一类带不定位势Kirchoff方程解的存在性 Multiplicity Results for a Kirchhoff Type Equations with General Potential

doi:10.12677/PM.2023.139254

Pure Mathematics
Vol. 13 No. 09 ( 2023 ), Article ID: 71983 , 7 pages
10.12677/PM.2023.139254

一类带不定位势Kirchoff方程解的存在性

陈林松

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贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳

收稿日期：2023年7月26日；录用日期：2023年8月28日；发布日期：2023年9月4日

摘要

本文主要研究R³中一类带不定位势Kirchhoff方程解的存在性，在关于V的一些假设条件和一般的谱假设下，利用变分方法，得到问题解的存在性结果。

关键词

PS条件，Morse指数，Kirchhoff方程，变分方法

Multiplicity Results for a Kirchhoff Type Equations with General Potential

Linsong Chen

School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University, Guiyang Guizhou

Received: Jul. 26^th, 2023; accepted: Aug. 28^th, 2023; published: Sep. 4^th, 2023

ABSTRACT

In this article, we study a Kirchhoff type equation in R³ with the potential indefinite in sign. Under certain hypotheses on V and general spectral assumption, we obtain the multiplicity results for this problem via variational methods.

Keywords:Palais-Smale Condition, Morse Index, Kirchhoff Type Equation, Variational Methods

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 简介和主要结论

本文主要研究如下形式的Kirchhoff方程解的存在性

$- (a + b \int_{ℝ^{3}} {| \nabla u |}^{2} d x) Δ u + V (x) u = Q (x) f (x, u), x \in ℝ^{3} .$ (1.1)

其中 $a > 0, b \geq 0$ 为常数。

方程(1.1)是一个重要的非局部拟线性问题，如果 $V (x) = 0, Q (x) = 1$ 且 $R^{3}$ 被有界区域 $Ω \subset R^{3}$ 代替，问题(1.1)导出如下形式的Dirichlet问题

${\begin{array}{l} - (a + b \int_{Ω} {| \nabla u |}^{2} d x) Δ u = f (x, u), & x \in Ω, \\ u = 0 & x \in \partial Ω, \end{array}$ (1.2)

这是Kirchhoff首次引入模型 [1] 的推广。更确切地说，问题(1.2)与如下方程的静止模拟相关

$u_{t t} - (a + b \int_{Ω} {| \nabla u |}^{2} d x) Δ u = f (x, u),$ (1.3)

它是弹性弦自由振动的经典达朗贝尔波动方程的推广。Kirchhoff模型考虑了横向震动产生的弦长变化，在Lions [2] 提出了一个抽象的问题框架后，问题(1.2)受到了广泛的关注。

本文首先假设 $Q (x)$ 和 $V (x)$ 满足以下条件

(Q) $\inf_{x \in R^{3}} Q (x) = Q_{0} > 0$ ，其中 $Q_{0}$ 是一个正常数，并且存在一个正常数 $0 < α \leq 1$ ，使得 $\sup_{x \in R^{3}} Q (x) \leq α$ 。

(V₁) $V \in L_{l o c}^{q} (R^{3})$ 是实函数，定义 $V^{-} : = - \min {V, 0} \in L^{\infty} (R^{3}) \cap L^{q} (R^{3})$ 对于 $q \geq 2$ 成立。

由条件(V₁)可知Schröding算子 $A : = - a Δ + V$ 在 $L^{2} (R^{3})$ 是有界的自伴算子(见 [8] [9] )。定义 $σ (A)$ 为算子A的谱， $σ_{e s s} (A)$ 为算子A的本质谱， $σ_{d} (A)$ 为算子A的纯点谱，进一步，作如下的谱假设：

(V₂) $γ : = \inf σ (A)$ ， $β : = \inf σ_{e s s} (A)$ ， $- \infty < γ < β$ ，其中 $β > 0$ 。

设非线性项f满足

(f₁) $f \in C (R^{3} \times R)$ ，且 $\frac{f (x, u)}{u}$ 是 $R^{3} \times (R \ {0})$ 上的有界函数。

(f₂) $f^{*} : = \lim \sup_{| x | \to + \infty} \sup_{u \neq 0} \frac{f (x, u)}{u} < β$ 。

显然，当(f₁)满足时，条件(f₂)有意义，定义如下集合：

$Λ : = {B (x) | B (x) 是有界连续实函数， B^{*} : = \underset{| x | \to + \infty}{\lim \sup} B (x) < β}$ (1.4)

