范德蒙行列式的矩阵形式推广及其应用 The Popularization and Application of Matrix Form of Vandermonde’s Determinant

doi:10.12677/PM.2020.107078

Pure Mathematics
Vol. 10 No. 07 ( 2020 ), Article ID: 36547 , 7 pages
10.12677/PM.2020.107078

The Popularization and Application of Matrix Form of Vandermonde’s Determinant

Songqi Zhou^*, Ying Bai

●How to Cite this Article

Mathematics and Statistics School of Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao Hebei

Received: Jun. 21^st, 2020; accepted: Jul. 9^th, 2020; published: Jul. 16^th, 2020

ABSTRACT

The purpose of this article is to use the properties of block matrices and matrix direct products to generalize the elements of the Vandermonde determinant into a matrix form, so that the generalized determinant still has a general solution formula similar to the Vandermonde determinant, and can solve more complicated problem of determinant evaluation.

Keywords:Vandermonde Determinant, Block Matrix, Kronecker Product

范德蒙行列式的矩阵形式推广及其应用

周颂奇^*，白颖

东北大学秦皇岛分校数学与统计学院，河北秦皇岛

收稿日期：2020年6月21日；录用日期：2020年7月9日；发布日期：2020年7月16日

摘要

本文旨在利用分块矩阵及矩阵直积的性质，将范德蒙行列式中的元素换成矩阵形式进行推广，使其推广后的行列式仍具有类似范德蒙行列式的通解公式，且能解决更复杂的行列式求值问题。

关键词 :范德蒙行列式，分块矩阵，矩阵直积

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论、微积分等方面都有重要贡献，如参考文献 [1] [2] [3]；在其他工程技术领域如计算机技术、自动化技术等也有广泛的应用。但由于传统的范德蒙行列式中的元素均为实数，适用范围有限，故本文利用分块矩阵及矩阵直积的性质，将行列式中的元素换成分块矩阵进行推广，使其应用范围更加广泛。

2. 预备知识

1) n阶范德蒙行列式的通解公式

$d = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \dots & a_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & a_{3}^{n - 1} & \dots & a_{n}^{n - 1} \end{matrix} | = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (a_{i} - a_{j})$ 。

2) 分块矩阵3点性质：

性质2.1： [4] 设矩阵 $A = {(a_{i k})}_{s \times n}$ ，矩阵 $B = {(b_{k j})}_{n \times m}$ ，把A，B分成一些小矩阵：

$A = \begin{matrix} \begin{matrix} n_{1} & n_{2} & \dots & n_{l} \end{matrix} \\ \begin{matrix} s_{1} \\ s_{2} \\ ⋮ \\ s_{t} \end{matrix} & [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 l} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 l} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{t 1} & A_{t 2} & \dots & A_{t l} \end{matrix}] \end{matrix}$ ， $B = \begin{matrix} \begin{matrix} m_{1} & m_{2} & \dots & m_{r} \end{matrix} \\ \begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ ⋮ \\ n_{l} \end{matrix} & [\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{l 1} & B_{l 2} & \dots & B_{l r} \end{matrix}] \end{matrix}$ ，

其中 $A_{i j}$ 是 $s_{i} \times n_{j}$ 小矩阵，每个 $B_{i j}$ 是 $n_{i} \times m_{j}$ 小矩阵，于是有

$C = A B = \begin{matrix} \begin{matrix} m_{1} & m_{2} & \dots & m_{r} \end{matrix} \\ \begin{matrix} s_{1} \\ s_{2} \\ ⋮ \\ s_{t} \end{matrix} & [\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1 r} \\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ C_{t 1} & C_{t 2} & \dots & C_{t r} \end{matrix}] \end{matrix}$

其中， $C_{p q} = A_{p 1} B_{1 q} + A_{p 2} B_{2 q} + \dots + A_{p l} B_{l q}$ 。

性质2.2： [4] 若矩阵A可逆，则有

$| \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} | = | A | | D - C A^{- 1} B |$

3) 矩阵直积的定义与性质：

定义2.1：设矩阵 $A = {(a_{i j})}_{m \times n}$ ， $B = {(b_{i j})}_{p \times q}$ ，称如下的分块矩阵

