辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连

收稿日期：2022年12月28日；录用日期：2023年1月24日；发布日期：2023年1月31日

摘要

本文主要考虑Toeplitz符号模式矩阵，研究3阶Toeplitz符号模式矩阵是否允许代数正。结合组合矩阵论和图论的理论，研究零对角的3阶Toeplitz符号模式矩阵，给出零对角的3阶Toeplitz符号模式矩阵允许代数正的等价条件。同时，给出一类允许代数正的3阶Toeplitz符号模式矩阵及其具体结构。

关键词

符号模式矩阵，Toeplitz符号模式矩阵，允许代数正

Some Studies on Toeplitz Sign Pattern Matrices

Xinru Zhao, Yan Tian^*

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Dec. 28^th, 2022; accepted: Jan. 24^th, 2023; published: Jan. 31^st, 2023

ABSTRACT

This paper mainly considers Toeplitz sign pattern matrices, whether Toeplitz sign pattern matrices with order 3 allow algebraic positivity is studied. Combining the theories of combinatorial matrix theory and graph theory, zero diagonal Toeplitz sign pattern matrices with order 3 were studied, the equivalent conditions of the zero diagonal Toeplitz sign pattern matrices with order 3 that allow algebraic positivity were given. At the same time, a class of Toeplitz sign pattern matrices with order 3 that allow algebraic positivity and their specific structure were given.

Keywords:Sign Pattern Matrix, Toeplitz Sign Pattern Matrix, Allow Algebraic Positivity

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Toeplitz矩阵是一类非常重要的矩阵，在应用数学、物理学、信号理论、统计理论等很多领域都有非常重要的应用。关于Toeplitz矩阵的研究是矩阵与计算数学理论的重要组成部分，也是应用数学领域中一个非常活跃和比较重要的研究方向。符号模式矩阵是组合矩阵论的一个重要问题，主要通过实矩阵的元素符号来研究实矩阵具有的仅与其元素的符号有关而与元素的数量大小无关的组合性质。1987年，C.A. Eschenbach [1] 引入并研究了符号模式矩阵允许和要求的某种性质。2016年，S. Kirkland [2] 等引入并研究了代数正矩阵，并且首次提出了符号模式矩阵要求代数正和允许代数正这两个重要问题。2019年，J.L. Abagat [3] 等讨论了3阶不可约符号模式矩阵，分别给出了符号模式矩阵要求代数正、允许代数正非要求代数正以及非允许代数正的刻画。同年，S. Das [4] 等研究了树符号模式矩阵允许代数正和要求代数正。2021年，S. Das [5] 给出了5阶树符号模式矩阵要求代数正的等价条件。2022年，A. Biswas [6] 等刻画了3阶对称符号模式矩阵要求代数正。同年，S. Das [7] 给出了符号模式矩阵允许代数正的充分条件。

本文受到上述文献的启发，考虑Toeplitz符号模式矩阵，借助组合矩阵论和图论的理论，借助Maple编程软件，给出阶数为3的零对角Toeplitz符号模式矩阵允许代数正的刻画，并且找到了一类允许代数正的3阶Toeplitz符号模式矩阵。

符号模式矩阵(简称符号模式)是指所有元素都来自集合 $A=\left\{+,-,0\right\}$ 的矩阵。任意实矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)$，以 $a_{ij}$ 的符号为元素构成的符号模式矩阵称为A的符号模式矩阵。 $Q\left(A\right)$ 表示与符号模式矩阵A具有相同符号的实矩阵构成的集合。设符号模式矩阵A具有性质P，若 $Q\left(A\right)$ 中每一个矩阵都具有性质P，则称符号模式矩阵A要求P。设符号模式矩阵A具有性质P，若 $Q\left(A\right)$ 中存在一个矩阵具有性质P，则称符号模式矩阵A允许P。正矩阵(非负矩阵) M是指所有元素都是正(非负)实数的矩阵，记作 $M>0\left(M\ge 0\right)$。矩阵(或符号模式矩阵) A的第i行j列元素用 $A_{\left(i,j\right)}$ 表示。本文研究的矩阵都是实方阵。

