¹河北师范大学数学科学学院，河北 石家庄

²河北省计算数学与应用重点实验室，河北 石家庄

收稿日期：2023年6月20日；录用日期：2023年7月24日；发布日期：2023年7月31日

摘要

本文借助C^*[0, ∞)空间与C[0, 1]空间之间的变换，将C^*[0, ∞)空间上的逼近问题转变到C[0, 1]空间上进行研究。应用一阶、二阶模，证明了两类保持函数1和e^−μx (μ > 0)的King型算子一致逼近的误差估计。

关键词

King型算子，光滑模，一致逼近，误差估计

An Uniform Error Estimate for Two Kinds of King Type Operators

Jieyu Huang¹, Hui Dong¹, Qiulan Qi^1,2*, Ge Yang^1,2

¹School of Mathematical Sciences, Hebei Normal University, Shijiazhuang Hebei

²Hebei Key Laboratory of Computational Mathematics and Applications, Shijiazhuang Hebei

Received: Jun. 20^th, 2023; accepted: Jul. 24^th, 2023; published: Jul. 31^st, 2023

ABSTRACT

By means of a transformation between C^*[0, ∞) and C[0, 1], the approximation problem in the space C^*[0, ∞) can be reduced the same one in the space C[0, 1]. Using the first and second order moduli, we show a further uniform error estimate for two kinds of King-type operators which preserve 1 and e^−μx (μ > 0).

Keywords:King Type Operators, Modulus of Smoothness, Uniform Approximation, Error Estimate

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

逼近论在计算数学、工程数学与信息理论等领域广泛应用并为之提供理论支持和方法依据。由于各类曲线曲面设计的需要，含形状参数的算子受到人们的关注。同时，为了改善逼近的效果，King [1] 提出了保持函数1，x²的Bernstein型算子。受到King构造算子方法的启发，Acar [2] 和Devici [3] 分别构造了保持函数1， ${\text{e}}^{2ax}\left(a>0\right)$ 的Szász型和Gamma型算子。Huang和Qi在文献 [4] [5] 中研究了保持函数 ${\text{e}}^{-\mu t}\left(\mu >0\right)$ 的两类King型算子的一致逼近及统计逼近。有关King型算子的研究成果见文献 [2] - [12] 。

Korovkin定理为人们提供了检验正线性算子列在空间 $C\left[a,b\right]$ 上一致收敛的判定条件。为了得到无穷区间上一致逼近的误差刻画，Pältănea和Smuc [13] 利用变换将 $\left[0,\infty \right)$ 区间上的问题转化到[0, 1]区间上进行研究，得到了算子逼近的量化估计。这一研究方法最早由Gonska [14] 提出，之后被Pältănea [15] 进一步改进。受此启发，在本文中，我们应用此方法得到了保持函数 ${\text{e}}^{-\mu t}\left(\mu >0\right)$ 的King-Gamma和King-Szász型算子一致收敛逼近误差的进一步量化估计。

King-Gamma型算子定义如下 [5] ：对于 $x>0$ ， $n\in N$ ， $\alpha =\frac{\mu x^2}{n\left({\text{e}}^{\frac{\mu x}{n+1}}-1\right)}\left(\mu >0\right)$ ，

$G_n^{\mu }\left(f;x\right):=\frac{1}{n!}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\tau }{\tau }^{n}f}\left(\frac{x^2\tau }{\alpha n}\right)\text{d}\tau .$ (1)

King-Szász型算子定义如下 [4] ：对于 $x\ge 0$ ， $n\in N$ ， $\beta =\frac{\mu x}{n\left(1-{\text{e}}^{\frac{-\mu }{n}}\right)}\left(\mu >0\right)$ ，

$S_n^{\mu }\left(f;x\right):={\text{e}}^{-n\beta }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{{\left(n\beta \right)}^k}{k!}}.$ (2)

注1. 为了简化证明的过程，我们引入统一的记号：

$L_n\left(f;x\right):=\{\begin{array}{cc}{G}_n^{\mu }\left(f;x\right),& x\in D:=\left(0,\infty \right);\\ S_n^{\mu }\left(f;x\right),& x\in D:=\left[0,\infty \right).\end{array}$

