广西民族大学数学与物理学院，广西 南宁

收稿日期：2023年4月4日；录用日期：2023年5月8日；发布日期：2023年5月15日

摘要

本文主要研究黎曼流形上外微分形式拉普拉斯方程解的存在性问题。首先利用Hodge分解定理和格林算子对Laplace算子 $\Delta$ 的无穷迭代特征值谱分析给出求解方法，然后利用迭代法对外微分形式的拉普拉斯方程 $\Delta \alpha =\omega$ 进行拓展，最后得到k阶拉普拉斯方程的迭代解，这对高数阶的拉普拉斯方程的解和特征值谱分析的研究产生了一定的影响。

关键词

黎曼流形，Hodge分解定理，迭代解，拉普拉斯方程

Study on Solutions of External Differential Laplace Iterative Equations Based on Hodge’s Theory

Lining Gan, Fuhong Su, Zhiming Huang, Weijun Lu^*

College of Mathematics and Physics, Guangxi Minzu University, Nanning Guangxi

Received: Apr. 4^th, 2023; accepted: May 8^th, 2023; published: May 15^th, 2023

ABSTRACT

In this paper, we mainly study the existence of solutions to the external differential form Laplace’s equation on Riemannian manifold. Firstly, the Hodge decomposition theorem and the Green operator are used to give a solution method for the infinite iterative eigenvalue spectrum analysis of the Laplace operator. Then, the iterative method is used to expand the Laplace’s equation $\Delta \alpha =\omega$ in the external differential form, and finally the iterative solution of the Laplace’s equation k-order is obtained, which has a certain impact on the research of the solutions of the Laplace’s equation of higher order and eigenvalue spectrum analysis.

Keywords:Riemann Manifolds, Hodge Decomposition Theorem, Iterative Solution, Laplace Equation

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Warner [1] 利用Fourier级数作为基本工具给出了Hodge理论较详细的证明过程，并解决了Lapace算子的特征函数的性质和Peter-Weyl定理，对许多困难问题的解决给出解题思路。而后伍鸿熙，陈维桓 [2] 根据Garding不等式、正则性定理以及Rellich引理给出了不一样的Hodge定理的证明和de Rham上同调的Poincaré对偶定理。余扬政和冯承天 [3] 另辟蹊径，从环面上研究Hodge分解定理，并研究其在上同调理论中的应用。对于外微分形式上的拉普拉斯方程，许多学者也对它进行了深入的研究。李晓静等人 [4] 利用Mawhin拓展定理研究了一类带p-Laplace算子的非线性项前系数可变号的高阶Rayleigh型泛函微分方程周期解存在性问题。而张立新和崔海英 [5] 则对具有p-Laplace算子的三点边值问题通过单调迭代方法得到迭代解。文献 [6] [7] 利用临界点理论、变分方法和分数阶变指数Sobolev空间理论，研究带有非局部系数的分数阶p(x)-拉普拉斯方程边值问题的可解性。当非线性项在零点附近次线性或在无穷远处局部超线性增长时，得到了此类问题多重解存在的充分条件。在文献 [8] 中，通过变分法和约束变分法证明方程对应的泛函满足Palais-Smale条件，将求解特征值转化为求解泛函的临界值得到所定义空间中的特征值和特征向量。

为了得到拉普拉斯方程的迭代解，本文首先在完备化的 $L^2\left(M\right)$ 空间上利用正则性定理和紧性定理给出了Hodge分解定理的证明，然后应用格林算子和Laplace算子 $\Delta$ 的特征值谱分析的迭代关系，给出了黎曼流形上外微分形式k阶拉普拉斯方程 ${\Delta }^k\alpha =\omega$ 的迭代解。

2. 相关知识

2.1. 外微分算子

定义2.1.1 [9] 设M是n维光滑紧定向的黎曼流形， $E^p\left(M\right)$ 是M上所有p-形式构成的向量空间。对于可微流形M，存在一个由p次微分到 $\left(p+1\right)$ 次微分形式的映射

$d:E^p\left(M\right)\to E^{p+1}\left(M\right).$

如果d满足并以下条件

1) $d\left(\alpha +\beta \right)=d\alpha +d\beta$ ， $\alpha$ 和 $\beta$ 是任意次微分形式；

2) $d\left(\alpha \wedge \beta \right)=d\alpha \wedge \beta +{\left(-1\right)}^p\alpha \wedge d\beta$ ， $\forall \alpha \in E^p\left(M\right),\beta \in E^{p+1}\left(M\right)$ ；

3) $d\circ d=d^2=0$ 。

则把d称为外微分或外导数。

2.2. 微分形式上的算子

定义2.2.1 [9] 把线性映射

$\ast :E^p\left(M\right)\to E^{n-p}\left(M\right)$ .

称为Hodge星算子，对于 $\forall \omega \in E^p\left(M\right)$ ，称 $\ast \omega$ 为 $\omega$ 的伴随形式或对偶形式，相应的数学运算叫做对偶运算。若连续两次被Hodge算子作用，则得到双对偶形式，即

${\ast \ast |}_{E^P\left(M\right)}={{\left(-1\right)}^{p\left(n-p\right)}Id|}_{E^P\left(M\right)}$ .

