ABSTRACT

With the help of Hermite transformation, white noise theory and a rational-exponent function solution of Riccati equation, a rational-exponent function solution with multiple arbitrary parameters for Wick-type stochastic mKdV equation is obtained. From this rational-exponent function solution, the influence of variety of different parameters on the dynamics behavior of Wick-type stochastic mKdV equation by restricted Riccati equation is showed. It provides a more effective method, which can be used to investigate the influence of external conditions and internal factors on behavior of nonlinear stochastic dynamics model.

Keywords:Wick-Type Stochastic mKdV Equation, Rational-Exponent Function Solution, White Noise, Hermite Transformation

Wick型随机mKdV方程带多参量的广义的有理指数函数解

留庆

丽水学院工学院光电研究所，浙江 丽水

收稿日期：2017年11月22日；录用日期：2017年12月4日；发布日期：2017年12月11日

摘 要

借助Hermite变换、白噪声理论和Riccati方程的有理指数函数解，获得了Wick型随机mKdV方程带多参量的广义的有理指数函数解，借助这个解可以揭示出不同的Riccati方程约束条件下，不同的参量的变化对Wick型随机mKdV方程动力学行为产生的影响及变化规律。它为深入研究外部条件和内部因素对非线性随机模式行为产生的影响，提供了一种更加有效的方法。

关键词 :Wick型随机mKdV方程，有理指数函数解，白噪声理论，Hermite变换

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1. 引言

Wadati最先研究了随机偏微分KdV方程和在高斯白噪声条件下KdV方程的孤子色散 [1] ，接着研究了高斯白噪声条件下有阻尼和无阻尼KdV方程 [2] ，随后提出了一种描述波在任意介质传播的非线性偏分方程 [3] 。此外，de Bouard [4] [5] 、Debussche [6] [7] 、Konotop [8] 、Printems [9] 、Holden [10] 等人对随机偏微分方程的研究也做大量的工作。

近来，许多研究者把白噪声函数方法应用到随机偏微分方程并获得许多随机偏微分方程的解析解，如谢英超 [11] [12] 、韦才敏 [13] 、戴朝卿 [14] [15] 和留庆 [16] [17] [18] [19] 等，借助Hermite变换和各种方法，获得了多个Wick型随机方程不同类型的解析解。

在这篇论文中，下列Wick型随机mKdV方程被给出 [17]

$U_t-K_1\left(t\right)\diamond \left(U_{xxx}-6U^{\diamond 2}\diamond U_x\right)-4K_2\left(t\right)\diamond U_x+H\left(t\right)\diamond \left(U+x{U}_x\right)=0,$ (1)

其中 $H\left(t\right)$ 和 $K_i\left(t\right)\left(i=1,2\right)$ 是白噪声函数， $\diamond$ 是在Hida分布空间的Wick积。

本论文利用Hermite变换和Riccati方程的有理指数函数解，方程(1)带有多个任意参量的有理指数函数解被得到。借助高斯白噪声理论，我们得到了在高斯白噪声条件下，Wick型随机mKdV方程带有多个任意参量的有理指数函数解。通过选择设置这个有理指数函数解中包含的多个参量的不同值，Wick型随机mKdV方程丰富的有理指数函数解被得到。进而揭示出了不同约束条件下，不同因素参量变化对Wick型随机方程(1)动力学行为产生的影响。由此，提出借助带有多个任意参量的有理指数函数解，研究不同条件的变化对Wick型随机模型动力学行为影响新的思路。

论文的结构如下，第2节简述在高斯白噪声条件下，求解Wick型随机方程带有多个任意参量有理指数函数解的主要步骤。第3节，把这种方法用于研究Wick型随机mKdV方程，并得到了该方程带有多个任意参量的有理指数函数解。最后一节，对本工作研究的总结。

2. 主要步骤

步骤一. 借助Hermite变换，把下列Wick型随机方程

$A^{\diamond }\left(t,x,{\partial }_t,{\nabla }_x,U,\omega \right)=0,$ (2)

转化成下普通积的

$\tilde{A}\left(t,x,{\partial }_t,{\nabla }_x,\tilde{U},z_1,z_2,\cdots \right)=0,$ (3)

变系数偏微分方程。

步骤二. 通过下列变换

$\tilde{U}\left(t,x,z\right)=u\left(t,x,z\right)=u\left(\xi \right),\xi =f\left(t,z\right)x+g\left(t,z\right),$ (4)

