模糊赋范线性空间的0-范数 0-Norm of Fuzzy Normed Linear Space

doi:10.12677/AAM.2023.126296

Advances in Applied Mathematics
Vol. 12 No. 06 ( 2023 ), Article ID: 67863 , 6 pages
10.12677/AAM.2023.126296

模糊赋范线性空间的0-范数

张入化，蒋浩

●How to Cite this Article

西华大学理学院，四川成都

收稿日期：2023年5月26日；录用日期：2023年6月21日；发布日期：2023年6月29日

摘要

本文基于T. Bag和S.K. Samanta于2003年建立的模糊赋范线性空间。它们定义的模糊范数所导出的α-范数集是关于α-单增的范数集族 ${{‖ \cdot ‖}_{α} : α \in (0, 1)}$ 。基于模糊范数与α-范数的联系，本文给出了模糊范数所导出的0-范数的概念，研究了0-范数是否是范数、0-范数与下确界范数的关系，同时研究了点列依0-范数收敛与依模糊范数收敛的关系。

关键词

模糊赋范线性空间，0-范数，0-范收敛，0-闭集

0-Norm of Fuzzy Normed Linear Space

Ruhua Zhang, Hao Jiang

School of Sciences, Xihua University, Chengdu Sichuan

Received: May 26^th, 2023; accepted: Jun. 21^st, 2023; published: Jun. 29^th, 2023

ABSTRACT

This paper is based on the fuzzy normed linear space established by T. Bag and S.K. Samanta in 2003. The α-norms set derived by their definition is an ascending family of norms ${{‖ \cdot ‖}_{α} : α \in (0, 1)}$ . Based on the connection between fuzzy norm and α-norm, we present the concept of 0-norm derived by the fuzzy norm. We study whether the 0-norm is the norm, and the relationship of 0-norm and lower boundary norm. And then we also study the relationship between the 0-norm convergence and the fuzzy norm convergence.

Keywords:Fuzzy Normed Linear Space, 0-Norm, Convergence of 0-Norm, 0-Closed Set

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

T. Bag与S.K. Samanta [1] 于2003年建立了模糊赋范线性空间。模糊赋范线性空间中的模糊范数所导出的α-范数是赋范线性空间中的经典范数。它们讨论了模糊范数与α-范数之间的有趣关系，得到了模糊范数收敛等价于α-范数 $(α \in (0, 1))$ 收敛的结果，进而研究了模糊赋范线性空间的一些性质，得到了在有限维线性空间中的模糊范数等价的结论。随后，T. Bag和S.K. Samanta [2] 给出模糊赋范空间中线性算子连续性、有界性的概念并研究模糊赋范线性空间的泛函特征。随后，许多学者研究了模糊赋范线性空间中的拓扑性质如模糊不动点问题、模糊连续映射等，进一步丰富发展了模糊泛函分析。模糊赋范空间的拓扑性质可参考文献 [3] [4] [5] [6] 。T. Bag与S.K. Samanta在模糊赋予范线性空间中所引入的α-范数，当 $α = 0$ 时，α-范数可能是不存在的。因此，我们在模糊赋范线性空间中，根据α-范数是上升集簇的性质，定义了0-范数的概念，并讨论了0-范数是否为范数、0-范数与下确界范数的关系以及模糊赋范线性空间点列的收敛性质。

2. 模糊赋范线性空间

定义1.1 [1] (模糊范数的定义)设X是线性空间，θ为其零元，N为 $X \times R$ 上的模糊子集。如果对 $\forall x, y \in X$ ， $c \in R$ ，有

(N1) $\forall t \leq 0$ 有 $N (x, t) = 0$ ；

(N2) $\forall t \in R$ 且 $t > 0$ ，有 $N (x, t) = 1$ 当且仅当 $x = θ$ ；

(N3) $\forall t \in R$ 且 $t > 0$ ，如果 $c \neq 0$ ，有 ${‖ x ‖}_{α} = \land {t > 0 : N (x, t) \geq α}$ ；