根据算子的定义(1) (2)，知 $L_n\left({\text{e}}^{-\mu t};x\right)={\text{e}}^{-\mu x}$ ，这意味着算子 $L_n\left(f;x\right)$ 保持函数1和 ${\text{e}}^{-\mu t}\left(\mu >0\right)$ 。

注2. $\phi \left(x\right)$ 是Ditzian-Totik模中的步长权函数 [16] ：

$\phi \left(x\right):=\{\begin{array}{ll}x,\hfill & \text{if}{L}_n=G_n^{\mu };\hfill \\ \sqrt{x},\hfill & \text{if}{L}_n=S_n^{\mu }.\hfill \end{array}$

注3. $C\left(D\right)$ 表示定义于区间D上的所有连续函数所构成的空间； $C_B\left(D\right)$ 表示定义于区间D上的有界连续函数构成的空间； $C^{*}\left(D\right):=\left\{f\in C\left(D\right):{\lim }_{x+\infty }f\left(x\right)存在且有限\right\}$ 。

注4. 本文中，范数 $\Vert \cdot \Vert$ 定义为一致范数，即： ${\Vert f\Vert }_E:=\underset{x\in E}{\sup }\left|f\left(x\right)\right|$ ，其中E可以是D或[0, 1]。

注5. 本文中，C表示与x，n无关的常数，不同的情况下可以取不同的值。

本篇文章由以下几部分组成：在第二节中，我们给出了上述定义的两类King型算子的一些性质；在第三节中，借助一阶、二阶模，我们得到了与之前不同的正定理以及Voronovskaja型弱逆定理；在第四节中，借助空间 $C^{*}\left[0,\infty \right)$ 与空间 $C\left[0,1\right]$ 之间的变换，我们得到了与一阶、二阶模有关的一致逼近误差的进一步估计；在第五节中，利用Matlab软件绘图，我们研究了King-Szász型算子作用于三类不同类型函数上的逼近误差；在第六节中，我们总结了不同算子对不同类型函数的逼近情况，并提出今后进一步需要研究的问题。

2. 所需引理

引理2.1. ( [4] , Lemma 2.1, 2.2, [5] , Lemma 2(5))设 $x\in D$ ， $\mu >0$ ，我们有

$L_n^{\mu }\left(1;x\right)=1$ ; $G_n^{\mu }\left(t;x\right)=\frac{\left(n+1\right)x^2}{n\alpha }$ ; $G_n^{\mu }\left(t^2;x\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)x^4}{n^2{\alpha }^2}$ ; $S_n^{\mu }\left(t;x\right)=\beta ；S_n^{\mu }\left(t^2;x\right)={\beta }^2+\frac{\beta }{n}$ .

引理2.2. ( [4] , Lemma 2.3, [5] , Lemma 2(6))令 ${\Phi }^m\left(x\right):=L_n\left({\left(t-x\right)}^m;x\right)$ ， $x\in D$ ， $m=1,2,4$ ，我们可以得到

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }n{\Phi }^1\left(x\right)=\frac{\mu }{2}{\phi }^2\left(x\right);\\ \underset{n\to \infty }{\lim }n{\Phi }^2\left(x\right)={\phi }^2\left(x\right);\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{\Phi }^4\left(x\right)=3{\phi }^4\left(x\right).\end{array}$

引理2.3. 对于 $f\left(x\right)\in C_B\left(D\right)$ ，借助算子的定义(1) (2)，知

${\Vert L_n\left(f\right)\Vert }_D\le {\Vert f\Vert }_D$ .

