调和Fock空间上Toeplitz算子、Hankel算子和对偶Toeplitz算子间的乘积的有界性 Boundedness of the Products of Toeplitz Op-erators, Hankel Operators and Dual Toeplitz Operators on the Harmonic Fock Space

doi:10.12677/AAM.2023.121038

Advances in Applied Mathematics
Vol. 12 No. 01 ( 2023 ), Article ID: 60972 , 9 pages
10.12677/AAM.2023.121038

调和Fock空间上Toeplitz算子、Hankel算子和对偶Toeplitz算子间的乘积的有界性

阚晶晶

●How to Cite this Article

辽宁师范大学数学学院，辽宁大连

收稿日期：2022年12月28日；录用日期：2023年1月24日；发布日期：2023年1月31日

摘要

本文主要刻画调和Fock空间上两个Toeplitz算子的乘积 $T_{f} T_{\bar{g}}$ ，Hankel算子与Toeplitz算子的乘积 $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}}$ 和对偶Toeplitz算子与Hankel算子的乘积 $S_{g} H_{\bar{f}}$ 的有界性。

关键词

调和Fock空间，Toeplitz算子，Hankel算子，对偶Toeplitz算子，乘积，有界性

Boundedness of the Products of Toeplitz Operators, Hankel Operators and Dual Toeplitz Operators on the Harmonic Fock Space

Jingjing Kan

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Dec. 28^th, 2022; accepted: Jan. 24^th, 2023; published: Jan. 31^st, 2023

ABSTRACT

In this paper, we mainly characterize the boundedness of the product $T_{f} T_{\bar{g}}$ of two Toeplitz operators, the product $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}}$ of Hankel operator and Toeplitz operator, and the product $S_{g} H_{\bar{f}}$ of dual Toeplitz operator and Hankel operator on harmonic Fock space.

Keywords:Harmonic Fock Space, Toeplitz Operators, Hankel Operators, Dual Toeplitz Operators, Product, Boundedness

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Sarason问题在函数空间上的算子理论研究中具有十分重要的意义。随着对Sarason问题研究逐渐深入，许多学者将Sarason问题推广得到Sarason衍生问题：Toeplitz算子、Hankel算子和对偶Toeplitz算子之间的乘积的有界性问题。此外，Toeplitz算子，Hankel算子和对偶Toeplitz算子在除数学外等许多领域上也扮演着十分重要的角色。本文的主要研究内容是调和Fock空间上Toeplitz算子，Hankel算子和对偶Toeplitz算子间乘积的有界性。

令 $H (ℂ)$ 代表复平面 $ℂ$ 上全体整函数构成的空间，则

$F_{α}^{2} = L^{2} (ℂ, d λ_{α}) \cap H (ℂ),$

称为Fock空间。调和Fock空间 $F_{h}^{2}$ 是由 $L^{2} (ℂ, d λ_{α})$ 中所有调和函数构成的闭子空间，并且有 $F_{h}^{2} = F_{α}^{2} \oplus \bar{F_{0}^{2}}$ ，其中 $\bar{F_{0}^{2}} = {f \in F_{α}^{2} : f (0) = 0}$ ，即对任意 $f \in F_{h}^{2}$ ，存在 $f_{1} \in F_{α}^{2}$ ， $f_{2} \in F_{0}^{2}$ ，使得 $f = f_{1} + \bar{f_{2}}$ 。 $F_{h}^{2}$ 的再生核为 $R_{z} (w) = K_{z} (w) + \bar{K_{z} (w)} - 1$ ，正规化再生核为 $r_{z} (w) = \frac{K_{z} (w) + \bar{K_{z} (w)} - 1}{\sqrt{2 e^{α {| z |}^{2}} - 1}}$ ，正规正交基为 ${e_{n}}_{n = 0}^{+ \infty} \cup {\bar{e_{n}}}_{n = 1}^{+ \infty}$ ，其中 $e_{n} (z) = \sqrt{\frac{α^{n}}{n!}} z^{n}$ 。从 $L^{2} (ℂ, d λ_{α})$ 到 $F_{h}^{2}$ 的正交投影记为Q，Q也是积分算子，进一步可以表示为带核的积分算子