关于Hodge星算子有下面引理。

引理2.2.2 设 $\left(M,g\right)$ 是n维可定向的紧黎曼流形，则对 $\forall \omega ,\eta \in E^p\left(M\right)$ ，Hodge星算子满足

1) $\omega \wedge \ast \eta =\langle \eta ,\ast \omega \rangle d{V}_M$ ；

2) $\ast \left(\ast \omega \right)={\left(-1\right)}^{p\left(n-p\right)}\omega$ ；

3) $\left(\ast \omega ,\ast \eta \right)=\left(\omega ,\eta \right)$ ；

4) $d{V}_M=\ast 1$ ， $\ast d{V}_M=1$ 。

下面给出1) 2)的证明，其他可用类似的方法证明。

证明 对 $\forall \omega ,\eta \in E^p\left(M\right)$ 在局部坐标系 $\left\{U;x^i\right\}$ 下有

${\omega |}_U=\frac{1}{p!}{\omega }_{i_1\cdots i_p}d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_p},{\eta |}_U=\frac{1}{p!}{\eta }_{j_1\cdots j_p}d{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{j_p}$ , (2.2.1)

先证(1)，根据定义直接计算

$\begin{array}{l}\omega \wedge \ast \eta =\frac{1}{P!}\frac{1}{p!\left(n-p\right)!}{\omega }_{i_1\cdots i_p}{\eta }^{j_1\cdot \cdot \cdot j_p}{\delta }_{i_1\cdots i_n}^{1\cdots n}d{x}^{i_1}\wedge \cdots d{x}^{i_p}\wedge d{x}^{j_{p+1}}\wedge \cdots \wedge d{x}^{j_n}\\ =\frac{\sqrt{D}}{p!p!}\frac{1}{\left(n-p\right)!}{\omega }_{i_1\cdots i_p}{\eta }^{j_1\cdot \cdot \cdot j_p}{\delta }_{j_1\cdots j_n}^{1\cdots n}{\delta }_{1\cdots pp+1\cdots n}^{i_1\cdots i_p{j}_{p+1}\cdots j_n}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n\\ =\frac{1}{p!}{\omega }_{i_1\cdots i_p}{\eta }^{j_1\cdot \cdot \cdot j_p}\sqrt{D}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n=\langle \omega ,\eta \rangle d{V}_M.\end{array}$ (2.2.2)

其中 $D=\sqrt{g_{ij}}$ 。对于2)从证明1)我们注意到

$\ast \omega =\frac{\sqrt{D}}{p!\left(n-p\right)!}{\omega }^{i_1\cdot \cdot \cdot i_p}{\delta }_{i_1\cdots i_n}^{1\cdots n}d{x}^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_n}$ .

所以

$\begin{array}{l}\ast \left(\ast \omega \right)=\frac{\sqrt{D}}{p!\left(n-p\right)!}{\left(\ast \omega \right)}^{j_1\dots j_{n-p}}{\delta }_{j_1\cdots j_n}^{1\cdots n}d{x}^{j_{n-p+1}}\wedge \cdots \wedge d{x}^{j_n}\\ =\frac{{\left(-1\right)}^{p\left(n-p\right)}}{p!}\frac{D}{p!\left(n-p\right)!}{\delta }_{j_1\cdots j_n}^{1\cdots n}{\delta }_{i_1\cdots i_n}^{1\cdots n}{g}^{i_1{l}_1}\cdots g^{i_p{l}_p}\cdot g^{i_{p+1}{l}_{p+1}}\cdots g^{i_n{j}_n}{\omega }_{l_1\cdots l_p}d{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{j_p}\\ ={\left(-1\right)}^{p\left(n-p\right)}\frac{1}{p!}{\omega }_{j_1\cdots j_p}d{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{j_p}={\left(-1\right)}^{p\left(n-p\right)}\omega .\end{array}$ (2.2.3)

定义2.2.3 设 $\left(M,g\right)$ 是n维定向黎曼流形，线性映射

$d^{\ast }:E^p\left(M\right)\to E^{p-1}\left(M\right)$ .

称为M上的余微分算子，它的物理意义为散度，且 $d^{\ast }{}^2=0$ 。可用链式线性映射表示之间的关系

$E^p\left(M\right)\stackrel{\ast }{\to }{E}^{n-p}\left(M\right)\stackrel{d}{\to }{E}^{n-p+1}\left(M\right)\stackrel{\ast }{\to }{E}^{p-1}\left(M\right)$ .

则有

$d^{\ast }={\left(-1\right)}^{n\left(p+1\right)+1}\ast \circ d\circ \ast$ . (2.2.4)

在0-形式上， $d^{\ast }$ 就是零线性泛函，并且与d互为伴随算子

$\langle d\omega ,\eta \rangle =\langle \omega ,d^{\ast }\eta \rangle$ .

定义2.2.4 [9] 把由p次微分形式到p次微分形式的线性映射

$\Delta =d\circ d^{\ast }+d^{\ast }\circ d:E^p\left(M\right)\to E^p\left(M\right)$ . (2.2.5)

称为M上的Hodge-Laplace算子。

性质2.2.5 Hodge-Laplace算子具有下面性质：

1) $\Delta$ 为自伴算子，即 $\left(\Delta \omega ,\eta \right)=\left(\omega ,\Delta \eta \right)$ ；

2) $\left(\Delta \omega ,\omega \right)\ge 0$ ，当且仅当 $\Delta \omega =0$ 时等号成立；

3) $\ast \Delta =\Delta \ast$ ， $\Delta \ast$ 为其伴随算子。

证明 首先证明1)，设任意的 $\omega ,\eta \in E^p\left(M\right)$ 有

$\begin{array}{l}\left(\Delta \omega ,\eta \right)=\left(\left(d{d}^{\ast }+d^{\ast }d\right)\omega ,\eta \right)=\left(d{d}^{\ast }\omega ,\eta \right)+\left(d^{\ast }d\omega ,\eta \right)\\ =\left(d^{\ast }\omega ,d^{\ast }\eta \right)+\left(d\omega ,d\eta \right)=\left(\omega ,d{d}^{\ast }\eta \right)+\left(\omega ,d^{\ast }d\eta \right)\\ =\left(\omega ,\left(d{d}^{\ast }+d^{\ast }d\right)\eta \right)=\left(\omega ,\Delta \eta \right).\end{array}$ (2.2.6)

