Pure Mathematics
Vol.
13
No.
09
(
2023
), Article ID:
71983
,
7
pages
10.12677/PM.2023.139254
一类带不定位势Kirchoff方程解的存在性
陈林松
贵州师范大学数学科学学院,贵州 贵阳
收稿日期:2023年7月26日;录用日期:2023年8月28日;发布日期:2023年9月4日
摘要
本文主要研究R3中一类带不定位势Kirchhoff方程解的存在性,在关于V的一些假设条件和一般的谱假设下,利用变分方法,得到问题解的存在性结果。
关键词
PS条件,Morse指数,Kirchhoff方程,变分方法
Multiplicity Results for a Kirchhoff Type Equations with General Potential
Linsong Chen
School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University, Guiyang Guizhou
Received: Jul. 26th, 2023; accepted: Aug. 28th, 2023; published: Sep. 4th, 2023
ABSTRACT
In this article, we study a Kirchhoff type equation in R3 with the potential indefinite in sign. Under certain hypotheses on V and general spectral assumption, we obtain the multiplicity results for this problem via variational methods.
Keywords:Palais-Smale Condition, Morse Index, Kirchhoff Type Equation, Variational Methods
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 简介和主要结论
本文主要研究如下形式的Kirchhoff方程解的存在性
(1.1)
其中 为常数。
方程(1.1)是一个重要的非局部拟线性问题,如果 且 被有界区域 代替,问题(1.1)导出如下形式的Dirichlet问题
(1.2)
这是Kirchhoff首次引入模型 [1] 的推广。更确切地说,问题(1.2)与如下方程的静止模拟相关
(1.3)
它是弹性弦自由振动的经典达朗贝尔波动方程的推广。Kirchhoff模型考虑了横向震动产生的弦长变化,在Lions [2] 提出了一个抽象的问题框架后,问题(1.2)受到了广泛的关注。
本文首先假设 和 满足以下条件
(Q) ,其中 是一个正常数,并且存在一个正常数 ,使得 。
(V1) 是实函数,定义 对于 成立。
由条件(V1)可知Schröding算子 在 是有界的自伴算子(见 [8] [9] )。定义 为算子A的谱, 为算子A的本质谱, 为算子A的纯点谱,进一步,作如下的谱假设:
(V2) , , ,其中 。
设非线性项f满足
(f1) ,且 是 上的有界函数。
(f2) 。
显然,当(f1)满足时,条件(f2)有意义,定义如下集合:
(1.4)
设存在 , 使得
(f3) 当 ,对几乎处处 一致成立。
(f4) ,且对任意 ,都有 ,其中 。
对任意 ,都存在整数对 与如下的线性Schröding系统相关联
其中 被称为B的指数函数, 被称为B的零化度。定义
.
指数函数 可以被定义为算子 负本征空间的维数。那么, 是非增函数,文章在第二部分提出了一些关于B的性质,更多详细内容可以参考文献 [1] 。
考虑问题(1.1)解的存在性,本文有如下的主要结论:
定理1.1 假设条件(Q),(V1),(V2)和(f1)~(f4)满足,则问题(1.1)至少存在一个非平凡解。
在研究哈密顿系统的周期解时,指数理论得到了广泛的应用(见 [2] [3] [4] ),本文介绍的分类理论与上述的指标理论有很大的相关性,从理论上来说,本文的分类结构与文献( [2] [3] [4] )中提到的又有所不同,由于基本谱的出现,还需要克服更多复杂的问题。
考虑到Rayleigh-Ritz商的标准定义和结果,定义极小极大序列
其中 定义为 的n-维子空间族,那么
.
如果 是有限数,进一步有,
由不等式 可知 。因此,假设 ,易知Schröding算子A满足条件(V2)。
当 ,问题(1.1)已经取得了一些解的存在性结果,在文章( [5] [6] [7] )中,作者通过Clark定理、三临界点定理以及Clark定理的变体形式研究了两个非平凡解和无穷多平凡解的存在性。
2. 简介和主要结论
通常情况下,令 为标准的 空间,其中 ,且定义范数为
令 , 为通常的Sobblev空间,定义范数为
由于0是至多有限重特征值,假设 。那么根据谱性质(V2),可以得到如下的正交分解
使得A在 空间上为负定的,在 空间上为正定的。定义算子A的绝对值为 ,令 为Hilbert空间,并且定义内积为
那么其中的范数为
其中 为通常的L2-范数。一般地可以把E空间正交分解为
其中
那么E连续嵌入到 ,则E连续嵌入到 对于 。
问题(1.1)具有如下形式的能量泛函
(1.5)
其中
并且,I是E中的 泛函,以及I的导函数为
(1.6)
由变分原理可知问题(1.1)的弱解为能量泛函I的临界点。
回忆在(1.4)定义的 ,定义如下形式的二次型
(1.7)
的欧拉方程为
为了研究I的临界点,需要利用文献 [8] 中提到的临界点理论。
定义2.1 称 满足 条件,如果E中任意序列 使得
都有收敛的子列。
命题2.2 ( [9] ) 1)空间E可以被分解为三个子空间
使得 分别在 , , 是正定的,零,负定的。此外, 和 为有限维子空间。
1) 定义 , 。称 为B的指数, 为B的零化度。 ,其中 是 在E中的Morse指数; 。
2) 对任意 , ,当 时,都有
3) 存在 使得对任意 ,都有
4) 是 上的等价范数,且存在 使得
3. 主要结论的证明
为了完成定理的证明,需要以下的引理:
引理3.1 假设(V1),(V2),(Q)和(f4)满足,则泛函I是强制的,即
证明:假设结论不正确,则可以选择序列 ,以及 使得 ,当 时。令 ,则有 ,由条件(Q)和(f4),易知存在 使得
(1.8)
根据 ,因此
由 集的定义以及命题2.2(iv),选择足够小的 使得 , 。此外,容易计算得出
(1.9)
由命题2.2以及 ,有如下的关于 的 -正交分解
和
则,由(1.9)可知
显然 ,则在E中可设 ,因为 ,则有 , 。
断言 ,如果 ,则 在E中,以及 。根据命题2.2(v),存在常数c使得
这就意味着 , 。这是与 矛盾的。因此, 和 。由Fatou引理,设 可得
(1.10)
这是矛盾的,假设不成立,则引理得证。
引理3.2 设条件(V1),(V2),(Q),以及(f1)~(f3)满足,则存在 以及 使得
证明:由(f3)可得
且
当 几乎处处对 一致成立,设
固定 ,对任意 ,存在常数 使得
这就意味着
由 是连续嵌入,则存在依赖于s的正常数 ,使得
令 ,则 。注意到 为有限维,由命题2.2(v),存在常数 , 使得
因为在有限维空间中所有范数都是等价的,则存在常数 使得对任意 ,都有
(1.11)
因此,通过选取足够小的 可以使得引理成立。
定理1.1的证明 由引理3.1可知I是强制的,那么I是下方有界的;由引理3.2可知 ,下需证I是弱下半连续的。令 ,由 -分解,设
根据Fatou引理,可得
以及
因此,I是弱下半连续的,由经典的变分原理可知,存在 使得
那么全局最小值点就是问题(1.1)的一个非平凡解。
文章引用
陈林松. 一类带不定位势Kirchoff方程解的存在性
Multiplicity Results for a Kirchhoff Type Equations with General Potential[J]. 理论数学, 2023, 13(09): 2478-2484. https://doi.org/10.12677/PM.2023.139254
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