设存在 $B_{1} (x)$ ， $B_{2} (x) \in Λ$ 使得

(f₃) $f (x, u) = B_{1} (x) u + ο (| u |)$ 当 $u \to 0$ ，对几乎处处 $x \in R^{3}$ 一致成立。

(f₄) $f (x, u) = B_{2} (x) u + R_{u} (x, u)$ ，且对任意 $(x, u) \in R^{3} \times R$ ，都有 $R (x, u) \leq 0$ ，其中 $R (x, u) = \int_{0}^{u} R_{u} (x, t) d t$ 。

对任意 $B \in Λ$ ，都存在整数对 $(i (B), ν (B))$ 与如下的线性Schröding系统相关联

$- a Δ u + V (x) u = B (x) u ， x \in R^{3} .$

其中 $i (B)$ 被称为B的指数函数， $ν (B)$ 被称为B的零化度。定义

$ν (B) = \ker (- a Δ + V - B)$ .

指数函数 $i (B)$ 可以被定义为算子 $- a Δ + V - B$ 负本征空间的维数。那么， $i (B)$ 是非增函数，文章在第二部分提出了一些关于B的性质，更多详细内容可以参考文献 [1] 。

考虑问题(1.1)解的存在性，本文有如下的主要结论：

定理1.1 假设条件(Q)，(V₁)，(V₂)和(f₁)~(f₄)满足，则问题(1.1)至少存在一个非平凡解。

在研究哈密顿系统的周期解时，指数理论得到了广泛的应用(见 [2] [3] [4] )，本文介绍的分类理论与上述的指标理论有很大的相关性，从理论上来说，本文的分类结构与文献( [2] [3] [4] )中提到的又有所不同，由于基本谱的出现，还需要克服更多复杂的问题。

考虑到Rayleigh-Ritz商的标准定义和结果，定义极小极大序列

$λ_{n} : = \inf_{Y_{n}} \sup_{u \in Y_{n} \ {0}} \frac{\int_{ℝ^{3}} (a {| \nabla u |}^{2} + V (x) u^{2}) d x}{\int_{ℝ^{3}} u^{2} d x},$

其中 $Y_{n}$ 定义为 $C_{0}^{\infty} (R^{3})$ 的n-维子空间族，那么

$λ_{\infty} : = \lim_{n \to \infty} λ_{n}$ .

如果 $λ_{\infty}$ 是有限数，进一步有，

$λ_{\infty} = \inf σ_{e s s} (A),$

由不等式 $λ_{n} < λ_{\infty}$ 可知 $λ_{n} \in σ_{d} (A)$ 。因此，假设 $λ_{\infty} > 0$ ，易知Schröding算子A满足条件(V₂)。

当 $λ_{k} < 0 \leq λ_{k + 1}$ ，问题(1.1)已经取得了一些解的存在性结果，在文章( [5] [6] [7] )中，作者通过Clark定理、三临界点定理以及Clark定理的变体形式研究了两个非平凡解和无穷多平凡解的存在性。

2. 简介和主要结论

通常情况下，令 $L^{p} (R^{3})$ 为标准的 $L^{p}$ 空间，其中 $1 \leq p < \infty$ ，且定义范数为

${| u |}_{p} = {(\int_{R^{3}} {| u |}^{p} d x)}^{1 / p}, u \in L^{p} (R^{3}) .$

令 $H^{1} (R^{3})$ ， $D^{1, 2} (R^{3})$ 为通常的Sobblev空间，定义范数为

${‖ u ‖}_{H^{1} (R^{3})} = {(\int_{R^{3}} [{| \nabla u |}^{2} + u^{2}] d x)}^{1 / 2}, {‖ u ‖}_{D^{1, 2} (R^{3})} = {(\int_{R^{3}} {| \nabla u |}^{2} d x)}^{1 / 2}$

由于0是至多有限重特征值，假设 $0 \in σ (A)$ 。那么根据谱性质(V₂)，可以得到如下的正交分解

$L^{2} = L^{-} \oplus L^{+}, u = u^{-} + u^{+} .$

使得A在 $L^{-}$ 空间上为负定的，在 $L^{+}$ 空间上为正定的。定义算子A的绝对值为 $| A |$ ，令 $E = D ({| A |}^{1 / 2})$ 为Hilbert空间，并且定义内积为