$Q f (z) = 〈 f, R_{z} 〉 = \int_{ℂ} f (w) \bar{R_{z} (w)} d λ_{α} (w), \forall f \in L^{2} (ℂ, d λ_{α}) .$ (1.1)

设D由 $F_{h}^{2}$ 中核函数的全体有限线性组合构成的线性子空间，明显D在 $F_{h}^{2}$ 中稠密 [1]。假设f是 $ℂ$ 上满足

$\int_{ℂ} | f (w) | {| R_{z} (w) |}^{2} d λ_{α} (w) < + \infty (z \in ℂ)$ (1.2)

的Lebesgue可测函数。根据(1.1)和Cauchy-Schwarz不等式，可以稠定义两个算子

$T_{f} : F_{h}^{2} \to F_{h}^{2}; H_{f} : F_{h}^{2} \to L^{2} (ℂ, d λ_{α}),$

$T_{f} (g) = Q (f g), H_{f} (g) = (I - Q) (f g),$

其中I是 $L^{2} (ℂ, d λ_{α})$ 上恒等算子， $g \in D$ ，分别称 $T_{f}$ 和 $H_{f}$ 为以函数f为符号的Toeplitz算子和Hankel算子。进而以函数f为符号的对偶Toeplitz算子 $S_{f} : {(F_{h}^{2})}^{⊥} \to {(F_{h}^{2})}^{⊥}$ 被定义为

$S_{f} (h) = (I - Q) (f h), h \in {(F_{h}^{2})}^{⊥} .$

Sarason [2] 提出这样一个问题：刻画Hardy空间中一对外函数f和g，使得 $T_{f} T_{\bar{g}}$ 在Hardy空间上有界，即Sarason乘积问题。由于内函数很容易被处理，所以在Hardy空间上，只需要考虑外函数。同样地，在Bergman空间上也提出类似问题：刻画Bergman空间中函数f和g，使得 $T_{f} T_{\bar{g}}$ 在Bergman空间上有界。目前，Sarason乘积问题已经受到了许多学者的关注，人们对Sarason乘积问题及其衍生问题的研究也取得了一定的成果。在Hardy空间中有许多结果，见 [3] [4] [5] [6]。在Bergman空间中，Sarason乘积问题及其衍生问题同样也是众多学者研究的重点问题，见 [7] [8] [9]。Fock空间上的Sarason乘积问题及其衍生问题得到了系统且完整的刻画，见 [10] [11] [12] [13]。

参考文献 [10] 中刻画了Fock空间上两个Toeplitz算子乘积 $T_{f} T_{\bar{g}}$ 有界当且仅当下列条件至少有一个成立：

a) f和g至少有一个等于零；

b) $f (z) = e^{α z \bar{a}}$ ， $g (z) = e^{- α z \bar{a}}$ 。

参考文献 [12] 中刻画了Fock空间上Hankel算子与Toeplitz算子的混合乘积 $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}}$ 有界等价于下列条件至少有一个成立：

a) f是常值函数；

b) $g = 0$ ；

c) f是线性多项式函数，g是非零常数；

d) 存在常数 $a, b, c, A$ 使得 $f (z) = e^{a z + b} + A$ ， $g (z) = e^{- a z + c}$ 。

本文在以上基础上研究调和Fock空间上两个Toeplitz算子的乘积 $T_{f} T_{\bar{g}}$ ，Hankel算子与Toeplitz算子的乘积 $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}}$ 和对偶Toeplitz算子与Hankel算子乘积 $S_{g} H_{\bar{f}}$ 的有界性。

2. 两个Toeplitz算子的乘积 $T_{f} T_{\bar{g}}$ 的有界性

这一部分研究了调和Fock空间 $F_{h}^{2}$ 上两个Toeplitz算子的乘积 $T_{f} T_{\bar{g}}$ 的有界性的充分条件。以下是一些准备工作。

