ABSTRACT

The multivariate Lagrange interpolation problem, which is usually defined on the ellipsoid, is often studied in practical scientific research and production. Multivariate Lagrange interpolation is proposed to define the definition of ellipsoid and given to determine whether the node group on an ellipsoid form judgment theorem and superposition method to construct interpolation regular set of nodes and finally is to implement the method.

Keywords:Ellipsoid, Multivariate Lagrange Interpolation, Regular Set of Nodes, Superposition Interpolation Method

定义于椭球面上的多元Lagrange插值问题研究

惠婷婷，刘海波，崔利宏

辽宁师范大学，辽宁 大连

收稿日期：2017年6月15日；录用日期：2017年7月3日；发布日期：2017年7月6日

摘 要

针对在实际科研生产中经常涉及到的有关定义于椭球面上的多元Lagrange插值问题进行了研究。提出了定义于椭球面上的多元Lagrange插值定义，给出了判定椭球面上的结点组是否构成插值正则结点组的判定定理以及迭加构造方法，最后通过算例对所得方法进行了实现。

关键词 :椭球面，多元Lagrange插值，正则结点组，迭加插值法

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1. 引言

熟知，多元函数插值长期以来一直是计算数学研究领域的一个主要研究内容(详见文献 [1] )，有关多元函数插值基本理论和方法研究中一个基本问题是多元插值函数的唯一存在性问题，也就是插值的正则性问题。由文献 [2] - [8] 可知，国内外学者对这一问题的研究主要有两个判别，一种是给定插值空间，去构造相应正则结点组；另一种是给定结点组，去构造相应正则插值空间，而且要求空间的次数尽可能低。 [9] [10] [11] ，对于某一类问题，目前，有关在整个空间进行插值以及关于定义于空间中一般代数流形插值的研究结果相对完备，而关于有着重要实用价值的具体流形上的插值结果并不多见。梁学章等人 [12] 讨论了单位球面上的纬线组选取插值正则结点组的方法。

椭球面是除球面外的另一类主要的二次代数曲面，其在工程设计中有着重要的作用。例如，许多机械零部件和建筑外形采用了椭球面的形式，而地球本身严格来讲是个椭球，还有就是有关对地球表面进行卫星遥感测绘时也涉及到椭球面上插值问题。因此，对椭球面上的插值问题研究意义重大。

2. 基本定义和基本定理

本文主要研究三维欧式空间中的椭球面上进行多元Lagrange插值问题。

首先引入若干基本概念

设n为非负整数，令表示所有全次数为n的三元代数多项式构成的集合，即

定义1 (的插值正则结点组)

设，令为中m个互异点构成的点集，如果对于任意给定的数组，恒存在唯一多项式，使之满足：，则称为的一个正则结点组。

定义2 (上的插值正则结点组)

设为如上所定义的椭球面，为在上的限制。，，称为定义于上的一个n次插值正则结点组，如果对于任意给定的数组，恒存在多项式，满足。

定理1 (构造插值正则结点组的添加椭球面法)

设为如上所定义，，结点组关于的一个正则结点组，而是定义于的一个次正则结点组，则必定构成的正则结点组。

证明：设。因为为定义于上的次正则结点组，由定义2，对任意给定数组恒存在多项式使得。

又因为关于的一个正则结点组，由定义1对任意的数组恒存在多项式使得

其中为的三维坐标，构造一个多项式

显然有且满足。

则由定义1知，为的正则结点组。

定理2 (构造上插值正则结点组添加圆锥曲线法)

设为上的次插值正则结点组，平面与横截相交于圆周曲线，是定义于上的一个次正则结点组，则必定构成定义于上的一个次正则结点组。

定理3 (判定定理)

上的个互异点能够做成定义于上的n次插值正则结点组的充分必要条件是，若存在，满足，蕴含如此的在恒为零。

证明：充分性：设，满足,由条件可知，，。从而，对于定义于的一个n次插值正则结点组,亦有，，即，。又因为为的插值正则结点组，故。

必要性：令，取为关于的正则结点组，可以断言：构成的正则结点组。事实上，对任给，由于为定义上的次正则结点组，故存在多项式满足。

又因为且为关于的的正则结点组，则存在多项式满足

则多项式 (*)

满足，由定义知是的正则结点组，同时，在上述过程中取，则(*)式中的，此时

满足定理中的插值条件的多项式，故由空间中满足相同插值条件的多项式的唯一存在性有

即在上恒为零值。

3. 算例

例如：取被插值函数为，椭球面为。在椭

球内部取一点，则该点为的一个正则结点组；另在椭球面上取互异的9个点，，，，，，，，，这九个点是定义于椭球面F上的一个次正则结点组(如图1所示)，则由定理1知：点组构成适定结点组。设插值多项式为

得到方程组为，其中

图1. 椭球面取点效果图

解得

我们取点，，插值结果分别为，，而精确值分别为，，误差分别为，。

致谢

这次论文能够顺利的完成，得力于老师和同学的帮助和辅导，所以在这里我要表达我的感激之情。

首先我要感谢我的论文指导老师，崔利宏老师以及刘海波同学。本文是在导师崔利宏教授的悉心指导和严格要求下完成的。感谢老师为我提供了论文材料，耐心为我讲解疑难问题，指明方向。每一个环节导师都倾注了大量的时间和心血。导师和蔼可亲，遇到问题总是耐心讲解，他的严谨求实的治学态度、诲人不倦的精神，对我的影响深远而广泛，使我在做文和做人方面终身受益。在此，我向我的导师致以深深的谢意。最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！

基金项目

辽宁省大学生实践基地建设项目，辽教[2015]399号；辽宁省教育厅科研项目，L201683661。

文章引用

惠婷婷,刘海波,崔利宏. 定义于椭球面上的多元Lagrange插值问题研究
Multivariate Lagrange Interpolation Defined on Ellipsoidal Surface[J]. 应用数学进展, 2017, 06(04): 442-447. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.64052

参考文献 (References)