Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 21-25 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.11005 Published Online April 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Two Splitting Least-Squares Mixed Element Methods for Burgers Equations Haiming Gu1, Huining Qu2 1International College, 2Department of Mathematics, Qingdao Univers ity of Science and Technology, Qingdao Email: guhm@ n s.q d.sd.cn; qhn4173@163.com Received: Mar. 21st, 2011; revised: Mar. 26th, 2011; accepted: Mar. 28th, 2011. Abstract: Two splitting least-squares mixed element methods are proposed to simulate Burgers equation in this paper. The advantage of this methods is that the coupled system can be split into two independent sub-systems and then reduce the difficulty and scale of primal problems. Theoerical analysis shows that the methods yield the approximate solutions for the primal problems with optimal accuracy in norm. 2 L Keywords: Burgers Equation; Least-Squares Functional; Mixed Finite Element Method; Error Estimation 解Burgers 方程的分裂型最小二乘混合元方法 顾海明 1,曲慧宁 2 1青岛科技大学国际学院,青岛;2青岛科技大学数理学院,青岛 Email: guhm@ n s.q d.sd.cn; qhn4173@163.com 收稿日期:2011 年3月21日;修回日期:2011 年3月26 日;录用日期:2011 年3月28 日 摘 要:本文对 Burgers 方程提出了 Euler 型分裂的最小二乘混合元格式,该格式最大的优点是将耦合的 方程组系统分裂成为两个独立的子系统进行求解,从而在很大程度上降低了原问 题的求解难度和规模, 并通过引入适当的最小二乘泛函,得到原未知量的最优阶 2 L 模误差估计。 关键词:Burgers 方程;最小二乘函数;混合元方法;误差估计 1. 引言 Burgers 方程曾被 J. M. Burgers[1]作为流体的一 类运动现象的数学模型加以研究,而且方程本身具 有流体动力学 Navier-Stokes 方程的性质,可以作为 Navier-Stokes 方程的简单模型方程,还可以作为浅 水波问题,交通流动力学等问题的数学模型,具有 广泛的应用背景。近年许多学者及工程技术人员对 其进行了深入的理论研究和数值计算,其中差分格 式居多[2]。本文用分裂型最小二乘混合有限元方法来 研究该问题。最小二乘混合有限元法的一个重要优 点就是可以通过最小二乘函数将一个非自共轭的问 题转化成一个对称正定问题,而且该方法不需要有 限元空间满足 LBB条件[3-6]。但是用最小二乘混合元 方法求解抛物问题时,最终离散格式通常需要求解 一个耦合的方程组,在一定程度上比较复杂,而分 裂型最小二乘混合有限元法[7]的最大优点就是能 将耦合的方程组系统分裂成为两个独立的子系统求 解,从而极大的降低了原问题的求解难度和规模.本 文将此方法应用到 Burgers 方程中,提出了 Euler 型 分裂的最小二乘混合元格式,并通过引入适当的最 小二乘泛函,得到原未知量的最优阶 2 L 模误差 估计。 本文的主要内容为:第二部分给出了 Burgers 方 程的最小二乘形式:Euler 型格式Ⅰ及Euler 型格式Ⅱ (即分裂型最小二乘混合元格式);第三部分引入适当 的最小二乘泛函,证明了问题的解存在唯一。第四部 分关于 Euler型格式Ⅱ对未知量得到了最优阶 2 L 模误差估计。 顾海明等 解方程的分裂型最小二乘混合元方法 22 | Burgers 本文使用 Sobolev空间通常的定义和记号, 2 L 和 及相应的范数 K H 2 L , k Hk 。M 表示一般意义上的可变正常数。 2. 抛物方程的最小二乘形式 考虑如下方程: 1 1 ,(, )(0,) (,) 0,(,)(0,) (,0) (), tx xx uuuu xtt uxt xtt uxx x (2.1) 其中为一多边形区域,为它的 Lipschitz 连 续边界, 2 R ( ) x 为已知函数, 。 