引理2.1 [14] 设 $f \in F_{α}^{p}$ ，并且 $0 < p \leq \infty$ 。则

$| f (z) | \leq {‖ f ‖}_{p, α} e^{α {| a |}^{2} / 2}$

对于所有 $z \in ℂ$ 。

下面为本节的主要结果。

定理2.2 假设 $f, g \in F_{α}^{2}$ ，如果下列条件之一成立：

a) f和g至少有一个等于零；

b) $f (z) = e^{α z \bar{a}}$ , $g (z) = e^{- α z \bar{a}}$ 。

则 $T_{f} T_{\bar{g}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界。

证明：如果条件(a)成立，那么 $T_{f} T_{\bar{g}} = 0$ 。显然， $T_{f} T_{\bar{g}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界。

如果条件(b)成立，那么对任意 $h \in F_{h}^{2}$ ，有 $h = h_{1} + \bar{h_{2}}$ ，其中 $h_{1}, h_{2} \in F_{α}^{2}$ 并且 $h_{2} (0) = 0$ ，有

$\begin{matrix} T_{\bar{g}} h (z) = \int_{ℂ} \bar{g (w)} h (w) \bar{R_{z} (w)} d λ_{α} (w) \\ = \int_{ℂ} e^{- α \bar{w} a} [h_{1} (w) + \bar{h_{2} (w)}] [e^{α \bar{z} w} + e^{α z \bar{w}} - 1] d λ_{α} (w) . \end{matrix}$

由再生核性质和平均值定理，可以得到上述等式为

$T_{\bar{g}} h (z) = h_{1} (- a) e^{- α a \bar{z}} + h_{1} (z - a) - h_{1} (- a) + \bar{h_{2} (z)} e^{- α a \bar{z}} .$

记 ${(T_{\bar{g}} h)}_{1} (z) = h_{1} (z - a) - h_{1} (- a)$ 和 $\bar{{(T_{\bar{g}} h)}_{2} (z)} = h_{1} (- a) e^{- α a \bar{z}} + \bar{h_{2} (z)} e^{- α a \bar{z}}$ 。利用上述方法，同样可以得到

$\begin{matrix} T_{f} h (z) = \int_{ℂ} f (w) h (w) \bar{R_{z} (w)} d λ_{α} (w) \\ = \int_{ℂ} e^{α \bar{a} w} [h_{1} (w) + \bar{h_{2} (w)}] (e^{α \bar{z} w} + e^{α z \bar{w}} - 1) d λ_{α} (w) \\ = h_{1} (z) e^{α \bar{a} z} + \bar{h_{2} (z + a)} + \bar{h_{2} (a)} e^{α \bar{a} z} - \bar{h_{2} (a)} . \end{matrix}$

综合上述两个等式，由此得到

$\begin{matrix} T_{f} T_{\bar{g}} h (z) = {(T_{\bar{g}} h)}_{1} (z) e^{α \bar{a} z} + \bar{{(T_{\bar{g}} h)}_{2} (z + a)} + \bar{{(T_{\bar{g}} h)}_{2} (a)} e^{α \bar{a} z} - \bar{{(T_{\bar{g}} h)}_{2} (a)} \\ = [h_{1} (z - a) - h_{1} (- a) + h_{1} (- a) e^{- α {| a |}^{2}}] e^{α \bar{a} z} + \bar{h_{2} (z + a)} e^{- α a (\bar{z} + \bar{a})} \\ + h_{1} (- a) e^{- α {| a |}^{2}} (e^{- α a \bar{z}} - 1) + \bar{h_{2} (a)} e^{- α {| a |}^{2}} (e^{α \bar{a} z} - 1) . \end{matrix}$

为了方便，记

$λ_{1} (z) = [h_{1} (z - a) - h_{1} (- a) + h_{1} (- a) e^{- α {| a |}^{2}}] e^{α \bar{a} z} + \bar{h_{2} (a)} e^{- α {| a |}^{2}} (e^{α \bar{a} z} - 1) - h_{1} (- a) e^{- α {| a |}^{2}},$

$\bar{λ_{2} (z)} = \bar{h_{2} (z + a)} e^{- α a (\bar{z} + \bar{a})} + h_{1} (- a) e^{- α {| a |}^{2}} e^{- α a \bar{z}} .$

