宇宙空间暴胀机制探讨 Probe into the Inflationary Mechanism of Cosmos Space

doi:10.12677/AAS.2019.73007

Astronomy and Astrophysics
Vol. 07 No. 03 ( 2019 ), Article ID: 31329 , 6 pages
10.12677/AAS.2019.73007

Probe into the Inflationary Mechanism of Cosmos Space

Yushan Li

●How to Cite this Article

Xingtai Lide Machinery Roll Manufacturing Co., Ltd., Xingtai Hebei

Received: June 26^th, 2019; accepted: July 11^th, 2019; published: July 18^th, 2019

ABSTRACT

This thesis details inferred “Planck size”, “the entropy of Blank-hole” and “the radiation temperature of Blank-hole” formula; studied the question of radiation of Blank-hole and probed into the inflationary mechanism of cosmos space.

Keywords:Cosmos Big-Bang, the Inflationary of Cosmos Space, Planck Size, Planck Black-Hole, the Entropy of Blank-Hole, the Radiation of Blank-Hole

宇宙空间暴胀机制探讨

李宇山

邢台利德机械轧辊制造有限公司，河北邢台

收稿日期：2019年6月26日；录用日期：2019年7月11日；发布日期：2019年7月18日

摘要

本文详尽推导了“普朗克尺度”、“黑洞的熵”及“黑洞的辐射温度”公式，研究了黑洞的辐射问题，探讨了宇宙空间的暴胀机制。

关键词 :宇宙大爆炸，宇宙空间暴胀，普朗克尺度，普朗克黑洞，黑洞的熵，黑洞辐射

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1. 文章中用到的常数

光速(c)——2.998 × 10⁸ (m/s)；

普朗克常数(h)——6.63 × 10⁻³⁴ (J/s)；约化了的普朗克常数(h/2π)；

引力常数(G)——6.67 × 10⁻¹¹ (N·m²/kg²)；

玻尔兹曼常数(k_B)——1.38 × 10⁻²³ (J/K)；

摩尔气体常数(R)——8.31 (J/mol·K)；

阿伏加德罗常数(N₀)——6.022 × 10²³(1/mol)；

圆周率(π)——3.1415926；

自然常数(e)——2.71828。

目前普遍认为，宇宙起始于约138亿年前的大爆炸，大爆炸之后的宇宙空间有一个急速膨胀的暴胀过程。本文拟对宇宙空间的暴胀机制做一粗浅探讨。

2. 普朗克尺度、普朗克黑洞

我们知道，要精准确定粒子的位置，就要尽量增加入射光的频率。当光的频率增加到一定程度，亦即光的能量密度达到一定程度时(只有宇宙大爆炸时具备这种能量密度)，光子一碰到粒子就变成了黑洞，这将没有任何信息可以传出。这一光线的波长尺度称为普朗克尺度，讨论普朗克尺度以下的尺度是没有意义的。因此，普朗克尺度也就是空间的最小尺度。

这里将史瓦西半径等于普朗克尺度的黑洞称为普朗克黑洞。

设普朗克尺度为L_P，那么普朗克尺度光的波长就等于L_P。根据普朗克尺度的物理意义，普朗克黑洞的史瓦西半径：

$L_{P} = 2 G m_{P} / c^{2}$ (1)

m_p——普朗克黑洞的质量。

取普朗克黑洞半径的不确定量为Δr；形成普朗克黑洞的光子的动量不确定量为Δp。根据“不确定性原理”则有：

$Δ r Δ p = h / 2 π$

如将Δp取最大值，即这光的全部动量值m_pc，则Δr就是最小值波长L_P，故有：

$L_{P} m_{P} c = h / 2 π$ (2)