$A \otimes B = (\begin{matrix} a_{11} B & a_{12} B & \dots & a_{1 n} B \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} B & a_{m 2} B & \dots & a_{m n} B \end{matrix})$

为A与B的直积。

性质2.3： [5] $A \in C^{m \times m}$ 的全体特征值是 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m}$ ， $B \in C^{n \times n}$ 的全体特征值是 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ ，则 $A \otimes B$ 的全体特征值是 $λ_{i} μ_{j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ 。

证明：因为任何方阵都可以化成约当标准型，且对角线的元素都是矩阵的特征值，所以用约当标准型来证明，因为存在P、Q，使得

$P^{- 1} A P = J_{A}$ ， $Q^{- 1} B Q = J_{B}$ ，

$J_{A} = (\begin{matrix} λ_{1} \\ t_{1} & λ_{2} \\ ⋱ & ⋱ \\ t_{m - 1} & λ_{m} \end{matrix})$ ， $J_{B} = (\begin{matrix} μ_{1} \\ s_{1} & μ_{2} \\ ⋱ & ⋱ \\ s_{n - 1} & μ_{n} \end{matrix})$ ，

这里 $t_{i}$ ， $s_{i}$ 代表1或者0，于是

${(P \otimes Q)}^{- 1} (A \otimes B) (P \otimes Q) = (P^{- 1} A P) \otimes (Q^{- 1} B Q) = J_{A} \otimes J_{B}$ ，

故 $A \otimes B$ 的特征值即 $J_{A} \otimes J_{B}$ 的特征值是 $λ_{i} μ_{j}$ 。

性质2.4： [5] 设 $A \in C^{m \times m}$ ， $B \in C^{n \times n}$ ，则 $| A \otimes B | = {| A |}^{n} \cdot {| B |}^{m}$ 。

证明：由性质2.4，知 $A \otimes B$ 的特征值是 $λ_{i} μ_{j}$ ，于是

$| A \otimes B | = \prod λ_{i} μ_{j} = {(\prod λ_{i})}^{n} \times {(\prod u_{j})}^{m} = {| A |}^{n} {| B |}^{m}$ 。

3. 主要结论

命题3.1：设方阵A由如下分块矩阵组成

$A = (\begin{matrix} A_{11} & \dots & A_{1 j} & \dots & A_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{i 1} & \dots & A_{i j} & \dots & A_{i n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & \dots & A_{n j} & \dots & A_{n n} \end{matrix})$

其中 $A_{i j} (1 \leq i \leq n)$ 都是s阶方阵，M是任一s阶方阵，对于矩阵

$B = (\begin{matrix} A_{11} & \dots & M A_{1 j} & \dots & A_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{i 1} & \dots & M A_{i j} & \dots & A_{i n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & \dots & M A_{n j} & \dots & A_{n n} \end{matrix})$ ， $C = (\begin{matrix} A_{11} & \dots & A_{1 j} & \dots & A_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ M A_{i 1} & \dots & M A_{i j} & \dots & M A_{i n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & \dots & A_{n j} & \dots & A_{n n} \end{matrix})$

则有 $| B | = | C | = | M | | A |$ 。

证明： $B = (\begin{matrix} A_{11} & \dots & A_{1 j} & \dots & A_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{i 1} & \dots & A_{i j} & \dots & A_{i n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & \dots & A_{n j} & \dots & A_{n n} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} E \\ ⋱ \\ M \\ ⋱ \\ E \end{matrix}) = A \cdot (\begin{matrix} E \\ ⋱ \\ M \\ ⋱ \\ E \end{matrix})$ ，

于是 $| B | = | A | \cdot | \begin{matrix} E \\ ⋱ \\ M \\ ⋱ \\ E \end{matrix} | = | A | \cdot | M |$ 。

同理， $C = (\begin{matrix} E \\ ⋱ \\ M \\ ⋱ \\ E \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} A_{11} & \dots & A_{1 j} & \dots & A_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{i 1} & \dots & A_{i j} & \dots & A_{i n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & \dots & A_{n j} & \dots & A_{n n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E \\ ⋱ \\ M \\ ⋱ \\ E \end{matrix}) \cdot A$ ，