这样就有

$T_{f} T_{\bar{g}} h (z) = λ_{1} (z) + \bar{λ_{2} (z)} .$

进而

$‖ T_{f} T_{\bar{g}} h ‖ = ‖ λ_{1} ‖ + ‖ \bar{λ_{2}} ‖ .$

首先，估计 $‖ \bar{λ_{2}} ‖$ ，由三角不等式可以得到

$\begin{matrix} ‖ \bar{λ_{2}} ‖ = ‖ \bar{h_{2} (z + a)} e^{- α a (\bar{z} + \bar{a})} + h_{1} (- a) e^{- α {| a |}^{2}} e^{- α a \bar{z}} ‖ \\ \leq ‖ \bar{h_{2} (z + a)} e^{- α a (\bar{z} + \bar{a})} ‖ + | h_{1} (- a) | e^{- α {| a |}^{2}} ‖ e^{- α a \bar{z}} ‖ . \end{matrix}$

根据点赋值泛函的有界性得到

$| h_{1} (- a) | e^{- α {| a |}^{2}} ‖ e^{- α a \bar{z}} ‖ \leq ‖ h_{1} ‖ e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} e^{- α {| a |}^{2}} e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} = ‖ h_{1} ‖ \leq ‖ h ‖ .$ (2.1)

又由变量替换得到

$\begin{matrix} ‖ \bar{h_{2} (z + a)} e^{- α a (\bar{z} + \bar{a})} ‖ = {(\int_{ℂ} {| \bar{h_{2} (z + a)} e^{- α a (\bar{z} + \bar{a})} |}^{2} d λ_{α} (z))}^{1 / 2} \\ = {(\int_{ℂ} {| \bar{h_{2} (z)} |}^{2} e^{- α {| a |}^{2}} d λ_{α} (z))}^{1 / 2} \\ = e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h_{2} ‖ \\ \leq e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h ‖ . \end{matrix}$ (2.2)

由(2.1)和(2.2)估计，可以得到

$‖ \bar{λ_{2}} ‖ \leq ‖ h ‖ + e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h ‖ = (e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} + 1) ‖ h ‖ .$ (2.3)

其次，估计 $‖ λ_{1} ‖$ ，由三角不等式和数学归纳法得到

$\begin{matrix} ‖ λ_{1} ‖ = ‖ [h_{1} (z - a) - h_{1} (- a) + h_{1} (- a) e^{- α {| a |}^{2}}] e^{α \bar{a} z} \\ + \bar{h_{2} (a)} e^{- α {| a |}^{2}} (e^{α \bar{a} z} - 1) - h_{1} (- a) e^{- α {| a |}^{2}} ‖ \\ \leq ‖ h_{1} (z - a) e^{α \bar{a} z} ‖ + | h_{1} (- a) | e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} + | h_{1} (- a) | e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} \\ + | \bar{h_{2} (a)} | e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} + | \bar{h_{2} (a)} | e^{- α {| a |}^{2}} + | h_{1} (- a) | e^{- α {| a |}^{2}} . \end{matrix}$

根据变量替换有

$\begin{matrix} ‖ h_{1} (z - a) e^{α \bar{a} z} ‖ = {(\int_{ℂ} {| h_{1} (z - a) e^{α \bar{a} z} |}^{2} d λ_{α} (z))}^{1 / 2} \\ = e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} {(\int_{ℂ} {| h_{1} (z) |}^{2} d λ_{α} (z))}^{1 / 2} \\ = e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h_{1} ‖ \\ \leq e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h ‖ . \end{matrix}$ (2.4)

由点赋值泛函的有界性得到

$\begin{array}{l} | h_{1} (- a) | e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} \leq e^{α {| a |}^{2}} ‖ h_{1} ‖ \leq e^{α {| a |}^{2}} ‖ h ‖, \\ | h_{1} (- a) | e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} \leq ‖ h ‖, \\ | \bar{h_{2} (a)} | e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} \leq ‖ h ‖, \\ | \bar{h_{2} (a)} | e^{- α {| a |}^{2}} \leq e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h ‖, \\ | h_{1} (- a) | e^{- α {| a |}^{2}} \leq e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h ‖ . \end{array}$ (2.5)