光滑模为人们处理最佳逼近的阶及逆定理提供了一个较好的工具，我们常用光滑模来描述逼近误差的量化，下面给出本文用到的光滑模与K-泛函的定义。

定义2.1. [16] 光滑模与K-泛函的定义如下：对于 $0\le \lambda \le 1$ ， $E=\left[0,1\right]$ 或D， $\phi \left(x\right)$ 的定义见注2，

$\begin{array}{l}{\omega }_{{\phi }^{\lambda }}{\left(f;t\right)}_E:=\underset{0<h\le t}{\sup }\underset{x\pm \frac{h{\phi }^{\lambda }(x)}{2}\in E}{\sup }\left|f\left(x+\frac{h{\phi }^{\lambda }\left(x\right)}{2}\right)-f\left(x-\frac{h{\phi }^{\lambda }\left(x\right)}{2}\right)\right|;\\ {\omega }_{{}_{{\phi }^{\lambda }}}^2{\left(f;t\right)}_E:=\underset{0<h\le t}{\sup }\underset{x\pm h{\phi }^{\lambda }(x)\in E}{\sup }\left|f\left(x+h{\phi }^{\lambda }\left(x\right)\right)-2f\left(x\right)+f\left(x-h{\phi }^{\lambda }\left(x\right)\right)\right|;\\ K_{\phi }\left(f;t^r\right):=\underset{g\in W^r}{\inf }\left\{{\Vert f-g\Vert }_E+t^r{\Vert {\phi }^r{g}^{(r)}\Vert }_E\right\},\end{array}$

其中 $W^r:=\left\{g^{\left(r-1\right)}\in A.C{.}_{loc.}\left(E\right):{\Vert {\phi }^r{g}^{(r)}\Vert }_E<\infty \right\}$ ， $r=1,2$ 。

注6. 当 $\lambda =0$ 时，我们分别记为 ${\omega }_1{\left(f;t\right)}_E$ 和 ${\omega }_2{\left(f;t\right)}_E$ ；当 $\lambda =1$ 时， ${\omega }_{\phi }^r{\left(f;t\right)}_E$ 为Ditzian-Totik模。

引理2.4. ( [16] , Theorem 2.1.1) 对于上述定义的模与K-泛函，存在一个常数 $C>0$ 满足：

$C^{-1}{\omega }_{\phi }^r{\left(f;t\right)}_E\le K_{\phi }\left(f;t^r\right)\le C{\omega }_{\phi }^r{\left(f;t\right)}_E\left(r=1,2\right)$ .

引理2.5. ( [4] , Theorem 3.1, [5] , Theorem 1)

$\begin{array}{l}{\Vert L_n\left({\text{e}}^{-t};x\right)-{\text{e}}^{-x}\Vert }_D:={{\alpha }^{\prime }}_n\to 0\left(n\to \infty \right);\\ {\Vert L_n\left({\text{e}}^{-2t};x\right)-{\text{e}}^{-2x}\Vert }_D:={\beta }_n\to 0\left(n\to \infty \right).\end{array}$

引理2.6. ( [15] , Corollary 3.1)令 $K=\left[a,b\right]$ ， $K^{\prime }\subset K$ ，如果 $L:C\left(K\right)\to C\left(K^{\prime }\right)$ 是一个正线性算子，那么对于 $f\in C\left(K\right)$ 和 $0<h<\frac{1}{2}\text{length}\left(K\right)$ ，有下面的关系：

$\left|L\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le \left|L\left(1;x\right)-1\right|\cdot \left|f\left(x\right)\right|+\frac{1}{h}\left|L\left(t-x;x\right)\right|{\omega }_1{\left(f;h\right)}_K+\left[L\left(1;x\right)+\frac{1}{2h^2}L\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)\right]{\omega }_2{\left(f;h\right)}_K$ .

3. 正定理及Voronovskaja型弱逆定理

定理3.1. 令 ${\alpha }_n\left(x\right):=L_n\left(t-x;x\right)$ ， ${\beta }_n\left(x\right):=L_n\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)$ ，对于 $f\in C_B\left(D\right)$ ， $n\ge 2$ ，我们有

$\left|L_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le C{\omega }_{\phi }^2{\left(f;\frac{\sqrt{{\beta }_n\left(x\right)+{\alpha }_n^2\left(x\right)}}{\phi \left(x\right)}\right)}_D+{\omega }_{\phi }{\left(f;\frac{{\alpha }_n\left(x\right)}{\phi \left(x\right)}\right)}_D$ .

