ABSTRACT

Based on the knowledge of symbolic dynamical systems and model shift mapping, a torsional Smale horseshoe model is presented, which is described by quinary. Under certain parameters, a local linear representation of the model is found and proved to be topologically conjugate with the traditional shift map.

Keywords:Bilateral Symbol Space, Torsional Smale Horseshoe, Model Shift Mapping, 5-Part Cantor Set, Topological Conjugacy

扭转型Smale马蹄模型及拟移位映射

胥海云，陈芳跃，李二林

杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州

收稿日期：2016年12月29日；录用日期：2017年1月17日；发布日期：2017年1月20日

摘 要

基于符号动力系统及拟移位映射，给出了一种用5-进制小数描述的扭转型Smale马蹄模型，找到了该模型的一个局部线性表示，并证明它与传统的移位映射拓扑共轭。

关键词 :双边符号空间，扭转型Smale马蹄，拟移位映射，Cantor五分集，拓扑共轭

1. 引言

在符号动力系统的广泛应用之中，最富思想性和影响最为深远的是Smale马蹄，它解释和澄清了某些带有根本性的动力系统基本问题 [1] [2] [3] [4] ，而它的动力学行为可以通过符号序列空间的移位映射来刻画，在动力系统的研究中起了巨大的推广作用 [5] [6] [7] [8] [9] 。对各种复杂系统，如果能找到子系统与符号动力系统中的移位映射拓扑共轭，那么原系统的动力学性质就易于讨论了。如文献 [10] 定义了双边符号空间上的一种拟移位映射，且成功地刻画了Mlbius带上一类映射的吸引子的结构及动力学的移位映射。文献 [11] 借助5进制小数给出圆盘上的微分自同胚不变集与双边符号空间上的移位映射拓扑共轭的一个简洁的证明。传统的Smale马蹄构造是沿垂直方向线性压缩而沿水平方向线性拉长，并弯曲成马蹄形状放回原来的图形上。本文考虑先扭转再弯曲成马蹄形状放回原图的情况，找到它的局部线性表示及拟移位映射，同时证明了该拟移位与传统的移位映射拓扑共轭。本文的思想和方法也适合拉伸和压缩非线性的各种曲边马蹄模型，在许多符号空间的自映射及动力系统的研究中有一定的意义。

2. 扭转型Smale马蹄表示

在欧式平面中取一个单位正方形，定义一个从到的映射如下：先把沿水平方向线性拉长倍，再沿竖直方向压缩倍，得到一个单位长和单位宽的长方形；再把这个长方形扭曲成马蹄形状放在上。本文中我们考虑的扭转情况，如图1、图2(a)和图2(b)。

对于图2，显然，映射将中的长方形、和分别映射到长方形、和，这个映射是局部线性的，即有

(1)

于是，由可得到的不变集，其中，为区间上的Cantor五分集，将上点表示成级数：

(2)

或

(3)

若，则的展开式(2)或(3)中可以使 (或)。

事实上，以式(2)为例，若使，即，则有，同理，若

图1. 单位正方形

图2. 几何马蹄扭曲变换图

使，即，则有，所以论断成立。于是，对于，因为

(4)

即对应一个双向无穷序列，，这种对应是一一的，我们称这个对应是的点的符号表示。即，可以证明是到的同胚映射。

由式(1)和式(4)，对于任意的，有

即

(5)

即相当于中定义的映射。

(6)

这就是映射(1)的双边序列空间的表示(仅仅这里取的3个符号为)。

3. 符号序列空间上的一个拟移位映射

设由3个符号构成的双边符号序列空间为，即。传统的移位映射为

(7)

其中。现定义一种拟移位映射：

定义1：对，

(8)

定理1：与拓扑共轭。

证明：首先在上定义距离为

(9)

其中

现设为映射：

(10)

易看出是一个一一映射。下证的连续性。

设，，则有

，使得，显然，此时。当时，由距离的定义(9)可得，对，有，显然此时。仍由(9)式，有。即取，当时，有。同理可得的连续性。故是到自身的一个同胚映射。

进一步有：

即，即与拓扑共轭，于是有如下的交换图3。因而与拓扑共轭，证毕。

4. 结论

Smale马蹄模型构造可以作多种改变，例如，可以沿垂直方向线性拉长而沿水平方向线性压缩，并以各种方式弯曲马蹄形状或类马蹄形状放回到原来的图形上。进而，拉长和压缩可以不必是线性的，形

图3.与之间的一一对应交换关系图

成种种曲边的马蹄型。本文，仍然是在拉长和压缩式线性的基础之上，通过扭转弯曲成马蹄形状，并通过5进制小数来刻画这种局部线性的映射，严格证明了这种映射与传统的移位映射拓扑共轭。但对于各种不同马蹄模型，得到的各种拟移位映射之间又有什么关系，这些拟移位映射能否刻画其它复杂的映射等，都有待进一步研究。

文章引用

胥海云,陈芳跃,李二林. 扭转型Smale马蹄模型及拟移位映射
Torsional Smale Horseshoe and Model Shift Mapping[J]. 动力系统与控制, 2017, 06(01): 28-33. http://dx.doi.org/10.12677/DSC.2017.61004

参考文献 (References)