结合(2.4)和(2.5)可以得到

$‖ λ_{1} ‖ \leq (e^{α {| a |}^{2}} + e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} + 3 e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} + 2) ‖ h ‖ .$ (2.6)

最后，根据(2.3)和(2.6)得到

$‖ T_{f} T_{\bar{g}} h ‖ \leq (e^{α {| a |}^{2}} + e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} + 3 e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} + 3) ‖ h ‖ = C ‖ h ‖ .$

其中， $C = e^{α {| a |}^{2}} + e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} + 3 e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} + 3$ 。

所以， $T_{f} T_{\bar{g}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界。

3. Hankel算子与Toeplitz算子的乘积 $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}}$ 的有界性

这部分介绍了调和Fock空间 $F_{h}^{2}$ 上Hankel算子与Toeplitz算子的乘积 $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}}$ 的有界性的充分条件。

引理3.1 [14] 若 $φ$ 为整函数，则 $H_{\bar{φ}}$ 为有界算子当且仅当 $φ$ 为线性解析多项式函数。

定理3.2 假设 $f, g \in F_{α}^{2}$ 。如果下列条件之一成立：

a) f是常值函数；

b) $g = 0$ ；

c) f是线性多项式函数，g是非零常数；

d) $f (z) = e^{α z \bar{a}}$ , $g (z) = e^{- α z \bar{a}}$ 。

则 $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界。

证明：如果f是常值函数，显然 $H_{\bar{f}} = 0$ ，进而 $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}} = 0$ 。

如果 $g = 0$ 。显然 $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}} = 0$ 。

如果f是线性多项式函数，那么对任意 $h \in F_{h}^{2}$ ，有 $h = h_{1} + \bar{h_{2}}$ ，其中 $h_{1}, h_{2} \in F_{α}^{2}$ 并且 $h_{2} (0) = 0$ ，有

$H_{\bar{f}} h = H_{\bar{f}} (h_{1} + \bar{h_{2}}) = H_{\bar{f}} h_{1} + H_{\bar{f}} \bar{h_{2}} = H_{\bar{f}} h_{1} .$ (3.1)

根据引理3.1和(3.1)得到 $H_{\bar{f}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界；又由g是非零常数，那么有 $T_{\bar{g}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界。因此， $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界。

如果 $f (z) = e^{α \bar{a} z}$ ， $g (z) = e^{- α \bar{a} z}$ ，那么对任意 $h \in F_{h}^{2}$ ，有 $h = h_{1} + \bar{h_{2}}$ ，其中 $h_{1}, h_{2} \in F_{α}^{2}$ 并且 $h_{2} (0) = 0$ ，有

由再生核性质和平均值定理，可以得到上述等式为

$T_{\bar{g}} h (z) = h_{1} (- a) e^{- α a \bar{z}} + h_{1} (z - a) - h_{1} (- a) + \bar{h_{2} (z)} e^{- α a \bar{z}} .$ (3.2)

进一步得到

$\begin{matrix} H_{\bar{f}} T_{\bar{g}} h (z) = (I - Q) (\bar{f} T_{\bar{g}} h) (z) \\ = \bar{f (z)} [h_{1} (- a) e^{- α a \bar{z}} + h_{1} (z - a) - h_{1} (- a) + \bar{h_{2} (z)} e^{- α a \bar{z}}] - Q (\bar{f} T_{\bar{g}} h) (z) . \end{matrix}$ (3.3)

再次根据再生核性质核和平均值定理以及(3.2)得到

$\begin{matrix} Q (\bar{f} T_{\bar{g}} h) (z) = \int_{ℂ} \bar{f (w)} T_{\bar{g}} h (w) \bar{R_{z} (w)} d λ_{α} (w) \\ = \int_{ℂ} e^{α a \bar{w}} [h_{1} (- a) e^{- α a \bar{w}} + h_{1} (w - a) - h_{1} (- a) + \bar{h_{2} (w)} e^{- α a \bar{w}}] (e^{α \bar{z} w} + e^{α z \bar{w}} - 1) d λ_{α} (w) \\ = h_{1} (- a) + h_{1} (0) e^{α \bar{z} a} + h_{1} (z) - h_{1} (0) - h_{1} (- a) e^{α \bar{z} a} + \bar{h_{2} (z)} . \end{matrix}$ (3.4)