(1) × (2)得： $L_{P}^{2} = 2 G h / 2 π c^{3} = G h / π c^{3}$

$L_{P} = {(G h / π c^{3})}^{1 / 2}$

将各常数代入得： $L_{P} = 2.284 \times 10^{- 35} (m)$

光通过普朗克尺度所需时间称为普朗克时间，约为10⁻⁴³秒。

由(1)解得普朗克黑洞的质量 $m_{P} = L_{P} c^{2} / 2 G = {(c h / π G)}^{1 / 2} / 2$

将各常数代入得： $m_{P} = 1.54 \times 10^{- 8} (kg)$

3. 黑洞的熵及黑洞的辐射温度与辐射

3.1. 黑洞熵公式的推导

由于黑洞的表面积有只增不减之特性(霍金面积不减定理)，这与熵的性质相同。因此不难想到二者成某种正比例关系。

设黑洞的熵为S；史瓦西半径为R_B；表面积为A，则有： $S \propto A$ ；不妨设：

$S = n A$ (n为比例常数)

又根据玻尔兹曼公式得： $S = k \log w$ (w为系统的微观状态数)。

对于普朗克黑洞有：

$S_{P} = k \log w_{P} = n A_{P}$ (3)

(S_P、w_P、A_P分别为普朗克黑洞的熵、微观状态数和表面积)。

(3)中对数的底数取w_P时， $\log w_{P} = 1$ , $k = n A_{P}$ , $n = k / A_{P}$

由于 $A_{P} = 4 π L_{P}^{2} = 4 G h / c^{3}$ 故 $n = k c^{3} / 4 G h$ 所以

$S = n A = A k c^{3} / 4 G h$ (4)

由于史瓦西半径 $R_{B} = 2 G m / c^{2}$ ，黑洞的表面积 $A = 4 π R_{B}^{2} = 16 π G^{2} m^{2} / c^{4}$ ；代入(4)得：

$S = 4 π k G m^{2} / c h$ (m为黑洞的质量) (5)

下面讨论黑洞熵公式中所引入的玻尔兹曼常数k与自然对数条件下：

( $S = k_{B} \ln w$ )玻尔兹曼常数k_B之关系。

在推导黑洞熵公式时，由于做了特殊处理，使得 $\log w_{P} = 1$ ，根据(3)有 $S_{P} = k$ ，即玻尔兹曼常数k代表普朗克黑洞的熵。普朗克黑洞形成过程中的能量交换全部形成了普朗克黑洞的内能，所以根据熵的定义有：

$k = m_{P} c^{2} / T_{P}$ (6)

其中mc²与T_P分别为普朗克黑洞的内能和温度。

宇宙从大爆炸奇点处开始，此时能量、温度均为无穷大。因为小于普朗克尺度和普朗克时间的时空没有意义，而大爆炸的能量密度又符合形成普朗克黑洞的条件。所以我们认为，如果将半径等于普朗克尺度的空间定义为普朗克空间，那么，可讨论的宇宙就是自普朗克时间产生了普朗克空间，同时又在普朗克空间中产生了普朗克黑洞的时刻开始的。此时的温度是普朗克温度。

宇宙的初始状态又可以看做是目前的宇宙系统经压缩而得到的，故可以运用研究系统问题的“分子运动论”和“热力学理论”对其进行分析。

根据分子运动论，理想气体状态方程可写成如下形式 [1] ：

$P V = (N R / N_{0}) T$

其中P、V、T分别为系统的压力、体积与温度；N为分子数。由于 $k_{B} = R / N_{0}$ ，故有：

$P V = N k_{B} T$ (7)

对普朗克黑洞应用(7)则有：

$P_{P} V_{P} = N k_{B} T_{P}$

普朗克黑洞可视为只有一个分子的系统，故N = 1则：

$P_{P} V_{P} = k_{B} T_{P}$

将热力学第一定律应用于普朗克黑洞得 [1] ：

$Q = m_{P} c^{2} + P_{P} V_{P}$

普朗克黑洞形成过程是一个绝热过程，Q = 0；普朗克黑洞的形成是外界作功之结果，此过程不对外作功。故P_PV_P取负值。所以有：

$m_{P} c^{2} - P_{P} V_{P} = 0$ ； $P_{P} V_{P} = m_{P} c^{2}$

于是： $k_{B} T_{P} = m_{P} c^{2}$

那么： $k_{B} = m_{P} c^{2} / T_{P}$ (8)

