关于分块矩阵相似性的探讨 On the Similarity of Block Matrix

doi:10.12677/AAM.2021.104120

Advances in Applied Mathematics
Vol. 10 No. 04 ( 2021 ), Article ID: 41892 , 6 pages
10.12677/AAM.2021.104120

关于分块矩阵相似性的探讨

程宇

●How to Cite this Article

保定学院数据科学与软件工程学院，河北保定

收稿日期：2021年3月22日；录用日期：2021年4月11日；发布日期：2021年4月27日

摘要

本文在已有文献的基础上，给出了当 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 为对合矩阵时，分块矩阵 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 相似的充分必要条件是 $A_{1} C + C B_{1} = 0$ 。当 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 为k-幂零矩阵时，上述两分块矩阵相似的充分条件是 $r [\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}] = r [\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}] = r (A_{1}) + r (B_{1})$ 和 $A_{1} C + C B_{1} = 0$ 。最后对 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 为k-幂零矩阵进行了进一步讨论。

关键词

矩阵的相似，对合矩阵，幂零矩阵，Roth定理

On the Similarity of Block Matrix

Yu Cheng

School of Data Science and Software Engineering, Baoding University, Baoding Hebei

Received: Mar. 22^nd, 2021; accepted: Apr. 11^th, 2021; published: Apr. 27^th, 2021

ABSTRACT

This article, on the basis of the existing literature, applying Roth’s theory, proves that when the $A_{1}$ and $B_{1}$ are involutory matrix, the necessary and sufficient condition of similar partitioned of matrix $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ and $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ is $A_{1} C + C B_{1} = 0$ . When $A_{1}$ and $B_{1}$ are k-nilpotent matrix, the sufficient condition for the similarity of the two-block matrices is $r [\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}] = r [\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}] = r (A_{1}) + r (B_{1})$ and $A_{1} C + C B_{1} = 0$ . At last, we further discuss that $A_{1}$ and $B_{1}$ are k-nilpotent matrix.

Keywords:Matrix’s Similarity, Involutory Matrix, Nilpotent Matrix, Roth’s Theory

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

分块矩阵 $[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A & C \\ 0 & B \end{matrix}]$ 不仅具有相似的结构，而且具有许多相似的特征。Roth定理 [1] 给出上述两矩阵相似的充分必要条件是矩阵方程

$A X - X B = C$ (1)

有解，而文 [1] 中又进一步给出了当A、B分别为幂等矩阵和2-幂零矩阵时，上述两分块矩阵相似的充要条件 [1]。本文讨论并分析得出了当A、B都为对合矩阵时，上述两分块矩阵相似的充要条件，及当A、B都为k-幂零矩阵时，上述两分块矩阵相似的充分条件。文中r表示矩阵的秩， $R (A)$ 表示矩阵的列空间。

2. 预备知识

2.1. 对合矩阵的定义及性质

设n阶方阵A满足 $A^{2} = E$ ，则称方阵A为对合矩阵 [2]。

本文用到的对合矩阵的性质

1) 对合矩阵 $A^{- 1} = A$ ；

2) 若方阵A为对合矩阵，则A的特征值为1或−1 [2]；

3) 对合矩阵的相似矩阵仍为对合矩阵；

4) 若n阶方阵A为对合矩阵，则A与对角矩阵 $[\begin{matrix} E_{r} & 0 \\ 0 & - E_{n - r} \end{matrix}]$ 相似，其中 $0 \leq r \leq n$ 为A的特征值1的重数 [2]。

2.2. 幂零矩阵的定义及性质

设A为数域P上的n阶方阵，若存在正整数m，使得 $A^{m - 1} \neq 0, A^{m} = 0$ ，则称A是幂零指数为m的幂零矩阵，记为m-幂零矩阵 [3]。当m = 2, 3时，A为2-幂零矩阵和3-幂零矩阵 [3]。本文用到的幂零矩阵的性质

1) A是幂零矩阵，则A不可逆；

2) A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0 [3]；

3) 与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵，矩阵的幂零指数相同，并且相似于严格的上三角矩阵，进而幂零矩阵A都有以下分解形式：

$A = P^{- 1} [\begin{matrix} 0 & A_{1} \\ 0 & 0 \end{matrix}] P$ ，其中 $A_{1}$ 是方阵；

4) 对k-幂零矩阵，若当标准型中幂零若当块的阶数小于等于k。

3. 主要结果

引理1 [1] (Roth定理)分块矩阵 $[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A & C \\ 0 & B \end{matrix}]$ 相似的一个充要条件是矩阵方程 $A X - X B = C$ 有解。

定理1 已知方阵 $A, B, C, D$ ，其中A与B相似，C与D相似，则 $[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & C \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} B & 0 \\ 0 & D \end{matrix}]$ 相似。

