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PureMathematics
理
论
数
学
,2020,10(11),1007-1014
PublishedOnlineNovemb er2020inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2020.1011119
预
条
件
下
Gauss-Seidel
迭
代
法
的
收
敛
性
黄黄黄
江江江
玲玲玲
陕
西
师
范
大
学
,
数
学
与
信
息
科
学学
院
,
陕
西西
安
Email:1739124141qq.com
收
稿
日
期
:
2020
年
10
月
13
日
;
录
用
日
期
:
2020
年
11
月
4
日
;
发
布
日
期
:
2020
年
11
月
11
日
摘
要
假
设
在
线
性
方
程
组
𝐴𝑥
=
𝑏
的
系
数
矩
阵
𝐴
是
非
奇
异
𝑀
-
阵
,
通
过
比
较
预
条
件
下
Gauss-Seidel
迭
代
法
的迭
代
矩
阵
的
谱
半
径
与
经
典
Gauss-Seidel
迭
代
法
的迭
代
矩
阵
谱
半
径
大
小
,
得到
了
预
条
件
下
Gauss-Seidel
迭
代
法
的
收
敛
速
度
要
快
于
经
典的
Gauss-Seidel
迭
代
法
的
收
敛
速
度
,
从
而
得
出
该
预
条
件
处
理
的
有
效性
,
最
后
用
一
个
数
值
算
例
验
证
了
该
结
论
。
关
键
词
非
奇
异
M
矩
阵
,
Gauss-Seidel
迭
代
法
,
谱
半
径
,
预
条
件
,
收
敛
性
ConvergenceofPreconditioned
Gauss-SeidelIterativeMethod
JianglingHuang
SchoolofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’anShaanxi
Email:1739124141qq.com
Received:Oct.13
𝑡ℎ
,2020;accepted:Nov.4
𝑡ℎ
,2020;published:Nov.11
𝑡ℎ
,2020
Abstract
Assumingundertheconditionthatthecoefficient matrix
𝐴
inlinearequations
𝐴𝑥
=
𝑏
文
章
引
用
:
黄
江
玲
.
预
条
件
下
Gauss-Seidel
迭
代
法
的
收
敛
性
[J].
理
论
数
学
,2020,10(11):1007-1014.
DOI:10.12677/pm.2020.1011119
黄
江
玲
isannonsingular
𝑀
-matrix,bycomparingthespectralradiusoftheiterativematrix
oftheGauss-Seideliterativemethodunderpreconditionswiththespectralradiusof
theiterativematrixoftheclassicalGauss-Seideliterativemethod,itisobtainedthat
theconvergencespeedoftheGauss-Seideliterativemethodunderpreconditionsis
fasterthanthatoftheclassicalGauss-Seideliterativemethod,andtheeffectiveness
ofthepreconditioningisobtained.Finally,anumericalexampleisusedtoverifythe
conclusion.
Keywords
Non-SingularMMatrix,Gauss-SeidelIterativeMethod,SpectralRadius,
Preconditioned,Convergence
Copyright
c
○
2020byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution International License (CCBY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
引
言
实
际
生
活
中
的
很
多
问
题
最
后
往往
会
与
求
解
线
性
方
程
组
对
应
起
来
,
譬
如
交
通
中
的
网
络流
问
题
,
最
小
二
乘
法
曲
线
拟
合
问
题
,
最
优
化
问
题
,
最
后
往往
是
一
个
大
型
稀
疏
线
性
方
程
组
的
求
解
问
题
.
然
而
迭
代
法
是
求
解
大
型
稀
疏
的
一
种重
要
方法
,
迭
代
法
的
研
究
一
直
都
是
国
内
外
的
热
点
问
题
之
一
,
在
实
际
应用
中
具
有
非
常
重
要
的
意义
[1][2].
因
此
,
考
虑
线
性
方
程
组
𝐴𝑥
=
𝑏.
