¹重庆师范大学数学科学学院，重庆

²重庆市礼嘉中学校，重庆

收稿日期：2023年3月19日；录用日期：2023年4月20日；发布日期：2023年4月27日

摘要

本文出于对数论中Gollnitz-Gordon函数模关系的研究学习，发现了关于该函数的相关函数S(-q)还存在许多类似的模关系。为了找出某些新的模关系，本文利用了Schroter的数学公式和Ramanujan提出的一些简单的θ函数恒等式来进行推导转化，通过该方法建立了两个与S(−q)相关的新模关系并给出了证明，这两个新模关系是对已知模关系的扩展，该发现有助于之后读者在数论学习中对模关系进行研究及学习。

关键词

罗杰斯拉马努金函数，Gollnitz-Gordon函数，拉马努金θ函数恒等式

Some New Modular Relations of Gollnitz-Gordon Function Correlation Function and Its Proof

Yujiao Liu¹, Hui Wu²

¹School of Mathematical Science, Chongqing Normal University, Chongqing

²Chongqing Lijia Middle School, Chongqing

Received: Mar. 19^th, 2023; accepted: Apr. 20^th, 2023; published: Apr. 27^th, 2023

ABSTRACT

Based on the study of the modular relation of Gollnitz-Gordon function in number theory, we find that there are many similar modular relations about the correlation function S(−q) of Gollnitz-Gordon function. In order to find out some new modular relations, Schroter’s mathematical formula and some simple θ function identities proposed by Ramanujan were used for derivation and transformation. Through this method, two new modular relations related to S(-q) were established and proved. The two new modular relations are extensions of the known modular relations. This finding is helpful for readers to study and learn modular relations in the study of number theory.

Keywords:Rogers-Namanujan Functions, Gollnitz-Gordon Functions, Ramanujan’s General Theta Functions

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

著名的Rogers-Ramanujan恒等式由英国数学家Rogers和印度数学家Ramanujan各自独立发现，Rogers-Ramanujan恒等式的证明是q级数理论发展中的焦点之一，人们曾用各种方法给出了这类恒等式的证明。两个与Rogers-Ramanujan恒等式类似的著名恒等式叫做Gollnitz-Gordon函数恒等式，关于Gollnitz-Gordon函数，有许多值得研究的模关系还未被发现。1998年和2022年，黄森山和陈淑玲在 [1] 、 [2] 中建立了21个只涉及Gollnitz-Gordon函数的模关系、9个同时涉及Rogers-Ramanujan函数和Gollnitz-Gordon函数的模关系以及一个新的Rogers-Ramanujan函数关系式。此外，2008年，在黄和陈的理论基础上，Nayandeep Deka Baruah等人在 [3] 中用拉马努金的笔记中的schroter公式和一些θ函数恒等式的新方法，重新证明了这21个只涉及Gollnitz-Gordon函数的模关系。

本文同样利用schroter公式和θ函数恒等式新方法建立并证明了两个与Gollnitz-Gordon函数相关的函数 $S\left(-q\right)$ 的新模关系，这两个新模关系是对已知模关系的扩展，本文的建立有助于读者对模方程进行进一步的理论研究，有比较好的研究意义。为了方便起见，本文统一用符号 $f_n$ 表示 $f\left(-q^n\right)$ 。

设 $\left|q\right|<1$ ，对于任意正整数n，有无穷乘积定义如下：

${\left(a;q\right)}_n:={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\prod }}\left(1-a{q}^j\right)}$ 且 ${\left(a;q\right)}_{\infty }:={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\prod }}\left(1-a{q}^n\right)}.$

著名的Rogers-Ramanujan恒等式定义 [4] [5] ：

$G\left(q\right):={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{q^{n^2}}{{\left(q;q\right)}_n}}=\frac{1}{{\left(q;q^5\right)}_{\infty }{\left(q^4;q^5\right)}_{\infty }},$

$H\left(q\right):={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{q^{n^2+n}}{{\left(q;q\right)}_n}}=\frac{1}{{\left(q^2;q^5\right)}_{\infty }{\left(q^3;q^5\right)}_{\infty }}.$