2. 预备知识

以下是本文用到的基本概念以及相关结论。

定义2.1 [2] 设A是实方阵，如果存在一个实系数多项式 $f\left(x\right)$，使得 $f\left(A\right)$ 是一个正矩阵，则A是代数正矩阵。

引理2.1 [2] 允许代数正的符号模式矩阵不可约。

引理2.2 [2] 设A是符号模式矩阵，若A允许代数正，则A的每行每列都包含+或每行每列都包含−。

引理2.3 [6] 若A是不可约的实矩阵，并且除对角线以外的元素都是非负或非正，则A是代数正矩阵。

引理2.4 [6] 设A是对称的实矩阵，则A是代数正矩阵当且仅当存在单特征值以及对应的正的右特征向量。

引理2.5 [4] 设A是符号模式矩阵，则A要求代数正当且仅当 $PA{P}^{{\rm T}}$ 要求代数正，其中P是置换符号模式矩阵。

引理2.6 [4] 设A是不可约符号模式矩阵，若A中除对角线以外的非零元符号都相同，则A是要求代数正。

定义2.2 设A是n阶矩阵(符号模式矩阵)，若存在置换矩阵P使得

$P^{{\rm T}}AP=\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ C& D\end{array}\right)$，

其中 $B,D$ 是阶数小于n的方阵，则称A可约。否则，称A不可约。

设V是有限集合， $E\subseteq V^2$，则集合对 $D=\left(V,E\right)$ 称为一个有向图。V中元素称为顶点，E中的元素称为弧 [8]。

设A是n阶矩阵(或符号模式矩阵)，则对于 $D\left(A\right)$ 中任意两个不同顶点 $i,j\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$，存在i到j的有向路径当且仅当

$A_{\left(i,i+1\right)}{A}_{\left(i+1,i+2\right)}\cdots A_{\left(j-1,j\right)}\ne 0$。

在n阶矩阵M的有向图 $D\left(M\right)$ 中，若对于任意两个顶点 $i,j\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$，存在从i到j和j到i的有向路径，则称顶点 $i,j$ 强连通。 $D\left(M\right)$ 强连通当且仅当对于 $D\left(M\right)$ 的任意两个顶点都强连通 [8]。

引理2.7 [8] 设M是n阶矩阵(符号模式矩阵)，则M不可约当且仅当它的有向图 $D\left(M\right)$ 强连通。

定理2.1 [3] 设A是n阶符号模式矩阵。若A不可约且 $B_A$ 可约，则A不是允许代数正。

3. 3阶Toeplitz符号模式矩阵

这部分主要考虑零对角的3阶Toeplitz符号模式矩阵，讨论其是否允许代数正。最后，找到一类允许代数正的3阶Toeplitz符号模式矩阵。

定义3.1 符号模式矩阵形如

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}\\ a_{-1}& a_0& a_1& \cdots & a_{n-2}\\ a_{-2}& a_{-1}& a_0& \cdots & a_{n-3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{-\left(n-1\right)}& a_{-\left(n-2\right)}& a_{-\left(n-3\right)}& \cdots & a_0\end{array}\right)$，

其中 $a_i\in \left\{+,-,0\right\}$，$\left(i=-\left(n-1\right),\cdots ,-1,0,1,\cdots ,n-1\right)$，称A是Toeplitz符号模式矩阵。

定义3.2 [6] 设A是符号模式矩阵，若A的对角线元素都是零，则A是零对角符号模式矩阵。

由参考文献 [6] 中推论4.7易得：

定理3.1设A是零对角的3阶对称的Toeplitz符号模式矩阵，则A允许代数正当且仅当A或−A置换相似于C中的符号模式矩阵

$C=\left\{\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ +& 0& +\\ 0& +& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& +\\ +& 0& +\\ +& +& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& -\\ +& 0& +\\ -& +& 0\end{array}\right)\right\}$。

