Pure Mathematics
Vol.
09
No.
03
(
2019
), Article ID:
30410
,
7
pages
10.12677/PM.2019.93061
The Reconstructing Problem for Hochstadt-Lieberman Theorem
Xianqing Zeng, Zhaoying Wei*, Jie Guo
College of Science, Xi’an Shiyou University, Xi’an Shaanxi
Received: Apr. 29th, 2019; accepted: May 9th, 2019; published: May 24th, 2019
ABSTRACT
In this paper we are concerned with the Hochstadt-Lieberman uniqueness theorem which states that, when the potential is known a priori on [0, 1/2], the full Dirichlet-Dirichlet spectrum of a Sturm-Liouville problem defined on the interval [0, 1] uniquely determines its potential. We shall give a new method for reconstructing the potential for this problem in terms of the Mittag-Leffler decomposition Theorem of meromorphic functions associated with the solution of Sturm-Liouville equantions. We also give a necessary and sufficient condition for the existence of the solution.
Keywords:Eigenvalue, Mittag-Leffler Expansion Theorem, Levin-Lyubarski Interpolation, Reconstruction Problem
Hochstadt-Lieberman定理的重构问题
曾献清,魏朝颖*,郭洁
西安石油大学理学院,陕西 西安
收稿日期:2019年4月29日;录用日期:2019年5月9日;发布日期:2019年5月24日
摘 要
Hochstadt-Lieberman唯一性定理表明,对于定义在[0, 1]区间上的Sturm-Liouville问题,若[0, 1/2]区间上的势函数已知,则一组Dirichlet-Dirichlet特征值即可唯一确定整个区间上的势函数。本文应用亚纯函数的Mittag-Leffler展开定理,给出了重构该问题势函数的一种新方法,同时给出了该问题的解存在的充要条件。
关键词 :特征值,Mittag-Leffler展开定理,Levin-Lyubarski插值,重构问题
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
1978年,Hochstadt与Lieberman [1] 证明了如下著名的Hochstadt-Lieberman唯一性定理:
定理1.1 对于定义在[0, 1]区间上的Sturm-Liouville算子 :
(1)
满足Dirichlet-Dirichlet (DD)边值条件:
, (2)
其中 为实值函数,若q在子区间 上已知,则一组Dirichlet-Dirichlet特征值 唯一确定 区间上的势函数q。
Martinyuk及Pivoarchik [2] 曾对以上唯一性定理给出了重构势函数的方法。本文的目的是对Hochstadt-Lieberman唯一性定理提供一种新的重构势函数的方法。通过应用Mittag-Leffler展开定理,将“较大的”全纯函数分解为两个“较小的”全纯函数,此分解为我们更好地使用Levin-Lyubarski插值公式重构全纯函数 及 提供了环境。此外,该重构方法亦给出了该问题的解存在且唯一的充要条件。
本文将用 表示定义在 上的型为a的指数类全纯函数 [3] 。
2. 势函数的重构
设 为方程(1)满足初始条件 及 的解。由文 [4] 可得:
, (3)
其中
, ,
满足以下积分方程:
,
且对于两个变量分别存在一阶偏导数。此外,
, . (4)
由(3)可得
(5)
其中 ,且对于 , 。
定义 为方程(1)满足初始条件 , 的解。则 具有类似于(3)的表达式:
. (6)
故 , 有如下渐近式:
(7)
其中 ,且对于 , 。
由于(1)~(2)的DD特征值 为特征值方程
(8)
的零点。由(3)可得,特征值函数的渐近式为:
, (9)
其中 。则当 时,DD特征值 的渐近式为:
(10)
其中 。
引理2.1 [5] [Theorem 3,6,2] 设 为亚纯函数,且当时,其单重极点满足。记为在处的留数。若
, (11)
则存在全纯函数使得
, (12)
其中,(12)式右侧的级数在上任何不包含点的有界子集上是一致收敛的。
引理2.2 [6] [Theorem A]设f为sine类函数,其振幅宽度为2a,且其零点为。则对于,映射
(13)
为与的同构映射,且在的任何子域上一致收敛。
下面给出在上重构q的方法及解存在的充要条件。定义为方程(1)满足初始条件,的解。类似可得
(14)
其中,对于,。记为的零点,则
, (15)