其中 $f\left(t,z\right)$ 和 $g\left(t,z\right)$ 待定函数。把偏微分方程(3)化简为下列常微分方程

$A\left(u,u_{\xi },u_{\xi \xi },u_{\xi \xi \xi },\cdots \right)=0,$ (5)

步骤三. 假设方程(5)有下列形式的解

$u\left(\xi \right)=\underset{i=0}{\overset{n}{{\displaystyle \Sigma }}}{a}_i\left(t,z\right)F^i\left(\xi \right),$ (6)

而变量 $F\left(\xi \right)$ 是下列Riccati方程

$k{F}_{\xi }=q+p{F}^2\left(\xi \right),$ (7)

步骤四. 通过平衡方程(5)最高阶微分项和最高阶非线性项，得到n的值。把n的值代入方程(6)，写出方程(5)解的具体形式

$u\left(\xi \right)=a_0\left(t,z\right)+a_1\left(t,z\right)F\left(\xi \right)+\cdots +a_n\left(t,z\right)F^n\left(\xi \right).$ (8)

步骤五. 把方程(8)和方程(7)代入方程(5)，并设 $F^i,x{F}^i$ 所有幂的系数为零，得到一组方程。求解这组方程得到参量 $f,g,a_i\left(i=0,1,\cdots ,n\right)$ 的函数表达式。把求得的这些结果连同Riccati方程的有理指数解和 $\xi =f\left(t,z\right)x+g\left(t,z\right)$ 一起代入方程(8)，得到 $u\left(t,x,z\right)$ 为方程(3)带多参量的有理指数函数解。

步骤六. 对步骤五得到 $u\left(t,x,z\right)$ 进行逆Hermite变换，获得 $U\left(t,x\right)$ 。这个 $U\left(t,x\right)$ 就是Wick型随机方程(2)的解。

步骤七. 利用高斯白噪声和布朗运动之间的关系，以及斯科罗霍德积分，得到方程(2)的带多参量的有理指数孤波解。

3. Wick型随机mKdV方程的有理指数函数解

对方程(1)进行Hermite变换，得到下列方程：

$\begin{array}{l}{\tilde{U}}_t\left(t,x,z\right)-{\tilde{K}}_1\left(t,z\right)\left({\tilde{U}}_{xxx}\left(t,x,z\right)-6{\tilde{U}}^2\left(t,x,z\right){\tilde{U}}_x\left(t,x,z\right)\right)\\ -4{\tilde{K}}_2\left(t,z\right){\tilde{U}}_x\left(t,x,z\right)+\tilde{H}\left(t,z\right)\left(\tilde{U}\left(t,x,z\right)+x{\tilde{U}}_x\left(t,x,z\right)\right)=0,\end{array}$ (9)

其中 $z=\left(z_1,z_2,\cdots \right)$ 是一个矢量参数。

为了方便起见，设

$u\left(t,x,z\right)=\tilde{U}\left(t,x,z\right),H\left(t,z\right)=\tilde{H}\left(t,z\right),K\left(t,z\right)={\tilde{K}}_i\left(t,z\right)\left(i=1,2\right),$

方程(9)解的形式为：

$u=u\left(\xi \right),\xi =f\left(t,z\right)x+g\left(t,z\right),$ (10)

其中 $f\left(t,z\right)$ 和 $g\left(t,z\right)$ 待定函数。假定方程(9)有下列形式的拟解

$u\left(\xi \right)=a_0\left(t,z\right)+a_1\left(t,z\right)F\left(\xi \right)+\cdots +a_n\left(t,z\right)F^n\left(\xi \right)$ (11)

其中 $a_i\left(t,z\right)\left(i=0,1,\cdots ,n\right)$ 是待定函数，n是需要平衡方程(9)的最高阶线性项和最高阶非线性来确定， $F\left(\xi \right)$ 是下列广义Riccati方程

$k{F}_{\xi }=q+p{F}^2\left(\xi \right),$ (12)

的解，其中 $p,q$ 为任意常量。

已知Riccati方程(12)有下列形式的带有多个任意参量的有理指数解 [20]

$F\left(\xi \right)=\frac{A_1\left(A_1{\text{e}}^{\xi }+A_{-1}\right)}{B_1\left(A_1{\text{e}}^{\xi }-A_{-1}\right)},$ (13)

