20240531090447619)
Global Existence and Uniqueness of a 3D Compressible Nematic Liquid Crystal Flow
Chanxin Xie
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
Received: Mar. 22nd, 2024; accepted: Apr. 28th, 2024; published: May 29th, 2024
![](//html.hanspub.org/file/30-1252395x4_hanspub.png?20240531090447619)
ABSTRACT
This paper mainly studies the solution of compressible nematic liquid crystal flow in R3, the existence theory of the global solution to the system is established in H2-framework. The energy method is used to derive the desired a priori estimates and hence the global existence by using the standard continuity method.
Keywords:Compressible Nematic Liquid Crystal Flow, Global Existence
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Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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1. 引言
液晶相介于液相和晶相之间,它的性质涉及到化学、物理、生物学、电子学、材料学等多学科,其在基础理论得到了广泛的研究,尤其是在显示应用中获得了巨大的成功。液晶是一门方兴未艾的交叉前沿学科 [1] 。关于液晶流的理论最初是由Erickse [2] 和Leslie [3] 提出的。当流体是可压缩时,液晶系统会变得更加复杂,研究结果相对来说比较少,因此本文考虑三维可压缩的简化的液晶流模型,其形式如下:
(1)
模型的初始值为
(2)
其中
和
分别为流体的密度和速度。
为动量,
是压力函数的表达式。液晶流的光轴矢量是一个单位向量,表达式为
,即
。
为Lamé算子,
和
为剪切黏度和体积黏度,满足
我们现在只回顾一些以前密切相关的结果。许多作者对不可压缩液晶流动进行了研究,如 [4] - [9] 和其中的参考文献。对于可压缩模型(1),最近也有很多重要的进展。Hu和Wu [10] 研究了小初值条件下模型(1)强解的整体适定性。Ding et al. [11] 和Huang et al. [12] 分别在1维和3维上获得了非负初始密度的初值问题和初值问题的局部时强解。在 [13] [14] 中,作者建立了强解的爆破判据。对于R3上任意有界光滑区域,Wang [15] 建立了以真空为远场密度的二维或三维强解的全局适定性。Li et al. [16] 在初始数据足够光滑且在某能量范数上适当小的条件下,得到了三维经典解的全局适定性。Huang et al. [17] 证明了强解的全局适定性,并得到了初始数据为H2范数稳态附近的小扰动时的
估计。
Hieber和Prȕss [18] 证明了一个强解的局部适定性,当初始数据接近平衡点时,该强解扩展为全局解。在 [19] 中得到了非等温模式 [20] 的正则性判据。对于具有真空的可压缩非等温模型,Zhong [21] 在二维无热传导的情况下得到了(1)的局部强解,而Liu和Zhong [22] 研究了三维在小条件下强解的全局适定性。Wu [23] 利用标准的能量估计,研究了高维(3维及以上)的液晶流方程组小初值经典解的整体存在性以及运用Green函数方法,得到奇数维情形(3维及以上)该解的逐点估计。本文基于上述基础上,主要考虑三维液晶流模型(1)解在Sobolev空间
中的整体存在性,由于在H2框架下,二阶导数的估计需要更加精细的能量估计。下面是本文的符号说明和一些引理。
2. 符号说明和一些引理
在本文中,C表示一般的正常数。对于整数
,Sobolev空间
中的范数表示为
。特别地,当
时,我们将简单地使用
。同通常一样,
表示
中的内积。梯度表示为
,
,
。对于任意整数
,
表示函数f的所有l阶导数。