证明：为了证明这一结论，我们需要定义下面的算子：

${\bar{L}}_n\left(f;x\right):=L_n\left(f;x\right)+f\left(x\right)-f\left(L_n\left(t;x\right)\right)$ .

使用引理2.3，

$\begin{array}{l}\left|{\bar{L}}_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le \left|{\bar{L}}_n\left(f-g;x\right)\right|+\left|{\bar{L}}_n\left(g;x\right)-g\left(x\right)\right|+\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\\ \le 4{\Vert f-g\Vert }_D+\left|{\bar{L}}_n\left(g;x\right)-g\left(x\right)\right|.\end{array}$

借助于关系式，

$g\left(t\right)-g\left(x\right)-\left(t-x\right)g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle {\int }_x^t\left(t-u\right)g^{″}\left(u\right)\text{d}u},$

并注意到 ${\bar{L}}_n\left(1;x\right)=1$ 且 ${\bar{L}}_n\left(t;x\right)=x$ ，即 ${\bar{L}}_n\left(t-x;x\right)=0$ ，我们可以得到

$\begin{array}{c}\left|{\bar{L}}_n\left(g;x\right)-g\left(x\right)\right|=\left|{\bar{L}}_n\left(\left|{\displaystyle {\int }_x^t\left|t-u\right|\cdot \left|g^{″}\left(u\right)\right|\text{d}u}\right|;x\right)\right|\\ \le L_n\left(\left|{\displaystyle {\int }_x^t\left|t-u\right|\cdot \left|g^{″}\left(u\right)\right|\text{d}u}\right|;x\right)+\left|{\displaystyle {\int }_x^{x+{\alpha }_n(x)}\left|x+{\alpha }_n\left(x\right)-u\right|\cdot \left|g^{″}\left(u\right)\right|\text{d}u}\right|\\ \le {\Vert {\phi }^2{g}^{″}\Vert }_D\left[L_n\left(\left|{\displaystyle {\int }_x^t\frac{\left|t-u\right|}{{\phi }^2\left(u\right)}\text{d}u}\right|;x\right)+\left|{\displaystyle {\int }_x^{x+{\alpha }_n(x)}\frac{\left|x+{\alpha }_n\left(x\right)-u\right|}{{\phi }^2\left(u\right)}\text{d}u}\right|\right].\end{array}$

下面，我们将对King-Szász和King-Gamma型算子分别进行估计。

1) 当 ${\phi }^2\left(x\right)=x$ 时， $\phi \left(x\right)$ 是凹函数，因此 $\frac{\left|t-u\right|}{{\phi }^2\left(u\right)}\le \frac{\left|t-x\right|}{{\phi }^2\left(x\right)}$ 。那么

$S_n^{\mu }\left(\left|{\displaystyle {\int }_x^t\frac{\left|t-u\right|}{{\phi }^2\left(u\right)}\text{d}u}\right|;x\right)\le {\phi }^{-2}\left(x\right)S_n^{\mu }\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)$

2) 当 $\phi \left(x\right)=x$ 时，有

${\displaystyle {\int }_x^t\frac{\left|t-u\right|}{{\phi }^2\left(u\right)}\text{d}u}\le {\left(t-x\right)}^2\left(\frac{1}{t^2}+\frac{1}{x^2}\right)$ .

由King-Gamma型算子的定义(1)，当 $n\ge 2$ 时，

$G_n^{\mu }\left(\frac{1}{t^2};x\right)=\frac{n{\alpha }^2}{\left(n-1\right)x^4}\le \frac{n}{\left(n-1\right)x^4}\cdot \frac{{\left(n+1\right)}^2{x}^2}{n^2}\le \frac{9}{2x^2}$ .

因此

$G_n^{\mu }\left(\left|{\displaystyle {\int }_x^{\text{t}}\frac{\left|t-u\right|}{{\phi }^2\left(u\right)}\text{d}u}\right|;x\right)\le \frac{11}{2x^2}{G}_n^{\mu }\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)=\frac{11}{2}{\phi }^{-2}\left(x\right)G_n^{\mu }\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)$ .