(1)
为
了
方
便
,
假
设
线
性
方
程
组
的
系
数
矩
阵
𝐴
=
𝐼
−
𝐿
−
𝑈,
(2)
其
中
𝐴
是
𝑛
阶
非
奇
异
矩
阵
,
𝐼
是
𝑛
阶
单
位
矩
阵
,
−
𝑈
是
𝐴
的
严
格
上三
角矩
阵
,
−
𝐿
是
𝐴
的
严
格
下
三
角矩
阵
.
在
文
[3]
中
,
求
解
线
性
方
程
组
(1)
的
古
典
Gauss-Seidel
迭
代
矩
阵
为
𝐺
= (
𝐼
−
𝐿
)
−
1
𝑈
=
𝑀
−
1
𝑁.
(3)
其
中
𝑀
=
𝐼
−
𝐿,𝑁
=
𝑈
.
为
了
加
速
迭
代
法
的
收
敛
性
,
常常
考
虑
预
处
理
方法
[4],
预
条
件
方法
是
通
过
寻
找
DOI:10.12677/pm.2020.10111191008
理
论
数
学
黄
江
玲
一
个
有
效
的
非
奇
异
矩
阵
𝑃
,
将
𝐴𝑥
=
𝑏
表
示
为
如
下
形
式
𝑃𝐴𝑥
=
𝑃𝑏.
(4)
对
此
,
近
年
来
很
多的
学
者
针
对
不
同
的迭
代
方法
提
出
了
不
同
的
预
条
件
[5][6][7][8][9].
文
[10][11][12]
[13]
讨
论了
预
条
件
下
Gauss-Seidel
迭
代
法
的
收
敛
性
,
本
文
假
设
线
性
方
程
组
的
系
数
矩
阵
为
非
奇
异
𝑀
−
矩
阵
.
本
文
考
虑
预
条
件
𝑃
=
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
,
并
在
此
预
条
件
下
讨
论
Gauss-Seidel
迭
代
法
的
收
敛
性
,
其
中
𝑆
𝛼,𝛽
矩
阵
形
式
如
下
𝑆
𝛼,𝛽
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
−
𝛼
1
(
𝑎
12
+
𝛽
1
)
−
𝛼
2
(
𝑎
13
+
𝛽
2
)
···−
𝛼
𝑛
−
1
(
𝑎
1
𝑛
+
𝛽
𝑛
−
1
)
000
···
0
000
···
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
000
···
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
那
么
在
预
条
件
𝑃
=
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
,
的
作
用
下
,
𝐴
𝑠
= (
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
𝐴
= (
𝐼
−
𝐸
𝑠
)
−
𝐿
−
(
𝑈
−
𝑆
𝛼,𝛽
+
𝐹
𝑠
) =
𝐷
𝑠
−
𝐿
𝑠
−
𝑈
𝑠
=
𝑀
𝑠
−
𝑁
𝑠
其
中
:
𝐸
𝑠
,
𝐹
𝑠
分
别
为
𝑆
𝛼,𝛽
(
𝐿
+
𝑈
)
的
主
对
角矩
阵
以
及
严
格
上三
角矩
阵
.
𝐷
𝑠
=(
𝐼
−
𝐸
𝑠
)
,𝐿
𝑠
=
𝐿,𝑈
𝑠
=
(
𝑈
−
𝑆
𝛼,𝛽
+
𝐹
𝑠
)
分
别
为
预
条
件
后
𝐴
𝑠
的
主
对
角矩
阵
,
严
格
下
三
角矩
阵
以
及
严
格
上三
角矩
阵
.
那
么
预
条
件
后
系
数
矩
阵
𝐴
𝑠
所
对
应
的
Gauss-Seidel
迭
代
法
的迭
代
矩
阵
为
𝐺
𝑠
=
𝑀
−
1
𝑠
𝑁
𝑠
.
(4)
其
中
𝑀
𝑠
= (
𝐷
𝑠
−
𝐿
𝑠
)
,𝑁
𝑠
=
𝑈
𝑠
.