即 $\Delta$ 是一个自伴算子。

2) 对任意的 $\omega \in E^p\left(M\right)$ ，利用 $\Delta$ 的定义得

$\begin{array}{l}\left(\Delta \omega ,\omega \right)=\left(\left(d{d}^{\ast }+d^{\ast }d\right)\omega ,\omega \right)=\left(d{d}^{\ast }\omega ,\omega \right)+\left(d^{\ast }d\omega ,\omega \right)\\ =\left(d^{\ast }\omega ,d^{\ast }\omega \right)+\left(d\omega ,d\omega \right)={\Vert d^{\ast }\omega \Vert }^2+{\Vert d\omega \Vert }^2\ge 0.\end{array}$ (2.2.7)

3) 利用 $\Delta$ 的定义和Hodge星算子 $\ast$ 的性质有

$\begin{array}{l}\ast \Delta =\ast \left(d{d}^{\ast }+d^{\ast }d\right)=\ast d{d}^{\ast }+\ast d^{\ast }d\\ =d^{\ast }d\ast +d{d}^{\ast }\ast =\left(d^{\ast }d+d{d}^{\ast }\right)\ast =\Delta \ast .\end{array}$

故 $\ast \Delta =\Delta \ast$ 。

3. Hodge分解定理的证明

为了便于理解，下面基于文献 [9] 和 [10] 的证明的基础上给出Hodge分解定理的证明，在证明Hodge分解定理之前先补充一些相关知识点。

定义3.1 对于 $\omega \in E^p\left(M\right)$ ，如果存在 $\Delta \omega =0$ ，把 $\omega$ 叫做 $E^p\left(M\right)$ 上的p次调和形式。用 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 表示M上全体p次调和形式构成的集合

${\mathcal{H}}^p\left(M\right)=\left\{\omega \in E^p\left(M\right)|\Delta \omega =0\right\}=\ker \Delta$ . (3.1)

并且 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 与M上的第p个de Rham上同调群 ${\mathcal{H}}^p\left(M,R\right)$ 是同构的。

利用d与 $d^{\ast }$ 互为共轭，易知

$\langle \Delta \omega ,\omega \rangle =\langle d{d}^{\ast }\omega ,\omega \rangle +\langle d^{\ast }d\omega ,\omega \rangle ={\left|d^{\ast }\omega \right|}^2+{\left|d\omega \right|}^2\ge 0.$

当且仅当 $d^{\ast }\omega =d\omega =0$ 时等号成立。

如果M不是紧致的，然后d和 $d^{\ast }$ 都是闭形式，根据 $\Delta$ 的定义可以知道它们是调和的。然而，相反的情况是不正确的，例如 $M=R$ 上的函数x，上面的论证在处理不一定是收敛的积分时就崩溃了。

引理3.2 设 $E^p\left(M\right)$ 到 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 的正交投影算子为

$\begin{array}{l}H:E^p\left(M\right)\to {\mathcal{H}}^p\left(M\right)=\left\{\omega \left|E^p\left(M\right)\right|\Delta \omega =0\right\}=\ker \Delta ,\\ \alpha \mapsto H\left(\alpha \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}\left(\alpha ,{\omega }_i\right){\omega }_i}.\end{array}$

使得

1) 对 $\forall \alpha \in E^p\left(M\right)$ ，存在唯一的p-形式 $H\left(\alpha \right)\in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ ，使得

$\left(\alpha ,\gamma \right)=\left(H\left(\alpha \right),\gamma \right),\forall \gamma \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ .

2) 对任意p-形式 $\alpha \in E^p\left(M\right)$ ，H满足 $H\left(H\left(\alpha \right)\right)=H\left(\alpha \right)$ 。

其中 $\forall \alpha \in E^p\left(M\right)$ ， $H\left(\alpha \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}\left(\alpha ,{\omega }_i\right)}$ ， $\Delta H\left(\alpha \right)=0$ ，这里 $\left\{{\omega }_1,\cdots ,{\omega }_i\right\}$ 为调和空间 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 的规范正交基。

定理3.3 [10] (紧性定理)设 $\left\{{\alpha }_n\right\}$ 是M上使得 $\Vert {\alpha }_n\Vert \le c$ 和 $\Vert \Delta {\alpha }_n\Vert \le c$ 的一个p-形式序列，对所有的n和某个常数c成立，那么 $\left\{{\alpha }_n\right\}$ 中一定存在 $E^p\left(M\right)$ 中的一个Cauchy序列。

定理3.4 [10] 设 $\left(M,g\right)$ 是一个可定向的 ${ℂ}^{\infty }$ 紧黎曼流形， $\alpha$ 是M上的光滑函数， $\omega$ 为待求的函数，方程

$\Delta \omega =\alpha$ . (3.2)

在 $E^0\left(M\right)$ 中的线性泛函 $\tau :E^0\left(M\right)\to R$ ，有

$\tau \left(\Delta \beta \right)=\langle \beta ,\alpha \rangle ,\forall \beta \in E^0\left(M\right)$ .

则称有界的线性泛函 $\tau$ 是方程(3.2)的弱解。

定理3.5 [10] (正则性定理)设 $\alpha \in E^p\left(M\right)$ ， $\tau$ 为 $\Delta \omega =\alpha$ 的一个弱解，那么存在 $\omega \in E^p\left(M\right)$ ，使得对任意的 $\beta \in E^p\left(M\right)$ 有

$\tau \left(\beta \right)=\langle \omega ,\beta \rangle$ . (3.3)

所以 $\Delta \omega =\alpha$ 。

可见，Hodge分解定理是定理3.3和定理3.5的推论。在证明Hodge分解定理之前，先证明下面引理。

引理3.6 [9] 设存在一个常数c，使得

$\Vert \phi \Vert \le c\Vert \Delta \phi \Vert ,\phi \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ . (3.4)

证明 (反证法)设不存在一个常数c使得(3.4)成立，则存在序列 ${\varphi }_j\in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ， ${\varphi }_j\ne 0$ ，使得 $\Vert {\varphi }_j\Vert >j\Vert \Delta {\varphi }_j\Vert$ 。为了方便，设 $\Vert {\varphi }_j\Vert =1$ ，并且 $\Delta \varphi \to 0$ ，有 $\Vert {\varphi }_j\Vert <\frac{1}{j}\Vert {\varphi }_j\Vert =\frac{1}{j}\to 0$ ，由定理3.3得， ${\varphi }_j$ 存在一个Cauchy子序列，设为 $\left\{{\varphi }_j\right\}$ ，则对 $\forall \phi \in E^p\left(M\right)$ ，由Schwarz不等式得

${\left|\left({\varphi }_{j+1},\phi \right),\left({\varphi }_j,\phi \right)\right|}^2={\left|\left({\varphi }_{j+1}-{\varphi }_j\right),\phi \right|}^2\le \Vert {\varphi }_{j+1}-{\varphi }_j\Vert \Vert \phi \Vert$ .