$G\left(q\right)$ 和 $H\left(q\right)$ 是著名的Rogers-Ramanujan函数，Ramanuja在很早的时候就建立了 $G\left(q\right)$ 和 $H\left(q\right)$ 的四十个模关系但没有给出证明，这四十个恒等式称为Ramanuja的四十个恒等式，在这四十个恒等式中，最简单且最漂亮的一个恒等式是

$G\left(q^{11}\right)H\left(q\right)-q^{2}G\left(q\right)H\left(q^{11}\right)=1,$ (1.1)

1921年，英国数学家Darling在 [4] 中第一次证明了这个恒等式。在同期的伦敦数学学会学报上，Rogers在 [5] 中证明了四十个恒等式中的十个，十个恒等式中其中一个就是(1.1)式。1933年，Watson在 [6] 中证明了四十个恒等式中的8个，其中有2个已被Rogers之前证明过；1977年，Bressoud在他的博士论文 [7] 中证明了40个恒等式中的15个；1989年，Biagioli在 [8] 中证明了剩余9个恒等式中的7个。最近，Berndt发现了所有40个恒等式的证明。

Gollnitz-Gordon函数恒等式定义 [6] [7] ：

$S\left(q\right):={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-q;q^2\right)}_n}{{\left(q^2;q^2\right)}_n}{q}^{n^2}}=\frac{1}{{\left(q;q^8\right)}_{\infty }{\left(q^4;q^8\right)}_{\infty }{\left(q^7;q^8\right)}_{\infty }},$

$T\left(q\right):={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-q;q^2\right)}_n}{{\left(q^2;q^2\right)}_n}{q}^{n^2+2n}}=\frac{1}{{\left(q^3;q^8\right)}_{\infty }{\left(q^4;q^8\right)}_{\infty }{\left(q^5;q^8\right)}_{\infty }}.$

$S\left(q\right)$ 和 $T\left(q\right)$ 是著名的Gollnitz-Gordon函数，应用纯理论证明方法，陈淑玲和黄森山还得到了一些推广的恒等式。 $S\left(q\right)$ 的研究还有很多很多，前人应用各种方法证明了不少著名的恒等式，还得到了很多新的恒等式，本文则利用schroter公式和θ函数恒等式方法建立并证明了两个与 $S\left(-q\right)$ 相关的新模关系。

本文一共分为引言、预备知识、主要结果以及参考文献四个部分。

在第一部分引言中，简单地介绍了关于Rogers-Ramanujan函数、Gollnitz-Gordon函数模关系的研究背景、目的及意义。在第二部分预备知识中，给出了证明本文主要结果所需要用到的相关schroter公式以及Ramanujan θ函数恒等式，这些理论结果及其证明都可以在参考文献 [8] 中找到。第三部分给出了本文的主要研究结果：Goillnitz Gordon函数相关函数的新模关系及证明。在此部分中针对定理一的证明，首先给出了一个schroter公式，通过给变量赋予新值令 $\mu =6$ ， $\nu =3$ 得到表达式，对其中q进行替换后相互运算建立了一个 $\psi \left(q\right)$ 与 $f\left(q\right)$ 之间的θ函数恒等式，然后通过层层转换计算最后将其转换为了Gollnitz-Gordon函数相关函数的新模关系，定理二的建立及证明过程同理。这两个新模关系是对已知模关系的扩展，该发现有助于之后读者在数论学习中对模关系进行研究及学习。最后本文第四部分即给出了本文在写作过程中所用到的参考文献。

2. 预备知识

2.1. 一些Schroter公式和Ramanujan Theta函数恒等式

下面给出的公式是schroter公式，给出的引理是早期被天才数学家Ramanujan在他的笔记本中记录下的一些θ函数恒等式，这些恒等式在后来被各个数学家进行了证明。1991年，数学家Bruce C. Berndt将Ramanujan的笔记以及各部分内容的证明过程归纳整理成册。其中一册即是本文参考文献 [8] ，里面包含了下面给出的定义和引理及其各自的证明过程。

定义2.1： $\varphi \left(q\right):=f\left(q,q\right)=1+2{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{k^2}}$

