ABSTRACT

In this paper, an H¹-Galerkinmixed element method is considered for one-dimensional fourth-or- der integro-differential equation of parabolic type. According to the characteristics of the considered equation, the three auxiliary variables are introduced, then the original fourth-order problem can be split into the coupled system with first order derivative. Some optimal error estimates for both semi-and fully discrete scheme are proved and the stability for fully discrete system is also derived.

Keywords:Fourth-Order Parabolic Integral Differential Equations, H¹-Galerkin Mixed Finite Element Method, Error Estimation, Stability Analysis

四阶抛物型积分微分方程的H¹-Galerkin混合元方法

李岩，侯雅馨

内蒙古大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2016年7月20日；录用日期：2016年8月14日；发布日期：2016年8月17日

摘 要

本文讨论四阶抛物型积分微分方程的H¹-Galerkin混合有限元方法，研究一维情形下带有四阶空间导数项的抛物型积分微分方程H¹-Galerkin混合有限元数值方法。根据方程的特点，通过三个适当中间变量的引入，可将原四阶问题化为一个仅含有一阶导数的耦合方程组系统。对系统半离散和全离散格式的最优收敛误差估计给出详细的分析证明，并推导了全离散系统的稳定性结果。

关键词 :四阶抛物型积分微分方程，H¹-Galerkin混合有限元方法，误差估计，稳定性分析

1. 引言

很多实际问题可以转化成微分方程的形式进行研究，其中发展型积分微分方程具有时间记忆项，能够反映很多实际问题，例如核反应堆问题等。此类积分微分方程也得到了很多计算学者的广泛关注，并产生了很多有效的数值计算方法。张在文献 [1] 中对一些积分微分方程的有限元和体积元理论做了详细的论述。Jiang在文献 [2] 中给出了抛物型积分微分方程的传统混合元方法误差估计。Liu等在文献 [3] 中基于扩展混合方法和分裂正定混合方法提出了正定扩展混合元方法，通过抛物型积分微分方程给出了相关的数值理论研究，并通过二维数值例子对提出数值理论进行有效验证。Liu等在文献 [4] 中，研究了一类新型的扩展混合元方法，推导了相关的误差理论结果，给出了二维数值例子对研究理论结果进行验证说明。Guo在文献 [5] 中利用分裂正定混合元方法研究了抛物型积分微分方程，并给出了计算数据说明方法的有效性。Zhu等在文献 [6] 中针对抛物型积分微分方程给出了弱Galerkin方法进行数值研究。Guo和Rui在文献 [7] 中利用最小二乘有限元法数值求解抛物型积分微分方程，对理论误差进行了详细讨论。在文献 [8] ，李和王利用间断时空元法研究了半线性抛物型积分微分方程问题。在文献 [9] 中，何等对时间间断时空元法进行了详细的讨论，并给出发展型积分微分方程的相关研究。所有这些研究都是关于二阶积分微分方程的，而对于四阶积分微分方程数值解法的相关研究还是很少见到报道。在文献 [10] 中，李和刘给出一类四阶抛物型积分微分方程的混合间断元数值方法。而在文献 [11] 中，丛和杨利用混合有限体积元方法研究该类方程。在这里我们主要利用H¹-Galerkin混合元方法数值求解如下四阶抛物积分微分方程 [10] [11]

(1.1)

其中为空间区间，是时间区间，和是正常数，是已知源项。

H¹-Galerkin混合方法首先由Pani在文献 [12] 中针对抛物方程问题提出的一种有效的混合元数值方法，同时他指出该方法具有不必满足著名的LBB相容性条件，混合元空间中的多项式次数可以灵活选取，不受混合空间之间的相互限制，同时得到中间变量和原未知量函数的最优收敛结果。正因于此，国际学者开始对此方法进行不断的研究和发展，并数值求解了很多二阶发展方程问题 [12] - [24] 。直到文献 [23] 的出现，方可将该方法应用于四阶偏微分方程数值求解。

本文的主要目的是研究一维四阶抛物型积分微分方程 [10] [11] 的H¹-Galerkin混合元方法，首先利用H¹-Galerkin混合元法数值求解一维情形下四阶抛物型积分微分方程，通过三个中间变量的引入，形成了四个低阶方程的耦合系统，给出了系统半离散和全离散格式的最优收敛误差估计，并讨论了全离散系统的稳定性分析。

2. 一维问题的H¹-Galerkin混合有限元格式

为了形成混合格式，首先引入二阶导数作为中间变量，可将原一维问题将为二阶方程组系统的初边值问题：

正如文献 [25] ，为了应用H¹-Galerkin混合元法，上面的方程继续降阶，也就是相当于对原问题引入，可将原问题转化为如下耦合形式：

(2.1)

即我们能够形成H¹-Galerkin混合弱形式：求使得：

(2.2)