于是得到 $\left\{\left({\varphi }_j,\phi \right)\right\}$ 也是Cauchy序列，因而 $\underset{j\to +\infty }{\lim }\left({\varphi }_j,\phi \right)$ 存在。对 $\forall \phi \in E^p\left(M\right)$ ，在 $E^p\left(M\right)$ 上定义线性泛函 $\tau$ ，且

$\tau \left(\phi \right)=\underset{j\to +\infty }{\lim }\left({\varphi }_j,\phi \right)$ .

可以知道 $\tau$ 是有界的，并且对 $\forall \phi \in E^p\left(M\right)$ ，得到 $\left|\left(\Delta {\varphi }_j,\phi \right)\right|\le \left|\Delta {\varphi }_j\right|\left|\phi \right|\to 0$ ，则有

$\tau \left(\Delta \phi \right)=\underset{j\to +\infty }{\lim }\left({\varphi }_j,\Delta \phi \right)=\underset{j\to +\infty }{\lim }\left(\Delta {\varphi }_j,\phi \right)=\left(0,\phi \right)=0$ .

所以 $\tau$ 为 $\Delta \omega =0$ 的一个弱解。由定理3.5得， $\exists \varphi \in E^p\left(M\right)$ ，使得

$\tau \left(\phi \right)=\underset{j\to +\infty }{\lim }\left({\varphi }_j,\phi \right)=\langle \psi ,\phi \rangle ,\forall \phi \in E^p\left(M\right)$ .

于是 ${\varphi }_j\to \varphi$ ，又因为 $\Vert {\varphi }_j\Vert =1$ ， ${\varphi }_j\in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ，所以 $\Vert \varphi \Vert =1$ ，且 $\varphi \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ 。但是根据定理3.5有 $\Delta \varphi =0$ ，故 $\varphi \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ ，因 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)\cap {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }=\left\{0\right\}$ ，所以 $\varphi =0\Rightarrow \Vert \varphi \Vert =0$ ，与 $\Vert \varphi \Vert =1$ 矛盾，得证。

定理3.7 [10] (Hodge分解定理)设M是n维 ${ℂ}^{\infty }$ 紧定向黎曼流形，那么

$\dim {\mathcal{H}}^p\left(M\right)<\infty$ .

并且关于M上的光滑p-形式空间 $E^p\left(M\right)$ 的正交直和分解如下

$\begin{array}{l}{E}^p\left(M\right)=\Delta \left(E^p\left(M\right)\right)\oplus {\mathcal{H}}^p\left(M\right)=\mathrm{Im}\Delta \oplus \ker \Delta \\ =\mathrm{Im}d{d}^{\ast }\oplus \mathrm{Im}{d}^{\ast }d\oplus \ker \Delta =\mathrm{Im}d\oplus \mathrm{Im}{d}^{\ast }\oplus \ker \Delta .\end{array}$ $\square$

换种说法，即对 $\forall \omega \in E^p\left(M\right)$ ，存在 $\alpha \in E^{p-1}\left(M\right)$ ， $\beta \in E^{p+1}\left(M\right)$ ， $\gamma \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 使得

$\omega =d\alpha +d^{\ast }\beta +\gamma$ . (3.5)

且 $d\alpha ,d^{\ast }\beta ,\gamma$ 的分解是唯一的。因为 $\gamma$ 是调和的，即 $d\gamma =0$ ，并根据Poincaré引理得 $d\left(d\alpha \right)=0$ 。

假设 $\omega$ 是一个闭p-形式，那么 $d\omega =0$ ，并且 $d^{\ast }\beta$ 在式子(3.5)是不存在的，所以得到一个更加简短的Hodge分解定理

$\omega =d\alpha +\gamma$ .

其中 $\omega$ 、 $\gamma$ 受 $d\alpha$ 的限制。

要证明这个定理，则需要研究它按照内积的完备化空间 $L^2\left(M\right)$ ，即证明 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 在 $L^2\left(M\right)$ 中是一个闭空间，并且 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)=\Delta {\left(E^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ 和 ${\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }=\Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ 。

证明利用Laplace-Beltrami算子的正则性容易得到 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 在 $L^2\left(M\right)$ 中是一个闭空间，便不作详细介绍。主要目的是介绍 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)=\Delta {\left(E^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ 和 ${\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }=\Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ 。

假设 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 不是有限维的，则在 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 中包含一个单位正交无穷序列 $\left\{{\omega }_1,\cdots \right\}$ ，而由定理3.3知 $\left\{{\omega }_1,\cdots \right\}$ 中存在一个Cauchy子列，但

${\Vert {\omega }_{n_j}-{\omega }_{n_{j+1}}\Vert }^2=\left({\omega }_{n_j}-{\omega }_{n_{j+1}},{\omega }_{n_j}-{\omega }_{n_{j+1}}\right)={\Vert {\omega }_{n_j}\Vert }^2+{\Vert {\omega }_{n_{j+1}}\Vert }^2-2\left({\omega }_{n_j},{\omega }_{n_{j+1}}\right)=2$ .