定义2.2： $\psi \left(q\right):=f\left(q,q^3\right)=\frac{1}{2}f\left(1,q\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{k\left(k+1\right)/2}}$

引理2.1 [8] ：

当 $\mu$ 为偶数时，则

$\begin{array}{c}\psi \left(q^{\mu +\nu }\right)\psi \left(q^{\mu -\nu }\right)=\varphi \left(q^{\mu \left({\mu }^2-{\nu }^2\right)}\right)\psi \left(q^{2\mu }\right)+{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\mu /2-1}{\sum }}{q}^{\mu m^2-\nu m}}f\left(q^{\left(\mu +2m\right)\left({\mu }^2-{\nu }^2\right)},q^{\left(\mu -2m\right)\left({\mu }^2-{\nu }^2\right)}\right)f\left(q^{2\nu m},q^{2\mu -2\nu m}\right)\\ +q^{{\mu }^3/4-\mu \nu /2}\psi \left(q^{2\mu \left({\mu }^2-{\nu }^2\right)}\right)f\left(q^{\mu \nu },q^{2\mu -\mu \nu }\right)\end{array}$

引理2.2 [8]

$f\left(q,q^2\right)=\frac{\varphi \left(-q^3\right)}{\chi (\; -\; q\; )}$

引理2.3 [2]

$S\left(q\right)T\left(q\right)=\frac{f_2{f}_8^2}{f_1{f}_4^2},\varphi \left(q\right)=\frac{f_2^5}{f_1^2{f}_4^2},\psi \left(q\right)=\frac{f_2^2}{f_1}$

引理2.4 [3]

$\varphi \left(-q\right)=\frac{f_1{}^2}{f_2},\psi \left(-q\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2},f\left(q\right)=\frac{f_2^3}{f_1{f}_4},\chi \left(q\right)=\frac{f_2^2}{f_1{f}_4}.$

引理2.5 [3]

$f\left(-q^3,-q^5\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2}S\left(q\right),f\left(-q,-q^7\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2}T(\; q\; )$

证明：由 [1] 中Lemma 2.6和定义2.2得：

$S\left(q\right)=\frac{\psi \left(-q^2\right)f\left(-q^3,-q^5\right)}{f_1{f}_8},T\left(q\right)=\frac{\psi \left(-q^2\right)f\left(-q,-q^7\right)}{f_1{f}_8}.$

再代入引理2.4，结论即证。

引理2.6 [8]

$\psi \left(q\right)=f\left(q^3,q^6\right)+q\psi \left(q^9\right)=f\left(q^6,q^{10}\right)+qf\left(q^2,q^{14}\right)$

$\psi \left(-q\right)=f\left(q^6,q^{10}\right)-qf\left(q^2,q^{14}\right)$

引理2.7 [8]

$f\left(a,b\right)=a^{n\left(n+1\right)/2}{b}^{n\left(n-1\right)/2}f\left(a{\left(ab\right)}^n,b{\left(ab\right)}^{-n}\right).$

2.2. 关于Theta恒等式的一些推论及证明

推论2.1

$f\left(q^3,q^5\right)=\frac{f_2^2}{f_1}S\left(-q\right),f\left(q,q^7\right)=\frac{f_2^2}{f_1}T\left(-q\right).$

证明：结合引理2.4与引理2.5知：

$f\left(-q^3,-q^5\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2}S\left(q\right)=\psi \left(-q\right)S\left(q\right),f\left(-q,-q^7\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2}T\left(q\right)=\psi \left(-q\right)T\left(q\right).$

用 $-q$ 替换式上式中的q得：

$f\left(q^3,q^5\right)=\psi \left(q\right)S\left(-q\right)=\frac{f_2^2}{f_1}S\left(-q\right),$

$f\left(q,q^7\right)=\psi \left(q\right)T\left(-q\right)=\frac{f_2^2}{f_1}T\left(-q\right).$

推论2.1即得证。

推论2.2：

$f\left(q^{18},q^{36}\right)=\frac{\varphi \left(-q^{54}\right)}{\chi \left(-q^{18}\right)}$

