Advances in Applied Mathematics
Vol.06 No.01(2017), Article ID:19587,8 pages
10.12677/AAM.2017.61004

The Fourier Expansion of Landau-Lifshitz Equations

Liyuan Ding, Peng Zhu

College of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming Yunnan

Received: Jan. 1st, 2017; accepted: Jan. 17th, 2017; published: Jan. 22nd, 2017

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

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ABSTRACT

Landau-Lifshitz equations describes magnetic phenomena of magnetization dynamics equation; studying the material is very meaningful. Scholars have constructed some explicit solutions. In this paper, we study the Landau-Lifshitz equations, which have no external magnetic field and the dissipation term is zero, by Fourier expansion. And we also give the iterative relations of finite terms of the equation.

Keywords:Landau-Lifshitz Equations, Fourier Expansion, Integral, Iteration

Landau-Lifshitz方程的 Fourier展开

丁莉园,朱鹏

云南师范大学数学学院,云南 昆明

收稿日期:2017年1月1日;录用日期:2017年1月17日;发布日期:2017年1月22日

摘 要

Landau-Lifshitz方程是描述磁性物质动态磁化现象的方程,而研究磁性物质是非常有意义的。目前学者们构造了部分精确解,本文利用Fourier展开研究无外加磁场且耗散项为零时的Landau-Lifshitz方程,给出方程有限项的迭代关系。

关键词 :Landau-Lifshitz方程,Fourier展开,积分,迭代格式

1. 引言

1935年,Landau和Lifshitz在研究铁磁体的磁导率时,给出了如下的磁化运动方程 [1] [2] :

其中是常数,效应场被定义为

在静态条件下或阻尼很强时,得

在没有外加磁场的情况下,方程可写为

方程中的第一项表示磁化强度绕效应场的运动,第二项表示耗散,称之为耗散项或Gilbert项。

上述三个方程是人们对铁磁体的磁化运动研究从定性分析到定量分析的飞跃。弄清这三个模型对于进一步认识铁磁体的磁化运动规律很重要,因此它们引起了许多物理学家和数学家的重视。

2. 对Landau-Lifshitz方程的常微分求解

这里针对无外加磁场的Landau-Lifshitz方程

本文优先考虑将方程化为常微分方程并求解,假设

通过计算能够计算出

带入原方程便得到如下常微分方程组:

其中

对上述方程组等号两边同时对求积分得:

分部积分得

同理可得

3. Landau-Lifshitz方程的Fourier展开

3.1. 通过计算

将上述结果代入原方程

运用积化和差公式化简得:

3.2. 两边与做点乘后,在上分别积分

注意到

则有

合并同类项得

时,有,此时

因此得出为任意的常向量。

3.3. 两边与做点乘后,在上分别积分

注意到

则有

3.4. 有限项的Landau-Lifshitz方程

假设方程是有限项的,且前项都已知,用前项表示出第项。因此假设有 [3] [4]

因为,所以有如下结论成立:

故方程可以化简为

同理

因为,所以有如下结论成立:

对于上面两个方程,令

为方便我们令

所以原方程可以写成如下形式

两边同乘得 [5] [6]

文章引用

丁莉园,朱鹏. Landau-Lifshitz方程的Fourier展开
The Fourier Expansion of Landau-Lifshitz Equations[J]. 应用数学进展, 2017, 06(01): 29-36. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.61004

参考文献 (References)

  1. 1. 杨干山. 多维Landau-Lifshitz方程的型黏性解、Blow up解和整体解[D]: [博士学位论文]. 北京: 中国工程物理研究院, 2002: 1-11.

  2. 2. 郭柏灵, 丁时进. 自旋波与铁磁链方程[M]. 浙江: 浙江科学技术出版社, 2002: 1-12.

  3. 3. Guo, B. and Yang, G.S. (2001) Some Exact Nontrivial Global Solutions with Values in Unit Sphere for Two-Dimen- sional Landau-Lifshitz Equations. Journal of Mathematical Physics, 42, 5223-5227. https://doi.org/10.1063/1.1402955

  4. 4. Guo, B., Han, Y.Q. and Yang, G. S. (2001) Exact Blow-Up Solutions for Mul-tidimensional Landau-Lifshitz Equations. Advances in mathematics (China), 30, 91-93.

  5. 5. 刘利敏. Landau-Lifshitz方程解的一些研究[D]: [博士学位论文]. 重庆: 重庆大学, 2010.

  6. 6. Vretblad, A. Fourier Analysis and Its Appli-cations. 北京: 北京科学技术出版社, 2002: 1-12.

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