$(u, v) = {({| A |}^{1 / 2} u, {| A |}^{1 / 2} v)}_{2},$

那么其中的范数为

$| | u | | = {(u, u)}^{1 / 2},$

其中 ${(\cdot \cdot)}_{2}$ 为通常的L²-范数。一般地可以把E空间正交分解为

$E : = E^{-} \oplus E^{+} .$

其中

$E^{\pm} = E \cap L^{\pm},$

那么E连续嵌入到 $H^{1} (R^{3})$ ，则E连续嵌入到 $L^{p} (R^{3})$ 对于 $p \in [2, 6]$ 。

问题(1.1)具有如下形式的能量泛函

$I (u) = \frac{1}{2} {| | u^{+} | |}^{2} - \frac{1}{2} {| | u^{-} | |}^{2} + \frac{b}{4} {(\int_{ℝ^{3}} {| \nabla u |}^{2} d x)}^{2} - \int_{ℝ^{3}} Q (x) F (x, u) d x, u \in E .$ (1.5)

其中

$F (x, u) = \int_{0}^{u} f (x, t) d t,$

并且，I是E中的 $C^{1}$ 泛函，以及I的导函数为

$(I^{'} (u), v) = (u^{+}, v^{+}) - (u^{-}, v^{-}) + b \int_{ℝ^{3}} {| \nabla u |}^{2} d x \int_{ℝ^{3}} \nabla u \cdot \nabla v d x - \int_{ℝ^{3}} Q (x) f (x, u) v d x .$ (1.6)

由变分原理可知问题(1.1)的弱解为能量泛函I的临界点。

回忆在(1.4)定义的 $Λ$ ，定义如下形式的二次型

$q_{B} (u, v) = \frac{1}{2} (u^{+}, v^{+}) - \frac{1}{2} (u^{-}, v^{-}) - \frac{1}{2} {(B u, v)}_{2}, \forall u, v \in E .$ (1.7)

$q_{B}$ 的欧拉方程为

$- a Δ u + V (x) u + B (x) u = 0.$

为了研究I的临界点，需要利用文献 [8] 中提到的临界点理论。

定义2.1 称 $I \in C^{1} (E, R)$ 满足 ${(P S)}_{c}$ 条件，如果E中任意序列 ${u_{n}}$ 使得

$I (u_{n}) \to c, I^{'} (u_{n}) \to 0, 当 n \to \infty,$

都有收敛的子列。

命题2.2 ( [9] ) 1)空间E可以被分解为三个子空间

$E = E^{+} (B) \oplus E^{0} (B) \oplus E^{-} ( B )$

使得 $q_{B}$ 分别在 $E^{+} (B)$ ， $E^{0} (B)$ ， $E^{-} (B)$ 是正定的，零，负定的。此外， $E^{0} (B)$ 和 $E^{-} (B)$ 为有限维子空间。

1) 定义 $i (B) = \dim E^{-} (B)$ ， $ν (B) = \dim E^{0} (B)$ 。称 $i (B)$ 为B的指数， $ν (B)$ 为B的零化度。 $i (B) = \sum_{λ < 0} ν (B + λ)$ ，其中 $i (B)$ 是 $q_{B}$ 在E中的Morse指数； $ν = \ker \dim (A - B)$ 。

2) 对任意 $B_{m}$ ， $B_{n} \in Λ$ ，当 $B_{m} < B_{n}$ 时，都有

$i (B_{n}) - i (B_{m}) = \sum_{λ \in [0, 1)} ν (B_{m} + λ (B_{n} - B_{m})) .$

3) 存在 $ε_{0}$ 使得对任意 $ε \in (0, ε_{0}]$ ，都有

$\begin{array}{l} ν (B + ε) = 0 = v (B - ε), \\ i (B - ε) = i (B), \\ i (B + ε) = i (B) + v (B) . \end{array}$

4) ${(- q_{B} (u, u))}^{1 / 2}$ 是 $E^{-} (B)$ 上的等价范数，且存在 $c > 0$ 使得

${(q_{B} (u, u))}^{1 / 2} \geq c {‖ u ‖}^{2}, \forall u \in E^{+} (B) .$

3. 主要结论的证明

为了完成定理的证明，需要以下的引理：

引理3.1 假设(V₁)，(V₂)，(Q)和(f₄)满足，则泛函I是强制的，即

$I (u) \to + \infty, 当 ‖ u ‖ \to + \infty$

证明：假设结论不正确，则可以选择序列 ${u_{n}} \subset E$ ，以及 $M > 0$ 使得 $I (u_{n}) \leq M$ ，当 $‖ u_{n} ‖ \to + \infty$ 时。令 $v_{n} = \frac{u_{n}}{‖ u_{n} ‖}$ ，则有 $‖ v_{n} ‖ = 1$ ，由条件(Q)和(f₄)，易知存在 $B_{\infty} \in Λ$ 使得