借助光滑模与K-泛函的等价性，即引理2.4，我们有

$\left|{\bar{L}}_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le 4{\Vert f-g\Vert }_D+\frac{11}{2}{\phi }^{-2}\left(x\right){\Vert {\phi }^2{g}^{″}\Vert }_D\left({\beta }_n\left(x\right)+{\alpha }_n^2\left(x\right)\right)\le C{\omega }_{\phi }^2{\left(f;\frac{\sqrt{{\beta }_n\left(x\right)+{\alpha }_n^2\left(x\right)}}{\phi \left(x\right)}\right)}_D$ .

又因为

$\left|f\left(x+{\alpha }_n\left(x\right)\right)-f\left(x\right)\right|=\left|f\left(x+\phi \left(x\right)\frac{{\alpha }_n\left(x\right)}{\phi \left(x\right)}\right)-f\left(x\right)\right|\le {\omega }_{\phi }{\left(f;\frac{{\alpha }_n\left(x\right)}{\phi \left(x\right)}\right)}_D$ ,

综上，我们可以得到

$\begin{array}{c}\left|L_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le \left|{\bar{L}}_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|+\left|f\left(x+{\alpha }_n\left(x\right)\right)-f\left(x\right)\right|\\ \le C{\omega }_{\phi }^2{\left(f;\frac{\sqrt{{\beta }_n\left(x\right)+{\alpha }_n^2\left(x\right)}}{\phi \left(x\right)}\right)}_D+{\omega }_{\phi }{\left(f;\frac{{\alpha }_n\left(x\right)}{\phi \left(x\right)}\right)}_D.\end{array}$

定理3.2. 对于 $f^{\prime }\in C_B\left(D\right)$ ，我们可以得到下列不等式：

$\left|L_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le \left|{\alpha }_n\left(x\right)\right|\cdot \left|f^{\prime }\left(x\right)\right|+2\sqrt{{\beta }_n\left(x\right)}{\omega }_1{\left(f^{\prime };\sqrt{{\beta }_n\left(x\right)}\right)}_D$ .

证明：我们将算子 $L_n$ 作用在下列不等式两边，

$f\left(t\right)=f\left(x\right)+\left(t-x\right)f^{\prime }\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_x^t\left(t-u\right)f^{″}\left(u\right)\text{d}u}$ ,

可以得到

$L_n\left(f\left(t\right)-f\left(x\right);x\right)=f^{\prime }\left(x\right)L_n\left(t-x;x\right)+L_n\left({\displaystyle {\int }_x^t\left[f^{\prime }\left(u\right)-f^{\prime }\left(x\right)\right]\text{d}u;x}\right)$ .

对于任意的 $\xi >0$ ，我们有

$\left|f\left(u\right)-f\left(x\right)\right|\le {\omega }_1{\left(f;\xi \right)}_D\left(\frac{\left|u-x\right|}{\xi }+1\right)$ .

通过上述不等式，我们能得到

$\left|{\displaystyle {\int }_x^t{f}^{\prime }\left(u\right)-f^{\prime }\left(x\right)\text{d}u}\right|\le {\omega }_1{\left(f;\xi \right)}_D\left(\frac{{\left(t-x\right)}^2}{\xi }+\left|t-x\right|\right)$ .

故，

$\left|L_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le \left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\cdot \left|L_n\left(t-x;x\right)\right|+{\omega }_1{\left(f^{\prime };\xi \right)}_D\left[\frac{1}{\xi }{L}_n\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)+L_n\left(\left|t-x\right|;x\right)\right]$ .

借助于H lder不等式，选取 $\xi =\sqrt{{\beta }_n\left(x\right)}$ ，可得到

$\left|L_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le \left|{\alpha }_n\left(x\right)\right|\cdot \left|f^{\prime }\left(x\right)\right|+2\sqrt{{\beta }_n\left(x\right)}{\omega }_1{\left(f^{\prime };\sqrt{{\beta }_n\left(x\right)}\right)}_D$ .