证明：用 $q^{18}$ 替代引理2.2中的q，即得证。

推论2.3：

$f\left(q,q\right)=qf\left(q^3,q^{-1}\right),$

证明：在引理2.7中代入 $a=q$ ， $b=q$ ， $n=1$ ，即证。

推论2.4：

$f\left(q^2,q^{14}\right)=q^{35}f\left(q^{42},q^{-26}\right)$

证明：在引理2.7中代入 $a=q^2$ ， $b=q^{14}$ ， $n=\frac{5}{2}$ ，即证。

3. Gollnitz Gordon函数相关函数的新模方程及其证明过程

定理一：

$qS\left(-q\right)T\left(-q^3\right)+T\left(-q\right)S\left(-q^3\right)=\frac{f_2^3{f}_3}{f_1{f}_4^2{f}_6^2}\left(\frac{f_{54}^2}{f_{108}}\cdot \frac{f_{36}}{f_{18}}+\frac{f_{108}^2}{f_{54}}\right)$

证明：在引理2.1中，设 $\mu =6$ ， $\nu =3$ ，得：

$\begin{array}{c}\psi \left(q^9\right)\psi \left(q^3\right)=\varphi \left(q^{162}\right)\psi \left(q^{12}\right)+q^{3}f\left(q^{216},q^{108}\right)f\left(q^6,q^6\right)\\ +q^{18}f\left(q^{270},q^{54}\right)f\left(q^{12},1\right)+q^{45}\psi \left(q^{324}\right)f\left(q^{18},q^{-6}\right)\end{array}$ (3.1)

在上式中，用 $-q$ 替换q，得：

$\begin{array}{c}\psi \left(-q^9\right)\psi \left(-q^3\right)=\varphi \left(q^{162}\right)\psi \left(q^{12}\right)-q^{3}f\left(q^{216},q^{108}\right)f\left(q^6,q^6\right)\\ +q^{18}f\left(q^{270},q^{54}\right)f\left(q^{12},1\right)-q^{45}\psi \left(q^{324}\right)f\left(q^{18},q^{-6}\right)\end{array}$ (3.2)

用(3.1)~(3.2)式得：

$\psi \left(q^9\right)\psi \left(q^3\right)-\psi \left(-q^9\right)\psi \left(-q^3\right)=2q^{3}f\left(q^{216},q^{108}\right)f\left(q^6,q^6\right)+2q^{45}\psi \left(q^{324}\right)f\left(q^{18},q^{-6}\right)$

用q替换上式中的 $q^3$ ，得：

$\psi \left(q^3\right)\psi \left(q\right)-\psi \left(-q^3\right)\psi \left(-q\right)=2qf\left(q^{72},q^{36}\right)f\left(q^2,q^2\right)+2q^{15}\psi \left(q^{108}\right)f\left(q^6,q^{-2}\right)$ (3.3)

利用引理2.6对(3.3)式左边进行转化得：

$\psi \left(q^3\right)\psi \left(q\right)-\psi \left(-q^3\right)\psi \left(-q\right)=2q^{3}f\left(q^6,q^{10}\right)f\left(q^6,q^{42}\right)+2qf\left(q^2,q^{14}\right)f\left(q^{18},q^{30}\right)$ (3.4)

通过对比(3.3)式和(3.4)式得：

$2qf\left(q^{72},q^{36}\right)f\left(q^2,q^2\right)+2q^{15}\psi \left(q^{108}\right)f\left(q^6,q^{-2}\right)=2q^{3}f\left(q^6,q^{10}\right)f\left(q^6,q^{42}\right)+2qf\left(q^2,q^{14}\right)f\left(q^{18},q^{30}\right)$

上式两边同时除以2q，并用q替换其中的q²，得到：

$f\left(q^{36},q^{18}\right)f\left(q,q\right)+q^7\psi \left(q^{54}\right)f\left(q^3,q^{-1}\right)=qf\left(q^3,q^5\right)f\left(q^3,q^{21}\right)+f\left(q^1,q^7\right)f\left(q^9,q^{15}\right)$ (3.5)

