ABSTRACT

Only by using Sylow’s theorem, basic permutation computation and linear algebra theory, we prove that a simple group of order 360 is isomorphic to PSL (2,9) and a simple group of order 504 is isomorphic to PSL (2,8).

Keywords:Sylow’s Theorem, Simple Group, PSL (2,9), PSL (2,8)

360阶和504阶单群的唯一性的初等群论证明

周  峰¹，于浩然²，王  杰²，刘合国^1*

¹湖北大学数学系，武汉

²北京大学数学系，北京

Email: thoufeng@163.com, ^*ghliu@hubu.edu.cn

收稿日期：2014年7月12日；修回日期：2014年8月10日；录用日期：2014年8月19日

摘  要

仅用Sylow定理、最基本的置换计算和线性代数重新证明了360阶单群同构于PSL (2,9)及504阶单群同构于PSL (2,8)。

关键词

Sylow定理；单群；PSL (2,9)，PSL (2,8)

1. 引言

本文采用的符号和术语都是标准的，见文献[1] 。

我们知道，对阶的非交换单群，当时，只能是60、168、360、504、660，并且阶不超过1000的非交换单群只有5个：60阶单群、168阶单群、360阶单群、504阶单群和660阶单群。运用Sylow定理不难证明60阶单群同构于，见文献[2] 和[3] 。在文献[2] 和[3] 中，Huppert和Smith分别用不同的初等群论方法证明了168阶单群同构于，而360阶单群同构于的初等群论证明见[4] [5] ，[6] 利用文献[2] 的方法证明了660阶单群同构于。对于504阶单群同构于，在[5] 中，Cole利用置换群的技巧给出了证明。这样，阶不超过1000的非交换单群同构唯一性都有了初等的群论证明。而本文将利用[2] 和[6] 里的方法，从射影线性群的角度出发，将360阶单群及504阶单群里的某些元素与射影线性群里的元素对应起来，从而将给定阶的单群嵌入射影线性群里，再通过比较群的阶，重新证明360阶单群同构于及504阶单群同构于。除了Sylow定理和最基本的群论知识外，本文是完全自包含的，这个证明对初学者来说是容易理解的，作者希望它对群论教学具有借鉴和启发作用。

2. 360阶单群同构于的初等群论证明

证明：设G是360阶单群。

(1)。由Sylow第三定理知1，6或36。由G是单群，不可能为1。谬设，由G是360阶单群，，而，矛盾！

(2) 若且，则。谬设，则。从而。从而。由于G是360阶单群，。不难看出中之4阶子群正规，设，则。不难看出或4，且，从而。若，则中有9阶子群正规，进而知中9阶子群正规，矛盾！若，则，矛盾于G是360阶单群！

(3)。由Sylow第三定理知或40。由G是360阶单群，不可能为1或4。若，则由1、2知G中至少有个元素，矛盾！故。取定，则。

(4) G中无6阶元及10阶元。谬设G中有6阶元x。注意到G依共轭作用在上诱导G到的群嵌入。承2知引起的置换同形于。从而x引起的置换同形于，是奇置换，矛盾！谬设G中有10阶元y，同样注意到G依共轭作用在上诱导G到的群嵌入，且由3知y引起的置换无不动点。从而y引起的置换同形于，是奇置换，矛盾！

(5)且是Frobenius群，在中的补群是4阶循环群。谬设。由于，故中有6阶元，矛盾于(4)。亦承(4)知是36阶Frobenius群，进一步地，在中的补群是4阶循环群。

(6)依共轭正则地作用在上。从而在上的传递的共轭作用置换同构于9元域上的射影空间上的置换群

。

的行列式都是中的平方元，故嵌入。

(7) 首先证明G之Sylow 2-子群同构于。取定，谬设交换，由于G中有4阶循环子群，故或。由4知，且之任一非单位元都满足，进而在G中的共轭类长。如果使得。则，从而。从而G共有个2-元素。G中至少有个元素，矛盾！谬设，设诱导的置换是。使得。则引起的置换的不动点只有，引起的置换对换。从而诱导的置换同形于，是奇置换，矛盾!故。

(8) 由于，故使得，则对换。以下简记为。则诱导的置换：

由于诱导的是偶置换，故或。

若，则，且，故可以用替代。

若，则，同理以用替代。

若，则，同理以用替代。

故无妨设，。

同理或。

若，则

考虑平移(中某3阶元诱导)：

则(先作用，后作用)：

即，是21阶元，但21不整除360，矛盾！

若，则

即，是奇置换，矛盾！

若，则

即，亦是奇置换，矛盾！

从而，

亦即。可由诱导。由于是中之平方元，故嵌入。由于，从而，可嵌入中，再比较群的阶，得。

3. 关于

为了讨论504阶单群的唯一性，我们从的元素和Sylow子群入手。

首先注意到，我们通过弄清的结构来得到的相关信息。

(1)是的单位元。

(2)为的一个2阶元，若有使，则，因此，，。考虑到，，此时，，，，所在的共轭类长为63。

(3)为上不可约多项式，不妨设，令，则为7阶元。当时，；当时，；当时，。令，，，易知，，均为7阶元，若有使，则，此时，因此，其中。容易得到，所在的共轭类长72，同样的计算可得，所在的共轭类长分别为72。