而距离 $\rho \left({\omega }_{n_j},{\omega }_{n_{j+1}}\right)=\Vert {\omega }_{n_j}-{\omega }_{n_{j+1}}\Vert =\sqrt{2}$ ，因此 $\left\{{\omega }_j\right\}$ 不是一个Cauchy子列，故 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 是有限维的。

设 $\left({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_t\right)$ 为 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 的规范正交基，则对 $\forall \alpha \in E^p\left(M\right)$ 可以表示为

$H\left(\alpha \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}\left(\alpha ,{\omega }_i\right){\omega }_i}=\alpha -\beta$ ,

$\alpha =\beta +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}\left(\alpha ,{\omega }_i\right){\omega }_i}$ . (3.6)

其中 $\beta \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ，这是正交于 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 所有元素组成的 $E^p\left(M\right)$ 的子空间，并且对于 $\forall \gamma \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 有

$\left(H\left(\alpha \right),\gamma \right)=\left(\alpha -\beta ,\gamma \right)=\left(\alpha ,\gamma \right)$ . (3.7)

然而，因为 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 是一个线性空间，所以对 $\beta \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ 有

$H\left(H\left(\alpha \right)\right)=H\left(\alpha \right)-H\left(\beta \right)=H\left(\alpha \right)$ . (3.8)

设 $\omega \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ ，则对任意的 $\alpha \in E^p\left(M\right)$ ，利用 $\Delta$ 为自伴算子得

$\left(\Delta \omega ,\alpha \right)=\left(\omega ,\Delta \alpha \right)=0$ .

从而 $\omega \in \Delta {\left(E^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ 。

令 $\gamma \in \Delta {\left(E^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ，则对任意的 $\beta \in E^p\left(M\right)$ 有

$\left(\gamma ,\Delta \beta \right)=0$ .

由Weyl引理得 $\gamma \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ ，所以

$\Delta {\left(E^p\left(M\right)\right)}^{\perp }={\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ . (3.9)

接下来证明 $\Delta \left(E^p\left(M\right)\right)={\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ，即要证明 $\Delta \omega =\alpha$ 总有一个解 $\omega$ 。

先证 ${\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }\subset \Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ 。

事实上，对 $\forall \Delta \omega \in \Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ ， $\alpha \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 有

$\langle \Delta \omega ,\alpha \rangle =\langle \omega ,\Delta \alpha \rangle =\left(\omega ,0\right))=0$

则 $\Delta \omega \perp \alpha$ ， $\Delta \omega \perp {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ ，则 $\Delta \omega \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ，即有 $\Delta \left(E^p\left(M\right)\right)\subset {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ 。

设 $\alpha \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ，通过对 $\forall \Delta \varphi \in \mathrm{Im}\Delta$ 诱导线性泛函 $\tau :\mathrm{Im}\Delta \to ℝ$ 有

$\tau \left(\Delta \varphi \right)=\langle \alpha ,\varphi \rangle$ 。

那么 $\tau$ 是可以确定的。如果存在 $\Delta {\varphi }_1=\Delta {\varphi }_2$ ，则 $\Delta \left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right)=0$ ，即 ${\varphi }_1-{\varphi }_2\in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 从而

$\langle \alpha ,{\varphi }_1-{\varphi }_2\rangle =\langle \alpha ,{\varphi }_1\rangle -\langle \alpha ,{\varphi }_2\rangle =0$ .

而且这个时候 $\tau$ 还是 $\Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ 上的有界线性泛函。令 $\Delta \phi \in \Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ ， $\psi \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ，由(3.4)和Cauchy-Schwarz不等式得

$\begin{array}{l}\left|\tau \left(\Delta \phi \right)\right|=\left|\tau \left(\Delta \psi \right)\right|=\left|\langle \alpha ,\psi \rangle \right|\\ \le \Vert \alpha \Vert \Vert \psi \Vert \le c\Vert \alpha \Vert \Vert \psi \Vert \\ \le c\Vert \alpha \Vert \Vert \Delta \psi \Vert =c\Vert \alpha \Vert \Vert \Delta \phi \Vert \end{array}$ (3.10)

由Hahn-Banach定理， $\tau$ 可扩充为 $\tau :E^p\left(M\right)\to ℝ$ 的线性泛函，因而 $\tau$ 是 $\Delta \omega =\alpha$ 的一个弱解。由定理3.5知 $\exists \omega \in E^p\left(M\right)$ ，使得 $\Delta \omega =\alpha \in \Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ 成立，从而

${\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }\subset \Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ .

所以

${\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }=\Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ .

综上，Hodge分解定理得证。

4. Hodge分解定理的应用

4.1. 格林算子

对于一个给定的p-形式 $\alpha$ ，一定存在一个p-形式 $\beta$ 使满足方程

$\Delta \beta =\alpha -H\left(\alpha \right)$ . (4.1.1)

由定理3.7有

$E^p\left(M\right)=d\left(E^{p-1}\left(M\right)\right)+d^{\ast }\left(E^{p+1}\left(M\right)\right)+{\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ ,

并且根据(4.1.1)也可以得 $d\alpha +d^{\ast }\beta =\alpha -H\left(\alpha \right)$ 和 $\beta$ 使 $\Delta \beta =d\alpha +d^{\ast }\beta$ 成立。令任意形式的 ${\beta }_1$ 、 ${\beta }_2$ 满足(4.1.1)，得到方程组

$\{\begin{array}{l}\Delta {\beta }_1=\alpha -H\left(\alpha \right),\\ \Delta {\beta }_2=\alpha -H\left(\alpha \right).\end{array}$

两式相减得 $\Delta \left({\beta }_1-{\beta }_2\right)=0$ ，即有 ${\beta }_1-{\beta }_2\in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ ，对于一个模调和形式，方程(4.1.1)存在一个唯一解，我们把这个解记为 $\beta =G\left(\alpha \right)$ 。并且 $\beta$ 可以投影到 $\Delta \left(E^p\left(M\right)\right)$ 上，而在(4.1.1)中只有这部分可以代替 $\beta$ 。因此假设 $G\left(\alpha \right)$ 没有调和贡献，将 $\beta$ 带进(4.1.1)得