10t 现定义如下两个Hilbert 空间: 1 0 VH 22 2 ():divWL L (2.2) 令为时间剖分步长,N为整数,ttTN ,记 ,n = 0,1,2,…,N。在(2.1)式中取 ntntn tt , 用一阶向后 Euler 差分对其关于时间离散得: 11 nn nn n uu uu uR t n (2.3) 其中 1n nn nuu u R tt 。可知 为项,可 以省略。引入未知量 ,则(2.3)式变为: n R n Ot n u 11 0 nnn nn nn utut u u (2.4) 用12 ()t 去乘(2.4)中的第二式,得: 11 12 0 ()( )0 nnn nn nn utut u tu (2.5) 在求第 n层时,我们用a来表示 n - 1层上 u的 值,可知 a是与时间层有关的常数,不妨记为 a(t), 且有 。至此,我们定义如下最小二乘泛 函: ()aata 对于 , ,VW 2 11 2 12 , ()( ) nnn nn nn Jututu tu (2.6) 从而相应的(2.5) 的最小二乘问题为:求 ,满足: ,, nn uV W , , ,inf nn VW Ju J (2.7) 根据最小二乘泛函 ,J ,定义如下双线性泛函: ,;, (), () ()( ), nn nnn nn Au utattvtat t tu (2.8) 求解(2.7)就等价于求解 ,;, (), () nn Auat vtatt (2.9) 设 是区域 ,u hh TT 上两有限元网格剖分族, 分别为网格步长参数,相应的有限元空间为 ,由[8]可以知道有限元空间有如下逼 近性质:对任意的 ,u hh ,u h WWV h V 1m VH ,, 有 2 1k WH 1 1 inf nh u m huhu m V hMh (2.10) 1 1 inf nh k hk W Mh (2.11) 1 1 inf div() nh k hk W Mh (2.12) 对于 1 0 uH ,定义椭圆投影 ,满足: u h Ru V ,0 h Ru u , (2.13) u hh vV 由[8]知下面估计式成立: 1 11 1 1 m mm m uH m tt ut HH ut RutMhut ut RutMhutut (2.14) 假设初始近似满足: 1 0000 10 00 10 , m m hhu H k hHdiv uuhuuMh u Mh (2.15) 则问题(2.1)的Euler型最小二乘混合元格式(Euler型格 式Ⅰ)为:已知 1 , nn hh u1 ,求 , u nn hhhh uV W ,使 ,;, (), (), ,u nn hhhhhh h hhh h Auat vtatt VW (2.16) Euler 型格式Ⅰ是传统意义上的最小二乘混合元 格式,我们在本文中主要研究分裂型Euler 最小二乘 混合元格式:(称Euler 型格式Ⅱ),在定义之前,我们 先看一个引理: Copyright © 2011 Hanspub PM 顾海明等 解方程的分裂型最小二乘混合元方法23 | Burgers 引理 1 对任意的,,,uvVW 有 2 ,;,(,)(, ()) (,)((),) ((),) (,) Auuvu tat mtatv tt uv (2.17) 其中 2 ()mtat t 。 证明:由(2.8)可得: ,;,(), () ()( ), ,(), , ,() (),() ,() , () ,, (),(), (), (), Auu tattv tatt tu uvtatvtv u tattattat ttatut ta tttt ttu ttu 利用 Green公式,第二个等号右端,第三项和第 十二项相加为零,第六项和第八项相加为零,第七项 和第十一项相加为零。由此, 2 ,;,(,)(,())( ,) ((),)(() , (,) Auuvu tatm ta tvt tuv ) 其中 2 ()mtat t 。 结合引理 1,我们在Euler 型格式Ⅰ中 0 h ,则 得到: (,)( (),)(,)(), hhhhhhh uvtatvtuvat (2.18) 若取 0 h ,得到 2 (,())(,)(( ),) (), () hhhh h hh utat mt at ttat h (2.19) 这样,就得到了分裂型 Euler 最小二乘混合元格 式(称Euler 型格式Ⅱ):已知 1 , nn hh u1 ,求 , u nn hhhh uV W ,使 2 (,)( (),)(,) (), (,())(,)(( ),) (),() hhhhhh h hhhh h hh uvtatvtuv at utatmt at ttat h (2.20) 其中 2 ()mtat t 。 3. 