由相似定义即可证明。

引理2 [1] 设A和B都为幂等矩阵，则分块矩阵 $[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A & C \\ 0 & B \end{matrix}]$ 相似的充分必要条件是 $A C + C B = C$ 。

定理2 设 $A_{1}$ 和 $B_{1}$ 均为对合矩阵，则分块矩阵 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 相似的充分必要条件为 $A_{1} C + C B_{1} = 0$ 。

证明：必要性：因为 $A_{1}^{2} = E_{m}$ ， $B_{1}^{2} = E_{n}$ ，所以 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 为对合矩阵，又因为分块矩阵 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 相似， $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 也为对合矩阵，

$[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{1}^{2} & A_{1} C + C B_{1} \\ 0 & B_{1}^{2} \end{matrix}]$ ,

即

$A_{1} C + C B_{1} = 0$ .

充分性：因为 $A_{1} C + C B_{1} = 0$ ，所以 $A_{1}^{2} C + A_{1} C B_{1} = 0$ ， $A_{1}^{2} = E_{m}$ ，从而 $A_{1} C B_{1} = - C$ ，取 $X_{0} = \frac{1}{2} A_{1} C$ ，则 $X_{0}$ 为方程(1)的解。由Roth定理知分块矩阵 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 相似。

引理3 [1] 设A和B是两个2-幂零矩阵，则分块矩阵 $[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A & C \\ 0 & B \end{matrix}]$ 相似的充分必要条件为 $r [\begin{matrix} A & C \\ 0 & B \end{matrix}] = r (A) + r (B)$ 和 $A C + C B = 0$ 。

现将此结论做以下推广。

定理3 设 $A_{1}$ 和 $B_{1}$ 均为k-幂零矩阵，若满足 $r [\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}] = r [\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}] = r (A_{1}) + r (B_{1})$ ，且 $A_{1} C + C B_{1} = 0$ ，则分块矩阵 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 相似。

证明：因为 $A_{1}$ 和 $B_{1}$ 均为k-幂零矩阵，由k-幂零矩阵的性质可得

$A_{1} = P^{- 1} [\begin{matrix} 0 & A_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] P$ , $B_{1} = Q [\begin{matrix} 0 & B_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] Q^{- 1}$ , (2)

其中 $A_{11}$ 和 $B_{11}$ 是方阵。

代入(1)式得

$P^{- 1} [\begin{matrix} 0 & A_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] P X - X Q [\begin{matrix} 0 & B_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] Q^{- 1} = C$ , (3)

$[\begin{matrix} 0 & A_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] P X Q - P X Q [\begin{matrix} 0 & B_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] = P C Q$ , (4)

此式是关于X的矩阵方程，下证明其有解。

设

$P X Q = [\begin{matrix} Y_{1} & Y_{2} \\ Y_{3} & Y_{4} \end{matrix}]$ , $P C Q = [\begin{matrix} M_{1} & M_{2} \\ M_{3} & M_{4} \end{matrix}]$ , (5)

展开(4)式得

$[\begin{matrix} A_{11} Y_{3} & A_{11} Y_{4} \\ 0 & 0 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 0 & Y_{1} B_{11} \\ 0 & Y_{3} B_{11} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{11} Y_{3} & A_{11} Y_{4} - Y_{1} B_{11} \\ 0 & - Y_{3} B_{11} \end{matrix}] = [\begin{matrix} M_{1} & M_{2} \\ M_{3} & M_{4} \end{matrix}]$ , (6)

即

$A_{11} Y_{3} = M_{1}$ , $Y_{3} B_{11} = - M_{4}$ , $M_{3} = 0$ , $A_{11} Y_{4} - Y_{1} B_{11} = M_{2}$ ,(7)

又据文 [4] 中的结论，矩阵方程 $A_{11} Y_{3} = M_{1}$ 和 $Y_{3} B_{11} = - M_{4}$ 有一个公共解 $Y_{3}$ 的充分必要条件是

$R (M_{1}) \subseteq R (A_{11})$ , $R (M_{4}^{T}) \subseteq R (B_{11}^{T})$ , $A_{11} M_{4} + M_{1} B_{11} = 0$ , (8)

(即 $M_{1}$ 的列向量可由 $A_{11}$ 的列向量组线性表出， $M_{4}$ 的行向量可由 $B_{11}$ 的行向量组线性表出，且 $A_{11} M_{4} + M_{1} B_{11} = 0$ ) [4]。而文 [5] 中给出了矩阵方程 $A_{11} Y_{4} - Y_{1} B_{11} = M_{2}$ 有解的充分必要条件为

$r [\begin{matrix} A_{11} & M_{2} \\ 0 & B_{11} \end{matrix}] = r (A_{11}) + r (B_{11})$ [5], (9)

