Pure Mathematics
Vol.
14
No.
02
(
2024
), Article ID:
82059
,
16
pages
10.12677/PM.2024.142076
速度有旋的无磁阻抗轴对称Hall-MHD系统的正则性判别准则
杨美鲜
南京信息工程大学数学与统计学院,江苏 南京
收稿日期:2023年12月19日;录用日期:2024年1月11日;发布日期:2024年2月29日
摘要
本文研究速度有旋的无磁阻抗轴对称Hall-MHD系统的正则性判别准则。我们证明了:如果磁场的旋度分量满足一个Beale-Kato-Majda型准则,且速度的水平旋度分量满足一个Prodi-Serrin型准则时,系统的强解可以光滑地延拓到可能的爆破时间之外。
关键词
无磁阻抗,Hall-MHD系统,轴对称,正则性判别准则
On Regularity Criteria of Non-Resistive Axially Symmetric Hall-MHD System with a Non-Vanishing Swirl Component of Velocity
Meixian Yang
School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing Jiangsu
Received: Dec. 19th, 2023; accepted: Jan. 11th, 2024; published: Feb. 29th, 2024
ABSTRACT
In this paper, we consider the regularity criteria for the non-resistive axially symmetric Hall-MHD system whose swirl component of velocity is non-trivial. We show that if the swirl component of the magnetic field satisfies a Beale-Kato-Majda-type criterion, and the swirl component of the velocity satisfies a Prodi-Serrin-type criterion, then the strong solution can smoothly extend beyond a possible blow-up time.
Keywords:Non-Resistive, Hall-MHD System, Axially Symmetric, Regularity Criteria
Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
1.1. 研究背景与意义
磁流体动力学(简称MHD)主要研究等离子体等导流体在电磁场作用下的运动规律,其理论广泛应用于航空航天等工程领域中。与经典的MHD系统相比,Hall-MHD系统可以用于描述等离子体、恒星形成、太阳耀斑、中子星中的磁重联现象(见 [1] [2] [3] )。但Hall效应项是一个包含未知函数二阶导数的非线性项,这让Hall-MHD系统比经典的MHD系统更加复杂。
近年来,学者们对Hall-MHD系统的适定性和正则性做了很多研究。值得一提的是,Chae-Degond-Liu [4] 建立了弱解的全局存在性和Sobolev空间
的光滑解的局部适定性。随后,Chae-Wan-Wu [5] 证明了具有分数阶磁扩散的Hall-MHD方程的局部适性。Benvenutti-Ferreira [6] 证明了
强解的局部适定性。Dai [7] 改进了
空间的局部适定性理论。更多大初值解的正则性准则,以及小初值解的全局适定性和渐近性在 [8] [9] [10] [11] [12] 中可以找到。最近,Li-Pan [13] 证明了一类无磁阻抗和热扩散率的三维轴对称MHD-Boussinesq系统,如果其磁场只包含水平旋度分量,则三维MHD-Boussinesq系统的轴对称强解可以光滑地延拓到可能的爆破时间