定理3.3. 令 $f,f^{\prime },f^{″}\in C_B\left(D\right)$ ，当n足够大时，我们有

$\left|L_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)-{\alpha }_n\left(x\right)f^{\prime }\left(x\right)-\frac{{\beta }_n\left(x\right)}{2}{f}^{″}\left(x\right)\right|\le \frac{C}{n}{\phi }^2\left(x\right){\omega }_{\phi }{\left(f^{″};\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}_D$ .

证明：由于

$f\left(t\right)-f\left(x\right)-\left(t-x\right)f^{\prime }\left(x\right)-\frac{f^{″}\left(x\right)}{2}{\left(t-x\right)}^2={\displaystyle {\int }_x^t\left(t-u\right)\cdot \left(f^{″}\left(u\right)-f^{″}\left(x\right)\right)\text{d}u}$ ,

将算子 $L_n$ 同时作用在上述关系式两边，我们可以得到

$\begin{array}{l}\left|L_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)-L_n\left(\left(t-x\right);x\right)f^{\prime }\left(x\right)-\frac{f^{″}\left(x\right)}{2}{L}_n\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)\right|\\ \le L_n\left(\left|{\displaystyle {\int }_x^t\left|t-u\right|\cdot \left|f^{″}\left(u\right)-f^{″}\left(x\right)\right|\text{d}u}\right|;x\right).\end{array}$

根据关系式 [17] ：令 $g\in W^2$ ，有

$\left|{\displaystyle {\int }_x^t\left|t-u\right|\cdot \left|f^{″}\left(u\right)-f^{″}\left(x\right)\right|\text{d}u}\right|\le 2{\Vert f^{″}-g\Vert }_D\cdot {\left(t-x\right)}^2+2{\Vert \phi g^{\prime }\Vert }_D{\phi }^{-1}\left(x\right){\left|t-x\right|}^3$ ,

当n足够大时，由引理2.2和Cauchy-Schwarz不等式，得到

$\begin{array}{l}\left|L_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)-L_n\left(t-x;x\right)f^{\prime }\left(x\right)-\frac{f^{″}\left(x\right)}{2}{L}_n\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)\right|\\ \le 2{\Vert f^{″}-g\Vert }_D\cdot L_n\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)+2{\Vert \phi g^{\prime }\Vert }_D{\phi }^{-1}\left(x\right)L_n\left({\left|t-x\right|}^3;x\right)\\ \le \frac{C}{n}{\phi }^2\left(x\right){\Vert f^{″}-g\Vert }_D+2{\Vert \phi g^{\prime }\Vert }_D{\phi }^{-1}\left(x\right){\left(L_n\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(L_n\left({\left(t-x\right)}^4;x\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le \frac{C}{n}{\phi }^2\left(x\right)\left({\Vert f^{″}-g\Vert }_D+\frac{1}{\sqrt{n}}{\Vert \phi g^{\prime }\Vert }_D\right).\end{array}$

对 $g\in W^2$ 取下确界，并注意到引理2.4中光滑模与K-泛函的等价关系，我们可以得到结论。

4. 一致逼近的进一步估计

由文献 [13] [15] ，知 $$ 空间与 $\left(C\left[0,1\right],{\Vert \cdot \Vert }_{[0,1]}\right)$ 空间之间是等距同构的。令 $\psi \left(t\right):={\text{e}}^{-t}$ ， $t\in \left[0,\infty \right)$ ，

${\psi }^{-1}\left(x\right):=\{\begin{array}{l}-\ln x,x\in \left(0,1\right];\hfill \\ \underset{t\to \infty }{\lim }t,x=\text{0},\hfill \end{array}$

算子 $T:C\left[0,1\right]\to C^{*}\left[0,\infty \right)$ 定义为：

$\begin{array}{l}T\left(f^{*}\right)\left(x\right)=f\left(t\right)=f^{*}\left(\psi \left(t\right)\right)=f^{*}\circ \psi ,f^{*}\left(x\right)\in C\left[0,1\right],\\ T^{-1}\left(f\right)\left(t\right)=f^{*}\left(x\right)=f\left({\psi }^{-1}\left(x\right)\right)=f\circ {\psi }^{-1},f\left(t\right)\in C^{*}\left[0,\infty \right).\end{array}$