其中。显然为亚纯函数且具有单重极点。设为函数在处的留数,则有
, (16)
其中。由(5),(8)及(10)可得
, (17)
其中,结合(15),可得。由引理2.1,可知存在全纯函数,满足
. (18)
定义
, (19)
则可得
. (20)
显然时,,为全纯函数。
引理2.3 若记与为
(21)
则,,且及在展开式(20)中为唯一的。
证明 注意到为的零点,则由(20)可得
(22)
将(15)带入计算,可得
,
, (23)
,
,
其中,,均属于。进而将(23)带入(22)得到
. (24)
由于函数为sine类函数,且存在正整数及p使得当时,
则结合(24),应用Levin-Lyubarski插值定理,即引理2.2,选取为重构函数的插值节点,若记,则有:
, (25)
其中,。
此外,Levin-Lyubarki插值定理保证了所重构函数的唯一性。故定理得证。
引理2.4 设与由(21)式定义。若
, (26)
则
. (27)
进而有
(28)
证明 由于
, (29)
计算易得(27)成立。由于
(30)
且,式(30)结合(27),可知存在满足
. (31)
由(5)及(7)可知,当时,有
,
故,从而可得(28)。定理得证。
注1 由引理2.3可知是唯一的. 由引理2.4可得的表达式,进而可得与,故有如下结论:
定理2.5 设函数,数列已知,且满足如下渐近式:
(32)
其中A,,。若
(33)
其中,分别由(21)与(26)定义,且,由(5)定义。
则存在唯一的实值函数,使得势函数q在上满足,在上,,且其对应的算子以为特征值的充要条件是属于Nevanlinna类函数。
证明 必要性:假定存在实值函数,使得为Sturm-Liouville算子的DD特征值。则由以上讨论可知,
,.
故由 [2] [7] 知,是Sturm-Liouville问题(1)~(2)的Weylm-函数 [7] ,故属于Nevanlinna类函数。
充分性:若实值函数已知,则函数、及,为已知函数。则由(5)、(14)及引理2.3得,及可知,又由于DD特征值已知,进而由(26)可得,从而由(28)计算可得及:
,
,
其中,故可知。定理得证。
基金项目
国家自然科学基金面上项目资助(11571212);陕西省大学生创新训练项目资助(1314)。
文章引用
曾献清,魏朝颖,郭 洁. Hochstadt-Lieberman定理的重构问题
The Reconstructing Problem for Hochstadt-Lieberman Theorem[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 458-464. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93061
参考文献
- 1. Hochstadt, H. and Lieberman, B. (1978) An Inverse Sturm-Liouville Problem with Mixed Given Data. SIAM Journal on Applied Mathematics, 34, 676-680.
https://doi.org/10.1137/0134054 - 2. Martinyuk, O. and Pivovarchik, V. (2010) On the Hochstadt-Lieberman Theorem. Inverse Problems, 26, Article ID: 035011, 6 p.
https://doi.org/10.1088/0266-5611/26/3/035011 - 3. Levin, B.J. (1980) Distribution of Zeros of Entire Functions. American Mathematical Society, Providence, RI.
- 4. Marchenko, V. (1986) Sturum-Liouville Operators and Applications. Birkhäuser, Ba-sel.
- 5. Ablowitz, M.J. and Fokas, A.S. (2003) Complex Variables Introduction and Applications. 2nd Edition, Cambridge Univer-sity Press, Cambridge.
- 6. Levin, B. and Yu, I. (1975) Lyubarskii, Interpolation by Entire Functions of Special Classes and Related Expansions in Series of Exponents. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk USSR, 39, 657-702. (In Russian)
https://doi.org/10.1070/im1975v009n03abeh001493 - 7. Gesztesy, F. and Simon, B. (2000) Inverse Spectral Analysis with Partial Information on the Potential II: The Case of Discrete Spectrum. Transactions of the American Mathematical Society, 352, 2765-2787.
NOTES
*通讯作者。