因为 $M_{3} = 0$ ，(8)式前两个包含关系和(9)式一起等价于矩阵秩的方程如下：

$r [\begin{matrix} 0 & A_{11} & M_{1} & M_{2} \\ 0 & 0 & M_{3} & M_{4} \\ 0 & 0 & 0 & B_{11} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = r [\begin{matrix} 0 & A_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] + r [\begin{matrix} 0 & B_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ , (10)

因 $M_{1}$ 的列向量可由 $A_{11}$ 的列向量组线性表出， $M_{4}$ 的行向量可由 $B_{11}$ 的行向量组线性表出，所以由矩阵的初等变换即可得(10)式。又对(10)做分块矩阵的初等变换，给其左乘分块矩阵 $[\begin{matrix} P^{- 1} & 0 \\ 0 & Q \end{matrix}]$ ，右乘分块矩阵 $[\begin{matrix} P & 0 \\ 0 & Q^{- 1} \end{matrix}]$ ，即化为 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ ，故(10)等价于

$r [\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}] = r (A_{1}) + r (B_{1})$ . (11)

另外， $A_{11} M_{4} + M_{1} B_{11} = 0$ 等价于

$[\begin{matrix} 0 & A_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} M_{1} & M_{2} \\ M_{3} & M_{4} \end{matrix}] + [\begin{matrix} M_{1} & M_{2} \\ M_{3} & M_{4} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & B_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] = 0$ , (12)

由(2)、(4)及(5)得

$P^{- 1} [\begin{matrix} 0 & A_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] P C + C Q [\begin{matrix} 0 & B_{11} \\ 0 & 0 \end{matrix}] Q^{- 1} = 0$ , (13)

即

$A_{1} C + C B_{1} = 0$ . (14)

综上所述在(11)和(14)的情况下，矩阵方程(4)有解，即矩阵方程(1)有解，故 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 相似。

定理3仅给出了 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 相似的充分条件，其逆命题并不成立。若 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 与 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 相似，因 $A_{1}$ 和 $B_{1}$ 均为k-幂零矩阵，故 $[\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 也为k-幂零矩阵。

从而 $[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]$ 为k-幂零矩阵。所以

${[\begin{matrix} A_{1} & C \\ 0 & B_{1} \end{matrix}]}^{k} = [\begin{matrix} A_{1}^{k} & \sum_{i = 0}^{k - 1} A_{1}^{i} C B_{1}^{k - 1 - i} \\ 0 & B_{1}^{k} \end{matrix}] = 0$ ,

又因为

$A_{1}^{k} = 0$ , $B_{1}^{k} = 0$ ,

故

$\sum_{i = 0}^{k - 1} A_{1}^{i} C B_{1}^{k - 1 - i} = 0$ .

当k为奇数时

$\begin{array}{l} C B_{1}^{k - 1} + A_{1} C B_{1}^{k - 2} + A_{1}^{2} C B_{1}^{k - 3} + \dots + A_{1}^{k - 2} C B_{1} + A_{1}^{k - 1} C \\ = C B_{1}^{k - 1} + A_{1} (C B_{1} + A_{1} C) B_{1}^{k - 3} + \dots + A_{1}^{k - 2} (C B_{1} + A_{1} C) = 0 \end{array}$ ;

当k为偶数时

$\begin{array}{l} C B_{1}^{k - 1} + A_{1} C B_{1}^{k - 2} + A_{1}^{2} C B_{1}^{k - 3} + \dots + A_{1}^{k - 2} C B_{1} + A_{1}^{k - 1} C \\ = (C B_{1} + A_{1} C) B_{1}^{k - 2} + \dots + A_{1}^{k - 2} (C B_{1} + A_{1} C) = 0 \end{array}$ .

由此可知， $A_{1} C + C B_{1} = 0$ 不是必要条件。

基金项目

河北省教育厅高等学校科学技术研究项目(Z2015009)。

文章引用

程宇. 关于分块矩阵相似性的探讨
On the Similarity of Block Matrix[J]. 应用数学进展, 2021, 10(04): 1109-1114. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.104120

参考文献

1. 程世珍. 两个分块矩阵相似性研究[J]. 数学的实践与认识, 2005, 35(3): 191-194.

2. 董庆华, 颜宁生. 对合矩阵的相似标准型与分解形式[J]. 邵阳学院学报(自然科学版), 2009, 6(4): 17-19.

3. 王萼芳. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.

4. Mitra, S.K. (1984) The Matrix Equations AX = C, XB = D. Linear Algebra and Its Applications, 59, 171-181. https://doi.org/10.1016/0024-3795(84)90166-6

5. Roth, R.E. (1952) The Equations AX-YB = C and AX-XB = C in Matrices. Proceedings of the AMS—American Mathematical Society, A3, 392-396. https://doi.org/10.2307/2031890

期刊菜单