(N4) $\forall s, t \in R$ ，有

$N (x + y, s + t) \geq \min {N (x, s), N (y, t)}$ ；

(N5) $N (x, \cdot)$ 为R上的不减函数且 $\lim_{t \to + \infty} N (x, t) = 1$ 。

则称N为X上的模糊范数， $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间。

注 [2] ： $N (x, t)$ 表示x的范数是实数t的真值。

例1.2 [1] 设 $(X, ‖ \cdot ‖)$ 为赋范线性空间，对 $\forall x \in X$ ， $\forall t \in R$ ，定义：

$N (x, t) = {\begin{cases} \frac{t}{t + ‖ x ‖}, t > 0 \\ 0, t \leq 0 \end{cases}$

则N为X上的模糊范数。

设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间， $α \in (0, 1)$ ，对 $\forall x \in X$ ，令

${‖ x ‖}_{α} = \land {t > 0 : N (x, t) \geq α} .$ (1.1)

T. Bag与S.K. Samanta [1] 给出了 ${‖ \cdot ‖}_{α}$ 为X上范数的一个条件。

引理1.3 [1] 设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间，若模糊范数N满足以下条件：

(N6) $\forall t > 0$ ，有 $N (x, t) > 0$ ，则 $x = θ$ 。

则由(1.1)式定义的 ${‖ \cdot ‖}_{α} (α \in (0, 1))$ 为X上的范数，且 ${{‖ \cdot ‖}_{α} : α \in (0, 1)}$ 为X上的单增范数簇。称 ${‖ \cdot ‖}_{α}$ 为由模糊范数N导出的α-范数。

引理1.4 [1] 设X是线性空间， ${{‖ \cdot ‖}_{α} : α \in (0, 1)}$ 为X上一单增范数簇，令

$N^{'} : X \times R \to [0, 1],$

$N^{'} (x, t) = {\begin{cases} \underset{α \in (0, 1)}{\lor} {α : {‖ x ‖}_{α} \leq t} (x, t) \neq (θ, 0) \\ 0 (x, t) \neq (θ, 0) \end{cases},$ (1.2)

则 $N^{'}$ 为X上的模糊范数。

定理1.5设X是线性空间， ${{‖ \cdot ‖}_{α} : α \in (0, 1)}$ 为X上一单增范数簇，且对 $\forall x \in X$ ， $x \neq θ$ ， $\exists t_{x} > 0$ ，使得 $\forall α \in (0, 1)$ ，都有 ${‖ x ‖}_{α} > t_{x}$ 。对 $x \in X$ ，令

$N^{'} (x, t) = {\begin{cases} \underset{α \in (0, 1)}{\lor} {α : {‖ x ‖}_{α} \leq t} (x, t) \neq (θ, 0) \\ 0 (x, t) \neq (θ, 0) \end{cases},$

则 $N^{'}$ 为X上的模糊范数，且 $N^{'}$ 满足(N6)条件。

证：由定引理1.4知， $N^{'}$ 为X上的模糊范数。

下证： $N^{'}$ 满足(N6)条件。

事实上，若存在 $x \in X$ ，对 $\forall t > 0$ ，有 $N^{'} (x, t) > 0$ ，但 $x \neq θ$ 。由定理条件和 $N^{'}$ 的定义知，

$N^{'} (x, t_{x}) = 0 ({α \in (0, 1) : {‖ x ‖}_{α} \leq t_{x}} = φ),$

这与已知的 $N^{'} (x, t) > 0$ 矛盾，所以 $x = θ$ 。

引理1.6 [1] 设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间且模糊范数N满足条件(N6)。若模糊范数N还满足条件：

(N7) $\forall x \in X (x \neq θ)$ ， $N (x, \cdot)$ 关于t连续且在 ${t : 0 < N (x, t) < 1}$ 上严格递增。

则 $\forall x \in X (\neq θ)$ ， $\forall α \in (0, 1)$ ，有 $N (x, {‖ x ‖}_{α}) = α$ 。

下面介绍模糊赋范线性空间中点列模糊收敛的概念及其与α-范数收敛的关系。

定义1.7 [1] 设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间， ${x_{n}}$ 是X中的点列，如果 $\exists x_{0} \in X$ ，使得

$N (x_{n} - x_{0}, t) = 1, \forall t > 0.$

则称 ${x_{n}}$ 模糊收敛且模糊收敛到 $x_{0}$ ，记为 $x_{n} \overset{N}{\to} x_{0}$ ， $x_{0}$ 称为 ${x_{n}}$ 的模糊极限。

