ABSTRACT

In this paper, for a class of three-dimensional autonomous vector field which has heteroclinic loop containing two hyperbolic fixed points, a saddle point and a saddle-focus point, we structure the Poincare map by choosing appropriate local coordinate system and using the flow of linearized vector field inside the small neighborhood of the two fixed points and present a sufficient condition of the Poincare map possessing a countable infinite horseshoes.

Keywords:Heteroclinic Loop, Poincare Map, Local Coordinate System, Horseshoe

一类两点异宿环中含马蹄的充分条件

高岳让^1,2，赵雪^1,2，丁本艳^1,2

¹山东师范大学数学系，山东 济南

²临沂大学理学院，山东 临沂

Email: yueranggao@sina.com

收稿日期：2015年5月2日；录用日期：2015年5月18日；发布日期：2015年5月21日

摘 要

本文对一类含有鞍点、鞍焦点的两点异宿环的三维自治向量场，通过选取适当的局部坐标系并利用两奇点的小邻域内线性化向量场的流构造了庞加莱映射，并给出了庞加莱映射含有可数无穷多个马蹄的一个充分条件。

关键词 :异宿环，庞加莱映射，局部坐标系，马蹄

1. 引言

文献[1] 对三维自治向量场中鞍点的同宿轨和鞍焦点的同宿轨在不动点附近的流的动力学行为进行了讨论，给出了在轨道邻域内定义的庞加莱映射产生马蹄的充分条件。由文献 [2] 可知，对于三维系统

其中，，表示在处的泰勒展式首项不低于2次，若假定下面两条件1) 此系统有一同宿于的轨道，2)成立，可证得在邻域内适当定义的庞加莱映射包含可数无穷多个马蹄。

在同宿轨道研究的基础上，本文就一类含有鞍点和鞍焦点的两点异宿环问题，通过选取适当的局部坐标系定义了庞加莱映射，并给出了包含可数无穷多个马蹄的一个充分条件。

2. 预备知识

令，，表示不相交的-水平带集合；，表示不相交的-垂直带的集合；是的同胚映射。记

，，，，，

显然有。对，记为在处稳定的扇形束；为在处不稳定的扇形束。令，，，，称为上的稳定扇形束，为上的稳定扇形束，为上的不稳定扇形束，为上的不稳定扇形束。

下面给出两个假设：

假设1 [1] ：且是的同胚映射，。并且的水平边界(垂直边界)映射到的水平边界(垂直边界)。

假设2 [1] ：并且。

另外，如果，，则有，其中。

由文献 [1] 可知，当满足假设1和假设2时，有不变Cantor集，且在上拓扑共轭于符号上的全平移。

引理1 当充分大时，映射有不变Cantor集，且在其上拓扑共轭于符号的一全平移，其中是的横截映射，表示的定义域。(证明参见文献的Moser’s定理)

引理2，使得当时，有一不变Cantor集，且在其上共轭于二符号上的一全平移。(证明参见文献[1] 的定理27.2.2)

3. 主要结果

在内考虑自治向量场(其中满足所需阶数)。在内取直角坐标系。假设在平面上向量场有两个双曲不动点，。

局部假设：

在处，线性化向量场为

其中，。

在处，线性化向量场为

其中，，，。

全局假设：在平面内用表示连接，的异宿轨，在平面外用表示连接，的异宿轨。因此构成异宿环。下面将通过在异宿环的一领域内构造庞加莱映射证明下面的定理。

定理：当时，庞加莱映射有可数无穷多个马蹄。

证明：证明过程主要分两部分：构造庞加莱映射；当时，有可数无穷多个马蹄。

首先构造庞加莱映射。主要分为三步：

第一步，选取适当局部坐标系。分别以、为原点建立局部直角坐标系、，且都满足右手系。由线性化向量场的形式可知：为鞍点并且在的邻域内线性化向量场的流在轴上不稳定，在轴上稳定，在轴上强稳定；为鞍焦点且在的邻域内线性化向量场的流在轴上不稳定，在平面上为稳定焦点 [3] 。

第二步，构造庞加莱截面。对充分小的，由文献 [1] 的讨论易知，可取如下四个横截面：

，

，

，

取足够大，使得的像在其内部。

第三步，构造庞加莱映射：。

由于，在处线性化向量场产生的流为

的时间满足：，即。

所以的映射可近似取作：。

同理，在处线性化向量场的流为

需要的时间满足：，即。

所以的映射可近似取作：。

另外，作如下两个仿射：，。

：

其中，，，，是常数。注意到，附近点的坐标分量间的对应关系为，并且在上。所以，在第一个仿射中的线性部分第三行全为零。在上，所以第一个仿射中线性部分的第三列全为零。

：

其中，，，，是常数，是与异宿轨的交集(由的选取可知，仅相交一次)。线性部分的选取与上面类似。

因此，可得庞加莱映射：。

下面只需证，当时，庞加莱映射有可数无穷多个马蹄。在证明定理前先给出一个引理。

引理3 考虑。对给定的(足够大)，当时，的内边界交的上水平边界至少2个点，其中。

证明：考虑矩形，

显然，。

矩形的四条边分别记作(上水平边)， (下水平边)， (右垂直边)， (左垂直边)，其中

，

，

，

。

在作用下，边，，，的像分别为

，

，

，

。

的上水平边界的坐标为

在的内边界上的点中与距离最小的点满足下式

。

由的构造知：在的作用下，分量压缩到一定值其余分量作相应的伸缩。又由于，是仿射，故在的内边界上的限制可以表示为

，

存在，。

所以，当时，的内边界将交的上水平边界(至少)两点。

因为是固定的常数，故要使成立，只需取足够大即可。而当时，存在使得。当时，是正的且当充分大时，成立。故得证。

接下来后半部分的证明类似于引理1和引理2的证明。

对于上的矩形，只需在中找出两个不相交的-水平带映射为自身上的-垂直带，使得假设1和假设2成立。

由引理3可知：当时，存在满足假设1的-水平带。

当满足稳定流行比不稳定流行弱即即时，类似于引理1和引理2的计算可知假设2也成立。

综上，由的构造可知，当满足时对充分大，包含不变Cantor集，并且在上共轭于二符号上的一全平移。故存在可数无穷多个马蹄。

致谢

本文是在金银来老师的指导和赵雪、丁本艳同学的批评指正下完成的。借此再次向老师和朋友致以深深地敬意和衷心的感谢！同时也感谢《理论数学》各位老师对本文提出宝贵建议。

文章引用

高岳让,赵 雪,丁本艳, (2015) 一类两点异宿环中含马蹄的充分条件
A Sufficient Condition of a Class of Two Points Heteroclinic Loop Having Horseshoe. 理论数学,03,105-110. doi: 10.12677/PM.2015.53017

参考文献 (References)