易知 $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{*}\left(x\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }f\left(t\right)$ ，且T是一个线性双射。

对于 $f\in C^{*}\left[0,\infty \right)$ ， $f^{*}=f\circ {\psi }^{-1}$ ，有 ${\Vert T{f}^{*}\Vert }_{[0,1]}=\underset{t\in [0,\infty )}{\sup }\left|f^{*}\left(\psi \left(t\right)\right)\right|={\Vert f^{*}\Vert }_{[0,1]}$ 。由于 $L_n:C^{*}\left(D\right)\to C^{*}\left(D\right)$ 是一个保持常数的正线性算子，则 $L:=T^{-1}\circ L_n\circ T:C\left[0,1\right]\to C\left[0,1\right]$ 是一个正线性算子。根据引理2.6 ( [15] , Corollary 3.1)，我们可以得到下面的结论。

定理4.1. 对于上述定义的算子L和 $L_n$ ，设 $f\in C^{*}\left(D\right)$ 和 $0<h\le \frac{1}{2}$ ，下面的不等式成立：

$\begin{array}{c}{\Vert L_n\left(f\right)-f\Vert }_D\le \frac{1}{h}{\Vert L_n\left(\psi \right)-\psi \Vert }_D\cdot {\omega }_1{\left(f^{*};h\right)}_{[0,1]}\\ \le \left[1+\frac{1}{2h^2}\left({\Vert L_n\left({\psi }^2\right)-{\psi }^2\Vert }_D+2{\Vert L_n\left(\psi \right)-\psi \Vert }_D\right)\right]\cdot {\omega }_2{\left(f^{*};h\right)}_{[0,1]}.\end{array}$

证明：令 $L:=T^{-1}\circ L_n\circ T$ ，借助引理2.6 ( [15] , Corollary 3.1)，对于任意的 $x\in \left[0,1\right]$ ， $L\left(1\right)=1$ ，有

1)

$\begin{array}{c}{\Vert L{f}^{*}-f^{*}\Vert }_{[0,1]}={\Vert T^{-1}\circ L_n\circ T\left(f^{*}\right)-f^{*}\Vert }_{[0,1]}={\Vert T^{-1}\circ L_n\left(f\right)-T^{-1}\left(f\right)\Vert }_{[0,1]}\\ ={\Vert L_n\left(f\right)\circ {\psi }^{-1}-f\circ {\psi }^{-1}\Vert }_{[0,1]}={\Vert L_n\left(f\right)-f\Vert }_D.\end{array}$

2) 注意到 $T{f}^{*}=f^{*}\circ \psi$ ， $T^{-1}f=f\circ {\psi }^{-1}$ ， $Tt=\psi$ ，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert L\left(t\right)-x\Vert }_{[0,1]}\text{=}{\Vert T^{-1}\circ L_n\circ T\left(t\right)-x\Vert }_{[0,1]}\text{=}{\Vert T^{-1}\circ \left(L_n\circ \psi \right)-T^{-1}\psi \Vert }_{[0,1]}\\ \text{=}{\Vert L_n\left(\psi \right)\circ {\psi }^{-1}-\psi \circ {\psi }^{-1}\Vert }_{[0,1]}={\Vert L_n\left(\psi \right)-\psi \Vert }_D;\end{array}$

$\begin{array}{c}{\Vert L\left(t^2\right)-x^2\Vert }_{[0,1]}\text{=}{\lfloor T^{-1}\circ L_n\circ T\left(t^2\right)-x^2\rfloor }_{[0,1]}\text{=}{\Vert T^{-1}\circ L_n\left({\psi }^2\right)-T^{-1}\left({\psi }^2\right)\Vert }_{[0,1]}\\ \text{=}{\Vert L_n\left({\psi }^2\right)\circ {\psi }^{-1}-\left({\psi }^2\right)\circ {\psi }^{-1}\Vert }_{[0,1]}={\Vert L_n\left({\psi }^2\right)-{\psi }^2\Vert }_D.\end{array}$