注 [1] ：模糊极限如果存在，那么极限唯一。

定义1.8 [4] 设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间，A为X的子集。

1) A中所有模糊收敛点列的模糊极限所成之集称为A的导集，记为 $A^{'}$ 。

2) 若 $A^{'} \subseteq A$ ，则称A为模糊闭集。

3) 称 $A \cup A^{'}$ 为A的模糊闭包，记为 $\bar{A}$ 。

定义1.9设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间， ${x_{n}}$ 是X中的点列， $α \in [0, 1)$ ，如果 $\exists x_{0} \in Χ$ ，使得

$lim_{n \to \infty} {‖ x_{n} - x_{0} ‖}_{α} = 0.$

则称 ${x_{n}}$ 依α-范收敛且α-范收敛到 $x_{0}$ ，记为 $x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{α}}{\to} x_{0}$ ， $x_{0}$ 称为 ${x_{n}}$ 的α-极限。

引理1.10 [1] 设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间，模糊范数N满足条件(N6)和(N7)， ${x_{n}}$ 是X中的点列， $x_{0} \in X$ 。则 $x_{n} \overset{N}{\to} x_{0}$ 当且仅当对 $\forall α \in (0, 1)$ ，有 $x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{α}}{\to} x_{0}$ 。

从T. Bag与S.K. Samanta [1] 对引理1.1.6的证明过程知下引理成立。

引理1.11 [1] 设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间， ${x_{n}}$ 是X中的点列， $x_{0} \in X$ 。若 $x_{n} \overset{N}{\to} x_{0}$ ，那么对 $\forall α \in (0, 1)$ ，有 $x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{α}}{\to} x_{0}$ 。

3. 模糊赋范线性空间的0-范数

本节，我们在模糊赋范线性空间中引入0-范数的概念，并讨论其相关性质。

设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间且模糊范数满足(N6)条件，对 $x \in X$ ，

${‖ x ‖}_{0} = \land {t > 0 : N (x, t) > 0}$ (2.1)

由模糊范数的定义知， ${t > 0 : N (x, t) > 0} \neq ϕ$ ，所以 ${‖ x ‖}_{0}$ 有定义且 ${‖ x ‖}_{0} \geq 0$ 。下面验证 ${‖ x ‖}_{0}$ 满足范数的三个条件：

1) 正定性：

若 ${‖ x ‖}_{0} = 0$ ，则

$\land {t > 0 : N (x, t) > 0} = 0 \Rightarrow \forall t > 0, N (x, t) > 0.$

由条件(N6)知，

$x = θ,$

若 $x = θ$ ，则

$\forall t > 0, N (x, t) = 1 \Rightarrow \land {t > 0 : N (x, t) > 0} = 0.$

2) 齐次性：

$\forall x \in X$ ， $c \in R$ 。

当 $c \neq 0$ 时，

$\begin{matrix} {‖ c x ‖}_{0} = \land {t > 0 : N (c x, t) > 0} \\ = \land {t > 0 : N (x, \frac{t}{| c |}) > 0} \\ = \land {t > 0 : N (x, \frac{t}{| c |}) > 0} \\ = \land {| c | t > 0 : N (x, t) > 0} \\ = | c | \land {t > 0 : N (x, t) > 0} \\ = | c | {‖ x ‖}_{0} . \end{matrix}$

当 $c = 0$ 时，

${‖ 0 x ‖}_{0} = {‖ θ ‖}_{0} = 0 = 0 {‖ x ‖}_{0} = 0 {‖ x ‖}_{0} .$

3) 三角不等式：

对 $\forall x, y \in X$ ，

$\begin{matrix} {‖ x ‖}_{0} + {‖ y ‖}_{0} = \land {t > 0 : N (x, t) > 0} + \land {s > 0 : N (y, s) = 1} \\ = \land {t + s > 0 : N (x, t) > 0, N (y, s) > 0} \\ \overset{由 (N 4)}{\geq} \land {t + s > 0 : N (x + y, t + s) = 1} \\ \overset{由 (N 4)}{\geq} \land {t + s > 0 : N (x + y, t + s) = 1} \end{matrix}$

综上所述，0-范数是X上的范数。

从以上讨论知，下定理成立。

定理2.1设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间且模糊范数N满足(N6)条件，则由(2.1)式定义的 ${‖ \cdot ‖}_{0}$ 为X上的范数，称其为由模糊范数N导出的0-范数。