证明:设A是零对角的3阶对称的Toeplitz符号模式矩阵，则

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& a_1& a_2\\ a_{-1}& 0& a_1\\ a_{-2}& a_{-1}& 0\end{array}\right)$。

必要性。设A允许代数正，则由引理2.1可知，A不可约。所以 $a_1{a}_{-2}\ne 0$ ；或 $a_1{a}_{-1}\ne 0$ ；或 $a_{-1}{a}_2\ne 0$。根据引理2.5，只需考虑 $a_1{a}_{-2}\ne 0$ 和 $a_1{a}_{-1}\ne 0$ 两种情况。再根据引理2.2以及A是对称符号模式矩阵，故A或−A置换相似于C中的符号模式矩阵。

充分性。1) 根据参考文献 [6] 中的推论4.7可知，C中的前两个符号模式矩阵是允许代数正。

2) 若A或−A置换相似于C中的第3个符号模式矩阵，则在 $Q\left(A\right)$ 中存在实矩阵，

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$，

有单特征值 $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}$ 以及对应的正的右特征向量

${\left(\frac{6\left(\sqrt{13}-3\right)}{\left(5-\sqrt{13}\right)\left(\sqrt{13}-1\right)},\frac{2\left(\sqrt{13}-2\right)}{5-\sqrt{13}},1\right)}^{{\rm T}}$。

根据引理2.4，M是代数正矩阵，因此C中第三个符号模式矩阵允许代数正。

下面主要考虑零对角的3阶非对称的Toeplitz符号模式矩阵，讨论其是否允许代数正。

定理3.2设A是零对角的3阶非对称的Toeplitz符号模式矩阵，则A允许代数正当且仅当A或−A置换相似于S中的符号模式矩阵

$\begin{array}{l}S=\{\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ 0& 0& +\\ +& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ +& 0& +\\ \text{+}& \text{+}& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& +\\ 0& 0& +\\ +& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ -& 0& +\\ +& -& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& -\\ 0& 0& +\\ +& 0& 0\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc}0& +& +\\ -& 0& +\\ +& -& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& -\\ +& 0& +\\ +& +& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& -\\ -& 0& +\\ +& -& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ +& 0& +\\ -& +& 0\end{array}\right)\}.\end{array}$

证明：设3阶零对角的Toeplitz符号模式矩阵为

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& a_1& a_2\\ a_{-1}& 0& a_1\\ a_{-2}& a_{-1}& 0\end{array}\right)$，

其中 $a_i\in \left\{+,-,0\right\}\left(i=-2,-1,1,2\right)$。

必要性。设A允许代数正，则由引理2.1可知，A不可约。所以 $a_1{a}_{-2}\ne 0$ ；或 $a_1{a}_{-1}\ne 0$ ；或 $a_{-1}{a}_2\ne 0$。根据引理2.5，只需考虑 $a_1{a}_{-2}\ne 0$ 和 $a_1{a}_{-1}\ne 0$ 两种情况。再根据引理2.2，A或−A置换相似于S中的符号模式矩阵。

充分性。1) 设A或−A置换相似于S中第1个符号模式矩阵

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ 0& 0& +\\ +& 0& 0\end{array}\right)$，

则 ${A^{\prime }}_{\left(1,2\right)}{A^{\prime }}_{\left(2,3\right)}{A^{\prime }}_{\left(3,1\right)}\ne 0$，所以 $D\left(A^{\prime }\right)$ 是强连通的。根据引理2.7， $A^{\prime }$ 不可约。

设A或−A置换相似于S中第2个符号模式矩阵

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ +& 0& +\\ +& +& 0\end{array}\right)$，