2.
基
本
定
义
及
引
理
定
义
1[14]
若
𝐴
∈
𝑅
𝑛,𝑛
,
𝐴
可
表
示
为
𝐴
=
𝑠𝐼
−
𝐵
,
𝐼
为
𝑛
阶
单
位
阵
,
𝐵
≥
0,
当
𝑠
≥
𝜌
(
𝐵
)
时
,
称
𝐴
为
𝑀
−
阵
.
特
别
当
𝑠>𝜌
(
𝐵
)
时
,
称
𝐴
为
非
奇
异
𝑀
−
阵
.
当
𝑠
=
𝜌
(
𝐵
)
时
,
称
𝐴
为
奇
异
𝑀
−
阵
.
定
义
2[8]
若
𝐴
∈
𝑍
𝑛,𝑛
,
𝐴
可
逆
且
𝐴
−
1
≥
0,
则
称
𝐴
为
非
奇
异
𝑀
−
阵
.
定
义
3[8]
设
𝐴
为
实
方
阵
,
若
𝑀
为
非
奇
异
矩
阵
,
则
称
𝐴
=
𝑀
−
𝑁
是
𝐴
的
一
个
分
裂
,
若
𝜌
(
𝑀
−
1
𝑁
)
<
1,
则
称
分
裂
𝐴
=
𝑀
−
𝑁
是收
敛
的
.
如
果
(1)M
分
裂
,
如
果
𝑀
是
非
奇
异
M
矩
阵
且
𝑁
≥
0;
(2)
正
规
分
裂
,
如
果
𝑀
−
1
≥
0
且
𝑁
≥
0;
DOI:10.12677/pm.2020.10111191009
理
论
数
学
黄
江
玲
(3)
弱
正
规
分
裂
,
如
果
𝑀
−
1
≥
0
且
𝑀
−
1
𝑁
≥
0.
引
理
1[14]
若
𝐴
为
非
负
不
可
约
方
阵
,
则
(1)
谱
半
径
𝜌
(
𝐴
)
为
𝐴
的
非
负
特
征值
;
(2)
𝐴
有与
其谱
半
径
𝜌
(
𝐴
)
相
对
应
的
非
负
特
征
向
量
;
(3)
𝐴
的
任
一
元
素
增
加
时
,
𝜌
(
𝐴
)
不
减
.
引
理
2[8]
𝐴
=
𝑀
−
𝑁
是
𝐴
的
弱
正
规
分
裂
或
者
正
规
分
裂
,
则
𝜌
(
𝑀
−
1
)
<
1
的
充
要
条
件
是
𝐴
−
1
≥
0.
引
理
3[8]
设
𝜆
∈
(0
,
1],
且
𝑧
∈
(
−∞
,
0),
𝑄
∈
(
𝜆
−
𝑦𝑧
𝑦
,
−
𝑧
)
∩
(0
,
−
𝑧
),
那
么
集
合
𝑄
非
空
.
引
理
4[10]
设
𝐴
=
𝑀
1
−
𝑁
1
=
𝑀
2
−
𝑁
2
是
𝐴
的
两
个
弱
正
规
分
裂
,
如
果
𝐴
−
1
≥
0,
且
下
列
条
件
成
立
之
一
:
(1)
𝑁
1
≤
𝑁
2
;(2)
𝑀
−
1
1
≥
𝑀
−
1
2
,
𝑁
1
≥
0;(3)
𝑀
−
1
1
≥
𝑀
−
1
2
,
𝑁
2
≥
0;
则
有
𝜌
(
𝑀
−
1
1
𝑁
1
)
≤
𝜌
(
𝑀
−
1
2
𝑁
2
).
3.