其中 $A_1,B_1,A_{-1},p,q$ 是任意常量，且 $k=2\sqrt{-pq}$ 。

把方程(10)代入方程(9)，可得

$\left(f_{t}x+g_t\right)u_{\xi }-K_1\left(f^3{u}_{\xi \xi \xi }-6f{u}^2{u}_{\xi }\right)-4K_{2}f{u}_{\xi }+H\left(u+fx{u}_{\xi }\right)=0.$ (14)

平衡 $u^2{u}_{\xi }$ 和 $u_{\xi \xi \xi }$ ，得到 $n=1$ ，方程(14)的拟解形式可以写成如下

$u\left(\xi \right)=a_0\left(t,z\right)+a_1\left(t,z\right)F\left(\xi \right).$ (15)

根据方程(12)，可得

$F_{\xi \xi }=-\frac{1}{2}F-\frac{p}{2q}{F}^3,$ (16)

$F_{\xi \xi \xi }=-\frac{1}{4\sqrt{-pq}}\left(q+4p{F}^2+\frac{3}{q}{p}^2{F}^4\right).$ (17)

把方程(15)连同方程(12)、方程(16) 和方程(17)一起代入方程(14)，可得

$\begin{array}{l}3K_1\sqrt{-\frac{p}{q}}f{a}_1\left(\frac{p}{4q}{f}^2-a_1^2\right)F^4+6f{K}_1\sqrt{-\frac{p}{q}}{a}_0{a}_1^2{F}^3\end{array}$ $+\sqrt{-\frac{p}{q}}{a}_1\left(-3K_{1}f{a}_1^2\frac{q}{p}+K_1{f}^3+\frac{1}{2}{g}_t+3K_{1}f{a}_0^2-2K_{2}f\right)F^2$ $+\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{p}{q}}{a}_1\left(f_t+Hf\right)x{F}^2+\left(a_{1t}+H{a}_1+6k{K}_1\sqrt{-\frac{q}{p}}f{a}_0{a}_1^2\right)F$ $+\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{q}{p}}{a}_1\left(f_t+Hf\right)x+(a_{0t}+H{a}_0-2K_2\sqrt{-\frac{q}{p}}f{a}_1+\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{q}{p}}{a}_1{g}_t+3K_1\sqrt{-\frac{q}{p}}f{a}_0^2{a}_1$ $+\frac{1}{4}{K}_1\sqrt{-\frac{q}{p}}{f}^3{a}_1)=0.$ (18)

令 $F^i,x{F}^i\left(i=0,1,2,3,4\right)$ 所有系数分别都为零，得到下列一组关于未知量 $a_0,a_1$ 的代数方程，即

$3K_1\sqrt{-\frac{p}{q}}f{a}_1\left(\frac{p}{4q}{f}^2-a_1^2\right)=0,$ (19)

$6f{K}_1\sqrt{-\frac{p}{q}}{a}_0{a}_1^2=0,$ (20)

$\sqrt{-\frac{p}{q}}{a}_1\left(-3K_{1}f{a}_1^2\frac{q}{p}+K_1{f}^3+\frac{1}{2}{g}_t+3K_{1}f{a}_0^2-2K_{2}f\right)=0,$ (21)

$\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{p}{q}}{a}_1\left(f_t+Hf\right)=0,$ (22)

$\left(a_{1t}+H{a}_1+6k{K}_1\sqrt{-\frac{q}{p}}f{a}_0{a}_1^2\right)=0,$ (23)

$\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{q}{p}}{a}_1\left(f_t+Hf\right)=0,$ (24)

$\left(a_{0t}+H{a}_0-2K_2\sqrt{-\frac{q}{p}}f{a}_1+\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{q}{p}}{a}_1{g}_t+3K_1\sqrt{-\frac{q}{p}}f{a}_0^2{a}_1+\frac{1}{4}{K}_1\sqrt{-\frac{q}{p}}{f}^3{a}_1\right)=0.$ (25)

由方程(20)可得

$a_0\left(t,z\right)=0.$ (26)

把方程(26)代入方程(19)~(25)，得

$3K_1\sqrt{-\frac{p}{q}}f{a}_1\left(\frac{p}{4q}{f}^2-a_1^2\right)=0,$ (27)

$\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{p}{q}}{a}_1\left(f_t+Hf\right)=0,$ (28)