则 ${A^{\prime }}_{\left(1,2\right)}{A^{\prime }}_{\left(2,3\right)}{A^{\prime }}_{\left(3,1\right)}\ne 0$，所以 $D\left(A^{\prime }\right)$ 是强连通的。根据引理2.7， $A^{\prime }$ 不可约。

设A或−A置换相似于S中第3个符号模式矩阵

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}0& +& +\\ 0& 0& +\\ +& 0& 0\end{array}\right)$，

则 ${A^{\prime }}_{\left(1,2\right)}{A^{\prime }}_{\left(2,3\right)}{A^{\prime }}_{\left(3,1\right)}\ne 0$，所以 $D\left(A^{\prime }\right)$ 是强连通的。根据引理2.7， $A^{\prime }$ 不可约。

因此，根据引理2.6， $A^{\prime }$ 要求代数正，故S中第1个、第2个和第3个符号模式矩阵都是允许代数正。

2) 若A或−A置换相似于S中的第4个符号模式矩阵，则在 $Q\left(A\right)$ 中任取实矩阵

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& n_1& 0\\ -n_2& 0& n_3\\ n_4& -n_5& 0\end{array}\right)$，

其中 $n_i>0\left(i=1,2,3,4,5\right)$。那么，存在实系数多项式 $f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ 使得 $f\left(M\right)>0$，其中 $\alpha =\frac{n_1{n}_2+n_3{n}_5}{n_1{n}_3{n}_4}$，$\beta =1$，$\gamma$ 充分大。所以M是代数正，故S中第四个符号模式矩阵是要求代数正。因此，S中第四个符号模式矩阵是允许代数正。

3) 若A或−A置换相似于S中的第5个符号模式矩阵，则在 $Q\left(A\right)$ 中任取实矩阵

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& n_1& -n_2\\ 0& 0& n_3\\ n_4& 0& 0\end{array}\right)$，

其中 $n_i>0\left(i=1,2,3,4\right)$。那么，存在实系数多项式 $f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ 使得 $f\left(M\right)>0$，其中 $\alpha =\frac{n_2+1}{n_1{n}_3}$，$\beta =1$，$\gamma$ 充分大。所以M是代数正，故S中第五个符号模式矩阵是要求代数正。因此，S中第五个符号模式矩阵是允许代数正。

4) 若A或−A置换相似于S中的第6个符号模式矩阵，则在 $Q\left(A\right)$ 中存在实矩阵

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& \text{1}& \frac{\text{1}}{\text{4}}\\ -\sqrt{\text{2}}& 0& \text{1}\\ \text{1}& -\sqrt{\text{3}}& 0\end{array}\right)$，

那么，存在实系数多项式 $f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ 使得 $f\left(M\right)>0$，其中 $\alpha =2$，$\beta =1$，$\gamma$ 充分大，所以M是代数正，故S中第6个符号模式矩阵是允许代数正。

5) 若A或−A置换相似于S中的第7个符号模式矩阵，则在 $Q\left(A\right)$ 中存在实矩阵

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -\frac{1}{2}\\ 2& 0& 1\\ 1& 3& 0\end{array}\right)$，

那么，存在实系数多项式 $f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ 使得 $f\left(M\right)>0$，其中 $\alpha =\frac{7}{12}$，$\beta =1$，$\gamma$ 充分大，所以M是代数正，故S中第七个符号模式矩阵是允许代数正。

6) 若A或−A置换相似于S中的第8个符号模式矩阵，则在 $Q\left(A\right)$ 中任取实矩阵

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& n_1& -n_2\\ -n_3& 0& n_4\\ n_5& -n_6& 0\end{array}\right)$，

其中 $n_i>0\left(i=1,2,3,4,5,6\right)$。那么，存在实系数多项式 $f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ 使得 $f\left(M\right)>0$，其中 $\alpha =\frac{n_1{n}_3+n_2{n}_5+n_4{n}_6}{n_1{n}_4{n}_5}$，$\beta =1$，$\gamma$ 充分大。所以M是代数正，故S中第8个符号模式矩阵是要求代数正。因此，S中第8个符号模式矩阵是允许代数正。