将(3.4)代入(3.3)得到

$H_{\bar{f}} T_{\bar{g}} h (z) = h_{1} (z - a) e^{α a \bar{z}} + \bar{h_{2} (z)} - h_{1} (0) e^{α a \bar{z}} - h_{1} (z) + h_{1} (0) - h_{2} (z) .$

为了叙述简单，令

$\begin{array}{l} t_{1} (z) = - h_{1} (z) - h_{2} (z) + h_{1} (0) + \bar{h_{2} (z)} - h_{1} (0) e^{α a \bar{z}}, \\ t_{2} (z) = h_{1} (z - a) e^{α a \bar{z}} . \end{array}$

则有

$H_{\bar{f}} T_{\bar{g}} h (z) = t_{1} (z) + t_{2} (z) .$

进而

$‖ H_{\bar{f}} T_{\bar{g}} ‖ = ‖ t_{1} + t_{2} ‖ \leq ‖ t_{1} ‖ + ‖ t_{2} ‖ .$ (3.5)

首先，估计 $‖ t_{2} ‖$ ，由变量替换可以得到

$\begin{matrix} ‖ t_{2} ‖ = {(\int_{ℂ} {| h_{1} (z - a) e^{α a \bar{z}} |}^{2} d λ_{α} (z))}^{1 / 2} \\ = e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} {(\int_{ℂ} {| h_{1} (z) |}^{2} d λ_{α} (z))}^{1 / 2} \\ = e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h_{1} ‖ \leq e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h ‖ . \end{matrix}$ (3.6)

其次，估计 $‖ t_{1} ‖$ ，由再生核性质和点赋值泛函的有界性得到

$\begin{matrix} ‖ t_{1} ‖ = ‖ - h_{1} (z) - h_{2} (z) + h_{1} (0) + \bar{h_{2} (z)} - h_{1} (0) e^{α a \bar{z}} ‖ \\ \leq 2 ‖ h_{1} ‖ + 2 ‖ h_{2} ‖ + e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}} ‖ h_{1} ‖ \\ \leq (4 + e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}}) ‖ h ‖ . \end{matrix}$ (3.7)

最后，将(3.6)和(3.7)代入(3.5)得到

$‖ H_{\bar{f}} T_{\bar{g}} ‖ \leq (4 + 2 e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}}) ‖ h ‖ = M ‖ h ‖ .$

其中 $M = 4 + 2 e^{\frac{α}{2} {| a |}^{2}}$ 。

因此， $H_{\bar{f}} T_{\bar{g}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界。

4. 对偶Toeplitz算子与Hankel算子的乘积 $S_{g} H_{\bar{f}}$ 的有界性

这部分刻画以 $f (z) = e^{α z \bar{a}}$ 和 $g (z) = e^{- α z \bar{a}}$ 为符号函数的对偶Toeplitz算子与Hankel算子乘积的有界性。

定理4.1假设 $a \in ℂ$ ， $f (z) = e^{α z \bar{a}}$ 和 $g (z) = e^{- α z \bar{a}}$ ，那么 $S_{g} H_{\bar{f}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界。

证明：对任意 $h \in F_{h}^{2}$ ，有 $h = h_{1} + \bar{h_{2}}$ ，其中 $h_{1}, h_{2} \in F_{α}^{2}$ 并且 $h_{2} (0) = 0$ ，有

$H_{\bar{f}} h (z) = (I - Q) (\bar{f} h) (z) = \bar{f (z)} h (z) - Q (\bar{f} h) (z) .$