$\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{q}{p}}{a}_1\left(f_t+Hf\right)=0,$ (29)

$a_{1t}+H{a}_1=0,$ (30)

$\sqrt{-\frac{q}{p}}{a}_1\left(-2K_{2}f+\frac{1}{2}{g}_t+\frac{1}{4}{K}_1{f}^3\right)=0,$ (31)

$\sqrt{-\frac{p}{q}}{a}_1\left(-3K_{1}f{a}_1^2\frac{q}{p}+K_1{f}^3+\frac{1}{2}{g}_t-2K_{2}f\right)=0.$ (32)

由方程(27)~(30)，得

$f\left(t,z\right)=C{}_1\text{e}{}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{t}H\left(s,z\right)\text{d}s}\right)},$ (33)

$a_1\left(t,z\right)=\pm \sqrt{\frac{p}{4q}}{C}_1{\text{e}}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{t}H\left(s,z\right)\text{d}s}\right)},$ (34)

其中 $C_1$ 是一个任意常数。

由方程(31)~(32)，得

$g\left(t,z\right)={\displaystyle {\int }_{}^t\left(-4C_2{K}_2\left(s,z\right){\text{e}}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{s}H\left(\tau ,z\right)\text{d}\tau }\right)}+\frac{1}{2}{C}_2^3{K}_1\left(s,z\right){\text{e}}^{\left(-3{\displaystyle {\int }_{}^{s}H\left(\tau ,z\right)\text{d}\tau }\right)}\right)}\text{d}s+C_3,$ (35)

其中 $C_2,C_3$ 是一个任意常数。

把方程(31)~(32)代入方程(10)和方程(15)，得到方程(9)的解

$u\left(t,x,z\right)=\pm \sqrt{\frac{p}{4q}}{C}_1{\text{e}}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{t}H\left(s,z\right)\text{d}s}\right)}F\left(\xi \right),$ (36)

$\xi =C{}_{1}x{\text{e}}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{t}H\left(s,z\right)\text{d}s}\right)}+{\displaystyle {\int }_{}^t(-4C_2{K}_2\left(s,z\right){\text{e}}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{s}H\left(\tau ,z\right)\text{d}\tau }\right)}}$ $+\frac{1}{2}{C}_2^3{K}_1\left(s,z\right){\text{e}}^{\left(-3{\displaystyle {\int }_{}^{s}H\left(\tau ,z\right)\text{d}\tau }\right)})\text{d}s+C_3$ (37)

设

$K_1\left(t\right)=b_{1}W\left(t\right),K_2\left(t\right)=b_{2}W\left(t\right),H\left(t\right)=h\left(t\right)+b_{3}W\left(t\right),$ (38)

其中 $W\left(t\right)$ 是高斯白噪声， $B\left(t\right)$ 是布朗运动，它们之间存在 $W\left(t\right)=\dot{B}\left(t\right)$ 关系。

对方程(38)进行Hermite变换，可得

$K_1\left(t,z\right)=b_1\tilde{W}\left(t,z\right),K_2\left(t,z\right)=b_2\tilde{W}\left(t,z\right),H\left(t,z\right)=h\left(t\right)+b_3\tilde{W}\left(t,z\right).$

对方程(36)~(37)进行逆Hermite变换，可以得到方程(1)下列Wick型随机解析解

$U\left(t,x\right)=\pm \sqrt{\frac{p}{4q}}{C}_1{\text{e}}^{\diamond \left(-{\displaystyle {\int }_{}^{t}H\left(s\right)\text{d}s}\right)}{F}^{\diamond }\left(\overline{\xi }\right),$ (39)

$\overline{\xi }=C_{1}x{\text{e}}^{\diamond \left(-{\displaystyle {\int }_{}^{t}H\left(s\right)\text{d}s}\right)}+{\displaystyle {\int }_{}^t(-4C_2{K}_2\left(s\right)\diamond {\text{e}}^{\diamond \left(-{\displaystyle {\int }_{}^{s}H\left(\tau \right)\text{d}\tau }\right)}}$ $+\frac{1}{2}{C}_2^3{K}_1\left(s\right)\diamond {\text{e}}^{\diamond \left(-3{\displaystyle {\int }_{}^{s}H\left(\tau \right)\text{d}\tau }\right)})\text{d}s+C_3.$ (40)