结
果
与
证
明
定
理
假
设
线
性
方
程
组
的
系
数
矩
阵
𝐴
是
非
奇
异
的
𝑀
阵
,
满
足
当
0
<𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
1
,𝑘
+1
,𝛽
𝑘
∈
(
1
−
𝑎
1
,𝑘
+1
𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
𝑘
+1
,
1
,
−
𝑎
1
,𝑘
+1
)
∩
(0
,
−
𝑎
1
,𝑘
+1
)
,𝛼
𝑘
∈
(0
,
1]
,
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
≤
1
,
(
𝑘
= 1
,
2
,
···
,𝑛
−
1)
时
,
则
有
𝐺,𝐺
𝑠
都
非
负
.
且
𝜌
(
𝑀
−
1
𝑠
𝑁
𝑠
)
≤
𝜌
(
𝑀
−
1
𝑁
)
<
1.
其
中
𝑀
−
1
𝑠
𝑁
𝑠
,𝑀
−
1
𝑁
分
别
由
(3)
与
(4)
给
出
.
𝜌
(
𝑀
−
1
𝑠
𝑁
𝑠
)
,𝜌
(
𝑀
−
1
𝑁
)
分
别
是
系
数
矩
阵
𝐴,𝐴
𝑠
相
对的
Gauss-Seidel
迭
代
法
的迭
代
矩
阵
的
谱
半
径
.
证
明
由
𝐴
是
非
奇
异
的
𝑀
阵
以
及
(3)
式
有
𝑀
−
1
= (
𝐼
−
𝐿
)
−
1
= [1+
𝐿
+
𝐿
2
+
···
+
𝐿
𝑛
−
1
]
≥
0
,𝑁
=
𝑈
≥
0
𝐺
=
𝑀
−
1
𝑁
≥
0
.
得
𝐺
是
非
负
矩
阵
,
根
据
定
义
3,
𝐴
=
𝑀
−
𝑁
为
𝐴
的
正
规
分
裂
.
现
证
𝐷
𝑠
≥
0,
𝐿
𝑠
≥
0,
𝐹
𝑠
≥
0
以
及
𝐸
𝑠
≥
0.
因
为
预
条
件
后
系
数
矩
阵
𝐴
𝑠
为
𝐴
𝑠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
−
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
(
𝑎
1
,𝑘
+1
+
𝛽
𝑘
)
···
𝑎
1
𝑛
−
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,𝑛
(
𝑎
1
,𝑘
+1
+
𝛽
𝑘
)
𝑎
21
···
𝑎
2
,𝑛
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑎
𝑛,
1
···
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
令
𝐷
𝑠
=
𝑑𝑖𝑎𝑔
(
𝐴
𝑠
) =
𝑑𝑖𝑎𝑔
(
𝑑
1
,
1
,
···
,
1),
𝐸
𝑠
=
𝑑𝑖𝑎𝑔
(
𝑆
𝛼,𝛽
(
𝐿
+
𝑈
)) =
𝑑𝑖𝑎𝑔
(
𝑒
1
,
0
,
···
,
0),
其
中
𝑑
1
= 1
−
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
(
𝑎
1
,𝑘
+1
+
𝛽
𝑘
)
,𝑒
1
=
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
(
𝑎
1
,𝑘
+1
+
𝛽
𝑘
),
由
条
件
0
<𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
1
,𝑘
+1
,𝛽
𝑘
∈
(
1
−
𝑎
1
,𝑘
+1
𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
𝑘
+1
,
1
,
−
𝑎
1
,𝑘
+1
)
∩
(0
,
−
𝑎
1
,𝑘
+1
)
,𝛼
𝑘
∈
(0
,
1]
,
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
≤
1
,
(
𝑘
= 1
,
2
,
···
,𝑛
−
1),
可
知
DOI:10.12677/pm.2020.10111191010
理
论
数
学
黄
江
玲
𝑑
1
= 1
−
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
(
𝑎
1
,𝑘
+1
+
𝛽
𝑘
)
>
1
−
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
(
𝑎
1
,𝑘
+1
+
1
−
𝑎
1
,𝑘
+1
𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
𝑘
+1
,
1
)
= 1
−
𝑛
−
1
𝑘
=1
(
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
1
,𝑘
+1
+
𝛼
𝑘
−
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
1
,𝑘
+1
)
= 1
−
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
≥
0
𝑒
1
=
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
(
𝑎
1
,𝑘
+1
+
𝛽
𝑘
)
>
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
(
𝑎
1
,𝑘
+1
+
1
−
𝑎
1
,𝑘
+1
𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
𝑘
+1
,
1
)
=
𝑛
−
1
𝑘
=1
(
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
1
,𝑘
+1
+
𝛼
𝑘
−
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,
1
𝑎
1
,𝑘
+1
)
=
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
>
0
所
以
𝐷
𝑠
≥
0,
𝐸
𝑠
>
0.