之外,当且仅当速度的水平旋度分量满足Prodi-Serrin型准则:
本文旨在运用类似的方法,得出无磁阻抗速度有旋的Hall-MHD系统在
空间的解的正则性判别准则。我们希望通过探索这些问题,为现代偏微分方程理论注入新的思维和元素,同时加深我们对流体动力学中物理现象的理解,为流体力学、实验物理学等领域建立严格的理论数学基础。
1.2. 主要工作
本文考虑三维无磁阻抗的Hall-MHD系统:
(1.1)
它描述了在磁场洛伦兹力和霍尔效应的双重作用下,不可压缩磁流体的运动规律以及相应磁场的变化规律。
其中
代表速度,
代表磁场,
代表压力。
分别表示恒定粘度、真空渗透率和霍尔效应的比值。不失一般性,我们在本文中假设
。
大部分的证明是在柱坐标
中进行的。对于
,令:
当
满足系统(1.1)时,我们称解
为系统(1.1)的一个轴对称解。其中,基向量
为
则系统(1.1)可重写为:
(1.2)
轴对称速度
的涡度
为:
其中
它们满足:
(1.3)
下面定义四个在证明主要定理时用到的量:
直接计算可知,它们满足如下方程组:
(1.4)
本文所使用的符号和约定如下:
等价于
,其中C是任意常数。我们用
来表示一个与
相关的正常数。对于
,我们规定
,其中
,为一个多重指标。
代表一般的带范数的勒贝格空间。
表示经典的Sobolev空间,
表示一般的齐次Sobolev空间,它们对应的范数和半范数如下:
其中,
且
。当
时,我们分别用
和
来代表
和
。对于任意Banach空间X,如果
,那么我们说
属于Banach空间
。
同时,将
简记为
。若一个函数f属于两个Banach空间
与
的交集,则将f的Yudovich-型范数表示为:
本文的主要结论如下:
定理1.1对任意
,令
为系统(1.1)的强解,假设初始值
是轴对称的,且满足
。如果
那么
在
时刻之前一直属于
,
,
。
推论1.2对任意
,令
为系统(1.1)的强解,假设初始值
是轴对称的,且满足
。如果
那么
在
时刻之前一直属于
,其中
,
。
1.3. 创新点与拓展的方向
创新点:关于Hall-MHD系统的研究结果有很多,然而无磁阻抗的Hall-MHD系统研究结果几乎没有。其主要原因是:对于无磁阻抗的Hall-MHD系统,不能像处理有磁阻尼的Hall-MHD系统那样利用耗散项
控制高阶非线性霍尔效应项
。即使是速度场
,系统(1.4)也会在有限时间内爆破。为了解决这一困难,我们在之前研究无磁阻抗无旋系统的论文 [14] [15] 中,引入了磁场量相关量
与速度场相关量
,并对
所组成的系统进行能量估计。然而,对于无磁阻抗有旋的Hall-MHD系统,其初始速度的旋度分量不为0,从而
与
也不为零,因此不能像无旋系统那样仅利用
的系统进行能量估计。为此,本文额外引入速度场相关量
,对
所组成的系统进行能量估计,最终给出系统(1.4)的解的正则性判别准则。
拓展的方向:本文给出了无磁阻抗的Hall-MHD系统在Sobolev空间
的正则性判别条件,但Hall-MHD系统在Sobolev空间
的全局适定性问题仍未解决。此外,无磁阻抗的Hall-MHD系统在更低阶的Sobolev空间中的正则性判别准则,也是我们需要考虑的问题。
接下来,将在第2节中介绍一些必要的引理,主要结果的证明将在第3节和第4节中进行。
2. 准备工作
在本节中,我们将列出一些基本估计和不等式,它们将在本文剩余部分中经常用到。第一个是Sobolev-Hardy不等式:
引理2.1 (Sobolev-Hardy不等式) 设
且
,记
。对任意
,
,
,令
。则存在一个正常数
,使得对所有
,有
特别地,令
,
,
,
,并假设
,
。那么存在一个常数
使得对所有
,有
这里我们省略过程,感兴趣的读者参考 [16] 的引理2.4。接下来,我们说
可以由
的
边界控制。这个证明可以在 [14] 中的命题2.5找到。
引理2.2 定义
,对任意
,存在一个绝对常数