比较(6)、(8)两式可得： $k = k_{B}$ ；于是得： $w_{P} = e$ (自然数)。

这表明黑洞熵公式中的k就是k_B，并且自然数e是普朗克黑洞的微观状态数。

3.2. 黑洞的辐射温度

由熵公式的微分形式 $d S = d Q / T$ 得： $T = d Q / d S$ ；对于黑洞辐射温度T_B则有：

$T_{B} = d Q / d S = d (m c^{2}) / d S = c^{2} d m / d S$

$T_{B} = c^{2} / (d S / d m)$

根据(5)式得： $d S / d m = d (4 π k G m^{2} / c h) / d m = 8 π k G m / c h$

所以黑洞的辐射温度：

$T_{B} = c^{2} / (8 π k G m / c h)$

$T_{B} = c^{3} h / 8 π k G m$ (9)

由(8)式得普朗克黑洞的辐射温度为：

$T_{P} = m_{P} c^{2} / k_{B}$

将数值代入得： $T_{P} = 10^{32} (K)$

这一温度也称为普朗克温度。

3.3. 黑洞的辐射(霍金辐射)

由于量子效应，空间存在着量子涨落，即瞬间产生正能量粒子和负能量反粒子对并瞬间互相湮灭的现象。

对于负能量的反粒子来说，黑洞相当于一个很陡的正能量势阱。粒子—反粒子对在黑洞边界上产生时，负能量反粒子必然落入黑洞，而正能量的粒子要么一同落入黑洞(这种情况相当于粒子—反粒子对互相湮灭)，要么飞向无限远处(落入负能量势阱)与反粒子落入黑洞的事件相抵消。这就相当于黑洞辐射了粒子。

当外界温度高于黑洞辐射温度时，其吸收的能量比辐射的能量多，黑洞逐渐长大，温度随之降低；当外界温度低于黑洞辐射温度时，其吸收的能量比辐射的能量少，黑洞逐渐缩小，温度随之升高并最终剧烈蒸发殆尽(爆炸)。

其它大质量天体(如恒星、白矮星、中子星)对于负能量反粒子来说也相当于一个正能量势阱，但其陡度不够。由于粒子–反粒子对互相湮灭的速度近于光速，这一陡度不足以使反粒子在湮灭前落入其中。

4. 宇宙空间暴胀机制

前已述及，宇宙大爆炸后，于普朗克时间(10⁻⁴³秒)形成了普朗克空间，同时在普朗克空间内形成了普朗克黑洞。根据这些条件可推测，这之后空间以绝热膨胀的形式扩张，而黑洞则以从空间吸收能量的方式长大，起始温度均为普朗克温度[10³²(K)]。这一过程有两种可能的发展模式：

第一种，二者以等温方式同步膨胀。

空间绝热膨胀应满足 [1] ：

$V^{r - 1} T = 衡量$

其中：V表示体积；T代表温度；r为比热容比。 $r = (i + 2) / i$ ；i为自由度，这里取 $i = 3$ ，故 $r - 1 = 2 / 3$ 。

设空间半径为R_S；空间温度为T_S

则有： ${(4 π R_{S}^{3})}^{2 / 3} T_{S} = {(4 π L_{P}^{3})}^{2 / 3} T_{P}$ , $R_{S}^{2} T_{S} = L_{P}^{2} T_{P}$

$T_{S} = {(L_{P} / R_{P})}^{2} T_{P}$

设黑洞史瓦西半径为R_B，则： $R_{B} = 2 G m / c^{2}$ , $m = c^{2} R_{B} / 2 G$ ，又根据⑧有： $k = m_{P} c^{2} / T_{P}$ 且： $m_{P} = c^{2} L_{P} / 2 G$

代入(9)并整理得黑洞温度：

$T_{B} = (G h / 2 π c^{3} L_{P} R_{B}) T_{P}$

因为： $L_{P} = {(G h / π c^{3})}^{1 / 2}$

所以： $T_{B} = (L_{P} / 2 R_{B}) T_{P}$ (11)