又
𝐿
𝑠
=
𝐿
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
00
···
00
−
𝑎
21
0
···
00
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
𝑎
𝑛
−
1
,
1
−
𝑎
𝑛
−
1
,
2
···
00
−
𝑎
𝑛,
1
−
𝑎
𝑛,
2
···−
𝑎
𝑛,𝑛
−
1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.𝑈
𝑠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
𝑢
12
···
𝑢
1
,𝑛
−
1
𝑢
1
𝑛
00
···−
𝑎
2
,𝑛
−
1
−
𝑎
2
,𝑛
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00
···
0
−
𝑎
𝑛
−
1
,𝑛
00
···
00
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
其
中
𝑢
1
𝑗
=
−
𝑎
1
𝑗
+
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,𝑗
(
𝑎
1
,𝑘
+
+
𝛽
𝑘
)
>
−
𝑎
1
𝑗
+
𝑛
−
1
𝑘
=1
𝛼
𝑘
𝑎
𝑘
+1
,𝑗
(
𝑎
1
,𝑘
+1
−
𝑎
1
,𝑘
+1
)=
−
𝑎
1
𝑗
≥
0
(
𝑗
= 2
,
3
,
···
,𝑛
),
所
以
𝐿
𝑠
≥
0,
𝐹
𝑠
≥
0,
𝑈
𝑠
= (
𝑈
−
𝑆
𝛼,𝛽
+
𝐹
𝑠
)
≥
0,
由
(4)
知
𝐺
𝑠
= (
𝐷
𝑠
−
𝐿
𝑠
)
−
1
𝑈
𝑠
= [
𝐼
+
𝐷
−
1
𝑆
𝐿
𝑠
+(
𝐷
−
1
𝑠
𝐿
𝑠
)
2
+
···
]
𝐷
−
1
𝑠
𝑈
𝑠
≥
0
.
因
此
𝐺
和
𝐺
𝑠
都
是
非
负
矩
阵
.
因
为
𝐴
𝑠
= (
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
𝐴
= (
𝐼
−
𝐸
𝑠
)
−
𝐿
−
(
𝑈
−
𝑆
𝛼,𝛽
+
𝐹
𝑠
) =
𝐷
𝑠
−
𝐿
𝑠
−
𝑈
𝑠
=
𝑀
𝑠
−
𝑁
𝑠
DOI:10.12677/pm.2020.10111191011
理
论
数
学
黄
江
玲
以
及
上
面
的
证
明
可
知
(
𝐼
−
𝐸
𝑠
)
−
1
= (
𝐼
+
𝐸
𝑠
+
···
)
≥
𝐼,𝐿
≥
0
则
有
𝑀
−
1
𝑠
= [(
𝐼
−
𝐸
𝑠
)
−
𝐿
]
−
1
= [(
𝐼
−
(
𝐼
−
𝐸
𝑠
)
−
1
𝐿
]
−
1
(
𝐼
−
𝐸
𝑠
)
−
1
≥
(
𝐼
+
𝐿
+
𝐿
2
+
···
) = (
𝐼
−
𝐿
)
−
1
=
𝑀
−
1
≥
0
.