$\alpha =G\left(\alpha \right)+H\left(\alpha \right)$ . (4.1.2)

并且对 $\forall \gamma \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 有 $\left(G\left(\alpha \right),\gamma \right)=0$ 。

定理4.1.1 (格林算子)令

$\begin{array}{l}G:E^p\left(M\right)\to {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp },\\ \alpha \mapsto G\left(\alpha \right)=\omega .\end{array}$

使得 $G\left(\alpha \right)\in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ 为方程(4.1.1)的唯一解，其中 $\alpha =\Delta \beta +H\left(\alpha \right)$ ，把这样的G称为格林算子。

从Hodge分解定理和格林算子的定义得，对于任意一个p-形式 $\alpha$ ，存在一个p-形式 $G\left(\alpha \right)$ ，满足微分方程(4.1.1)

$G\left(\alpha \right)=\alpha -H\left(\alpha \right)$ . (4.1.3)

并且也满足(4.1.2)给出的相关条件。

认识G的性质是至关重要的，这些性质在下面的引理中被揭示出来。

引理4.1.2 G可以与任何由Laplace算子 $\Delta$ 构成的线性算子交换，即G与 $d,d^{\ast },\Delta$ 都可交换，若令 $T=d,d^{\ast },\Delta$ ，则有 $GT=TG$ 。

引理4.1.3 关于格林算子G的性质：

a) G是一个自伴随算子

$\left(G\left(\alpha \right),\beta \right)=\left(\alpha ,G\left(\beta \right)\right)$ . (4.1.4)

对于任意的p-形式 $\alpha ,\beta$ 都是成立的。

b) G是一个正算子

$\left(G\left(\alpha \right),\alpha \right)\ge 0$ .

当且仅当 $\alpha$ 是调和形式时成立。

c) G是一个有界算子，对 $G\left(\alpha \right)\in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ， $\alpha \in E^p\left(M\right)$ 和存在一个常数 $c>0$ 恒有

${\Vert G\left(\alpha \right)\Vert }^2\le c\Vert \alpha \Vert \Vert G\left(\alpha \right)\Vert$ .

成立。

证明 a) 根据Hodge分解定理和定理4.1.1，设存在p-形式 $\alpha ,\gamma$ 使得

$\Delta G\left(\alpha \right)=\alpha -H\left(\alpha \right)$ ， $\Delta G\left(\gamma \right)=\gamma -H\left(\gamma \right)$ .

由正交性得 $\left(H\left(\alpha \right),\gamma \right)=\left(\alpha ,H\left(\gamma \right)\right)$ ，因此有下列关系

$\left(\Delta G\left(\alpha \right),\gamma \right)=\left(\alpha -H\left(\alpha \right),\gamma \right)=\left(\alpha ,\gamma \right)-\left(H\left(\alpha \right),\gamma \right)=\left(\alpha ,\gamma \right)$ , (4.1.5)

$\left(\alpha ,\Delta G\left(\gamma \right)\right)=\left(\alpha ,\gamma -H\left(\gamma \right)\right)=\left(\alpha ,\gamma \right)-\left(\alpha ,H\left(\gamma \right)\right)=\left(\alpha ,\gamma \right)$ . (4.1.6)

所以有

$\left(\Delta G\left(\alpha \right),\gamma \right)=\left(\alpha ,\Delta G\left(\gamma \right)\right)$ .

即G是一个自伴随算子。又因G和 $\Delta$ 是可交换的，可得到下面的表达式

$\left(\Delta G\left(\alpha \right),\gamma \right)=\left(G\left(\alpha \right),\Delta \gamma \right)$ ， $\left(\alpha ,\Delta G\left(\gamma \right)\right)=\left(\alpha ,G\Delta \gamma \right)$ .

有 $\left(G\left(\alpha \right),\Delta \gamma \right)=\left(\alpha ,G\Delta \gamma \right)$ 。设 $\beta =\Delta \gamma$ ，则有 $\left(G\left(\alpha \right),\beta \right)=\alpha \left(,G\left(\beta \right)\right)$ 。因为G的范围不相交于调和子空间，所以它没有影响。如果 $\beta$ 有一个调和项，那么它不会做出任何的贡献，它投影出去，通过子空间的正交性得到零，故G是一个自伴随算子。

b) 因为 $G\left(\alpha \right)$ 在 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 里面没有组成部分，通过应用定理4.1.1得

$\begin{array}{l}\left(G\left(\alpha \right),\Delta G\left(\alpha \right)+H\left(\alpha \right)\right)=\left(G\left(\alpha \right),\Delta G\left(\alpha \right)\right)+\left(G\left(\alpha \right),H\left(\alpha \right)\right)\\ =\left(G\left(\alpha \right),\Delta G\left(\alpha \right)\right)\\ =\left(d^{\ast }G\left(\alpha \right),d^{\ast }G\left(\alpha \right)\right)+\left(dG\left(\alpha \right),dG\left(\alpha \right)\right)\\ ={\Vert d^{\ast }G\left(\alpha \right)\Vert }^2+{\Vert dG\left(\alpha \right)\Vert }^2\ge 0.\end{array}$ (4.1.7)

因此对于p-形式 $\mu$ 有 $\left(\mu ,\mu \right)\ge 0$ 。

令 $\alpha \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ ，通过正交性有 $\left(G\left(\alpha \right),\alpha \right)=0$ ，假设 $\left(G\left(\alpha \right),\alpha \right)=0$ 并且 $G\left(\alpha \right),\alpha$ 不是0-形式，如果 $G\left(\alpha \right)\in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ，则 $\alpha \in {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 必须在正交子空间中。

c) 设存在 $\beta \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ 使得 $\Delta \beta =G\left(\alpha \right)\in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ ，并应用引理4.1.2得