根据再生核性质和平均值定理有

$\begin{matrix} Q (\bar{f} h) (z) = \int_{ℂ} \bar{f (u)} h (u) \bar{R_{z} (u)} d λ_{α} (u) \\ = \int_{ℂ} e^{α \bar{a} z} [h_{1} (u) + \bar{h_{2} (u)}] (e^{α z \bar{u}} + e^{α \bar{z} u} - 1) d λ_{α} (u) \\ = h_{1} (z + a) + h_{1} (a) e^{α \bar{z} a} - h_{1} (a) + \bar{h_{2} (z)} e^{α \bar{z} a} . \end{matrix}$

进而

$H_{\bar{f}} h (z) = \bar{f (z)} h (z) - h_{1} (z + a) - h_{1} (a) e^{α \bar{z} a} + h_{1} (a) - \bar{h_{2} (z)} e^{α \bar{z} a},$

再进一步计算

$S_{g} H_{\bar{f}} h (z) = g (z) [\bar{f (z)} h (z) - h_{1} (z + a) - h_{1} (a) e^{α \bar{z} a} + h_{1} (a) - \bar{h_{2} (z)} e^{α \bar{z} a}] - Q (g H_{\bar{f}} h) (z),$

再次利用再生核性质和平均值定理得到

$\begin{matrix} Q (g H_{\bar{f}} h) (z) = \int_{ℂ} g (u) H_{\bar{f}} h (u) \bar{R_{z} (u)} d λ_{α} (u) \\ = \int_{ℂ} e^{- α \bar{a} u} [e^{α a \bar{u}} (h_{1} (u) + \bar{h_{2} (u)}) - h_{1} (u + a) - h_{1} (a) e^{α \bar{u} a} + h_{1} (a) - \bar{h_{2} (u)} e^{α a \bar{u}}] \\ \times (e^{α z \bar{u}} + e^{α \bar{z} u} - 1) d λ_{α} (u) \\ = (1 - e^{- α {| a |}^{2}}) e^{- α \bar{a} z} [h_{1} (a) - h_{1} (z + a)] . \end{matrix}$

那么

$S_{g} H_{\bar{f}} h (z) = e^{- α \bar{a} (z + a)} [h_{1} (a) - h_{1} (z + a)] .$

利用变量替换和再生核性质有

$\begin{matrix} {‖ S_{g} H_{\bar{f}} h ‖}^{2} = \int_{ℂ} {| e^{- α \bar{a} (z + a)} [h_{1} (a) - h_{1} (z + a)] |}^{2} d λ_{α} (z) \\ = e^{- α {| a |}^{2}} [{| h_{1} (a) |}^{2} - h_{1} (a) \bar{h_{1} (0)} - \bar{h_{1} (a)} h_{1} (0) + {‖ h_{1} ‖}^{2}] . \end{matrix}$

根据点赋值泛函的有界性，三角不等式以及数学归纳法得到

$\begin{matrix} {‖ S_{g} H_{\bar{f}} h ‖}^{2} \leq e^{- α {| a |}^{2}} [{| h_{1} (a) |}^{2} + | h_{1} (a) \bar{h_{1} (0)} | + | \bar{h_{1} (a)} h_{1} (0) | + {‖ h_{1} ‖}^{2}] \\ \leq (1 + 2 e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} + e^{- α {| a |}^{2}}) {‖ h_{1} ‖}^{2} \\ \leq (1 + 2 e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} + e^{- α {| a |}^{2}}) {‖ h ‖}^{2} \\ = M {‖ h ‖}^{2} . \end{matrix}$

其中 $M = 1 + 2 e^{- \frac{α}{2} {| a |}^{2}} + e^{- α {| a |}^{2}}$ 。

因此， $S_{g} H_{\bar{f}}$ 在 $F_{h}^{2}$ 上有界。

本文仅研究了调和Fock空间上Toeplitz算子，Hankel算子和对偶Toeplitz算子间乘积的有界性的充分条件。调和Fock空间结构比较复杂，研究充分必要条件是需要十分具有创新性的技术。在其它空间中，例如Fock空间，Bergman空间和Hardy空间上刻画Sarason乘积问题的衍生问题的充分必要条件也十分困难。

文章引用

阚晶晶. 调和Fock空间上Toeplitz算子、Hankel算子和对偶Toeplitz算子间的乘积的有界性
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