在(3.5)式中利用定义2.1、推论2.3以及推论2.1，得到：

$\frac{\varphi \left(-q^{54}\right)}{\chi \left(-q^{18}\right)}\cdot \varphi \left(q\right)+q^6\psi \left(q^{54}\right)\varphi \left(q\right)=\frac{f_2^2}{f_1}\cdot \frac{f_6^2}{f_3}\left(qS\left(-q\right)T\left(-q^3\right)+T\left(-q\right)S\left(-q^3\right)\right)$

带入引理2.3和引理2.4，得到：

$qS\left(-q\right)T\left(-q^3\right)+T\left(-q\right)S\left(-q^3\right)=\frac{f_2^3{f}_3}{f_1{f}_4^2{f}_6^2}\left(\frac{f_{54}^2}{f_{108}}\cdot \frac{f_{36}}{f_{18}}+\frac{f_{108}^2}{f_{54}}\right)$

定理一即得证。

定理二：

$S\left(-q^2\right)=qT\left(-q^2\right)$

证明：在引理2.1中，设 $\mu =8$ ， $\nu =7$ ，得：

$\begin{array}{c}\psi \left(q^{15}\right)\psi \left(q\right)=\varphi \left(q^{120}\right)\psi \left(q^{16}\right)+qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+q^{18}f\left(q^{180},q^{60}\right)f\left(q^{28},q^{-12}\right)\\ +q^{51}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^{42},q^{-26}\right)+q^{100}\psi \left(q^{240}\right)f\left(q^{56},q^{-40}\right)\end{array}$ (3.6)

在上式中，用 $-q$ 替换q，得：

$\begin{array}{c}\psi \left(-q^{15}\right)\psi \left(-q\right)=\varphi \left(q^{162}\right)\psi \left(q^{12}\right)-qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+q^{18}f\left(q^{180},q^{60}\right)f\left(q^{28},q^{-12}\right)\\ -q^{51}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^{42},q^{-26}\right)+q^{100}\psi \left(q^{240}\right)f\left(q^{56},q^{-40}\right)\end{array}$ (3.7)

用(3.6)~(3.7)式得：

$\psi \left(q^{15}\right)\psi \left(q\right)-\psi \left(-q^{15}\right)\psi \left(-q\right)=2qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+2q^{51}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^{42},q^{-26}\right)$

又由推论2.4得

$f\left(q^2,q^{14}\right)=q^{35}f\left(q^{42},q^{-26}\right)$

所以

$\psi \left(q^{15}\right)\psi \left(q\right)-\psi \left(-q^{15}\right)\psi \left(-q\right)=2qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+2q^{16}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^2,q^{14}\right)$ (3.8)

在(3.8)中左边使用引理2.6得：

$\begin{array}{l}2qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^2,q^{14}\right)+2q^{15}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^6,q^{10}\right)\\ =2qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+2q^{16}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^2,q^{14}\right)\end{array}$

所以

$f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^6,q^{10}\right)=qf\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^2,q^{14}\right)$

推出

$f\left(q^6,q^{10}\right)=qf\left(q^2,q^{14}\right)$

由推论2.1知：

$f\left(q^3,q^5\right)=\frac{f_2^2}{f_1}S\left(-q\right),f\left(q,q^7\right)=\frac{f_2^2}{f_1}T(\; -\; q\; )$

所以

$S\left(-q^2\right)=qT\left(-q^2\right)$

结论得证。

定理一和定理二的内容及其证明即为本文主要内容。

4. 结论

本文利用了Schroter的数学公式和Ramanujan提出的一些简单的函数恒等式来进行推导转化，建立了两个与S(−q)相关的新模关系，这两个新模关系是对已知模关系的扩展，对数论中模方程的研究学习有很好的研究意义。可以进一步思考，还能不能用这个方法对变量赋予另外的值去建立更多的模方程。

文章引用

刘玉娇,吴 辉. Goillnitz Gordon函数相关函数的新模关系及证明
Some New Modular Relations of Gollnitz-Gordon Function Correlation Function and Its Proof[J]. 理论数学, 2023, 13(04): 1033-1039. https://doi.org/10.12677/PM.2023.134108

参考文献