于是 $| C | = | \begin{matrix} E \\ ⋱ \\ M \\ ⋱ \\ E \end{matrix} | \cdot | A | = | M | \cdot | A | = | A | \cdot | M | = | B |$ ,证明完毕。

定理3.1：设n阶分块矩阵的行列式如下：

$| D | = | \begin{matrix} E & E & E & \dots & E \\ D_{1} & D_{2} & D_{3} & \dots & D_{n} \\ D_{1}^{2} & D_{2}^{2} & D_{3}^{2} & \dots & D_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ D_{1}^{n - 1} & D_{2}^{n - 1} & D_{3}^{n - 1} & \dots & D_{n}^{n - 1} \end{matrix} |$ (1)

其中，小矩阵块 $E, D_{i} (1 \leq i \leq n)$ 均为同阶方阵，则有 $| D | = \prod_{1 \leq j < i \leq n} | D_{i} - D_{j} |$ 。

证明(数学归纳法)：

当 $n = 2$ 时由性质2.2，可得

$| \begin{matrix} E & E \\ D_{1} & D_{2} \end{matrix} | = | E | | D_{2} - D_{1} E E | = | D_{2} - D_{1} |$

满足定理公式。

假设定理公式对于 $n - 1$ 阶的行列式成立，现在来看对于n阶的情形。在(1)式中，用第n行减去 $D_{1}$ 左乘第 $n - 1$ 行，用第 $n - 1$ 行减去 $D_{1}$ 左乘第 $n - 2$ 行，也就是自下而上依次用每一行减去 $D_{1}$ 左乘它上一行，也即

$\begin{array}{l} | (\begin{matrix} E \\ - D_{1} & E \\ ⋱ & ⋱ \\ - D_{1} & E \end{matrix}) (\begin{matrix} E & E & \dots & E \\ D_{1} & D_{2} & \dots & D_{n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ D_{1}^{n - 1} & D_{2}^{n - 1} & \dots & D_{n}^{n - 1} \end{matrix}) | \\ = | \begin{matrix} E \\ - D_{1} & E \\ ⋱ & ⋱ \\ - D_{1} & E \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} E & E & \dots & E \\ D_{1} & D_{2} & \dots & D_{n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ D_{1}^{n - 1} & D_{2}^{n - 1} & \dots & D_{n}^{n - 1} \end{matrix} | = | D | \end{array}$

因此可得：

$\begin{matrix} | D | = | \begin{matrix} E & E & \dots & E \\ O & D_{2} - D_{1} & \dots & D_{n} - D_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ O & D_{2}^{n - 1} - D_{1} D_{2}^{n - 2} & \dots & D_{n}^{n - 1} - D_{1} D_{n}^{n - 2} \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} D_{2} - D_{1} & D_{3} - D_{1} & \dots & D_{n} - D_{1} \\ D_{2}^{2} - D_{1} D_{2} & D_{3}^{2} - D_{1} D_{3} & \dots & D_{n}^{2} - D_{1} D_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ D_{2}^{n - 1} - D_{1} D_{2}^{n - 2} & D_{3}^{n - 1} - D_{1} D_{3}^{n - 2} & \dots & D_{n}^{n - 1} - D_{1} D_{n}^{n - 2} \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} D_{2} - D_{1} & D_{3} - D_{1} & \dots & D_{n} - D_{1} \\ (D_{2} - D_{1}) D_{2} & (D_{3} - D_{1}) D_{3} & \dots & (D_{n} - D_{1}) D_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ (D_{2} - D_{1}) D_{2}^{n - 2} & (D_{3} - D_{1}) D_{3}^{n - 2} & \dots & (D_{n} - D_{1}) D_{n}^{n - 2} \end{matrix} | \end{matrix}$