$\begin{array}{l}{\Vert G\left(\alpha \right)\Vert }^2=\left(G\left(\alpha \right),G\left(\alpha \right)\right)=\left(\Delta \beta ,G\left(\alpha \right)\right)\\ =\left(\beta ,\Delta G\left(\alpha \right)\right)=\left(\beta ,\alpha -H\left(\alpha \right)\right)\\ =\left(\beta ,\alpha \right)-\left(\beta ,H\left(\alpha \right)\right)=\left(\beta ,\alpha \right)\\ \le \Vert \alpha \Vert \cdot \Vert \beta \Vert \le c\Vert \alpha \Vert \cdot \Vert \Delta \beta \Vert =c\Vert \alpha \Vert \cdot \Vert G\left(\alpha \right)\Vert .\end{array}$ (4.1.8)

所以G是一个有界算子。

引入Green算子和正交调和算子后，我们可以把定理3.7改写成一个更为简单的恒等式，即对于一个p-形式 $\alpha$ 有

$Id=H\left(\alpha \right)+\Delta G\left(\alpha \right)$ . (4.1.9)

所以黎曼流形上的Hodge分解定理也可以叙述为下面内容：

定理4.1.5 设M为n维 ${ℂ}^{\infty }$ 黎曼流形，则p次调和空间 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 是有限维的，且存在格林算子G，使得

$Id=H\left(\alpha \right)+\Delta G\left(\alpha \right)$ (4.1.10)

成立，其中 $H\left(\alpha \right)$ 是 $E^p\left(M\right)\to {\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 的正交投影。

根据Hodge分解定理和G的关系，对于方程 ${\Delta }^k\alpha =\beta$ ，若已知存在 $\alpha \in E^p\left(M\right)$ ，并且 $\Delta \alpha \ne 0$ ，利用 $HG\left(\alpha \right)=0$ 或者式子(4.1.10)能否得出极限 $\underset{k\to +\infty }{\lim }{\Delta }^{k}G\left(\alpha \right)$ 存在或者收敛？

4.2. Laplace算子∆的特征值及其应用

定义4.2.1 [10] 给定p，考虑一个p-形式 $E^p\left(M\right)$ 上的Laplace-Beltrami算子 $\Delta$ ，对于一个实数 $\lambda$ ，存在一个不恒为零的p-形式 $\mu$ 使得 $\Delta \mu =\lambda \mu$ ，则把 $\lambda$ 叫做 $\Delta$ 的特征值，把任何p-形式的 $\mu$ 称为 $\Delta$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征函数。相应于一个固定特征值 $\lambda$ 的特征函数构成 $E^p\left(M\right)$ 的子空间，叫做特征值 $\lambda$ 的特征空间。很显然0是 $\Delta$ 的一个特征值当且仅当M上存在非平凡的调和空间 ${\mathcal{H}}^p\left(M\right)$ 是完全一致的p-形式是调和的。

性质4.2.2 [10] Laplace算子 $\Delta$ 的特征值的性质：

1) $\Delta$ 的特征值是非负的；

2) $\Delta$ 的特征空间 $E_{\lambda }^p\left(M\right)$ 是有限维的；

3) 相应于不同特征值的特征函数是正交的；

4) 特征值无有限聚点。

证明 1) 假设 $\lambda$ 为 $\Delta$ 的一个特征值， $\exists \alpha \ne 0\in E^p\left(M\right)$ ，使得 $\Delta \alpha =\lambda \alpha$ ，所以

$\left(\Delta \alpha ,\alpha \right)=\left(\lambda \alpha ,\alpha \right)=\lambda \left(\alpha ,\alpha \right)=\lambda {\Vert \alpha \Vert }^2$ , (4.2.1)

又 $\Delta =d\circ d^{\ast }+d^{\ast }\circ d$ ，则

$\begin{array}{l}\left(\Delta \alpha ,\alpha \right)=\left(d{d}^{\ast }\alpha ,\alpha \right)+\left(d^{\ast }d\alpha ,\alpha \right)\\ =\left(d^{\ast }\alpha ,d^{\ast }\alpha \right)+\left(d\alpha ,d\alpha \right)\\ ={\Vert d^{\ast }\alpha \Vert }^2+{\Vert d\alpha \Vert }^2\ge 0.\end{array}$ (4.2.2)

即有 $\left(\Delta \alpha ,\alpha \right)=\lambda \left(\alpha ,\alpha \right)=\lambda {\Vert \alpha \Vert }^2\ge 0\Rightarrow \lambda \ge 0$ ，因而 $\Delta$ 的特征值是非负的。

2) 反证法。假设 $\Delta$ 的特征空间不是有限维的。设 $\lambda \ne 0$ 是 $\Delta$ 的特征值，存在一个无限正交的序列 $\left\{e_n\right\}$ ，使得 $\Delta e_n=\lambda e_n$ ，并且 $\Vert e_n\Vert =1$ ， $\Vert \Delta e_n\Vert \le 1$ 。利用定理3.5得在 $E^p\left(M\right)$ 中， $\left\{e_n\right\}$ 存在一个Cauchy子列。不妨设这个Cauchy子列为 $\left\{e_n\right\}$ ，则给定 $\epsilon <1$ ，存在一个正数 $N\left(\epsilon \right)$ ，使得当 $n,m>N\left(\epsilon \right)$ 时， $\Vert e_n-e_m\Vert <\epsilon$ ，但这是不可能存在的，由 $\left\{{\alpha }_n\right\}$ 是单位正交序列得

${\Vert e_n-e_m\Vert }^2=\left(e_n-e_m,e_n-e_m\right)=2$ .