𝑁
𝑠
= (
𝑈
−
𝑆
𝛼,𝛽
+
𝐹
𝑠
)
≥
0
令
𝑀
1
= (
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
−
1
𝑀
𝑠
,
𝑁
1
= (
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
−
1
𝑁
𝑠
,
那
么
𝐴
= (
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
−
1
𝐴
𝑠
= (
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
−
1
𝑀
𝑠
−
(
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
−
1
𝑁
𝑠
=
𝑀
1
−
𝑁
1
而
𝑀
−
1
1
=
𝑀
−
1
𝑠
(
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
).
所
以
𝑀
−
1
1
𝑁
1
=
𝑀
−
1
𝑠
(
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)(
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
−
1
𝑁
𝑠
=
𝑀
−
1
𝑠
𝑁
𝑠
≥
0
.
因
此
,
根
据
定
义
3,
𝐴
=
𝑀
−
𝑁
=
𝑀
1
−
𝑁
1
均
为
𝐴
的
弱
正
规
分
裂
.
现
考
虑
,
𝑀
−
1
1
−
𝑀
−
1
=
𝑀
−
1
𝑠
(
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
−
𝑀
−
1
≥
𝑀
−
1
(
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
)
−
𝑀
−
1
=
𝑀
−
1
𝑆
𝛼,𝛽
≥
0
所
以
,
𝑀
−
1
1
≥
𝑀
−
1
,𝑁
≥
0
由
引
理
4,
可
知
𝜌
(
𝑀
−
1
1
𝑁
1
)
≤
𝜌
(
𝑀
−
1
𝑁
)
又
因
为
𝐴
为
非
奇
异
𝑀
−
矩
阵
,
因
此
根
据
引
理
2
𝐴
−
1
≥
0
,𝜌
(
𝑀
−
1
𝑁
)
<
1
综
上
,
𝜌
(
𝑀
−
1
𝑠
𝑁
𝑠
)
≤
𝜌
(
𝑀
−
1
𝑁
)
<
1
4.
数
值
例
子
例
1
设
线
性
方
程
组
𝐴𝑥
=
𝑏
的
系
数
矩
阵
是
𝐴
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
−
0
.
1
−
0
.
4
−
0
.
3
01
−
0
.
3
−
0
.
1
−
0
.
3
−
0
.
11
−
0
.
2
−
0
.
3
−
0
.
3
−
0
.
11
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
DOI:10.12677/pm.2020.10111191012
理
论
数
学
黄
江
玲
显
然
·
𝐴
是
非
奇
异
𝑀
−
矩
阵
,
通
过
𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵
计
算
可
得
,
当
参
数
𝛼
𝑘
=
𝛽
𝑘
=0
,
(
𝑘
=1
,
2
,
3)
时
,
𝜌
(
𝐺
) =0
.
4396.
那
么
在
预
条
件
𝑃
=
𝐼
+
𝑆
𝛼,𝛽
的
作
用
下
,
当
𝛼
1
= 0
.
95
,𝛼
2
= 0
.
005
,𝛼
3
= 0
.
005
,𝛽
1
=
𝛽
2
=
𝛽
3
= 0
.
01
时
,
𝜌
(
𝐺
1
) = 0
.
4235,
可
以
看
出
预
条
件
下
Gauss-Seidel
迭
代
法
的迭
代
矩
阵
的
谱
半
径
小
于
经
典的
Gauss-Seidel
迭
代
法
的迭
代
矩
阵
的
谱
半
径
,
从
而
说
明
了
该
预
条
件
的
有
效性
.
当
参
数
𝛼,𝛽
取
值
不
同
时
,
谱
半
径
也
不
同
.
5.