,使得:
下面是著名的Gagliardo-Nirenberg不等式(参见 [17] ):
引理2.3 (Gagliardo-Nirenberg) 固定
,同时
,
。假设
,且存在一个实数
使得
那么
并且存在一个常数
使得
以下两种情况除外:
1)
,
且
;(这种情况下需要假设,要么在无穷远处
,要么
对于
。)
2)
且
。(这种情况下需要另外假设
。)
下面的结果可以由Biot-Savart定律和Calderon-Zygmund奇异积分算子的
有界性得到,在 [18] 中有详细的证明。
引理2.4 令
为一个轴对称的散度为零的向量场,
,
,对任意
,我们有
以及
下面我们将介绍一个在研究Navier-Stokes方程中经常用到的时空插值。它通过在
和
之间插值
范数得到,证明过程可参考 [13] 引理2.2。
引理2.5 如果
,那么
,其中
,
。
下面的引理陈述了
-型空间中热流的标准最大正则性。可以在 [19] 的定理7.3中找到证明。
引理2.6 (热流的最大
正则性) 算子
定义为:
则对所有
,
且
,
到它本身是有界的,并且有:
(2.1)
最后,我们聚焦下列三重线性形式的估计,这在最后的证明中将经常用到。参阅 [15] 了解引理的证明过程。
引理2.7 令
,且
,
,那么有下面估计式:
3. 定理1.1的证明
我们将定理1.1的证明分解为以下步骤。首先,由引理3.1,我们得到了
空间中
的守恒定律。其次,我们需要分别处理
和J的方程,并结合两个方程来估计组合量
。下一步是做
的
估计。接下来,估计
和
。由涡度
的
估计和引理2.4的结果
,我们可以得到
的
估计。然后得到
和
的
有界性。最后,
的高阶估计完成了整个证明。
3.1. 基本能量估计
下面的引理是 [13] 的引理3.1和 [15] 的引理3.1的直接推论:
引理3.1 (基本能量估计) 令
为系统(1.2)的一个光滑解,我们有:
1) 对任意
,
,
(3.1)
2) 对于
且
,我们有
(3.2)
其中
只依赖于
。
3.2.
的
估计与
的
估计
3.2
3.2定义
,
。令
为系统 的唯一局部轴对称解,初值
,则下面
的
估计成立:
证明 我们从
开始估计,在方程(1.4)1两边乘以
,并在
上积分得到:
首先处理
,
和
。
最后一个等式是由
在边界上为0得到的。
接下来估计
。
上面结果是由Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式得到的。接下来,分别对
与
进行估计,从而得到
的估计。
这里我们运用了Hölder不等式,其中
。
情形1:
利用引理2.1,我们有:
其中,
,
。因此,通过Young不等式,
可以估计如下。
当
:
当
:
类似地,
可以估计如下:
s
情形2:
当
:
这里,第一个不等式使用了Hölder不等式和引理3.1,第二个和第三个不等式分别使用引理2.1和Young不等式。
当
:
类似地,我们得到
的估计。
当
:
当
:
由此可得:
当
:
那么,由引理3.1的方程(3.1)1,推导出
(3.3)
当
:
这等价于下面这个方程。
(3.4)
接下来,处理J的方程。类似于
方程的处理,我们将方程(1.4)乘以J,并对
积分,得到以下结果。
第一个不等式使用了下列计算结果。
所以我们得到了以下的不等式:
然后用与估计
相同的方法对J的方程进行处理。
当
:
接下来,我们使用Hölder不等式和引理2.2得到以下估计。
(3.5)
当
:
(3.6)
结合(3.3)与(3.5)很容易得到:
当
:
对上述两个方程应用Gronwall不等式和定理1.1中的条件
得到:
(3.7)
同样,结合(3.4)和(3.6),并用上述方法处理得到:
当
:
(3.8)
结合方程(3.7)和(3.8),命题3.2得证。
与 [15] 中对推论3.3的证明一样,根据引理2.2,并利用如下插值不等式:
我们可以得到命题3.2的如下推论。
3.3
3.3在与命题3.2相同的假设下,对于任何
,
满足:
3.3.