而距离 $\rho \left(e_n,e_m\right)=\Vert e_n-e_m\Vert =\sqrt{2}$ ，因此， $\left\{e_n\right\}$ 不是一个Cauchy子列，矛盾。故 $\Delta$ 的特征空间是有限维的。

3) 设 $\lambda \ne \mu$ 是 $\Delta$ 的两个不同特征值，对任意 $\alpha ,\beta \in E^p\left(M\right)$ ，使得 $\Delta \alpha =\lambda \alpha ,\Delta \beta =\mu \beta$ 。因而有 $\left(\Delta \alpha ,\beta \right)=\left(\lambda \alpha ,\beta \right)=\lambda \left(\alpha ,\beta \right)$ 。因为 $\Delta$ 是一个自伴随算子，故

$\left(\alpha ,\Delta \beta \right)=\left(\Delta \alpha ,\beta \right)=\left(\lambda \alpha ,\beta \right)=\lambda \left(\alpha ,\beta \right)$ , (4.2.3)

但是

$\left(\alpha ,\Delta \beta \right)=\left(\alpha ,\mu \beta \right)=\mu \left(\alpha ,\beta \right)$ ,

所以有

$\lambda \left(\alpha ,\beta \right)=\mu \left(\alpha ,\beta \right)$ .

整理得

$\left(\lambda -\mu \right)\left(\alpha ,\beta \right)=0$ .

因为 $\lambda \ne \mu$ ，所以只能是 $\left(\alpha ,\beta \right)=0$ ，由此得到 $\alpha \perp \beta$ 。故 $\alpha$ 和 $\beta$ 是正交的。

4) 反证法。设 $\Delta$ 在 $E^p\left(M\right)$ 上的特征值为 ${\lambda }_n$ ，则 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\lambda }_n=\lambda \in \left[0,+\infty \right)$ ，即 $0\le {\lambda }_n\le \lambda +1$ 。

设 $\left\{e_n\right\}$ 是与特征值 $\left\{{\lambda }_n\right\}$ 相关的 $\Delta$ 的特征值正交化的特征函数集， ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ 是 $\Delta$ 的两个特征值，取 $e_n$ 使得

$\Delta e_n={\lambda }_n{e}_n$ .

且

$\Vert e_n\Vert =1$ .

于是

$\Vert e_n\Vert =1\le \lambda +1$ ， $\Vert \Delta e_n\Vert =\Vert {\lambda }_n{e}_n\Vert ={\lambda }_n\le \lambda +1$ . (4.2.4)

所以对于任意 $j>0$ 有 $\underset{j\to +\infty }{\lim }{\lambda }_j=\lambda$ 。

由定理3.3和定理3.7知 $\left\{e_n\right\}$ 有子列 $\left\{e_{n_j}\right\}$ 为 $E^p\left(M\right)$ 的Cauchy序列。但是对于不同特征值的特征形式是正交的，得

$\rho \left(e_{n_j},e_{n_{j+1}}\right)=\Vert e_{n_j}-e_{n_{j+1}}\Vert =\sqrt{2}$ .

显然，此时 $\left\{e_{n_j}\right\}$ 不可能是一个Cauchy序列，矛盾。因此，特征值没有有限聚点。

推论4.2.3 Laplace算子 $\Delta$ 有一个正的特征值，并且它是一个能发散到 $+\infty$ 的整个特征值序列。

证明下面的论证过程可以应用于得到最小的特征值 ${\lambda }_1$ 的存在性结论，迭代此过程，生成一个特征值序列 $0<{\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$ ，每个特征值对应的特征函数为 ${\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n$ ，它们可以被规范标准化，特征函数集 $\left\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right\}$ 张成了 ${\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\right)}^{\perp }$ 的一个线性子空间，称为 $V_n$ ，这时有映射

$G:{\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_n\right)}^{\perp }\to {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_n\right)}^{\perp }$ ,

$\Delta :{\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_n\right)}^{\perp }\to {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_n\right)}^{\perp }$ .

定义

${\mu }_{n+1}=\underset{\begin{array}{c}\Vert \beta \Vert =1\\ \beta \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_n\right)}^{\perp }\end{array}}{\sup }\Vert G\beta \Vert$ . (4.2.5)

结果表明 ${\lambda }_{n+1}={\mu }_{n+1}^{-1}$ 是 $\Delta$ 的一个特征值。此外，因为

${\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_n\right)}^{\perp }\subset {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_{n-1}\right)}^{\perp }$ .

所以有

${\mu }_{n+1}=\underset{\begin{array}{c}\Vert \beta \Vert =1\\ \beta \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_n\right)}^{\perp }\end{array}}{\sup }\Vert G\beta \Vert \le \underset{\begin{array}{c}\Vert \beta \Vert =1\\ \beta \in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_{n-1}\right)}^{\perp }\end{array}}{\sup }\Vert G\beta \Vert ={\mu }_n$ . (4.2. 6)

利用等式(4.2.6)得 ${\lambda }_{n+1}\ge {\lambda }_n$ 。

设 $\left\{{\beta }_j\right\}\in {\left({\mathcal{H}}^p\left(M\right)\oplus V_n\right)}^{\perp }$ 是 ${\mu }_{n+1}$ 上的极大化序列，即当 $j\to \infty$ 时 $\Vert {\beta }_j\Vert =1$ 和 $\Vert G{\beta }_j\Vert \to {\mu }_{n+1}$ 。因为G是自伴随算子，所以对于 $j\to \infty$ 有

$\begin{array}{l}{\Vert G^2{\beta }_j-{\mu }_{n+1}^2{\beta }_j\Vert }^2={\Vert G^2{\beta }_j\Vert }^2-2{\mu }_{n+1}^2\left(G^2{\beta }_j,{\beta }_j\right)+{\mu }_{n+1}^4\\ \le {\mu }_{n+1}^2{\Vert G{\beta }_j\Vert }^2-2{\mu }_{n+1}^2{\Vert G{\beta }_j\Vert }^2+{\mu }_{n+1}^4\\ ={\mu }_{n+1}^4-{\mu }_{n+1}^2{\Vert G{\beta }_j\Vert }^2\to 0.\end{array}$ (4.2.7)