从 ${‖ \cdot ‖}_{α} (α \in (0, 1))$ 及 ${‖ \cdot ‖}_{0}$ 的定义易知下述推论成立。

推论2.2设 $(X, N)$ 模糊赋范线性空间且模糊范数N满足(N6)条件， ${{‖ \cdot ‖}_{α} : α \in [0, 1)}$ 为X上一单增范数族。

设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间， $α \in (0, 1)$ ，由(1.1)式定义的 ${‖ \cdot ‖}_{α}$ 为X上范数。再由 ${‖ \cdot ‖}_{α}$ 的定义知， $\forall x \in X$ ， $x \neq θ$ ， ${‖ x ‖}_{α}$ 关于α在 $(0, 1)$ 上单增。故而 $m_{x} = \land {{‖ x ‖}_{α} : α \in (0, 1)}$ 存在，且 $m_{x} = \lim_{α \to 0^{+}} {‖ x ‖}_{α}$ 。若模糊范数N满足(N6)条件，则 $\forall x \in X$ ， $x \neq θ$ ， $\exists t_{x} > 0$ ，使得 $N (x, t_{x}) = 0$ ，从而 ${‖ x ‖}_{α} \geq t_{x} (\forall α \in (0, 1))$ 。故而 $m_{x} = \lim_{α \to 0^{+}} {‖ x ‖}_{α} \geq t_{x} > 0$ 。因此，若 $m_{x} = 0$ ，则必有 $x = θ$ 。从而易得如下结论。

定理2.3设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间且模糊范数N满足(N6)条件， ${‖ \cdot ‖}_{α}$ 是由(1.1.1)式导出的α-范数。对 $\forall x \in X$ ，令

$m_{x} = \underset{α \in (0, 1)}{\land} {‖ x ‖}_{α},$ (2.2)

则 $m_{x}$ 为X上的范数，且有 $m_{x} \leq {‖ x ‖}_{α} (\forall α \in (0, 1))$ ，称 $m_{x}$ 为X上的下确界范数。

定理2.4设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间，且模糊范数N满足(N6) (N7)条件，则对 $\forall x \in X$ ， $m_{x} = {‖ x ‖}_{0}$ 。

证明：对 $\forall x \in X$ ，

1) 若 $x = θ$ ，则 $m_{x} = 0 = {‖ x ‖}_{0}$ 。

2) 若 $x \neq θ$ ，则对 $\forall α \in (0, 1)$ ，由引理1.6知，

$N (x, {‖ x ‖}_{α}) = α .$

由 $N (x, \cdot)$ 关于t在R上连续且 $m_{x} = \lim_{α \to 0^{+}} {‖ x ‖}_{α}$ 知，

$N (x, m_{x}) = 0.$

又由于 ${‖ x ‖}_{0} > 0$ 且 $N (x, t) = 0 (\forall t < {‖ x ‖}_{0})$ ，再用 $N (x, \cdot)$ 关于t在R上连续得，

$N (x, {‖ x ‖}_{0}) = \lim_{t \to {‖ x ‖}_{0}^{-}} N (x, t) = 0.$

因此， $N (x, m_{x}) = N (x, {‖ x ‖}_{0}) = 0.$

若 ${‖ x ‖}_{0} < m_{x}$ ，则 $\exists t_{0} \in ({‖ x ‖}_{0}, m_{x})$ ，使得 $N (x, t_{0}) > 0$ 。故而

$N (x, t_{0}) > 0 = N (x, m_{x})$ ，

这与(N5) $N (x, \cdot)$ 关于t在R上不减矛盾。因此， ${‖ x ‖}_{0} = m_{x}$ 。

下述例子中，由模糊范数N所导出的α-范数 $(α \in [0, 1))$ 是范数，同时0-范数等于下确界范数也成立。

例2.5设 $(x, ‖ \cdot ‖)$ 是赋范线性空间，对 $\forall x \in X$ ， $α \in (0, 1)$ ，令

$N (x, t) = {\begin{matrix} \underset{α \in (0, 1)}{\lor} {α : (α + 1) {‖ x ‖}_{α} \leq t} & (x, t) \neq (θ, 0) \\ 0 & (x, t) = (θ, 0) \end{matrix},$