和
的
-有界性
接下来,我们的目标是推导出
和
的
估计。我们有以下结果:
3.4
3.4在与定理1.1相同的假设下,我们对
和
的估计如下
(3.9)
其中
是一个通用常数。
证明 (3.9) 1的第一个不等式在 [15] 中有详细的证明过程,我们不在这里展开。然后利用推论3.3以及判别条件
,可以导出(3.9)1的第二个不等式。
接下来,对(1.3)1执行标准
内积,推导出
在
上关于t积分,由
和
的
估计、
的
估计以及命题3.2中
的
估计推导出以下最终不等式
3.4. w的
估计与
的
估计
命题3.5 在与定理1.1相同的假设下,我们有
的
估计。
证明 在方程(1.3)2和(1.3)3分别做
能量估计,并将得到的结果式子相加,再利用Gronwall不等式即可得到:
(3.10)
这里
。对于(3.10)右边指数函数的内部,可以利用Gagliardo-Nirenberg插值不等式、引理2.4和Hölder不等式,以及估计式(3.10)2推导出:
因此,我们有
(3.11)
结合(3.9)2和(3.11)得到我们的结论。
3.6
3.6 在与定理1.1相同的条件下,我们有
的
估计。
首先回顾
的方程。
为了简化证明过程,我们把
拆成三个部分:
其中,
为初值为
的线性抛物型方程的解:
当
时,我们只需要考虑
和
,因为
已经满足证明所需的正则性。同时,具有齐次初始值的
和
分别满足
和
直接计算可知:
再由引理3.1中
的基本能量估计和命题3.4中
的估计,推导出
因此通过应用引理2.6中热流的最大规律性,
满足
对于
,通过引理2.5中的在
与
之间插值范数,得到
根据引理2.3,我们有
接下来,考虑引理3.1中
的基本能量估计,可以得到
我们有
根据引理2.6中的(2.1),显然有
然后是
的估计和
的估计
(3.12)
现在结合引理2.3和引理2.4得到
利用(3.12),即可得到命题3.6,因为:
3.5.
和
的
-有界性
3.7
3.7 与定理1.1相同的假设条件,则下列
与
的
估计在
上一致成立:
(3.13)
其中
是一个通用常数。
证明 首先,注意到
的
估计已经在引理3.1中得到,因此我们只需要关注剩下的两项
和
。对方程(1.2)4分别应用
,然后对得到的两个结果方程分别执行
能量估计,得到:
(3.14)
在方程(3.14)两边同时除以
,并注意到
,我们有
由此,通过Gronwall不等式,我们有以下估计:
上面的常数C与
无关。令
,我们得到(3.13)1。
对方程(1.4)3两边同时应用
,然后两边乘以
,并在
上积分,我们得到:
(3.15)
通过分部积分,
可以被估计如下:
把上述结果代入方程(3.15),然后应用Hölder不等式得到:
(3.16)
用同样的方法,对(1.4)3两边关于z求导,并做执行
估计,得到以下结果:
(3.17)
结合方程(3.16)和(3.17),在不等式两边同时除以
,我们可以得到:
注意到上述估计与
是一致的。利用Gronwall不等式,令
,即证引理。
3.6. 高阶估计
最后,我们推导出了系统(1.1)的高阶估计。我们通过联合系统(1.1)和
的能量估计,从而克服缺乏磁场阻尼所产生的困难。具体证明可参见 [15] 3.7节。我们在这里仅给出证明关键步骤:
(3.18)
对上面三个方程做
能量估计,有
(3.19)
利用引理2.7、Hölder不等式,对于
有
将
代入方程(3.19)得到
结合引理3.1的(3.1)和(3.2),并应用插值得出对全Sobolev范数的估计如下:
最后,由Gronwall不等式和命题3.6、命题3.7的结论,定理1.1得证。
4. 推论1.2的证明
由于
是张量
的一部分,我们可以得到
(4.1)
通过Biot-Savart定律,对于
都有:
(4.2)
结合方程(4.1)和(4.2),对于
有
这相当于原始爆破准则中
的情况。因此,我们可以得到
的爆破准则:
和
基金项目
江苏省研究生科研与实践创新计划项目(批准号:KYCX23_1290)。
文章引用
杨美鲜. 速度有旋的无磁阻抗轴对称Hall-MHD系统的正则性判别准则
On Regularity Criteria of Non-Resistive Axi-ally Symmetric Hall-MHD System with a Non-Vanishing Swirl Component of Velocity[J]. 理论数学, 2024, 14(02): 783-798. https://doi.org/10.12677/PM.2024.142076
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