Pure Mathematics
Vol.
13
No.
12
(
2023
), Article ID:
78618
,
6
pages
10.12677/PM.2023.1312385
动力系统中n重回复时间集的性质研究
王雅卿*,张思汇#
上海理工大学理学院,上海
收稿日期:2023年11月19日;录用日期:2023年12月20日;发布日期:2023年12月29日
摘要
设 是一个G-系统,其中X是紧致度量空间(度量为d), 是连续映射。基于Furtenberg族,我们利用动力系统的复杂性和回复性,证明了对任意 ,存在一个 的Borel子集X0,使得对任意 , 以及x的任意邻域U,集合 具有正上 -密度。
关键词
动力系统,回复时间集,Fϕlner序列
The Study of n Recurrent Set in Dynamical System
Yaqing Wang*, Sihui Zhang#
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
Received: Nov. 19th, 2023; accepted: Dec. 20th, 2023; published: Dec. 29th, 2023
ABSTRACT
Let be a G-system, where X is the compact metric space (metric d) and is a continuous map. Based on the Furtenberg family, we use the complexity and recurrence of the dynamical system to prove that for any , there exists an Borel subset X0 of such that for any , and any neighborhood U of x, the set has a positive upper -density.
Keywords:Dynamical System, Recurrent Set, Fϕlner Sequence
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
我们首先引进回复时间点集的概念。
定义1.1 [1] :对于一个动力系统 ,设 及 ,令x进入U的回复时间集为:
.
显然,如果x为回复点,那么它也是 的回复点。
2016年,Kwietniak [2] 等人在探索由van der Waerden定理和类似的组合问题的动态方法所产生的递归性质时,证明了:
定理1.2 设 是一个动力系统,如果在X上存在一个弱混合的、完全T-不变的Borel概率度量 ,则存在一个X的Borel子集 ,且 ,使得对于任意 , ,以及X的每个非空开子集U,集合
具有正上密度。
2020年,陈志景,黄煜 [3] 等人研究了具有正上 -密度的回复点,证明了所有正上 -密度的回复点的集合是Borel的,并且对于任意的 ,具有满的 -测度。
如果对于x的每一个开邻域U,存在 ,使集合 具有上正的 -密度,则称点 具有多重回复的上正 -密度。
基于上述研究,我们提出下述问题:
问题1 设 是一个G-系统, 是X上的一个弱混合的、完全T-不变的Borel概率度量,则存在一个X的Borel子集 ,且 ,使得对于任意 , ,以及X的每个非空开子集 ,集合
具有正上 -密度。
2. 定义与符号
下面介绍一些基本的符号和定义。
2.1. G-系统
G-系统 意味着X是紧致度量空间,G是可数离散无限可服从群, , 是满足以下条件的连续映射:
,对任意的 ,其中e是G的单位元。
,对任意的 ,
设 是一个G-系统,且 ,对于子集 ,用F-orbit表示X的轨道:
.
设 ,定义x的回复时间集为
.
如果对于x的任意开邻域U,集合 是无穷的,则点 称为回复点。如果对于y的每一个开邻域U, 是无穷的,则点 称为x的 极限点。X的所有 极限点的集合称为X的 -极限集,用 表示。如果存在一个点 ,使得y的 -极限集在X中是稠密的,则称系统 为可传递的,这样的点称为可传递点。
设 是紧致度量空间 上的可数离散无限可服从群, 是紧度量空间 上的拓扑动力系统(简称G-系统)。对于任意点 ,我们称 为x在G作用下的轨道。如果 ,对任意 和 ,我们将X的任意子集 称为G-不变集。在动力系统理论中,我们经常需要处理轨道Gx在X的给定区域E停留的概率。这促使我们考虑 中的各种密度。
2.2. Fϕlner序列
G的一个有限子集的序列 被称为G中的(左) Fϕlner序列,如果
, ,
其中 是G上的计数测度。显然,Fϕlner序列的每个子序列 也是G中的Fϕlner序列。众所周知,只要G是可服从的,就会存在Fϕlner序列 [4] 。
对于给定的Fϕlner序列 ,在G和一个子集 中,A相对于 的上、下密度分别由
和
定义。
如果 ,那么我们称这个值为A相对于 的密度。
现在,对于一个子集 和一个Fϕlner序列 ,轨道Gx在 中停留的概率可以用以下量来描述:
或者
当 -密度存在时。这促使我们考虑G-系统的以下概念: -actions [5] 、 -actions [6] 和 -semiflow [7] 。
定义2.1 对于Fϕlner序列 ,对于x的每一个开邻域
U, ,点 是循环的且上 -密度为正;如果对于x的每一个开邻域U, ,点 是循环的且下 -密度为正。
根据G-系统的逐点遍历定理 [8] ,不难看出,在遍历理论中存在“许多”点,其上 密度为正,其中Fϕlner序列 满足Shulman’s条件 [8] :
,对某些 以及任意 。
我们利用平均遍历定理证明了这一性质对任何不存在Shulman’s条件的Fϕlner序列都成立,并描述了具有正上 -密度的循环点集合的拓扑“大小”如下:
定理2.1 所有上 密度为正的循环点的集合是Borel的,并且对于任意的 具有满 测度。
在一定的合理条件下,从拓扑学的角度来看,上 -密度为正的循环点集很大。
定理2.2 如果存在一个完全支持的遍历G-不变测度 ,则所有上 -密度为正的循环点的集合为残差。
定理2.3 (G-系统的sigmund猜想)设 是G的一个双边Fϕlner序列。如果存在一个 ,满足性质( ) ,对于任意 和y的开邻域U,则所有具有性质( )的点的集合在X上是残差。
定义2.4 对于G中的 和Fϕlner序列 ,如果对任意 ,有 ,则X的闭子集C称为x的 -吸引中心。如果集合C不存在任何固有子集,它同样是x的 -吸引中心,则C称为x的最小 -吸引中心,并写为 。这里 表示X中C周围的 -邻域。
最近几年关于动力系统的研究,主要参考文献 [1] [6] [9] [10] [11] [12] [13] 。
3. 定理与证明
定理3:设 是一个拓扑动力系统,对任意,存在一个 的Borel子集 ,使得对任意 , 以及x的任意邻域U,集合
具有正上 -密度。
证明:对任意 , ,设 为所有点 的集合,使得存在一个x的开邻域U,且 ,满足
.
对任意 ,设
则在交点 上具有正 -密度的多回复点的集合,因此它是Borel集合,因为每个 都是X的开子集。
通过遍历分解定理,我们只需要证明遍历测度的结果成立。设,我们假定每个 都有满 测度。相反,假设对于某些 , ,则我们可以选择一个 且 Borel子集 。对于任意 ,令
,
则对于任意 , 也是Borel可测的,且 。
利用平均遍历定理,得到 的一个子序列 ,使得
,
在 -norm , , 。因此,根据法图引理,有
显然,对于任意 , ,因此存在某个 ,使得 。令
,
则 , 的上 -密度不小于 。
我们得到 ,矛盾!
因此对于每一个遍历测度 , , 。令
则对于每一个遍历测度 ,通过遍历分解同样成立。
因此 是需要的。
文章引用
王雅卿,张思汇. 动力系统中n重回复时间集的性质研究
The Study of n Recurrent Set in Dynamical System[J]. 理论数学, 2023, 13(12): 3730-3735. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1312385
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NOTES
*第一作者。
#通讯作者。