西南石油大学理学院，四川 成都

收稿日期：2023年5月22日；录用日期：2023年6月23日；发布日期：2023年6月30日

摘要

本文研究了实希尔伯特空间上一类H单调变分包含组问题，并利用预解算子构造了求解该变分包含组的迭代算法，在适当的假设条件下，证明了算法的收敛性。

关键词

预解算子，H单调，变分包含

Solving a Class of H Monotonic Variational Inclusion System Problems Using the Resolvent Operator Method

Qiongyuan Li

School of Sciences of Southwest Petroleum University, Chengdu Sichuan

Received: May 22^nd, 2023; accepted: Jun. 23^rd, 2023; published: Jun. 30^th, 2023

ABSTRACT

In this paper, we study a class of H monotone variational inclusions in real Hilbert space, and construct an iterative algorithm for solving the system of variational inclusions by using resolvent operators. Under appropriate assumptions, the convergence of the algorithm is proved.

Keywords:Resolvent Operator, H Monotonicity, Variations Include

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

众所周知，变分不等式是研究经济、管理和工程中出现的各种网络均衡问题的有用工具 [1] - [6] 。因此，它引起了数学、物理学、经济学等领域大量研究人员的广泛关注。变分包含问题是变分不等式问题的一个有用且重要的推广。求解变分包含问题时，通常需要集值映射为极大单调的，相应的求解算法可以参考 [7] 。Fang和Huang [8] 提出了一种不同于极大单调的集值映射的另一种单调性-H单调。并且研究了H单调和极大单调之间的关系，并给出了其预解算子单值并且李普希兹的条件，并给出来了变分包含问题 $0\in A\left(x\right)+M\left(x\right)$ 的求解算法，其中 $A\left(x\right)$ 为H单调的集值映像， $H\left(x\right)$ 为单值映像，该变分包含问题可以作为本文研究的一个特例。此前研究变分包含组问题都是基于集值映像为极大单调的条件下，利用预解算子方法得到变分包含组问题的迭代算法。本文研究了一类变分包含组在H单调条件下的求解算法并给出来了变分包含组解存在唯一的条件。

2. 预备知识

在这篇文章中，如果没有特别说明，都记X为一实希尔伯特空间， $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 和 $\Vert \cdot \Vert$ 分别表示内积和范数。K为X上的一非空闭凸集。 $X\times X$ 上的范数取和范数，即 ${\Vert \cdot \Vert }_{K\times K}={\Vert \cdot \Vert }_K+{\Vert \cdot \Vert }_K$ 。

定义1.1 X为一实希尔伯特空间，单值映射 $T:X\times X\to X$ 和 $H:X\to X$ 。

i) H为强 $\alpha$ 单调的当且仅当

$\langle Hx-Hy,x-y\rangle \ge \alpha {\Vert x-y\Vert }^2$ ， $\forall x,y\in X$ ，其中 $\alpha >0$ 。

ii) H为L李普希兹连续的当且仅当

$\Vert Hx-Hy\Vert \le L\Vert x-y\Vert$ ， $\forall x,y\in X$ ，其中 $L>0$ 。

iii) T为关于第一变元L李普希兹连续的当且仅当

$\Vert T\left(x,-\right)-T\left(y,-\right)\Vert \le L\Vert x-y\Vert$ ， $\forall x,y\in X$ ，其中 $L>0$ 。

iv) H为严格单调的当且仅当

H为单调的且 $\langle Hx-Hy,x-y\rangle =0$ ，当且仅当 $x=y$ 。

v) T为关于第一变元依赖于H满足性质(h)当且仅当

$\langle T\left(x_1,-\right)-T\left(y_1,-\right),x_2-y_2\rangle \ge \beta \Vert x_1-x_2\Vert \Vert x_2-y_2\Vert$ ， $\forall x_1,y_1,x_2,y_2\in X$

定义1.2 集值映射 $M:X\to 2^X$

i) M为单调的当且仅当

$\langle u-v,x-y\rangle \ge 0$ ， $\forall x,y\in X$ ， $u\in Mx,v\in My$

ii) M为H单调的当且仅当M为单调的且对于任意的 $\lambda >0$ 有

$\left(H+\lambda M\right)X=X$

定义1.3 M为H单调的，预解算子 $R_{M,\lambda }^H:X\to X$ 被定义为

$R_{M,\lambda }^H\left(x\right)={\left(H+\lambda M\right)}^{-1}\left(x\right)$ ， $\forall x\in X$

定理1.1 若H为强 $\alpha$ 单调的，M为H单调的，则预解算子 $R_{M,\lambda }^H:X\to X$ 为单值的且 $1/\alpha$ 李普希兹连续的。