7) 若A或−A置换相似于S中的第9个符号模式矩阵，则在 $Q\left(A\right)$ 中存在实矩阵

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 1& 0& 3\\ -\frac{1}{2}& 1& 0\end{array}\right)$，

那么，存在实系数多项式 $f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ 使得 $f\left(M\right)>0$，其中 $\alpha =\frac{7}{12}$，$\beta =1$，$\gamma$ 充分大，所以M是代数正，故S中第9个符号模式矩阵是允许代数正。

综上，根据定理3.1和定理3.2易得：

定理3.3设A是零对角的3阶Toeplitz符号模式矩阵，则A允许代数正当且仅当A或−A置换相似于 $S^{\prime }$ 中的符号模式矩阵

$\begin{array}{c}{S}^{\prime }=\{\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ +& 0& +\\ 0& +& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& +\\ +& 0& +\\ +& +& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ 0& 0& +\\ +& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ +& 0& +\\ \text{+}& \text{+}& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& +\\ 0& 0& +\\ +& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ -& 0& +\\ +& -& 0\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc}0& +& -\\ 0& 0& +\\ +& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& +\\ -& 0& +\\ +& -& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& -\\ +& 0& +\\ +& +& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& -\\ -& 0& +\\ +& -& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& 0\\ +& 0& +\\ -& +& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& +& -\\ +& 0& +\\ -& +& 0\end{array}\right)\}.\end{array}$

引理3.1 [3] 设A是符号模式矩阵，若A允许代数正，则下面符号模式矩阵也是允许代数正：

1) $A^{{\rm T}}$ ；3) $PA{P}^{{\rm T}}$，P是任意置换矩阵；

2) $-A$ ；4) $\beta A+\alpha I$，$\forall \alpha \in R$ 且 $\beta \in R\backslash \left\{0\right\}$。

根据定理3.3和引理3.1(4)易得：

定理3.4设A是3阶Toeplitz符号模式矩阵，则A允许代数正当且仅当A或−A置换相似于 $S^{\ast }$ 中的符号模式矩阵

$\begin{array}{l}{S}^{\ast }=\{\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& 0\\ +& \ast & +\\ 0& +& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& +\\ +& \ast & +\\ +& +& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& 0\\ 0& \ast & +\\ +& 0& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& 0\\ +& \ast & +\\ \text{+}& \text{+}& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& +\\ 0& \ast & +\\ +& 0& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& 0\\ -& \ast & +\\ +& -& \ast \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{ccc}\ast & +& -\\ 0& \ast & +\\ +& 0& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& +\\ -& \ast & +\\ +& -& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& -\\ +& \ast & +\\ +& +& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& -\\ -& \ast & +\\ +& -& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& 0\\ +& \ast & +\\ -& +& \ast \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\ast & +& -\\ +& \ast & +\\ -& +& \ast \end{array}\right)\}.\end{array}$

其中 $\ast \in \left\{+,-,0\right\}$。

4. 结论

针对Toeplitz矩阵的结构特点，本文考虑了Toeplitz符号模式矩阵，讨论零对角的3阶Toeplitz符号模式矩阵是否允许代数正，从而找到一类允许代数正的3阶Toeplitz符号模式矩阵。利用组合矩阵论以及图论的理论，借助Maple编程软件，这种研究方法对于其他符号模式矩阵允许代数正的研究在一定程度上提供了途径和方法，具有借鉴意义。

基金项目

辽宁省教育厅自然科学研究青年项目(LQ2020021)。

文章引用

赵心茹,田 岩. Toeplitz符号模式矩阵的一些研究
Some Studies on Toeplitz Sign Pattern Matrices[J]. 应用数学进展, 2023, 12(01): 332-338. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.121036

参考文献