综上，可得到定理4.1。

在定理4.1中，令 $\psi \left(t\right)={\text{e}}^{-t}$ ，选取 $h=\sqrt{{{\alpha }^{\prime }}_n+\frac{1}{2}{{\beta }^{\prime }}_n}$ ，对于足够大的n，结合引理2.5，可以得到

定理4.2. 设 $f\in C^{*}\left(D\right)$ ， $f^{*}=f\circ {\psi }^{-1}$ ，对于足够大的n，我们有

${\Vert L_n\left(f\right)-f\Vert }_D\le {\omega }_1{\left(f^{*};\sqrt{{{\alpha }^{\prime }}_n+\frac{1}{2}{{\beta }^{\prime }}_n}\right)}_{[0,1]}+2{\omega }_2{\left(f^{*};\sqrt{{{\alpha }^{\prime }}_n+\frac{1}{2}{{\beta }^{\prime }}_n}\right)}_{[0,1]}$ .

5. 数值实验

为了更直观地了解不同类型算子的逼近效果，本节借助Matlab软件绘制了三类Szász算子分别作用于函数 $4^x$ (见图1、图2)、 $\frac{30}{2^x}$ (见图3、图4)、 $x^3\log \left(1+x^6\right)$ (见图5、图6)上的图像，并计算了它们逼近的均方根误差(见表1~3)。

表1. 三类算子对函数 $4^x$ 逼近的均方根误差( $\mu =1$ )

图1. 保持函数 ${\text{e}}^{2\mu x}$ 的Szász型算子对函数 $4^x$ 的逼近情况，其中 $n=40$ ， $\mu =0.37,1,3,10$

图2. 保持函数 ${\text{e}}^{2\mu x}$ ， ${\text{e}}^{-\mu x}$ ，x的三类Szász型算子对函数 $4^x$ 的逼近情况，其中 $n=40$ ， $\mu =1$

图3. 保持函数 ${\text{e}}^{-\mu x}$ 的Szász型算子对函数 $\frac{30}{2^x}$ 的逼近情况，其中 $n=40$ ， $\mu =0.37,1,3,10$

图4. 保持函数 ${\text{e}}^{2\mu x}$ ， ${\text{e}}^{-\mu x}$ ，x的三类Szász型算子对函数 $\frac{30}{2^x}$ 的逼近情况，其中 $n=40$ ， $\mu =1$

图5. 保持函数x的Szász型算子对函数 $x^3\log \left(1+x^6\right)$ 的逼近情况，其中 $\mu =1$ ， $n=5,10,20,40$

图6. 保持函数 ${\text{e}}^{2\mu x}$ ， ${\text{e}}^{-\mu x}$ ，x的三类Szász型算子对函数 $x^3\log \left(1+x^6\right)$ 的逼近情况，其中 $n=40$ ， $\mu =1$

表2. 三类算子对函数 $\frac{30}{2^x}$ 逼近的均方根误差( $\mu =1$ )

表3. 三类算子对函数 $x^3\log \left(1+x^6\right)$ 逼近的均方根误差( $\mu =1$ )

对于不同类型的函数，不同算子的逼近效果不同，参数μ的取值也影响着算子的逼近效果。因此在处理实际问题中，我们需要根据具体情况进行分析，选取适当的参数，以达到理想的逼近效果。

6. 结论

本文从理论上讨论了King型算子一致逼近的误差，用一阶、二阶模给出了误差的具体量化表示。一方面为实际问题的解决提供了新的逼近工具；另一方面进一步完善了逼近论的相关理论。为了满足计算机几何辅助作图的需要，我们需要进一步研究构成该类算子的基函数的保形性质。

基金项目

国家自然科学基金(11871191)；河北省教育厅重点基金(ZD2019053)；河北师范大学重点基金(L2020Z03)。

文章引用

黄婕妤,董 惠,齐秋兰,杨 戈. 两类King型算子一致逼近的误差估计
An Uniform Error Estimate for Two Kinds of King Type Operators[J]. 理论数学, 2023, 13(07): 2188-2199. https://doi.org/10.12677/PM.2023.137225

参考文献