$\begin{array}{l} \frac{M}{{| | u_{n} | |}^{2}} \geq \frac{I (u_{n})}{{| | u_{n} | |}^{2}} \\ = \frac{\frac{1}{2} {| | u_{n}^{+} | |}^{2} - \frac{1}{2} {| | u_{n}^{-} | |}^{2} + \frac{b}{4} {(\int_{ℝ^{3}} {| \nabla u_{n} |}^{2} d x)}^{2} - \int_{ℝ^{3}} Q (x) F (x, u_{n}) d x}{{| | u_{n} | |}^{2}} + \frac{b {(\int_{ℝ^{3}} {| \nabla u_{n} |}^{2} d x)}^{2}}{4 {| | u_{n} | |}^{2}} \\ = q_{B_{\infty}} (v_{n}, v_{n}) - \frac{\int_{ℝ^{3}} Q (x) R (x, u_{n}) d x}{{| | u_{n} | |}^{2}} + \frac{b {(\int_{ℝ^{3}} {| \nabla u_{n} |}^{2} d x)}^{2}}{4 {| | u_{n} | |}^{2}} . \end{array}$ (1.8)

根据 $R (x, u_{n}) \leq 0$ ，因此

$ο (1) \geq q_{B_{\infty}} (v_{n}, v_{n}) .$

由 $Λ$ 集的定义以及命题2.2(iv)，选择足够小的 $ε > 0$ 使得 $B_{\infty} + ε \in Λ$ ， $ν (B_{\infty} + ε) = 0$ 。此外，容易计算得出

$q_{B_{\infty} + ε} (v_{n}, v_{n}) = q_{B_{\infty}} (v_{n}, v_{n}) - \frac{ε}{2} {| v_{n} |}_{2}^{2} \leq o (1)$ (1.9)

由命题2.2以及 $ν (B_{\infty} + ε) = 0$ ，有如下的关于 $v_{n}$ 的 $q_{B_{\infty} + ε}$ -正交分解

$v_{n} = v_{n, 1} + v_{n, 2} \in E^{-} (B_{\infty} + ε) \oplus E^{+} (B_{\infty} + ε),$

和

$q_{B_{\infty} + ε} (v_{n}, v_{n}) = q_{B_{\infty} + ε} (v_{n, 1}, v_{n, 1}) + q_{B_{\infty} + ε} (v_{n, 2}, v_{n, 2}) .$

则，由(1.9)可知

$- q_{B_{\infty} + ε} (v_{n, 1}, v_{n, 1}) + o (1) \geq q_{B_{\infty} + ε} (v_{n, 2}, v_{n, 2}) .$

显然 $‖ v_{n} ‖ = 1$ ，则在E中可设 $v_{n} ⇀ v$ ，因为 $\dim E^{-} (B_{\infty} + ε) < + \infty$ ，则有 $v_{n, 1} \to v_{1}$ ， $v_{n, 2} ⇀ v_{2}$ 。

断言 $v_{1} \neq 0$ ，如果 $v_{1} = 0$ ，则 $v_{n, 1} \to 0$ 在E中，以及 $q_{B_{\infty} + ε} (v_{n, 1}, v_{n, 1}) \to 0$ 。根据命题2.2(v)，存在常数c使得

$q_{B_{\infty}} (v_{n, 2}, v_{n, 2}) \geq c {| | v_{n, 2} | |}^{2},$

这就意味着 $v_{n, 2} \to v_{2} = 0$ ， $v_{n} \to 0$ 。这是与 $‖ v_{n} ‖ = 1$ 矛盾的。因此， $v_{1} \neq 0$ 和 $v \neq 0$ 。由Fatou引理，设 $n \to \infty$ 可得

$\begin{array}{l} o (1) = \frac{I (u_{n})}{{| | u_{n} | |}^{4}} \\ = \frac{q_{B_{\infty}} (u_{n}, u_{n}) - \int_{ℝ^{3}} Q (x) R (x, u_{n}) d x + \frac{b}{4} {(\int_{ℝ^{3}} {| \nabla u_{n} |}^{2} d x)}^{2}}{{| | u_{n} | |}^{4}} \\ \geq o (1) + \frac{b}{4} {(\int_{ℝ^{3}} {| \nabla v |}^{2} d x)}^{2} \\ > 0 \end{array}$ (1.10)

