Pure Mathematics
Vol.
09
No.
06
(
2019
), Article ID:
31609
,
5
pages
10.12677/PM.2019.96092
Two-Dimension Projective Linear Groups Act Block-Transitively on 5-(q + 1, 6, λ) Designs
Lele Wei1*, Jie Li2
1School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong
2School of Computer Science and Technology, Qingdao University, Qingdao Shandong
Received: Jul. 11th, 2019; accepted: Jul. 21st, 2019; published: Aug. 7th, 2019
ABSTRACT
Let D = (X, B) be a 5-(q + 1, 6, λ) design. Let G ≤ Aut(D) act block-transitively on D. By using the orbits of two-dimension projective linear groups on the projective lines, the results show that: 1) if G = PGL(2, q), then D is a unique 5-(12, 6, 2) design; 2) if G = PSL(2, q), then D has two nonisomorphic 5-(12, 6, 1) designs.
Keywords:Simple t-Designs, Projective General Linear Group, Projective Special Linear Group, Automorphism Group, Block-Transitively
二维射影线性群区传递作用下的5-(q + 1, 6, λ)设计
魏乐乐1*,李杰2
1青岛大学数学与统计学院,山东 青岛
2青岛大学计算机科学技术学院,山东 青岛
收稿日期:2019年7月11日;录用日期:2019年7月21日;发布日期:2019年8月7日
摘 要
设D = (X, B)是一个5-(q + 1, 6, λ)设计。若G ≤ Aut(D)且区传递作用在D上,利用二维射影线性群在射影直线上作用的轨道证明了:1) 若G = PGL(2, q),则D为同构意义下唯一的5-(12, 6, 2)设计;2) 若G = PSL(2, q),则D有两个不同构的5-(12, 6, 1)设计。
关键词 :单纯t-设计,射影特殊线性群,射影一般线性群,自同构群,区传递
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
1.1. 研究背景
t-设计是一类非常重要的组合设计。与 的情形即BIB设计的情形相比,目前对 时的t-设计理论的研究远非完善。设 ,其中p为素数。对于以射影线性群为自同构群的t-设计的存在性及构造问题,文献 [1] 完整解决了以 为自同构群,区组长度为k的3-设计的存在性问题,这里 。文献 [2] - [8] 找到了一些 的t-设计存在的例子。文献 [6] [7] [8] 完整确定了二维射影线性群区传递作用下的 与 及 设计的参数,并构造了相应参数的设计。
参数为 的一个设计,简称t-设计,定义为符合以下条件的一对符号 :
(i) X是一个v-集合;
(ii) 是X的一组k-子集;
(iii) X的任意给定的t-子集都恰好含于 的 个成员之中。
X的元素称为点, 的成员称为区组。设 为一个 设计。若 中不包含重复区组,则称 为单纯的设计。若X的每个k-子集都在 中出现相同的次数,则称 为平凡的t-设计。当 时,任一 设计都是平凡的。本文中我们只考虑非平凡的单纯t-设计。
令 ,对任意的 , ,定义 。 称为S的轨道, 称为S的稳定子群,且 。 的一个自同构是指具有下述性质的X的置换g:如果 ,则 。由 的自同构组成 的子群,称为 的自同构群。对任意的 ,若存在 使得 ,则称G区传递作用于 上。
令q为素数幂, 为射影直线。对任意的 ,定义函数
其中
.
定义 , , , 。f称为线性分式,f的行列式为 。所有行列式为非零平方元的线性分式的集合构成线性分式群 ,它同构于 。所有行列式非零的线性分式的集合也构成群,同构于 。
设 是一个 设计, 区传递作用于 上。令 表示q元有限域, 为射影直线。本文证明了若 ,则 有两个不同构的 设计。并且用一个新的方法证明了文献 [3] 中的一个结论:若 ,则存在唯一的 设计。
1.2. 预备知识
引理1 [9] :设 , 为一个 设计。再设 ,则 也是一个 设计,此处
.
引理2 [9] :一个 设计的区组个数
.
引理3 [6] :设 为一个 设计, ,如果 区传递作用于 上,则存在唯一的 设计。
引理4 [6] :设 为一个 设计, ,如果 区传递作用于 上,则 是一个 设计。
引理5 [10] :设 ,g的阶为d且 ,则g有a个不动点和 个d圈。当 时, 的置换特征如表1所示。
Table 1. The permutation character of P S L ( 2 , q ) where q ≡ 3 ( mod 4 )
表1. 时 的置换特征
2. 定理的证明
引理6:设 为一个 设计, 。若 区传递作用于 上,则 。可能出现的情形: , 。
证明:由于 为G区传递作用下的 设计,可设 ,则 。由引理2知
.
故 。由于q为素数幂且 ,可得 。
当 时, 。由于 为正整数,故 。由引理1知,若 为一个 设计,则 也为一个 设计;若 为一个 设计,则 也为一个 ;若 为一个 设计,则 也为一个 设计;若 为一个 设计,则 也为一个 设计。再由引理3知 的值可能为2。
下用一个新的方法证明文献 [3] 中的一个结论。
定理1:设 为一个 设计, 。如果 区传递作用于 上,则存在唯一的 设计。
证明:设 。由引理6知若 ,则 。令 。由于B为X的6-子集,故B中包含f的一个5-圈和一个不动点。由于G在X上的作用是精确3重传递的,可设 ,其中
为f的一个5-圈, 为f的一个不动点。设 ,其中 。由 及 知 且 ,从而 。由于 ,故存在 使得 。由 得 。又 及 ,从而 ,即 。将方程 在 中求解,得 或 。当 时, , , 或 。当 时, , , 或 。综上述B可能为如下四种情形: , ,
, 。
取 ,调用程序得到初始区组B在G作用下的轨道 ,发现上述四个区组在同一条轨道中,且 。故只需验证 是否可以构成一个 设计。调用程序知X的任意给定的5-子集都恰好含于 的两个成员之中。故 为同构意义下满足条件的唯一的 设计。
引理7:设 为一个 设计, 。若 区传递作用于 上,则 。可能出现的情形: , 。
证明:由于 为一个G区传递作用下的 设计,设 ,则 。由引理2知
.
故 。由于q为素数幂且 ,可得 。即 。
当 时, 。由于 为正整数,故 。由引理1知,若 为一个 设计,则 也为一个 设计;若 为一个 设计,则 也为一个 设计。再由引理4知 的值可能为1。
引理8: 作用在X的6-子集上的轨道及轨道长度分别为:
, ; , ;
, ; , ;
, ; , .
证明:由Cauchy-Frobenius引理知G作用在X的6-子集上的轨道条数为: 。由引理
5知 时只有 阶元可以固定6-子集,故
.
调用程序得到G作用在X的6-子集上的轨道及轨道长度。
定理2:设 为一个 设计, 。如果 区传递作用于 上, 为两个不同构的 设计。
证明:设 。由引理7知若 ,则 。再由引理8,故只需验证 与 是否可以构成 设计。调用程序知X的任意给定的5-子集都恰好含于 的一个成员之中,其中 。即 为满足条件的两个不同构的 设计。
文章引用
魏乐乐,李 杰. 二维射影线性群区传递作用下的5-(q + 1, 6, λ)设计
Two-Dimension Projective Linear Groups Act Block-Transitively on 5-(q + 1, 6, λ) Designs[J]. 理论数学, 2019, 09(06): 694-698. https://doi.org/10.12677/PM.2019.96092
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https://doi.org/10.1017/CBO9780511600739
NOTES
*通讯作者。