由命题3.1，上式可以化简为：

$| D_{2} - D_{1} | \times | D_{3} - D_{1} | \times \dots \times | D_{n} - D_{1} | \times | \begin{matrix} E & E & \dots & E \\ D_{2} & D_{3} & \dots & D_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ D_{2}^{n - 2} & D_{3}^{n - 2} & \dots & D_{n}^{n - 2} \end{matrix} |$

由于后面这个行列式是一个 $n - 1$ 级范德蒙行列式的矩阵推广形式，根据归纳假设，它就等于所有可能差 $| D_{i} - D_{j} | (2 \leq j < i \leq n)$ 的乘积；又由于包含 $| D_{k} - D_{1} | (2 \leq k \leq n)$ 的项在前面已经全部出现。因此，可以得出结论，定理公式对n级范德蒙行列式的矩阵推广形式也成立。根据数学归纳法，证明完毕。

定理3.2：若n阶分块矩阵行列式如下：

$| D | = | \begin{matrix} B & B & B & \dots & B \\ a_{1} B & a_{2} B & a_{3} B & \dots & a_{m} B \\ a_{1}^{2} B & a_{2}^{2} B & a_{3}^{2} B & \dots & a_{m}^{2} B \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{m - 1} B & a_{2}^{m - 1} B & a_{3}^{m - 1} B & \dots & a_{m}^{m - 1} B \end{matrix} |$

其中 $B \in C^{n \times n}$ ，则有

$| D | = {(\prod_{1 \leq j < i \leq n} (a_{i} - a_{j}))}^{n} {| B |}^{m}$ 。

证明：令

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \dots & a_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{m - 1} & a_{2}^{m - 1} & a_{3}^{m - 1} & \dots & a_{m}^{m - 1} \end{matrix})$

由矩阵直积的定义2.1及性质2.4可知：

$| D | = | A \otimes B | = {| A |}^{n} {| B |}^{m}$

根据范德蒙行列式的通解公式，可知：

$| A | = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (a_{i} - a_{j})$

故上式可整理得：

$| D | = {(\prod_{1 \leq j < i \leq n} (a_{i} - a_{j}))}^{n} {| B |}^{m}$

完成证明。

4. 应用举例

1) 计算 $| D | = | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 \\ 5 & 8 & 10 & 15 & 17 & 24 \\ 8 & 13 & 15 & 25 & 24 & 41 \end{matrix} |$ 的值。

解：

由于 ${| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} |}^{2} = | \begin{matrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{matrix} |$ ， ${| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} |}^{2} = | \begin{matrix} 10 & 15 \\ 15 & 25 \end{matrix} |$ ， ${| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} |}^{2} = | \begin{matrix} 17 & 24 \\ 24 & 41 \end{matrix} |$ ，

令 $D_{1} = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} |$ ， $D_{2} = | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} |$ ， $D_{3} = | \begin{matrix} 1 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} |$ ，

所以可以直接使用定理3.1，解得：

$| D | = | D_{2} - D_{1} | | D_{3} - D_{1} | | D_{3} - D_{2} | = | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} | \times | \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} | \times | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} | = (- 1) \times (- 4) \times (- 1) = - 4.$

2) 计算 $| D | = | \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 \\ x & 2 x & y & 2 y & z & 2 z \\ 3 x & 4 x & 3 y & 4 y & 3 z & 4 z \\ x^{2} & 2 x^{2} & y^{2} & 2 y^{2} & z {}^{2} & 2 z {}^{2} \\ 3 x^{2} & 4 x^{2} & 3 y^{2} & 4 y^{2} & 3 z {}^{2} & 4 z {}^{2} \end{matrix} |$ 的值。

解：

$| D | = | (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{matrix}) \otimes (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) |$

利用定理3.2，可直接解得结果为

$| D | = {| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{matrix} |}^{2} \times {| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |}^{3} = {((z - y) (z - x) (y - x))}^{2} {| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |}^{3} = - 8 {((z - y) (z - x) (y - x))}^{2}$

文章引用

周颂奇,白颖. 范德蒙行列式的矩阵形式推广及其应用
The Popularization and Application of Matrix Form of Vandermonde’s Determinant[J]. 理论数学, 2020, 10(07): 648-654. https://doi.org/10.12677/PM.2020.107078

参考文献

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