其中 $C_1,C_2,C_3$ 是一个任意常数。

因为存在下恒等关系

${\text{e}}^{\diamond \left(B\left(t\right)\right)}={\text{e}}^{\left(B\left(t\right)-\frac{1}{2}{t}^2\right)},{\displaystyle {\int }_R\psi \left(t\right)}\diamond W\left(t\right)\text{d}t={\displaystyle {\int }_R\psi \left(t\right)}\delta B\left(t\right),W\left(t\right)=\dot{B}\left(t\right),$ (41)

其中 ${\displaystyle \int (\cdot )\delta B\left(t\right)}$ 为斯科罗霍德积分(Skorohod integral)。

把方程(38)和方程(41)一起代入方程(39)~(40)，可得Wick型随机方程(1)下列孤波解

$U\left(t,x\right)=\pm \sqrt{\frac{p}{4q}}{C}_1{\text{e}}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{t}h\left(s\right)\text{d}s-b_{3}B\left(t\right)+\frac{1}{2}{b}_3{t}^2}\right)}F\left(\theta \right)$ (42)

$\theta =x{C}_1{\text{e}}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{t}h\left(s\right)\text{d}s-b_{3}B\left(t\right)+\frac{1}{2}{b}_3{t}^2}\right)}+{\displaystyle {\int }_{}^t(-4C_2{b}_2{\text{e}}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{s}h\left(\tau \right)\text{d}\tau -b_{3}B\left(s\right)+\frac{1}{2}{b}_3{s}^2}\right)}}$ $+\frac{1}{2}{C}_2^3{b}_1{\text{e}}^{\diamond \left(-3-{\displaystyle {\int }_{}^{s}h\left(\tau \right)\text{d}\tau -3b_{3}B\left(s\right)+\frac{3}{2}{b}_3{s}^2}\right)})\delta B\left(s\right)+C_3.$ (43)

令 $\xi =\theta$ ，然后把方程(13)代入方程(42)，在高斯白噪声条件下随机方程(1)一种带有多个任意参量的有理指数函数解被得到

$U\left(t,x\right)=\pm \sqrt{\frac{p}{4q}}{C}_1{\text{e}}^{\left(-{\displaystyle {\int }_{}^{t}h\left(s\right)\text{d}s-b_{3}B\left(t\right)+\frac{1}{2}{b}_3{t}^2}\right)}\frac{A_1\left(A_1{\text{e}}^{\theta }+A_{-1}\right)}{B_1\left(A_1{\text{e}}^{\theta }-A_{-1}\right)},$ (44)

其中 $\theta$ 满足方程(43)， $A_1,B_1,A_{-1},p,q,C_1,C_2,C_3$ 都是任意参数。由于参量 $p,q$ 是约束条件Riccati方程的参量，而参量 $A_1,B_1,A_{-1}$ 与随机方程(1)系统的内部因素有关，所以方程(44)揭示出了随约束条件参量的变化，不同内部因素参量变化对Wick型随机方程(1)动力学行为产生的变化规律。

4. 结论

借助Hermite变换、白噪声理论和Riccati方程的有理指数函数解，随机mKdV方程一种带多参量的广义的有理指数函数解被得到。由于这个有理指数函数解中包含多个任意参量，对应不同的参量值，可以写出不同解析解，这样的解实际上可以写出无穷多个。这些解实际上表示不同Riccati方程约束条件下，不同内部因素作用下随机mKdV方程的动力行为的变化规律。这给我们提供了一个重要的启示，可以借助这个带多参量的广义的有理指数函数解来研究在不同的Riccati方程约束条件下，不同的参量的变化下，Wick型随机mKdV方程动力学行为的变化规律。这种方法也能被推广用于其它的Wick型随机方程的动力行为的研究。

本论文研究了求解随机方程带多参量的广义的有理指数函数解方法，并得到了随机mKdV方程一种带多参量的广义的有理指数函数解。但没有具体研究不同Riccati方程约束条件和不同参量变化，对其行为的影响，以及变化规律，这些重要的课题有待进一步研究。

基金项目

浙江省自然科学基金项目(LY13A050001)。

文章引用

留 庆. Wick型随机mKdV方程带多参量的广义的有理指数函数解
A Generalized Rational-Exponent Function Solution with Multi-Parameter for Wick-Type Stochastic mKdV Equation[J]. 应用数学进展, 2017, 06(09): 1056-1062. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.69128

参考文献 (References)