定理1.2 若H为严格单调的，M为H单调的， $A:X\to X$ 为一单值映射，则 $x^{*}$ 为变分包含 $0\in M\left(x\right)+A\left(x\right)$ 的解当且仅当

$x^{*}=R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x^{*}\right)-\lambda A\left(x^{*}\right)\right)$ ， $\forall \lambda >0$ 。

3. 主要内容

X为一实希尔伯特空间， $A,B:X\times X\to X$ 为单值映射， $M:X\to 2^X$ 为一H单调的集值映射。考虑如下变分包含组问题

$\{\begin{array}{l}0\in A\left(x,y\right)+M\left(x\right)\\ 0\in B\left(x,y\right)+M(\; y\; )\end{array}$

在定义1.3中所定义的预解算子 $R_{M,\lambda }^H$ 为单值的李普希兹连续的，我们利用这个性质构造出当集值映像 $M\left(x\right)$ 为H单调时的迭代算法。

算法2.1 任取 $x_0,y_0\in X$ ，序列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 由如下迭代格式产生

$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x_n\right)-\lambda A\left(x_n,y_n\right)\right)\\ y_{n+1}=R_{M,\lambda }^H\left(H\left(y_n\right)-\lambda A\left(x_n,y_n\right)\right)\end{array}$

下面两个定理分别说明了算法2.1中生成的迭代序列在不同条件下都收敛于该变分包含组问题的解，且此时解存在且唯一。

定理2.1 若H为强 $\alpha$ 单调且L李普希兹连续的，A为关于第一变元L₁李普希兹连续且关于第二变元L₂李普希兹连续的。B为关于第一变元L₃李普希兹连续且关于第二变元L₄李普希兹连续的。且满足

$\max \left\{\frac{L+\lambda L_1+\lambda L_3}{\alpha },\frac{L+\lambda L_2+\lambda L_4}{\alpha }\right\}<1$

若该变分包含组问题解存在，则算法2.1得到的序列收敛到该变分包含组的解。

证明： $\left(x^{*},y^{*}\right)$ 为该变分包含组问题的解则有

$\begin{array}{c}\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert =\Vert R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x_n\right)-\lambda A\left(x_n,y_n\right)\right)-R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x^{*}\right)-\lambda A\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert \\ \le \frac{1}{\alpha }\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)-\lambda \left(A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert \\ \le \frac{1}{\alpha }\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)\Vert +\frac{\lambda }{\alpha }\Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \\ \le \frac{1}{\alpha }\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)\Vert +\frac{\lambda }{\alpha }\Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x_n,y^{*}\right)\Vert +\frac{\lambda }{\alpha }\Vert A\left(x_n,y^{*}\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \\ \le \frac{L+\lambda L_1}{\alpha }\Vert x_n-x^{*}\Vert +\frac{\lambda L_2}{\alpha }\Vert y_n-y^{*}\Vert \end{array}$

同理可得

$\begin{array}{c}\Vert y_{n+1}-y^{*}\Vert =\Vert R_{M,\lambda }^H\left(H\left(y_n\right)-\lambda B\left(x_n,y_n\right)\right)-R_{M,\lambda }^H\left(H\left(y^{*}\right)-\lambda B\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert \\ \le \frac{\lambda L_3}{\alpha }\Vert x_n-x^{*}\Vert +\frac{L+\lambda L_4}{\alpha }\Vert y_n-y^{*}\Vert \end{array}$

于是有

$\begin{array}{c}\Vert \left(x_{n+1},y_{n+1}\right)-\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert =\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert +\Vert y_{n+1}-y^{*}\Vert \\ \le \frac{L+\lambda L_1+\lambda L_3}{\alpha }\Vert x_n-x^{*}\Vert +\frac{L+\lambda L_2+\lambda L_4}{\alpha }\Vert y_n-y^{*}\Vert \\ \le \max \left\{\frac{L+\lambda L_1+\lambda L_3}{\alpha },\frac{L+\lambda L_2+\lambda L_4}{\alpha }\right\}\left(\Vert x_n-x^{*}\Vert +\Vert y_n-y^{*}\Vert \right)\\ =\max \left\{\frac{L+\lambda L_1+\lambda L_3}{\alpha },\frac{L+\lambda L_2+\lambda L_4}{\alpha }\right\}\Vert \left(x_n,y_n\right)-\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \end{array}$

故而得证。

定理2.2 若H为强 $\alpha$ 单调且L李普希兹连续的，A为关于第一变元L₁李普希兹连续且关于第二变元L₂李普希兹连续的。B为关于第一变元L₃李普希兹连续且关于第二变元L₄李普希兹连续的。A为关于第一变元依赖于H满足性质(h)且常数为 ${\beta }_1$ 。A为关于第二变元依赖于H满足性质(h)且常数为 ${\beta }_2$ 。B为关于第一变元依赖于H满足性质(h)且常数为 ${\beta }_3$ 。B为关于第二变元依赖于H满足性质(h)且常数为 ${\beta }_4$ 。且满足 $M<1$ ，其中