设 $R_{S} = a b L_{P}$ ； $R_{B} = b L_{P}$ (a、b为系数，取正数)于是根据(10)、(11)有：

$T_{S} = {(1 / a b)}^{2} T_{P}$ , $T_{B} = (1 / 2 b) T_{P}$

由于空间与黑洞以等温方式同步膨胀，故有： $T_{S} = T_{B}$

亦即： ${(1 / a b)}^{2} T_{P} = (1 / 2 b) T_{P}$ , $a^{2} = 2 / b$

讨论：1) 当 $b < 2$ 时， $a > 1$ ， $R_{S} > R_{B}$ 空间半径大于黑洞半径；

2) 当 $b = 2$ 时， $a = 1$ ， $R_{S} = R_{B} = 2 L_{P}$ 空间半径与黑洞半径相等；

3) 当 $b > 2$ 时， $a < 1$ ， $R_{S} < R_{B}$ 空间半径小于黑洞半径。

1) 表示空间与黑洞等温同步膨胀，空间半径始终大于黑洞半径；

2) 表示空间与黑洞同步膨胀至半径均等于二倍的普朗克尺度，此时的温度为： $T_{B} = T_{P} / 4$ ；

3) 表示如果继续膨胀，黑洞的半径将比空间的半径要大，温度也要比空间的温度高。然而这种情况是不可能发生的，此刻黑洞将会以霍金辐射的方式剧烈蒸发，从而致使空间以爆发式增长，即发生暴胀。

在宇宙的初始阶段，空间尚不存在基本粒子，但却存在能量涨落效应。黑洞凭借能量涨落而发生剧烈蒸发。

第二种，二者以等径方式同步膨胀( $R_{S} = R_{B}$ )。

至(11)式以上推导过程与第一种相同。

设 $R_{S} = R_{B} = a L_{P}$ (a为系数，取正数)于是根据(10)、(11)分别有：

$T_{S} = {(L_{P} / R_{S})}^{2} T_{P} = T_{P} / a^{2}$ (12)

$T_{B} = (L_{P} / 2 R_{B}) T_{P} = T_{P} / 2 a$ (13)

(12)/(13)得： $T_{S} / T_{B} = 2 / a$ 。

讨论：1) 当 $a < 2$ ， $R_{S} = R_{B} < 2 L_{P}$ 时， $T_{S} > T_{B}$ ，空间温度高于黑洞温度；

2) 当 $a = 2$ ， $R_{S} = R_{B} = 2 L_{P}$ 时， $T_{S} = T_{B}$ ，空间温度与黑洞温度相等；

3) 当 $a > 2$ ， $R_{S} = R_{B} > 2 L_{P}$ 时， $T_{S} < T_{B}$ ，空间温度低于黑洞温度。

(1)、(2)两种情况说明，空间与黑洞等径膨胀直至 $R_{S} = R_{B} = 2 L_{P}$ ；

(3)表明，如果继续膨胀，空间温度将低于黑洞温度，此刻黑洞将会以霍金辐射的方式剧烈蒸发，从而使空间的爆发式增长，以至发生暴胀。

两种发展模式都证明，当空间与黑洞半径增长至二倍普朗克尺度时，黑洞的剧烈蒸发导致宇宙空间发生暴胀。

5. 结论

1) 普朗克尺度 $L_{P} = {(G h / π c^{3})}^{1 / 2}$ 。

2) 黑洞的熵 $S = A k c^{3} / 4 G h = 4 π k G m^{2} / c h$ ，其中的玻尔兹曼常数k就是自然对数条件下( $S = k_{B} \ln w$ )的玻尔兹曼常数k_B；黑洞的辐射温度 $T_{B} = c^{3} h / 8 π k G m$ 。

3) 普朗克黑洞的熵等于自然对数条件下的玻尔兹曼常数，即 $S_{P} = k_{B}$ ；普朗克黑洞的微观状态数等于自然数，即 $w_{P} = e$ 。

4) 黑洞可通过空间的量子涨落而产生辐射。

5) 宇宙原始空间与黑洞的相互作用使空间发生暴胀。

文章引用

李宇山. 宇宙空间暴胀机制探讨
Probe into the Inflationary Mechanism of Cosmos Space[J]. 天文与天体物理, 2019, 07(03): 65-70. https://doi.org/10.12677/AAS.2019.73007

参考文献

1. 程守洙, 江之永, 主编. 普通物理学[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978

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