为了后续证明主要结论的需要,下面介绍两个相关引理。
首先,列出一些Sobolev空间中的基本不等式。
引理2.1 令
,有
(i)
;
(ii)
;
(iii)
。
引理2.2 令
和
是整数,有
和
这里
,且
3. 主要结果
在本节,我们给出了本文主要结果。
定理3.1 假设
,
,
,则存在一个足够小的常数
,使得如果
那么整体存在唯一的光滑解满足
4. 整体存在性
在本节中,我们研究模型(1)解的局部存在性理论和一些能量估计。将局部存在性结果与一些先验估计相结合,然后使用标准连续性论证,得到模型解的整体存在性。
定理4.1 假设
,
,
,则存在一个大于0的常数
,使得系统(8)在
上有一个唯一的整体解
满足
证明:利用收缩映射定理的标准论证可以证明这一点。例如,参考文献 [24] [25] 对局部存在结果的研究。我们在这里省略了证明。
首先,我们用能量法给出了一些解的先验估计。在本节中,我们用能量法给出了一些解的先验估计。由定理4.1可知,存在时间
,解存在于
中。如定理4.1所述,假设对于任意
,解存在于
上,我们需要一些关于时间的一致估计来证明定理3.1。为此,我们首先做一个先验假设,当
足够小的时候,有
(3)
那么,模型(1)的解
存在并且满足
(4)
通过(3)和sobolev不等式,我们得到
(5)
其次,我们对方程做一个变形。我们定义函数
满足
,通过先验假设(3)和Sobolev
不等式可知,存在正常数C0,C1和C2使得
做变换
,令
。则方程可以写成
(6)
初值条件满足
(7)
同时为了计算方便,我们对(6)做进一步的简化,可以得到
(8)
其中
,
。通过先验假设(3)直接计算可以得到
(9)
这些不等式在后面将会用到。
能量估计
接下来,我们将给出解
的能量估计。类似于 [23] 的做法,我们给出
和一阶导数的
估计,但由于我们在
框架下,二阶导数的估计需要更加精细的能量估计。
引理4.1 有
证明:将
分别作用于(8)1和(8)2,同时用
分别乘以(8)1和(8)2,在
上积分得到
(10)
现在对(10)右边的项进行估计,对于
,可以得到
通过Sobolev不等式和(9),我们有
其中对向量
,
,对于矩阵
,
。那么对于
和
可以得到
那么,可以得到
(11)
接下来,对
和
做估计,将
作用到(8)3,将所得的等式乘以
在
上积分,利用分部积分和Young不等式可以得到
(12)
将(11)和(12)相加,可以得到
(13)
为了得到
的估计,我们先引入两个关系式,
定义以下运算
(14)
那么通过Hölder不等式和Cauchy不等式,则可以得到
剩下的两项估计如下:
![](//html.hanspub.org/file/30-1252395x112_hanspub.png?20240531090447619)
因此,我们可以得到
(15)
用两个足够小的数
分别与(13)和(15)相乘之后相加,则可以得到
(16)
则有
(17)
引理4.1证毕。
引理4.2 有
(18)
证明:将
分别作用于(8)1和(8)2,同时用
分别乘以(8)1和(8)2,在
上积分得到
对于
,则有
对于上述的项,易得
和
同样的,对于
,
综上可得
(19)
接下来,我们要给出
的估计,将
作用到(18)3,再对得到的等式乘以
并在
上积分可得
(20)
将(19)和(20)相加,得到
(21)
引理4.2证毕。
引理4.3 对于整数
,有
(22)
证明:将
分别作用于(8)1和(8)2,同时用
分别乘以(8)1和(8)2,在
上积分得到
(23)
对于
,由分部积分、Sobolev不等式和先验假设可知
和
同样的,对于
,
最后,综上所得,
(24)
由引理4.1和引理4.2可得,我们需要给出
的L2估计。由
知道
(25)
将
作用到上式,再对得到的等式乘以
,然后在
上积分可得
(26)
利用Hölder不等式、Sobolev不等式(5)和(9)可得
和
类似地,有
下面对(25)左边的式子进行估计
现在利用插值不等式,可以得到
(27)
通过利用
和
的小性、引理4.1和引理4.2以及(28)可得
(28)
最后对(28)关于时间t积分得到了定理3.1的结果。证毕。
文章引用
谢婵鑫. 三维可压缩液晶流模型解的整体存在唯一性
Global Existence and Uniqueness of a 3D Compressible Nematic Liquid Crystal Flow[J]. 理论数学, 2024, 14(05): 257-268. https://doi.org/10.12677/pm.2024.145183
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