$M=\max \left\{\frac{2\left(L^2+{\lambda }^2\left(L_1^2+L_3^2\right)-2\lambda {\beta }_1\right)}{{\alpha }^2},\frac{2\left(L^2+{\lambda }^2\left(L_2^2+L_4^2\right)-2\lambda {\beta }_3\right)}{{\alpha }^2},\frac{2{\lambda }^2\left(L_3{L}_4+L_1{L}_2\right)-2\lambda \left({\beta }_2+{\beta }_4\right)}{{\alpha }^2}\right\}$

若该变分包含组问题解存在，则算法2.1得到的序列收敛到该变分包含组的解。

证明： $\left(x^{*},y^{*}\right)$ 为该变分包含组问题的解则有

$\begin{array}{c}{\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert }^2={\Vert R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x_n\right)-\lambda A\left(x_n,y_n\right)\right)-R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x^{*}\right)-\lambda A\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert }^2\\ \le \frac{1}{{\alpha }^2}{\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)-\lambda \left(A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert }^2\\ =\frac{1}{{\alpha }^2}\left[{\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)\Vert }^2+{\lambda }^2{\Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert }^2\right]\\ -\frac{2\lambda }{{\alpha }^2}\langle H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right),A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\rangle \end{array}$

其中

$\begin{array}{l}\langle H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right),A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\rangle \\ =\langle H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right),A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y_n\right)\rangle +\langle H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right),A\left(x^{*},y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\rangle \\ \ge {\beta }_1{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+{\beta }_2\Vert x_n-x^{*}\Vert \Vert y_n-y^{*}\Vert \end{array}$

此外还有

$\begin{array}{c}\Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \le \Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x_n,y^{*}\right)\Vert +\Vert A\left(x_n,y^{*}\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \\ \le L_1\Vert x_n-x^{*}\Vert +L_2\Vert y_n-y^{*}\Vert \end{array}$

因此

$\begin{array}{c}{\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert }^2\le \frac{L^2}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{{\lambda }^2{L}_1^2}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{{\lambda }^2{L}_2^2}{{\alpha }^2}{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2+\frac{2{\lambda }^2{L}_1{L}_2}{{\alpha }^2}\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert \\ -\frac{2\lambda {\beta }_1}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2-\frac{2\lambda {\beta }_2}{{\alpha }^2}\Vert x_n-x^{*}\Vert \Vert y_n-y^{*}\Vert \\ =\frac{L^2+{\lambda }^2{L}_1^2-2\lambda {\beta }_1}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{{\lambda }^2{L}_2^2}{{\alpha }^2}{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2+\frac{2{\lambda }^2{L}_1{L}_2-2\lambda {\beta }_2}{{\alpha }^2}\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert \end{array}$

同理可得

${\Vert y_{n+1}-y^{*}\Vert }^2\le \frac{{\lambda }^2{L}_3^2}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{L^2+{\lambda }^2{L}_4^2-2\lambda {\beta }_3}{{\alpha }^2}{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2+\frac{2{\lambda }^2{L}_3{L}_4-2\lambda {\beta }_4}{{\alpha }^2}\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert$

因此

$\begin{array}{l}{\Vert \left(x_{n+1},y_{n+1}\right)-\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert }^2\le 2{\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert }^2+2{\Vert y_{n+1}-y^{*}\Vert }^2\\ \le \frac{2\left(L^2+{\lambda }^2{L}_1^2+{\lambda }^2{L}_3^2-2\lambda {\beta }_1\right)}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{2\left(L^2+{\lambda }^2{L}_2^2+{\lambda }^2{L}_4^2-2\lambda {\beta }_3\right)}{{\alpha }^2}{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2\\ +\frac{2{\lambda }^2\left(L_3{L}_4+L_1{L}_2\right)-2\lambda \left({\beta }_2+{\beta }_4\right)}{{\alpha }^2}2\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert \\ \le M{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+M{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2+2M\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert \\ =M{\left(\Vert x_n-x^{*}\Vert +\Vert y_n-y^{*}\Vert \right)}^2=M{\Vert \left(x_n,y_n\right)-\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert }^2\end{array}$

故而得证。

文章引用

黎穷远. 预解算子方法求解一类H单调变分包含组问题
Solving a Class of H Monotonic Variational Inclusion System Problems Using the Resolvent Operator Method[J]. 理论数学, 2023, 13(06): 1883-1887. https://doi.org/10.12677/PM.2023.136192

参考文献