则N为X上的模糊范数，且模糊范数满足(N6) (N7)条件。

证明：由引理1.4知，N为X上的模糊范数，再由定理1.5知，模糊范数N满足(N6)条件。不难发现，模糊范数N也满足(N7)条件。

下面讨论，模糊赋范线性空间中点列的按0-范数收敛与模糊收敛的关系。

定理2.6设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间，模糊范数N满足(N6)条件， ${x_{n}}$ 为X中点列， $x_{0} \in X$ 。若 $x_{n} \overset{N}{\to} x_{0}$ ，则 $x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{α}}{\to} x_{0}$ 。

证：由引理1.11知， $\forall x \in X \Rightarrow x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{α}}{\to} x_{0} (α \in (0, 1))$ 。再由 ${‖ \cdot ‖}_{0}$ 的定义知，

对 $α \in (0, 1)$ ，有 ${‖ \cdot ‖}_{0} \leq {‖ \cdot ‖}_{α}$ 。因此，若 $x_{n} \overset{N}{\to} x_{0}$ ，则 $x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{α}}{\to} x_{0}$ 。

定理2.7设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间，模糊范数N满足(N6)条件，对 $\forall 0 \leq α < β < 1$ ，α-闭集是β-闭集。

证：设集合 $A \subseteq X$ 是α-闭集，则，对任意点列 ${x_{n}} \subseteq A, x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{α}}{\to} x_{0}$ ，则 $x_{0} \in A$ 。

对任意点列 ${x_{n}} \subseteq A$ ，如果 $x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{β}}{\to} x_{0}$ ，那么， $x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{α}}{\to} x_{0}$ 。

因此， $x_{0} \in A$ 。即是α-闭集是β-闭集。

推论2.8设 $(X, N)$ 为模糊赋范线性空间，模糊范数N满足(N6)条件，那么0-闭集是模糊闭集。

证：设集合A是 $(X, N)$ 的任意0-闭集，对 $\forall {u_{n}} \subset A$ ，如果 $\exists u_{0} \in X$ ，使得 $u_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{0}}{\to} u_{0}$ ，那么 $u_{0} \in A$ 。

在模糊赋范线性空间中，若 $x_{0} \in {A^{'}}_{1}$ ，则 $\exists {x_{n}} \subset A$ ，使得 $x_{n} \overset{N}{\to} x_{0}$ 。

由定理2.6知： $x_{n} \overset{N}{\to} x_{0} \Rightarrow u_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{0}}{\to} u_{0}$ 。

因此， $x_{0} \in A$ 。再由 $x_{0}$ 的任意性知 ${A^{'}}_{0} \subset A$ ，所以A是模糊闭集。

4. 总结

本文以T. Bag和S.K. Samanta于2003年提出的模糊范数为研究对象，定义了0-范数的概念，探究了0-范数与下确界范数的关系，讨论了模糊赋范线性空间的点列性质。得到了0-范数是范数且等于下确界范数、点列模糊收敛那么0-范收敛等结论。并且验证了模糊赋范线性空间中0-范数是范数且等于下确界范数是存在的。下一步我们将结合逼近理论与经典宽度理论，研究模糊赋范线性空间在0-范数框架下的逼近特征。

致谢

我要感谢我的导师，从本文的撰写到定稿，都给予了我极大的支持。

文章引用

张入化,蒋浩. 模糊赋范线性空间的0-范数
0-Norm of Fuzzy Normed Linear Space[J]. 应用数学进展, 2023, 12(06): 2945-2950. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.126296

参考文献

1. Bag, T. and Samanta, S.K. (2003) Finite Dimensional Fuzzy Normed Linear Spaces. The Journal of Fuzzy Mathematics, 11, 687-705.

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4. Sadeqi, I. and Kia, F.S. (2009) Some Fixed Point Theorems in Fuzzy Reflexive Banach Spaces. Chaos, Solitons & Fractals, 41, 2606-2612. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2008.09.050

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6. Nădăban S. (2015) Fuzzy Continuous Mappings in Fuzzy Normed Linear Spaces. Special Issue on Fuzzy Sets and Applications, 10, 834-842. https://doi.org/10.15837/ijccc.2015.6.2074

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