为了形成有限元混合弱形式，首先引入如下有限元空间。

引理2.1. [12] 现在分别找和有限维子空间和，使得对及正整数，成立如下性质：

(2.3)

基于以上有限元空间，可得空间半离散H¹-Galerkin的混合元数值格式：求

，使得：

(2.4)

其中为已知量。

下面分别定义和相关的椭圆投影 [14] ，求，满足：

同时，我们也分别定义中间变量和的椭圆投影，满足：

其中，，为正常数，且存在常数，使得：

基于以上投影，我们有相应的估计结果如下

引理2.2. [12] [25] 设，对于，有

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

3. 半离散情形下的误差分析

下面给出误差估计，令：

那么误差方程为：

(3.1)

定理3.1. 若取，则

证明：在(3.1) (b)，(c)，(d)中，令，并将结果相加，得到

对上式，我们利用Cauchy-Schwarz不等式，容易得到

(3.2)

对(3.2)两端关于时间进行积分，并由Cauchy-Schwarz不等式，得到

(3.3)

在(3.1)，我们取，并将(c)，(d)两个方程相减，得到

(3.4)

在(3.1) (b)中令，并将结果带入到(3.4)中，得到

(3.5)

对(3.5)两端积分，有Cauchy-Schwarz不等式，得到

(3.6)

注意到Poincare不等式和Gronwall引理，我们有

(3.7)

联立(3.7)和(3.3)，可得

(3.8)

对(3.1) (d)时间求导，并令，得到

(3.9)

在(3.1) (c)中取，得到

(3.10)

将(3.9)和(3.10)相加，得到

(3.11)

在(3.1) (b)中令，加到(3.11)中，得到

(3.12)

对(3.12)关于时间积分，利用Cauchy-Schwarz不等式，得到

(3.13)

将(3.8)带入(3.13)，并应用Gronwall引理，可得

(3.14)

在(3.1) (a)和(b)中分别取，并注意到Poincare不等式，有

(3.15)

联立(3.8)，(3.14)，(3.15)，并结合三角不等式及(2.5)~(2.8)，我们可得定理结论。

4. 全离散稳定性及误差估计

首先根据半离散格式，我们给出系统在处的一阶向后Euler格式

(4.1)

定理4.1. 当充分小时，有如下不等式成立

证明：在(4.1) (c)和(d)中，令，并将两式相加，可得

(4.2)

在(4.1) (b)中，取，并将结果带入(4.2)中，得到

(4.3)

注意到

，

那么有

(4.4)

对到求和，得到

(4.5)

在(4.1) (d)中取，得到

(4.6)

联合(4.5)和(4.6)，并应用Gronwall引理，可得

(4.7)

在(4.1) (a)中，令，由Cauchy-Schwarz不等式，得到

由Poincare不等式，得到

(4.8)

最后结合(4.7)和(4.8)，得到稳定性证明。

接下来为了进行误差估计，我们可以写

(4.9)

在处，误差方程为

(4.10)

其中

(4.11)

定理4.2. 对于，成立如下误差估计

(4.12)

证明：在(4.10) (a)，(b)中，令，由Cauchy-Schwarz不等式和Poincare不等式，得到

(4.13)

在(4.10) (b)，(c)，(d)中，令，将(c)和(d)相减再与(b)相加，可得

(4.14)

在(4.15)中，对到求和，得到

(4.15)

在(4.10) (b)，(c)，(d)中，令，将三式相加，得到

(4.16)

由Cauchy-Schwarz不等式，有

(4.17)

注意到

(4.18)

对于(4.17)关于到求和，并根据(1.4.15)，由Gronwall引理，可得

(4.19)

由(4.10) (d)，得到

(4.20)

在(4.20)，令，得到

(4.21)

由(4.10) (c)，取，得到

(4.22)

将上面两式相加，得到

(4.23)

上式对到求和，应用Gronwall引理，得到

(4.24)

结合(4.24)，(4.19)，(4.15)，我们得到

(4.25)

由(4.25)，(4.13)可得定理结论。

5. 总结

本文从一维空间讨论四阶抛物积分微分方程的H¹-Galerkin混合元方法，给出了系统稳定性分析和最优误差估计。从理论上得到的估计结果是不错的，同时我们可以考虑将该方法延拓应用到四阶双曲积分微分方程问题，并给出完善的数值理论分析过程，同时给出一维和多维的数值例子。

致谢

感谢导师李宏教授和刘洋教授的指导与帮助，感谢编辑和审稿专家提出的宝贵意见。本文得到国家自然科学基金(11301258, 11361035)，内蒙古自然科学基金(2016MS0102)的资助。

文章引用

李岩,侯雅馨. 四阶抛物型积分微分方程的H¹-Galerkin混合元方法
H¹-Galerkin Mixed Element Method for Fourth-Order Parabolic Integro-Differential Equation[J]. 应用数学进展, 2016, 05(03): 349-359. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.53043

参考文献 (References)