(4)上首一2次的常数项为1的不可约多项式有

，，，

四个多项式对应的相伴矩阵分别为

，，，

可选取的一个生成元使，此时，且，因此，，，均可表成形如的矩阵。

若有使则，，另外，。令，由于当且仅当，因此。令，若(其中)，里的每个元都是平方元，故存在使，此时，，此时的取法种数为。因此，即，，，，所在的共轭类长都是56。

综上所述，考虑到、、、、、、和具有不同的迹，它们彼此不相似，而，这说明我们已经找出了的所有共轭类，综合(1)、(2)、(3)、(4)，我们得到的元素的信息(如表1)。

由于，所以也具有同样的共轭类。

现在，我们能够很快证明是一个单群。事实上，任取的正规子群，的阶整除504，且，其中或1，、1、2或3，、1、2、3或4。不难验证或504，即或，是单群。

(5) 令，此时为初等Abel群且，由于为的7阶元且，故7整除，再考虑到8整除及是单群，所以，的Sylow 2-子群的个数。

(6) 由于有9阶元，故的Sylow 3-子群为循环群，包含6个9阶元，而含有个9阶元，我们得到的Sylow 3-子群的个数，。

(7)的Sylow 7-子群为循环群，包含6个7阶元，而含有个7阶元，我们得到的Sylow 7-子群的个数，。

综上所述，我们得到的Sylow子群的如下信息：

这些信息有助于我们弄清504阶单群的Sylow子群及其正规化子的结构。

4. 504阶单群同构于的初等群论证明

证明：设是504阶单群，此时。

(1)。令，由Sylow定理知和，因此或36。注意到为单群，或36。谬设，则，为的指数为8的子群，这时容易验证嵌入。容易知道的7阶元有个，的Sylow 7-子群有

个，进一步地，，而，这是不可能的！所以只能有，，这时，有个7阶元。

(2)。取，由Sylow定理或28。注意到是单群，所以或28。谬设，则同构于的一个子群，而，故是的指数为5的子群，此时，是单群，只能有，即，此时的7阶元全部在里，而含有个7阶元，含有216个7阶元，矛盾！于是只能有，。

(3)的任意两个不同的Sylow 3-子群有平凡的交。选取不同的。谬设，则且，显然都是的Sylow 3-子群，的Sylow 3-子群个数

且9整除。又，。考虑到的真子群指数

大于7，不难验证或63。如，的Sylow 7-子群正规，而的Sylow 7-子群的正规化子为14阶，这是不可能的！如，是12阶群，的Sylow 3-子群肯定不是正规的，由Sylow定理知，包含4个Sylow 3-子群，它包含8个3阶元，故的Sylow 2-子群是正规的。设是的Sylow 2-子群，，取的Sylow 2-子群，是4阶群，。从知，，是的中心。当时，是的Sylow 2-子群，故，是18阶群，它有正规的Sylow 3-子群，这将导致含有正规的Sylow 3-子群，矛盾，因此只能有。当时，是12阶Abel群，是的特征子群，。又取的包含的Sylow 2-子群，当然，从而，能被整除，或7，这是不可能的！因此，这表明的任意两个不同的Sylow 3-子群有平凡的交，含有个3-元。

(4)。取，，谬设的Sylow 2-子群正规，则为14阶循环群，含的14阶元，故一共包含个14阶元，而含有216个7阶元，224个3-元，，矛盾！因此的Sylow 2-子群的个数。

(5)所含的2-元均为2阶元。考虑作用在，含有一个7阶子群并含有7个2阶子群，其中任意2阶元将7阶元映到它的逆，任意7阶元在上引起的置换为5个不相交轮换的乘积，我们可以得到这个2阶元刚好在其中3个轮换中各有一个不动点，这样，这个2阶元刚好有4

个不动点。此时，这个2阶元所在的共轭类长为，我们得到63个共轭的2阶元。由于含有

216个7阶元，224个3-元，剩下个非单位元，所以这63个非单位元全为2阶元，并且它们彼此共轭。

(6)。令，由于所含的2-元均为2阶元，因此为初等Abel群。由Sylow定理知和，因此或63。注意到为单群，或63。谬设，则。由Sylow定理得或4，最多含有个3阶元，但，含有7个2-元，，这表明一定包含6阶元，由前面的讨论知这是不可能的！谬设，则。取不同的2阶元，由前面的讨论，有使，考虑到为初等Abel群，，而，故，即，而，因此，，这就得到了，矛盾！这时只能有，。

(7) 首先证明。由于含有63个2阶元，9个Sylow 2-子群，因而的不同的Sylow 2-子群交平凡，由于，谬设，则有个56阶元，故一共包含个56阶元，而含有216个7阶元，224个3-元，，矛盾！因此的Sylow 7-子群的个数。

从而在上的传递的共轭作用置换同构于8元域上的射影空间上的置换群

设是的7阶子群，则，取2阶元，由于与不交换，故，按照[6] 同样的方法，可得作用在上的置换为，由里的所有元都是平方元及

所以、、对应的线性分式映射属于。

令，作为的子群可嵌入，其中为56阶群且为不属于的2阶元，故，即是的指数小于9的子群，再注意到为单群，于是，故可嵌入，而，因此。

基金项目

国家自然科学基金(11371124)、湖北省高层次人才工程基金(070-016533)。

参考文献 (References)

NOTES

^*通讯作者。