Advances in Applied Mathematics
Vol.
09
No.
09
(
2020
), Article ID:
37856
,
7
pages
10.12677/AAM.2020.99191
Cahn-Hilliard-Oono方程在三维空间中的适定性
段 芳,蒲志林,黄 梅
四川师范大学数学科学学院,四川 成都
收稿日期:2020年9月1日;录用日期:2020年9月19日;发布日期:2020年9月27日
摘要
考虑Cahn-Hilliard-Oono方程在三维空间中的柯西问题。通过对经典方程添加 项( ),更好的分析系统的长程相互作用,首先证明了方程在 上是局部可解的,进一步得到解的整体适定性和解半群的耗散性。
关键词
Cahn-Hilliard方程,无界区域,整体适定性
Well-Posedness of the Cahn-Hilliard-Oono Equation in Three-Dimensional Space
Fang Duan, Zhilin Pu, Mei Huang
College of Mathematical Sciences, Sichuan Normal University, Chengdu Sichuan
Received: Sep. 1st, 2020; accepted: Sep. 19th, 2020; published: Sep. 27th, 2020
ABSTRACT
The Cauchy problem of Cahn-Hilliard-Oono in three-dimensional space is considered. By adding a term to the classical equation, we can better analyze the long-range interaction of the system. Firstly, it is proved that the equation is locally solvable on , and then the global well posedness of the solution and the dissipation of the semigroup are obtained.
Keywords:Cahn-Hilliard Equation, Unbounded Domains, Global Well-Posedness
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
我们将研究以下方程在 上的整体适定性:
(1)
其中 充分小。后面再给出关于f的假设。
当 和 都为零时,(1)为经典Cahn-Hilliard方程 [1] (简称CH方程)。特别的,当 , 时,我们称(1)为Cahn-Hilliard-Oono方程(简称CHO方程),用于描述二元合金诱导反应中超导体的生成。通过引入耗散项,可以简化方程动力行为分析的复杂度。短程作用使系统同质化,另一方面长程作用阻碍了系统形成过大的结构,这种竞争形成了I型超导体(参见 [2] 和 [3] )。
对CH方程的研究结果很多,Cholewa和Dlotko [4] 证明方程在 上有耗散半群,同时在其子集上存在全局吸引子。Elliott和郑 [5] 研究了方程局部解的存在性问题。Cholewa和Rodriguezbernal [6] 在全空间H1上找到全局吸引子。还有关于CH方程及其变形的研究 [7] [8] [9]。
然而对CHO方程的研究相对较少,Miranville [10] 对CHO方程的初边值问题进行了研究,并讨论了在有限维中其吸引子的渐进行为。Giorgini,Grasselli和Miranville [11] 研究了CHO方程在Neumann边界上的情况,证明了方程在二维和三维空间中全局吸引子的存在性。Porta和Grasselli [12] 引入自由能函数,得到了CHO方程在无通量边界条件下的适定性,以及有界吸收集和全局吸引子的存在性。然而在无界区域上的研究很少,Savostianov和Zelik [13] 证明了在三维全空间中,双曲形式CHO方程的能量空间是耗散的,以及方程存在光滑的全局吸引子。
我们对CHO方程进行小范围扰动,使得 成为可逆算子,利用Cholewa和Dlotko [14] 的扇算子理论,讨论CHO方程的柯西问题。
本文假设:f是 次多项式, 为其首项系数:
(2)
其中 , 为F首项系数,有 , 且 ,。
现给出两个主要结果:
定理1. 在满足本文假设条件下,方程(1)在 中有局部解,即任取初值 ,,都存在唯一的解 ,同时满足:
其中 。
定理2. 在满足定理1的条件下,方程(1)在 中全局可解,任取 ,都存在唯一的解 ,定义与方程(1)对应的半群 :
本文在第二章利用扇形算子理论证明了方程(1)在 中有局部解,第三章先给出能量泛函和 上的先验估计,再证明了方程的整体适定性以及解半群的耗散性。
我们将 简记为 ,文中的常数C值,按具体需要取值。
2. 预备知识和解的存在性
为Banach空间,A是扇形算子,且 ,算子 ,若满足:
则称 为分数幂算子 [14]。
回顾柯西问题:
(3)
在 中,对于任意取定的 ,存在非增函数 ,使得 为局部Lipschitz连续的。
定义1. 设 是Banach空间, 是 中的扇形正算子, 是局部Lipschitz连续的, ,对任意时刻 ,方程(3)都成立,同时有: ,则称u是局部 解,更进一步,若 趋于正无穷,则是全局解。
定理3. [14] 在定义1的条件下,若方程(3)在 上局部可解,同时 满足次线性增长条件:
则方程(3)在 上是全局可解的,且可定义解半群:
下面给出定理1的证明,由假设条件易得,对任意 :
(4)
同理有:
(5)
(6)
我们希望相空间等价于 ,记 , ( , ),从而 是X中的扇形正算子,方程(1)变成以下形式:
(7)
由局部解定义可知,还需验证非线性项 在 上的局部Lipschitz连续性。任取有界集 ,同时取 ,因算子 是线性同构的,可以推出:
(8)
对不等号右边进行估计,存在常数λ:
容易看到:
再利用Hölder不等式:
(9)
其中 。
由以上结果,定理1证明完毕,同时可以得到柯西积分法则:
3. 整体适定性
以下我们得到解的能量估计,先给出能量泛函:
(10)
定理4. 在本文假设条件下,方程(1)在其存在区间上的解满足:
证:对(10)求导,由本文假设条件可知:
容易得到:
(11)
由(6),(10)可改写为:
(12)
我们得到:
将(1)与 作内积,可以推出:
(13)
利用式(5)和(12),得到上式的最后一项小于常数 。
再利用式(4)以及Hölder不等式:
(14)
由G-N不等式 [16] 和 [17]:
代入式(14)有:
由Young不等式:
(15)
利用Sobolev嵌入定理和Grönwall不等式,得到:
(16)
有:
到此定理4证明完毕。
容易看出,在空间 上u的能量估计对时间而言是一致的,我们可以把局部 解延展成为全局解。由定理3,我们还要验证 的次线性性质。类似于(9):
因此,定理2证明完毕。
我们将说明以下式子是方程(1)的Lyapunov函数,更准确来说: 有:
(17)
取合适的常数 ,有:
(18)
已经证到方程(1)全局解的存在性,则下面的估计成立:
更进一步, 关于时间t是非增的:
其中 ,,同时可以看到:若 为常数,由上式可知, ,因此 。综上:
推论1. 1) L下有界,在 上是连续;2) 对任意 ,若 为常数,那么 是一个不动点;3) 对任意的 函数 是非増的,当 时,有 。
下面我们讨论方程(1)的定常解。容易得到 有界集其轨道是有界的:
定理5. 在定理3的条件下,存在常数 ,有界集 ,存在 ,有
记 是方程的一个弱解, ,有:
将上式与 做内积,类似于式(13),得到:
定理6. [18] 设Y为度量空间, 是Y上的梯度函数,对任意的有界集 ,存在t,使得 是有界的,定常解集合 是有界的当且仅当 是点耗散的。
可以看到,式(17)是方程(1)的一个Lyapunov函数,而且方程在 上的定常解集合是有界的,根据Raugel的研究,(1)能够在 上生成一个梯度系统 [18]。同时我们已经证明了方程在 上的整体适定性,由定理6可知,定常解集合其有界性,保证了全局解对应的半群在 上是点耗散的。
文章引用
段 芳,蒲志林,黄 梅. Cahn-Hilliard-Oono方程在三维空间中的适定性
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