这是矛盾的，假设不成立，则引理得证。

引理3.2 设条件(V₁)，(V₂)，(Q)，以及(f₁)~(f₃)满足，则存在 $ε, ρ > 0$ 以及 $B_{0} (x) \in Λ$ 使得

$\sup_{E^{-} (B_{0} - ε) \cap S_{ρ}} I (u) < 0.$

证明：由(f₃)可得

$f (x, u) = B_{1} (x) u + f_{1} (x, u)$

且

$f_{1} (x, u) = o (| u |)$

当 $| u | \to 0$ 几乎处处对 $x \in R^{3}$ 一致成立，设

$F_{1} (x, u) = \int_{0}^{u} f_{1} (x, t) d t .$

固定 $s \in (2, 6)$ ，对任意 $ε > 0$ ，存在常数 $C_{ε} > 0$ 使得

$f_{1} (x, u) \geq - ε u - C_{ε} {| u |}^{s - 1},$

这就意味着

$F_{1} (x, u) \geq - \frac{ε}{2} {| u |}^{2} - \frac{C_{ε}}{s} {| u |}^{s} .$

由 $E \to L^{s} (R^{3})$ 是连续嵌入，则存在依赖于s的正常数 $C_{ε}^{*}$ ，使得

$\int_{R^{3}} F_{1} (x, u) d x \geq - \frac{ε}{2} {| u |}_{2}^{2} - C_{ε}^{*} {| | u | |}^{s} .$

令 $B_{0} (x) = Q (x) B_{1} (x)$ ，则 $B_{0} (x) \in Λ$ 。注意到 $E^{-} (B_{0} - ε)$ 为有限维，由命题2.2(v)，存在常数 $c_{1}$ ， $c_{2}$ 使得

$c_{1} {| | u | |}^{2} \leq - q_{B_{0} - ε} (u, u) \leq c_{2} {| | u | |}^{2} .$

因为在有限维空间中所有范数都是等价的，则存在常数 $C > 0$ 使得对任意 $u \in E^{-} (B_{0} - ε)$ ，都有

$\begin{array}{l} I (u) = \frac{1}{2} {| | u^{+} | |}^{2} - \frac{1}{2} {| | u^{-} | |}^{2} + \frac{b}{4} {(\int_{ℝ^{3}} {| \nabla u |}^{2} d x)}^{2} - \int_{ℝ^{3}} Q (x) F (x, u) d x \\ \leq q_{B_{0} - ε} (u, u) + \frac{b}{4} {| \nabla u |}_{2}^{4} + C_{ε}^{*} {| | u | |}^{s} \\ \leq - c_{1} {| | u | |}^{2} + C {| | u | |}^{4} + C_{ε}^{*} {| | u | |}^{s} . \end{array}$ (1.11)

因此，通过选取足够小的 $ρ > 0$ 可以使得引理成立。

定理1.1的证明由引理3.1可知I是强制的，那么I是下方有界的；由引理3.2可知 $\inf_{E} I < 0$ ，下需证I是弱下半连续的。令 $u_{n} ⇀ u$ ，由 $q_{B_{\infty}}$ -分解，设

$\begin{array}{l} u_{n} = u_{n, 1} + u_{n, 2} \in E^{-} (B_{\infty}) \oplus E^{+} (B_{\infty}) \\ u_{n, 1} \to u_{1}, u_{n, 2} ⇀ u_{2} . \end{array}$

根据Fatou引理，可得

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} q_{B_{\infty}} (u_{n, 2}, u_{n, 2}) \geq q_{B_{\infty}} (u_{2}, u_{2}) .$

以及

$\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{\lim \inf} I (u_{n}) = \underset{n \to \infty}{\lim \inf} {q_{B_{\infty}} (u_{n, 1}, u_{n, 1}) + q_{B_{\infty}} (u_{n, 2}, u_{n, 2}) + \frac{b}{4} {(\int_{ℝ^{3}} {| \nabla u_{n} |}^{2} d x)}^{2} + \int_{ℝ^{3}} (\frac{1}{2} B_{\infty} u_{n}^{2} - Q (x) F (x, u_{n})) d x} \\ \geq q_{B_{\infty}} (u_{1}, u_{1}) + q_{B_{\infty}} (u_{2}, u_{2}) + \frac{b}{4} {(\int_{ℝ^{3}} {| \nabla u |}^{2} d x)}^{2} + \int_{ℝ^{3}} \frac{1}{2} B_{\infty} u^{2} - Q (x) F (x, u) d x \\ = I ( u ) \end{array}$

因此，I是弱下半连续的，由经典的变分原理可知，存在 $u \in E$ 使得

$I (u) = \inf_{E} I < 0.$

那么全局最小值点就是问题(1.1)的一个非平凡解。

文章引用

陈林松. 一类带不定位势Kirchoff方程解的存在性
Multiplicity Results for a Kirchhoff Type Equations with General Potential[J]. 理论数学, 2023, 13(09): 2478-2484. https://doi.org/10.12677/PM.2023.139254

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