Pure Mathematics
Vol.07 No.03(2017), Article ID:20516,4
pages
10.12677/PM.2017.73019
A Finite Extension of a Finitely Generated Torsion-Free Nilpotent Groups with Automorphisms of Order Four
Xiaodi Ma1, Yanping Zhang2, Tao Xu2*
1College of Computer Science and Technology, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing Jiangsu
2College of Science, Hebei University of Engineering, Handan Hebei
Received: Apr. 26th, 2017; accepted: May 12th, 2017; published: May 16th, 2017
ABSTRACT
Let G be a finite extension of a finitely generated torsion-free nilpotent group and be an automorphism of order four of G. If the map
defined by
is surjective, then the second derived subgroup
is included in the centre of G and
is an Abelian group.
Keywords:Finitely Generated, Torsion-Free Nilpotent Group, Finite Extension, Automorphism
有限生成无挠幂零群的有限扩张的4阶自同构
马晓迪1,张艳萍2,徐涛2*
1南京理工大学计算机科学与工程学院,江苏 南京
2河北工程大学数理学院,河北 邯郸
收稿日期:2017年4月26日;录用日期:2017年5月12日;发布日期:2017年5月16日
摘 要
设是有限生成无挠幂零群的有限扩张,
是
的4阶自同构且
是满射,则
的二阶导群
包含在
的中心
里且
是Abel群。
关键词 :有限生成,无挠幂零群,有限扩张,自同构
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言和主要结果
本文采用的符号和术语都是标准的,按照 [1] 。
在群论里,如果群的自同构
没有非平凡的不动点,则称
是正则自同构。
对于2阶正则自同构,Burnside [2] 证明了一个经典结果。即
命题1.1. 设是有限群,
是
的2阶正则自同构当且仅当
是奇阶Abel群。
对于素数阶正则自同构,Higman [3] 用Lie环的方法证明了:如果局部幂零群的具有素数
阶的正则自同构,那么
是幂零类不超过
的幂零群,其中
是只与
有关的函数。
舍去自同构的正则性,在满射的条件下,考虑自同构的阶数对群结构的影响,我们在 [4] 中研究了有限生成无挠幂零群的素数阶自同构,证明了:如果
是有限生成无挠幂零群
的
阶自同构,且
是满射,则
是幂零类不超过
的幂零群,其中
是只与
有关的函数。
在 [5] 中,我们考虑了有限生成无挠幂零群的4阶自同构的情况,得到了:
命题1.3. 设是有限生成无挠幂零群,
是
的4阶自同构且
是满射,则以下结论成立
(i);
(ii)是Abel群。
在本文中,我们研究了有限生成无挠幂零群的有限扩张的4阶自同构,得到了下面的结果,推广了命题1.3。
定理1.1. 设是有限生成无挠幂零群的有限扩张,
是
的4阶自同构且
是满射,则以下结论成立:
(i);
(ii)是Abel群。
2. 定理的证明
引理2.1. 设是一群,
是
的
阶自同构且
是满射,则对于任意的
,有
。
证明 因为是满射,所以对于任意的
,存在某个
,使得
。因此
引理2.2. 设是有限群,
是
的一个自同构,如果映射
是满射,则
是
的正则自同构。
证明 因为是有限群,所以
是单射。任取
,设
,则有
,进而
。因此
是正则自同构。
引理2.3. 设是一群,
是
的指数有限的特征子群。如果映射
是满射,其中
是
的一个自同构,则
在
上诱导的自同构是正则的。
证明 因为是满射,所以
是满射,由引理2.2知
诱导了
的正则自同构。
引理2.4. 设是有限生成无挠幂零群的有限扩张,
是
的
阶自同构且
是满射,则
有一个指数有限的特征子群
,使得以下结论成立
(i);
(ii) 对于任意的正整数,
诱导了
的正则自同构
。
证明 (i) 设是有限群,
是有限生成的无挠幂零群。设
的幂指数为
,则
是有限生成的无挠幂零群。记
,则
是有限群,由 [1] 的定理5.2.21可知
是剩余有限p-群。因此 对于任意的正整数
,
是有限p-群且
。
(ii) 易知是满射,由引理2.3可知
是正则自同构。
引理2.5. [6] 设是局部有限群,
是
的4阶正则自同构,则
包含在
中。
定理1.1的证明 (i) 取,根据引理2.4的(ii)我们可以知道对于任意的正整数
,
诱导了
的正则自同构
。易知
的阶数整除4。由命题1.1和引理2.5知道
包含在
的中心里。因此
。即
。从而
进而
因为,所以
。
(ii) 记,只需证
是Abel群即可。取
,考虑
。如果
,则
是
的2阶正则自同构。由命题1.1知道
是Abel群。因此对于任意的
,有
。
即。因为
,所以
。这表明
是Abel群。显然
也是Abel群。如果
,则
是
-不变,因此
是
的1阶或2阶自同构。注意到
于是是
的正则自同构。因为
,所以
是
的2阶正则自同构。由 命题1.1知道
是Abel群。注意到
我们有是Abel群。所以对于任意的
,有
。即
。因为
,所以
。这表明
是Abel群。
基金项目
国家数学天元青年基金(11626078),河北省教育厅青年基金(QN2016184)和邯郸市科学技术研究与发展计划项目(1624230057-3)资助。
文章引用
马晓迪,张艳萍,徐涛. 有限生成无挠幂零群的有限扩张的4阶自同构
A Finite Extension of a Finitely Generated Torsion-Free Nilpotent Groups with Automorphisms of Order Four[J]. 理论数学, 2017, 07(03): 155-158. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.73019
参考文献 (References)
- 1. Robinson, D.J.S. (1996) A Course in the Theory of Groups. 2nd Edition, Springer-Verlag, New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-8594-1
- 2. Burnside, W. (1955) Theory of Groups of Finite Order. 2nd Edition, Dover Publications Inc., New York.
- 3. Higman, G. (1957) Groups and Rings Having Automorphisms without Non-Trivial Fixed Elements. Journal of the London Mathematical Society, s1-32, 321-334. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-32.3.321
- 4. Tao, X. and Liu, H.G. (2016) Finitely Generated Torsion-Free Nilpotent Groups Admitting an Automorphism of Prime Order. Communications in Mathematical Research, 32, 167-172.
- 5. 马晓迪, 徐涛. 有限生成无挠幂零群的4阶自同构[J]. 理论数学, 2016, 6(5): 437-440.
- 6. Kovács, L.G. (1961) Group with Regular Automorphisms of Order Four. Mathematische Zeitschrift, 75, 277-294. https://doi.org/10.1007/BF01211026
NOTES
*通讯作者。