解的存在唯一性 我们首先证明一个定理,其中仍采用标准范数意 义,对 div,H ,有 div, 222 div H , (3.1) div,H 定理 1双线性泛函 满足连续性和强制性 条件,即对任意 ,;,A ,W,uvV 和,存在正常数 和, 使得 12 12 22 22 div, div, ,;, HH Au uv 22 div , ,;, H Au u 证明:由双线性泛函 知 ,;,A 2 22 2 2 ,;,(,)(,())( ,)( (),) ((),)(,) () Auuuuuta tmta tu ttuu umtt u 2 所以存在 M,使得: 22 2 ,;, 2 A uuMu u 由Poincare 不等式: 2 uMu 2 及(3.1)式,我们可 以得到 22 div , ,;, H Au uMu 因为双线性形式 ,;,Au 是对称的,所以有 12 12 ,;,,;, ,;,AuAu uAv 即连续性得证。 下证强制性: 由连续性可知: 222 2 ,;, () Au u umtt u 2 从而也存在 M,使得 div, div, 22 2 222 22 ,;, H H 2 A uuMu u Muu u 强制性得证。 由Lax-Miligram 引理可知(2.9)式存在唯一解。因 为(2.20)式与(2.9)式是等价的,所以 Euler 型格式Ⅱ存 在唯一解。 Copyright © 2011 Hanspub PM 顾海明等 解方程的分裂型最小二乘混合元方法 24 | Burgers h 4. 误差估计 对于一般的混合元方法,引入椭圆投影算子 ,有 u h Ru V ,0,u hh Ru uV 同样会有(2.13)、(2.14)式成立。用 一般 的最 小二 乘混 合元方法,可以得到基于此椭圆投影原未知量的最优 阶误差估计:( 为近似解) * u 2 22 2( 1) ** 1 N NNnnm u n uutuu Mht (4.1) 我们现在来讨论分裂型 Euler 格式Ⅱ的误差估计。 定理 2:假设 ,uV W 为问题(2.1)的解, , hh u 为分裂型 Euler 格式Ⅱ的解,则有下列先验误差估计: 2 22 2 1 N NNnn m hhu n uutuu Mht (4.2) 证明:由(2.9)可得误差方程: 11 ,;, ,() ,() nnn n hhhh nn hhh h n hhh Au u uuvtat t tRvta tt (4.3) 由引理 1可得 2 ,;, ,, ,, ,, nnn n hhhh nn nn hhh h nn nn hh hh nn nn hh hh Au u uuvuutat mtatv ttu uv (4.4) 在(4.3)(4.4)中分别取τh = 0,并令两式的右端相等,得 11 ,, ,, , nn n hh h nnn n hhh h nn hh uuvtRv uuvtatv tuu v (4.5) 令u为u的伴随椭圆投影,并假设 nn uu n , ,整 理 (4.5),考虑到边界条件并利用Green 公式得: nn h uue n 1 1 ,, ,, ,, nn nn hh nn n hh nn hh eetetat e t ta ttR , h (4.6) 记(4.6)式左端项分别为,右端记为 ,取检验函数 12 3 ,,LL L h e 1234 ,,RR RRh ,则 2 11 1 22 2 11 ,dd 11 dd 22 nn nnnn nn nn Leee exeex ex exee 2 22 2,d nn nn Lteetexte 3 22 ,d 2 nnn n nn Ltateetatee ta ee x 则有 22 1 22 1 4.6 2 22 nn nn Lee ta ta te e (4.7) 右端项: 1 1 1 22 ,, d2 nn nn nn nnn n Rete t t ttex te tt 22 2,2 nnn n t Rt ee 22 3,2 nnn n ta Rtate e 1 4 2 22 2 2 ,, n nn nn n nn uu u RtRe te tt u ttte t 由此可得: 22 22 2 22 2 3 (4.6)222 22 2 nn n n ttta Rt t tta t e u ttt t n e (4.8) Copyright © 2011 Hanspub PM 顾海明等 | 解Burgers方程的分裂型最小二乘混合元方法 Copyright © 2011 Hanspub PM 25 由(4.6) (4.7) (4.8)可得: 222 1 222 2 2 22 2 1() 2 3 22 22 22 nnn nn nn ee te tt tta ttae t tta u et tt t 由(2.14)及(4.11)式,我们可以得到如下的估计: 2 22 2 1 N NNnn m hhu n uutuu Mht n (4.9) (4.12) 这样我们得到了原未知量的最优阶误差估计。通 过比较(4.1)和(4.12),我们可以看到,分裂型 Euler 格 式Ⅱ虽然比 Euler 型格式Ⅰ低一阶,但是在求解过程 中极大的降低了原问题的求解难度和规模,因此,分 裂型 Euler 格式Ⅱ在实际中有更广泛的应用。 将式(4.9)关于 n从1到N求和得: 22 2 0 1 22 1 2 1 2 2 22 2 11 1 2 3 22 22 22 N Nn n NN n nn N n n NN nn nn eet e tt ttae t tta tta u et tt t 1 n 参考文献 (References) [1] J. 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