结
论
从
数
值
算
例
可
知
,
当
线
性
方
程
组
𝐴𝑥
=
𝑏
的
系
数
矩
阵
𝐴
是
非
奇
异
𝑀
−
阵
时
,
预
条
件
方法
可
以
改
善
Gauss-Seidel
迭
代
法
的
收
敛
性
,
当
参
数
𝛼,𝛽
取
值
不
同
时
,
谱
半
径
大
小
也
不
同
,
因
此
如
何
选
择
最
优
参
数
,
有
待
进
一
步
研
究
.
参
考
文
献
[1]
陈
国
良
,
安
虹
,
陈
俊
.
并
行
算
法
实
践
[M].
北
京
:
高
等
教
育
出
版
社
,2004.
[2]James, K.R.andRiha,W.(1995)Convergence Criteria forSuccessive over Relaxation.
SANM
JournalonNumericalAnalysis
,
12
,13-145.
[3]
徐
树
方
,
高
立
,
张
平
文
.
数
值
线
性
代
数
[M].
第
二
版
.
北
京
:
北
京
大
学
出
版
社
,2013.
[4]Hiiroshi, N.K., Kunenori, H.,Munenori, M.,
etal.
(2004) TheSurvey ofPre-Conditioners Used
forAcceleratingtheRateofConvergenceintheGauss-SeidelMethod.
JournalofComputa-
tionalandAppliedMathematics
,
165
,587-600.
https://doi.org/10.1016/j.cam.2003.11.012
[5]
雷
刚
,
王
慧
勤
,
畅
大
为
.
预
条
件
下
2PPJ
型
方法
收
敛
性
的
加
速
[J].
江
西
师
范
大
学学
报
(
自
然
科
学
版
),
2006,30(1):35-37.
[6]
尤
晓
琳
.
预
条
件
𝐼
+
𝑆
的
SSOR
迭
代
法
及
比
较
定
理
[J].
河
南
教
育
学
院
学
报
(
自
然
科
学
版
),2019,
28(3):1-3.
[7]
蔡
静
.
一
类
预
处
理
Jacobi
迭
代
法
及
其
收
敛
性
分
析
[J].
湖
州
师
范
学
院
学
报
,2019,41(8):122-126.
[8]Behzadi, R. (2019) ANew ClassAOR Preconditioner forL-Matrices.
JournalofMathematical
ResearchwithApplications
,
39
,101-110.
[9]Dehghan,M.andHajarian,M.(2014)ModiedAORIterativeMethodstoSolveLinearSystems.
JournalofVibrationandControl
,
20
,661-669.
https://doi.org/10.1177/1077546312466562
[10]
庄
伟
芬
,
卢琳
璋
.(
𝐼
+
𝑆𝑚𝑎𝑥
)
预
条
件
Gauss-Seidel
迭
代
法
的
进
一
步
探
索
[J].
厦
门
大
学学
报
(
自
然
科
学
版
),2004,43(z1):349-352.
[11]
高
树
玲
,
曾
京
玲
.
一
类
新
的
预
条
件
Gauss-Seidel
迭
代
法
[J].
周
口
师
范
学
院
学
报
,2012,29(2):
9-12.
DOI:10.12677/pm.2020.10111191013
理
论
数
学
黄
江
玲
[12]
吴
梅
君
,
杨
晨
.
一
类
新
的
预
条
件
Gauss-Seidel
迭
代
法
[J].
高
师
理
科
学
刊
,2018,38(12):17-18.
[13]
许
云
霞
,
雷
学
红
,
李
耀
堂
.H-
矩
阵
的
一
个
新
的
预
条
件
Gauss-Seidel
迭
代
方法
(
英
文
)[J].
昆
明
学
院
学
报
,2008,30(4):3-7.
[14]Li, W. and Sun, W.W. (2000) Modified Guass-Seidel Type Methods and Jacobi Type Methods
forZ-Matrices.
LinearAlgebraandItsApplications
,
317
,227-240.
https://doi.org/10.1016/S0024-3795(00)00140-3
DOI:10.12677/pm.2020.10111191014
理
论
数
学